Structure algébrique et premiers exemples - MPSI

Chapitre 8
Structure algébrique et premiers exemples
Au cours du chapitre précédent, nous avons vu quelques rudiments de la théorie des ensembles. De la même façon, nous allons introduire les premières structures algébriques et nous
nous intéresserons au cas particulier de l’anneau des entiers relatifs. Si cet ensemble est
stable pour les opérations usuelles, on pourra aussi définir une relation de divisibilité qui
nous permettra de découvrir les propriétés fondamentales de l’arithmétique.
1 Structure de groupe
1.1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Caractérisation d’un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2
2
2 Structure d’anneau
2.1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Eléments inversibles et premiers exemples de corps commutatifs . . . . . . . .
3
3
3
3 Cas
3.1
3.2
3.3
Z
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . .
4
4
4
5
4 PGCD et PPCM de deux entiers
4.1 Définition du PGCD de deux entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Définition du PPCM de deux entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
6
7
8
5 Un sous-ensemble particulier : les nombres premiers
5.1 Définition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Décomposition primaire d’un entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
9
9
particulier de l’anneau des entiers relatifs
Présentation et structure . . . . . . . . . . . . .
Diviseurs et multiples d’un entier . . . . . . . .
Division euclidienne dans Z et congruence . . .
Typage dynamique et manipulation des données structurées
Liste non exhaustive des capacités attendues
Connaı̂tre les principales structures algébriques · Connaı̂tre les propriétés algébriques dans Z · Utiliser les propriétés élémentaires de divisibilité · Déterminer la
division euclidienne entre deux entiers · Construire des algorithmes permettant d’obtenir les diviseurs d’un entier, le pgcd de deux entiers · Connaı̂tre la définition
et déterminer le PGCD de deux entiers par l’algorithme d’Euclide · Montrer que deux entiers sont premiers entre eux · Utiliser les théorèmes associés aux nombres
premiers entre eux · Résoudre des équations diophantiennes · Connaı̂tre la définition et déterminer le PPCM de deux entiers · Connaı̂tre les propriétés des nombres
premiers et de leur ensemble · Donner et utiliser la décomposition primaire d’un entier naturel · Utiliser les relations de congruence et leurs compatibilités avec les
opérations usuelles
(...)
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1
Chapitre 8
Structure algébrique et premiers exemples
Structure de groupe
1.1
Définition et premiers exemples
Définition Soit G un ensemble non vide pour lequel on définit ∗ une loi de composition interne, c’est à une relation binaire telle
que :
∗ : (x, y) ∈ G × G 7→ x ∗ y ∈ G
On dit que (G, ∗) est un groupe pour la loi ∗ si :
(1) cette loi est associative : ∀ x, y, z ∈ G, x ∗ (y ∗ z) = (x ∗ y) ∗ z
(2) cette loi possède un élément neutre : ∃ e ∈ G, ∀ x ∈ G, x ∗ e = e ∗ x = x
(3) tout élément admet un symétrique par cette loi : ∀ x ∈ G, ∃ sym(x) ∈ G, x ∗ sym(x) = sym(x) ∗ x = e
Remarques
1. Généralement, on commence par vérifier qu’on a bien une loi de composition interne avant de vérifier ces assertions.
2. Si la loi ∗ est commutative, c’est à dire: ∀ x, y ∈ G, x ∗ y = y ∗ x, on pourra dire que (G, ∗) est un groupe commutatif et
dans ce cas, on ne vérifiera les assertions précédentes que pour un côté.
Propriété 1 (unicité des éléments remarquables).
Soit (G, ∗) un groupe. Alors,
(i) l’élément neutre e associé est unique.
(ii) pour tout élément x ∈ G, le symétrique de x est unique.
I Il suffit de supposer qu’il y en a deux et de prouver l’égalité.
En fait, depuis le début de l’année, nous avons déjà rencontré de nombreux ensembles possédant une structure de groupe :
(Z, +) , (Q, +) , (R, +) , (C, +) , (Q∗ , ×) , (Q∗+ , ×) , (R∗ , ×) , (R∗+ , ×) , (C∗ , ×)
Exemple 1
1. On rappelle qu’on note U = {z ∈ C, |z| = 1}. Montrer que (U, ×) est un groupe, appelé groupe des complexes de module 1.
2. Soit E un ensemble quelconque et notons S(E) l’ensemble des bijections de E sur E. Montrer que (S(E), ◦) est un groupe, appelé
groupe des bijections de E ou encore groupe des permutations de E.
Notation Etant donné un groupe, sa loi de composition interne sera souvent notée :
• + si celle-ci est commutative et dans ce cas, e = 0G et sym(x) = −x appelé opposé de x.
• . si on n’a pas d’information sur sa commutativité et dans ce cas, e = 1G et sym(x) = x−1 appelé inverse de x.
1.2
Caractérisation d’un sous-groupe
Définition Soient (G, ∗) un groupe et H ⊂ G. On dit que H est un sous-groupe de G si la loi ∗ induite sur H donne à (H, ∗) une
structure de groupe.
Théorème 2 (caractérisation d’un sous-groupe additif).
Soit G un groupe. Alors,

