UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION FICHE DE PRÉSENTATION OBJECTIF(S) Utiliser le cercle trigonométrique. EXPLICITATION Être capable à l'issue des travaux d'utiliser le cercle trigonométrique pour déterminer : la valeur du sinus et du cosinus d'un angle ; la mesure des angles connaissant la valeur de leur sinus ou cosinus. PRÉ-REQUIS Savoir utiliser le rapporteur. Maîtriser la proportionnalité, l'interprétation d'un intervalle et la relation de Pythagore. Savoir projeter un point sur un axe et utiliser un repère. CONDITIONS Traiter les exercices dans l'ordre proposé. Traiter l'exercice 3 après la correction de l'exercice 2. Traiter l'exercice 6 après la correction de l'exercice 5. Prévoir une calculatrice, un rapporteur, un compas et une règle. CRITÈRES DE RÉUSSITE Exercice 1 : toutes les réponses justes (pour la formulation voir le professeur). Exercice 2 : 1er tableau, trois bonnes réponses sur quatre ; 2e tableau, toutes les réponses exactes. Exercice 3 : six valeurs exactes sur huit ; et huit valeurs arrondies sur huit en lien avec les réponses trouvées. Exercice 4 : six valeurs exactes sur huit. Exercice 5 : douze valeurs exactes sur seize. Exercices 6 et 7 : Toutes les réponses justes. Exercice 8 : quatre valeurs exactes sur six dont les deux premières. CONSEILS Faire les tracés avec soin. Présenter clairement les réponses plus particulièrement pour les exercices 5 et 8. 1/1 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION 1. Définition du cercle trigonométrique : 1.1. Son sens : Short-Track Sens giratoire Écoulement de l'eau dans l'évier Manège Vélodrome Roues à aubes y Dans toutes ces situations les déplacements se font dans le même sens. y Ce sens a été choisi comme sens trigonométrique. Sens direct 1.2. Son rayon : y Tous les cercles ont un rayon égal à "1". 1.3. Définition : Un cercle trigonométrique est un cercle de rayon "1" sur lequel le sens de déplacement est le sens direct. 1/7 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION 2. Angle orienté : 2.1. Radian : 2.1.1. La grande roue : Elle est munie de nacelles. Étude du déplacement de l'une d'elles. 1re Position 2e Position y La nacelle se déplace de A en B en parcourant l'arc p AB . 1re Position 2e Position 2.1.2. Définition : L'angle α, qui intercepte un arc de cercle de longueur égale au rayon, a pour mesure un radian (1 rad). 2/7 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION 2.1.3. Correspondance radian/degré : ¾ Un tour de roue : Position initiale Nombre de tours 1 Position finale α (radian) 2π Distance parcourue 2πR α (degré) 360 ¾ Radian/Degré : α (en degré) α (en radian) 30 45 π π 6 4 60 π 3 Calcul de α, en radian, connaissant sa mesure en degré : 90 π 2 180 360 π 2π Exemple : 360 60 = α 2π 2π × 60 α= 360 α= 2.2. Angle orienté : 2.2.1. La roue tourne : y Les touristes accèdent à la grande roue par la plate-forme d'embarquement : E. y La position de la nacelle 1 sur la roue se repère par rapport à l'embarquement par un angle α. y La nacelle 1 est à la plate-forme d'embarquement : α = 0 rad 3/7 π 3 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION Texte Schéma y La nacelle 2 est à la plate-forme d'embarquement. (Les nacelles se remplissent ainsi l'une après l'autre) FICHE DE FORMATION Angle (en rad) α= α= π 4 π 4 9π α= 4 y Un tour après dans le sens direct α= y Un tour après dans le sens indirect π 4 α=− +2π −2π 7π 4 , Remarque : Dans les trois situations, la nacelle 1 occupe la même position. Cette position est repérée par trois mesures différentes, exprimées en radian, du même angle α : π 9π 7π ; ; − 4 4 4 4/7 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION 2.2.2. Cas général : ¾ Un angle orienté possède plusieurs mesures : α rad ; (α + 2 π) rad ; (α − 2 π) rad ; (α + 4 π) rad ; (α − 4 π) rad ; … … ¾ Mesure principale : La mesure principale d'un angle orienté est la mesure qui appartient à l'intervalle ] −π ; π ]. Dans l'exemple de la page précédente, la mesure principale de α est car π 4 est compris entre − π et π alors que 3. Équations trigonométriques : 3.1. Situation : nacelle en position α = π 4 rad : 9π 7π est plus grand que π et − est plus petit que − π. 4 4 π 3 L'occupant de la nacelle lâche son porte-monnaie qui tombe verticalement au niveau de la plate-forme en C. ) Quel outil mathématique utiliser pour trouver exactement la mesure de OC connaissant la valeur de l'angle α ? 