H ⊂ G (inclusion)



0 ∈ H (élément neutre)
G
H est un sous-groupe de (G, +) ⇔
∀ x, y ∈ H, x + y ∈ H (stabilité pour la loi induite)



∀ x ∈ H, −x ∈ H (stabilité par passage au symérique)
Théorème 3 (caractérisation d’un sous-groupe multiplicatif).
Soit G un groupe. Alors,

H ⊂ G (inclusion)



1 ∈ H (élément neutre)
G
H est un sous-groupe de (G, .) ⇔
∀ x, y ∈ H, x.y ∈ H (stabilité pour la loi induite)



∀ x ∈ H, x−1 ∈ H (stabilité par passage au symérique)
2
Chapitre 8
Structure algébrique et premiers exemples
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Pour démontrer qu’un ensemble donné est un groupe, on pourra bien entendu revenir à la définition d’un tel groupe, mais on préfèrera si
possible le voir comme un sous-groupe d’un groupe donné.
Exemple 2 Soit n ∈ N∗ . On rappelle qu’on note Un = {z ∈ C, z n = 1}. Montrer que Un est un sous-groupe de (C∗ , .).
2
Structure d’anneau
2.1
Définition et premiers exemples
Définition Soit A un ensemble non vide pour lequel on définit + et . deux lois de composition interne. On dit que (A, +, .) est
un anneau pour les lois + et . si :
(1) (A, +) est un groupe commutatif, dont on notera désormais 0A l’élément neutre.
(2) la loi . est associative : ∀ x, y, z ∈ A, x.(y.z) = (x.y).z
(3) cette loi possède un élément neutre qu’on notera désormais 1A : ∀ x ∈ A, x.1A = 1A .x = x
(4) cette loi est distributive par rapport à + : ∀ x, y, z ∈ A, x.(y + z) = x.y + x.z et (y + z).x = y.x + z.x
Remarques
1. Généralement, on commence par vérifier qu’on a bien des lois de composition interne avant de vérifier ces assertions.
2. Si la loi . est commutative, c’est à dire : ∀ x, y ∈ A, x.y = y.x, on pourra dire que (A, +, .) est un anneau commutatif et
dans ce cas, on ne vérifiera les assertions précédentes que pour un côté.
3. Attention, les éléments d’un anneau n’ont pas forcément d’inverse par la loi . !
En fait, depuis le début de l’année, nous avons déjà rencontré de nombreux ensembles possédant une structure d’anneau :
(Z, +, .) , (Q, +, .) , (R, +, .) , (C, +, .)
Exemple 3 Soient n ∈ N et I un intervalle inclus dans R. On considère C n (I, K) l’ensemble des fonctions de classe C n définies sur I à
valeurs dans K. Etablir que (C n (I, K), +, .) est un anneau.
Notation Soit (A, +, ×) un anneau et considérons x ∈ A et n ∈ N, on notera :
nx = x + . . . + x (n fois), et xn = x. . . . .x (n fois), avec la convention x0 = 1A
Propriété 4 (règles de calcul).
On retrouve alors toutes les règles de calcul usuelles :
(i) 0A est absorbant : ∀ x ∈ A, 0A .x = x.0A = 0A .
(ii) soit (x, y) ∈ A2 tel que x et y commutent, alors on a la formule du binôme de Newton :
(x + y)n =
Pn
n k n−k
k=0 (k )x .y
=
Pn
n n−k .y k
k=0 (k )x
(iii) soit (x, y) ∈ A2 tel que x et y commutent, alors on a la formule de factorisation :
xn − y n = (x − y).
Pn−1
k=0
xk .y n−k−1 = (x − y).
Pn−1
k=0
xn−k−1 .y k
I Seul le premier point peut être astucieux ; les autres résultats se démontrent simplement par récurrence.
2.2
Eléments inversibles et premiers exemples de corps commutatifs
Définition Soit (A, +, .) un anneau. On dit qu’un élément a ∈ A∗ est inversible s’il admet un inverse par la loi ., c’est à dire s’il
existe y ∈ A tel que :
x.y = y.x = 1A
Dans ce cas, l’inverse de x sera encore noté x−1 .
Propriété 5 (groupe des éléments inversibles).
Avec les notations de la définition, on pose U(A) l’ensemble des éléments inversibles de A. Alors, (U (A), .) est un groupe, appelé
groupe des éléments inversibles.
I On revient malheureusement à la définition générale d’un groupe...
Définition On appelle finalement corps tout anneau (A, +, .) non réduit à {0A } vérifiant U (A) = A∗ , c’est à dire un anneau
dont tous les éléments non nuls sont inversibles.
3
Chapitre 8
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Propriété 6 (intégrité dans un corps).
Soit (A, +, .) un corps, alors A est intègre, c’est à dire :
∀ x, y ∈ A, x.y = 0A ⇔ x = 0A ou y = 0A
I Si un sens est évident, il suffit de multiplier par x−1 ou y −1 pour obtenir ce résultat.
En fait, depuis le début de l’année, nous avons déjà rencontré de nombreux ensembles possédant une structure de corps :
(Q, +, .) , (R, +, .) , (C, +, .)
3
Cas particulier de l’anneau des entiers relatifs Z
3.1
Présentation et structure
Définition
• Pour tout entier naturel n, on appelle opposé de n le nombre noté −n tel que : n + (−n) = 0.
• On appelle alors ensemble des entiers relatifs l’ensemble Z composé des entiers naturels et de leur opposé.
Propriété 7 (première conséquence).
Dans Z, on note encore + et . les lois d’addition et de multiplication usuelles. Alors, muni de ces deux lois, on admet que (Z, +, .) est
un anneau commutatif .
Remarque Contrairement à R ou C, Z n’est pas un corps commutatif : en effet, ses éléments non nuls n’ont pas de symétrique
dans Z par la loi ×, à l’exception de ±1.
Propriété 8 (seconde conséquence).
Dans Z, on note encore ≥ la relation d’ordre usuelle. Alors, elle permet à Z de vérifier :
(1) toute partie non vide et minorée de Z admet un plus petit élément
(2) toute partie non vide et majorée de Z admet un plus grand élément
I Partant d’une partie A incluse dans Z, on pose A = A− ∪ A+ , puis selon les cas, on se ramène dans N.
Propriété 9 (intégrité).
Soient a, b ∈ Z. Alors, on a encore :
ab = 0 ⇔ a = 0 ou b = 0
On dit encore que Z est un anneau intègre.
3.2
Diviseurs et multiples d’un entier
Définition Soient a, b ∈ Z. On dit que a divise b dans Z, que l’on note a|b, s’il existe q ∈ Z tel que b = aq.
Dans ce cas, on dit que a est un diviseur de b, ou que b est un multiple de a.
Remarque On convient alors de noter aZ l’ensemble des multiples de a, et Db l’ensemble des diviseurs de b. En particulier, on
a immédiatement :
• 0Z = {0} et D0 = Z,
• ±1Z = Z et D±1 = {−1, 1},
• pour tout a ∈ Z, {−1, 1, −a, a} ⊂ Da .
Propriété 10 (propriétés élémentaires).
Soient a, b, c, u, v ∈ Z et n ∈ N. Alors, on a:
(i) a|a
(ii) (a|b et b|a) ⇒ |a| = |b|
(iii) (a|b et b|c) ⇒ a|c
(v) (a|b et a|c) ⇒ a|bu + cv
(iv) a|b ⇒ ac|bc
(vi) a|b ⇒ an |bn
4
Chapitre 8
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I On se ramène simplement à la définition précédente pour démontrer chacune de ces propriétés.
Exemple 4
1. Montrer que pour tout n impair, 8|n2 − 1.
2. Montrer que pour tout n ∈ N, 7|23n − 1.
Remarque Si on restreint la relation de divisibilité ·|· à l’ensemble N∗ , les propriétés précédentes impliquent qu’il s’agit d’une
relation d’ordre partiel :

elle est réflexive d’après (i)