3.2. Axe des sinus et des cosinus : 3.2.1. Interprétation mathématique : On considère le cercle trigonométrique muni d'un repère orthonormal. OM = 1 (cercle trigonométrique) Le point M est projeté sur les deux axes en C et S. L'abscisse de M est égale à 0,5 ; l'ordonnée de M est égale à 0,9. cos α = OC OM cos α = OC sin α = (car OM = 1) OS OM sin α = OS (car OM = 1) La mesure de OC correspond à cos α. La mesure de OS correspond à sin α. Pour obtenir le cosinus d'un angle, il suffit de projeter sur l'axe des abscisses. Pour obtenir le sinus d'un angle, il suffit de projeter sur l'axe des ordonnées. On appelle cet axe, l'axe des cosinus. On appelle cet axe, l'axe des sinus. Remarque : En vérifiant à l'aide de la calculatrice, on trouve : cos π 3 = 0,5 sin π 3 0,9 arrondi à 0,1 ) Le porte-monnaie tombe en C qui se trouve au milieu du segment [OE]. 5/7 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION 3.2.2. Conclusion : Dans un cercle trigonométrique, de centre O, muni d'un repère orthonormal, d'origine O, l'axe des abscisses est l'axe des cosinus, l'axe des ordonnées est l'axe des sinus. L'observation du cercle trigonométrique permet de voir que les valeurs de sin α et de cos α sont comprises entre −1 et 1. −1 ≤ sin α ≤ 1 −1 ≤ cos α ≤ 1 3.3. Résolution d'équations trigonométriques : 3.3.1. Résolution d'équations du type : cos α = a : Exemple : cos α = 0,5 Méthode de résolution : ) Placer le point C d'abscisse 0,5 sur l'axe des cosinus. ) Tracer le cercle trigonométrique et le repère. ) Tracer en C la droite parallèle à l'axe des sinus ; elle coupe le cercle en deux points M et P. ) Mesurer, en degré, les angles α 1 et α 2. L'équation "cos α = 0,5" admet deux solutions sur l'intervalle ] −180° ; 180° ]. S = {−60° ; 60°} 6/7 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION FICHE DE FORMATION 3.3.2. Résolution d'équations du type : sin α = a : Exemple : sin α = −0,6 Méthode de résolution : ) Placer le point S d'abscisse −0,6 sur l'axe des sinus. ) Tracer le cercle trigonométrique et le repère. ) Tracer en S la droite parallèle à l'axe des sinus ; elle coupe le cercle en deux points N et R. ) Mesurer, en degré, les angles α 1 et α 2. L'équation "sin α = −0,6" admet deux solutions sur l'intervalle ] −180° ; 180° ]. S = {−143° ; −37°} 4. Relations trigonométriques : Dans le triangle OCM rectangle en C, on applique la relation de Pythagore : OM 2 = OC 2 + CM 2 OM 2 = OC 2 + OS 2 (OS = CM) L'observation de la figure permet d'écrire : OM = 1 OC = cos α OS = sin α donc 7/7 12 = (cos α)2 + (sin α)2 1 = cos2α + sin2α UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT C2 C3 1. Parmi ces cercles : C1 C4 C5 1.1. identifier le cercle trigonométrique : ……………………………………………………………. 1.2. repérer, par une croix, "les erreurs" sur les quatre autres cercles puis les modifier pour obtenir des cercles trigonométriques. Le cercle n'est pas un cercle trigonométrique car ……………… ……………………………………………………………………………………. ……………… ……………………………………………………………………………………. ……………… ……………………………………………………………………………………. ……………… ……………………………………………………………………………………. 2. Compléter les tableaux de proportionnalité : π Angle − (en radian) 3 Angle ……. (en degré) π π 12 8 15 3π 10 ……. ……. ……. 360 Angle exact (en radian) − π π π 3 12 8 3π 10 ……. Angle arrondi à 0,01 ……. 0,26 ……. ……. 6,28 (en radian) 1/4 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT 3. Donner, en radian, pour les angles suivants, la valeur exacte et la valeur arrondie à 0,1. Angle 140 420 17 135 −30 −60 −210 −720 (en degré) Valeur exacte ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… (en radian) Valeur arrondie à 0,1 ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… ……… (en radian) Écrire le calcul dans le cas suivant : 140 ° …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... 4. Convertir, en degré, et arrondir à l’unité : π π Angle − 1 0,25 − 0,3 −4π − 42 5π (en radian) 15 20 Valeur arrondie ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. à l'unité (en degré) Écrire le calcul dans les cas suivants : π rad 15 …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... 0,25 rad …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... 