elle est antisymétrique d’après (ii)

et elle est transitive d’après (iii)



mais tous les entiers naturels ne sont pas comparables par cette relation: 2 6 | 3 et 3 6 | 2
Propriété 11 (division et inégalité).
Soient a, b ∈ Z avec b 6= 0 et tels que a|b. Alors, |a| ≤ |b|.
I On revient à la définition de la divisibilité, et on utilise la compatibilité de ≤ et × dans R.
Propriété 12 (caractérisation des entiers associés).
Soient a, b ∈ Z. Alors:
a|b et b|a ⇔ |a| = |b| ⇔ aZ = bZ
Si l’une de ces assertions est vérifiée, on dit alors que a et b sont des entiers associés.
I Notons (i), (ii), (iii) ces assertions, on procèdera de façon cyclique afin de démontrer: (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (i).
3.3
Division euclidienne dans Z et congruence
Théorème 13 (de la division euclidienne).
(i) Soient a, b ∈ N tels que b 6= 0. Alors, il existe un unique couple (q, r) ∈ N2 tel que :
(
a = bq + r
0≤r<b
(ii) Plus généralement, si a, b ∈ Z tels que b 6= 0, alors il existe un unique couple (q, r) ∈ Z × N tel que :
(
a = bq + r
0 ≤ r < |b|
Dans tous les cas, q et r seront appelés le quotient et le reste dans la division euclidienne de a par b.
I Dans le premier point, on s’intéresse d’abord à l’existence, pour laquelle on introduira l’ensemble E = {q ∈ N, bq ≤ a}, puis à
l’unicité. La généralisation découle alors du premier résultat, mais il ne faudra pas oublier de vérifier les deux conditions.
Exemple 5 On considère n ∈ Z.
1. Soit a ∈ Z. Montrer que le reste de la division euclidienne de a2 par 8 est nécessairement 0, 1 ou 4.
2. On suppose que 8|n + 5. Montrer que n ne peut pas s’écrire comme la somme de deux carrés d’entiers.
Définition Soit n ∈ N∗ . On appelle relation de congruence modulo n la relation binaire définie sur Z × Z par :
x ≡ y [n] ⇔ n |x − y
Propriété 14 (représentant irréductible).
Soient n ∈ N∗ et x ∈ Z. Alors, il existe un unique r ∈ J0, n − 1K tel que x ≡ r [n].
5
Chapitre 8
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I On se ramène simplement à la DE par n : le représentant irréductible ne sera rien d’autre que le reste.
Propriété 15 (relation de congruence et opérations).
Soit n ∈ N∗ et considérons a, b, c, d ∈ Z. Alors, les opérations sont compatibles avec la relation de congruence :
(i) a ≡ b [n] et c ≡ d [n] ⇒ a + c ≡ b + d [n]
(ii) a ≡ b [n] et c ≡ d [n] ⇒ ac ≡ bd [n]
(iii) pour tout α ∈ N, a ≡ b [n] ⇒ aα ≡ bα [n].
I On revient à chaque fois sur la définition de la relation de congruence modulo n ∈ N∗ .
Cette compatibilité des opérations avec la relation de congruence nous permettra de ne travailler qu’avec les restes de la division euclidienne.
Exemple 6 Montrer que pour tout n ∈ N, 7 |32n − 2n .
Théorème 16 (caractérisation des sous-groupes additifs).
Soit H un ensemble tel que H ⊂ Z. Alors :
H est un sous-groupe de (Z, +) ⇔ ∃ n ∈ N, H = nZ
I On travaille par double implication: dans le sens direct, une fois le générateur déterminé, on utilisera le théorème de la division
euclidienne pour montrer que H est bien de la forme nZ; pour la réciproque, on revient une nouvelle fois aux propriétés qui définissent
un groupe additif, et on n’oubliera pas de vérifier que H ⊂ Z.
4
PGCD et PPCM de deux entiers
4.1
Définition du PGCD de deux entiers naturels
Définition Soient a, b ∈ N. On appelle alors diviseurs communs à a et b dans N les entiers naturels appartenant à l’ensemble
Da ∩ Db , qu’on notera Da,b .
Propriété 17 (conséquences immédiates).
Soient a, b ∈ N. Alors :
(i) Da,0 = Da
(ii) Da,b est une partie non vide de N puisque 1 ∈ Da,b
(iii) la division euclidienne de a par b donne a = bq + r, avec 0 ≤ r < b, de sorte que: Da,b = Db,r
Définition Soient a, b ∈ N non tous nuls. On appelle alors PGCD de a et b le plus grand commun diviseur de a et b qu’on notera
a ∧ b, c’est à dire : a ∧ b = max(Da,b ).
Théorème 18 (interprétation ensembliste du PGCD).
Soient a, b ∈ N non tous nuls. Alors, il existe un unique entier d ∈ N∗ tel que : aZ + bZ = dZ. Et dans ce cas, d = a ∧ b.
I On procède par existence et unicité : seule l’existence est astucieuse puisqu’il suffit de montrer que aZ + bZ est un sous-groupe
additif de Z. On prendra soin de montrer que sous ces conditions, d 6= 0.
Corollaire 19 (coefficients de Bézout).
Soient a, b ∈ N non tous nuls, et dont on note d = a ∧ b. Alors, il existe (u, v) ∈ Z2 tel que : au + bv = d.
Une telle égalité est appelée égalité de Bézout et le couple (u, v) désigne des coefficients de Bézout.
Remarque On veillera à éviter une erreur courante : la réciproque est généralement fausse.
6
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Propriété 20 (relation entre le PGCD et les diviseurs communs).
Soient a, b ∈ N et d = a ∧ b. Alors, on a : Da,b = Dd .
I On procède par double inclusion : pour le sens direct, il suffit de faire appel à la définition du pgcd vu comme générateur du groupe
aZ + bZ.
Propriété 21 (détermination du PGCD par l’algorithme d’Euclide).
Soient a, b ∈ N non tous nuls. On définit la suite des restes (rn ) par récurrence :
(
r0 = a, r1 = b
∀ n ∈ N, rn+2 est le reste dans la division euclidienne de rn par rn+1
Alors, il existe un rang p à partir duquel la suite est nulle ; et dans ce cas, le PGCD de a et b est le dernier reste non nul :
rp−1 = a ∧ b
I On procède en deux temps : on montre d’abord que (rn ) définit une suite d’entiers strictement décroissante dans N, puis on
démontre l’égalité en utilisant la propriété 9.
Des résultats précédents, on peut donc retenir l’importance de la suite (rn ) dans l’algorithme d’Euclide. D’ailleurs, c’est grâce à elle qu’on
peut, à la main, aller chercher le PGCD et obtenir un couple de coefficients de Bézout:
Exemple 7
1. En utilisant l’algorithme d’Euclide, déterminer le PGCD de 207 et 162.
2. Déterminer alors un couple de coefficients de Bézout associé.
Remarques
1. Dans ce chapitre, on se contente de définir le PGCD de deux entiers a et b, mais il est encore possible d’étendre cette définition
aux entiers a1 , . . . , an .
2. De la même façon, on pourra prolonger toutes ces notions dans Z en considérant simplement le PGCD des entiers a1 , . . . , an
comme le plus grand commun diviseur positif de ces entiers.
4.2
Entiers premiers entre eux
Définition Soient a, b ∈ Z non tous nuls. On dit que a et b sont des entiers premiers entre eux si a ∧ b = 1, c’est à dire que leurs
diviseurs communs sont {−1, 1}.
Théorème 22 (théorème de Bézout).
Soient a, b ∈ Z non tous nuls. Alors : a et b sont des entiers premiers entre eux ⇔ ∃ (u, v) ∈ Z2 , au + bv = 1.
I On travaille par double implication: la première est donnée par les coefficients de Bézout, et pour le sens réciproque, on introduira
d = a ∧ b avant de montrer que d ∈ D1 ...
Remarques
1. Ici encore, on peut étendre cette définition :
les entiers a1 , . . . , an sont premiers entre eux dans leur ensemble si a1 ∧ . . . ∧ an = 1. Par contre, on distinguera la notion
d’entiers premiers entre eux deux à deux tels que pour tous i, j, ai ∧ aj = 1 et on retiendra pour l’année prochaine :
(ai ) premiers entre eux deux à deux ⇒ (ai ) premiers entre eux dans leur ensemble
2. Cette caractérisation des entiers premiers entre eux est fondamentale, car elle va nous permettre de démontrer de nombreux
résultats très pratiques :
Propriété 23 (théorème de Gauss).
(
Soient a, b, c ∈ Z avec a, b non tous nuls. Alors :
a|bc
a∧b=1
⇒ a|c.
I Il suffit d’écrire l’égalité issue du théorème de Bézout et de multiplier par c.
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Propriété 24 (autre conséquence).
(
Soient a, b, c ∈ Z avec a, b non tous nuls. Alors :
a|c et b|c
a∧b=1
⇒ ab|c.
I Il suffit d’écrire l’égalité issue du théorème de Bézout et de multiplier par c.
Propriété 25 (caractérisation du PGCD).