2/4 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT 5. Déterminer la mesure principale des angles suivants : Angle (en degré) Mesure principale (en degré) Angle (en radian) Mesure principale (en radian) 140 420 17 135 −30 −60 −210 −720 ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. π 15 0,25 5π 1 − π 20 − 0,3 −4π ………. ………. ………. ………. ………. ………. ………. − 42 1,98 6. Tracer dans le cercle trigonométrique l'angle correspondant : ϕ = −0,3 rad α = 140 ° β=− π 6 rad θ = 5 π rad 7. Déterminer graphiquement le cosinus et le sinus des angles tracés, arrondir à 0,1 : cos α = ……… sin α = ……… cos α = .………… sin α = ..………… cos α = …………… sin α = …………… 3/4 cos α = …………… sin α = …………… UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT FICHE D'ENTRAÎNEMENT 8. Résoudre, en utilisant le cercle donné, les équations suivantes dans l'intervalle ] −π ; π ] : c cos x = − 0,2 …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... e cos ϕ = 1 …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... g cos θ = 0 …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... d sin t = 0,45 …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... f sin y = − 1 …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... h sin β = 2 …………………………………………………... …………………………………………………... …………………………………………………... 4/4 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE C2 C3 1. Parmi ces cercles : C1 C4 C5 1.1. identifier le cercle trigonométrique : C 5 1.2. repérer, par une croix, "les erreurs" sur les quatre autres cercles puis les modifier pour obtenir des cercles trigonométriques. Le cercle n'est pas un cercle trigonométrique car C1 la mesure de l'angle n'est pas égale à 45° mais à (−45°) C2 le rayon du cercle n'est pas égal à 1 C3 le sens de rotation n'est pas le sens direct C4 Le sens de rotation n'est pas indiqué 2. Compléter les tableaux de proportionnalité : π Angle − (en radian) 3 Angle (en degré) −60 π π 8 3π 10 2π 12 15 22,5 54 360 Angle exact (en radian) − π π π 3 12 8 3π 10 2π Angle arrondi à 0,01 −1,05 0,26 0,39 0,94 6,28 (en radian) 1/4 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE 3. Donner, en radian, pour les angles suivants, la valeur exacte et la valeur arrondie à 0,1. Angle (en degré) Valeur exacte (en radian) Valeur arrondie à 0,1 (en radian) 140 420 17 135 −30 −60 7 π 9 7 π 3 17 π 180 3 π 4 1 − π 6 − 2,4 7,3 0,3 2,4 −0,5 −210 −720 1 π 3 − 7 π 6 −4π −1 −3,7 −12,6 − 0,3 −4π − 42 − 17 − 720 − 2406 Écrire le calcul dans le cas suivant : 140 ° 360 140 = 2π x x × 360 = 2 π × 140 x= 2 × 140 π 360 x= après simplification : x= soit 7 π 9 7 π rad (valeur exacte) 9 7 × 3,14... 2,44 9 soit 2,4 rad (valeur arrondie) 4. Convertir, en degré, et arrondir à l’unité : Angle (en radian) Valeur arrondie à l'unité (en degré) π 15 12 0,25 5π 1 14 900 57 − π 20 −9 Écrire le calcul dans les cas suivants : π rad 15 0,25 rad π = 180 360 x = 0, 25 2π π 180 = 15 15 x= 360 × 0, 25 2π x= = 12 90 2π x = 14,3 soit 12 ° soit 14 ° 2/4 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE 5. Déterminer la mesure principale des angles suivants : Angle (en degré) Mesure principale (en degré) 140 420 17 135 −30 −60 −210 −720 140 60 17 135 − 30 − 60 150 0 − 0,3 −4π − 42 − 0,3 0 1,98 −210 = −360 + x x = −210 + 360 x = 150 Mesure principale 150° 420 = 360 + 60 Mesure principale 60° π Angle (en radian) Mesure principale (en radian) 15 π 15 0,25 5π 1 0,25 π 1 − π 20 π − 20 5π=4π+π Mesure principale π 6. Tracer dans le cercle trigonométrique l'angle correspondant : α = 140 ° ϕ = −0,3 rad − 17 ° − 30 ° β=− π 6 180 ° rad θ = 5 π rad 7. Déterminer graphiquement le cosinus et le sinus des angles tracés, arrondir à 0,1 : cos α = 0,5 sin α = 0,8 cos α = 0,7 sin α = − 0,7 cos α = − 0,5 sin α = 0,8 3/4 cos α = − 0,5 sin α = − 0,8 UTILISATION DU CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE FICHE AUTO-CORRECTIVE 8. Résoudre, en utilisant le cercle donné, les équations suivantes dans l'intervalle ] −π ; π ] : . c cos x = − 0,2 x1 = 102° S = {− e d x2 = −102° 102 102 π; π} 180 180 sin t = 0,45 t1 = 27° S={ cos ϕ = 1 ϕ=0 f S = {0} t2 = 153° 27 153 π; π} 180 180 sin y = − 1 π y=− 2 S = {− g cos θ = 0 π θ1 = 2 θ2 = − S = {− π π ; } 2 2 π 2 h π } 2 sin β = 2 sin β > 1 donc β n'existe pas S={} 4/4