0

a = da
Soient a, b ∈ Z non tous nuls et d ∈ N∗ . Alors : d = a ∧ b ⇔ ∃ (a0 , b0 ) ∈ Z2 , b = db0

 0
a ∧ b0 = 1
.
I On travaillera par double implication...
Remarque Si on considère un nombre rationnel r ∈ Q, il existe donc (a, b) ∈ Z × N∗ tel que :
r=
da0
a0
a
, et dans ce cas, en notant d = a ∧ b, r =
= 0
0
b
db
b
a0
représente la forme irréductible du nombre r.
b0
Exemple 8 On considère l’équation diophantienne (E) ax + by = c avec a, b, c ∈ Z.
On dit alors que
1. Notons d = a ∧ b. Montrer alors que (E) admet une solution dans Z2 si et seulement si d|c.
2. Fixons alors a = 26, b = −20, c = 38 de sorte que:
(E) 26x − 20y = 38
(a) Calculer le PGCD de 26 et 20. En déduire une équation équivalente simplifiée qu’on notera (E 0 ).
(b) Déterminer une solution particulière de (E 0 ).
(c) En déduire l’ensemble des solutions de (E 0 ) dans Z2 .
4.3
Définition du PPCM de deux entiers naturels
Définition Soient a, b ∈ N. On appelle alors multiples communs à a et b dans N les entiers naturels appartenant à l’ensemble
aZ ∩ bZ, qu’on notera Ma,b .
Propriété 26 (conséquences immédiates).
Soient a, b ∈ N. Alors:
(i) Ma,0 = {0}
(ii) Ma,b est non vide puisque {ab} ⊂ Ma,b
Définition Soient a, b ∈ N. On appelle alors PPCM de a et b le plus petit commun multiple de a et b qu’on notera a ∨ b, c’est à
dire : a ∨ b = min(Ma,b ).
Propriété 27 (relation avec le PGCD).
Soient a, b ∈ N non nuls, dont on note d = a ∧ b et m = a ∨ b. Alors :
md = ab
I Le problème se ramène alors à montrer que m = da0 b0 , avec a0 ∧ b0 = 1, est bien le PPCM de a et b.
Remarques
1. Si on fait appel à la caractérisation des sous-groupes additifs de Z, on peut encore voir le PPCM comme l’unique générateur
m ∈ N∗ tel que : aZ ∩ bZ = mZ.
2. Dans ce chapitre, on se contente de définir le PPCM de deux entiers a et b, mais il est encore possible d’étendre cette définition
aux entiers a1 , . . . , an .
3. De la même façon, on pourra prolonger toutes ces notions dans Z en considérant simplement le PPCM des entiers a1 , . . . , an
comme le plus petit commun multiple positif de ces entiers.
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5
Un sous-ensemble particulier : les nombres premiers
5.1
Définition et premiers exemples
Définition Soit p ∈ N. On dit que p est un nombre premier s’il admet exactement deux diviseurs dans N : 1 et lui-même.
Propriété 28 (conséquence immédiate).
Soient a ∈ Z et p un nombre premier. Alors :
p 6 |a ⇔ p ∧ a = 1
I On procède par double implication et le résultat tombe rapidement.
Corollaire 29.
Soient a, b ∈ Z et p un nombre premier. Alors :
p|ab ⇒ p|a ou p|b
I On procède par double implication : dans la réciproque, on fera appel au théorème de Gauss.
Exemple 9 On considère p un nombre premier.
1. En utilisant la formule de Pascal, montrer que les coefficients binomiaux sont des entiers naturels.
2. Montrer que pour tout k ∈ [1..p − 1], p | kp , où kp désigne le coefficient binomial d’indices k et p.
3. En déduire le petit théorème de Fermat :
∀ n ∈ Z, np ≡ n [p]
Et si de plus, p ∧ n = 1, alors np−1 ≡ 1 [p].
Propriété 30 (existence d’un diviseur premier).
Tout nombre entier n ∈ N, n ≥ 2 possède au moins un diviseur premier.
I On procède simplement par récurrence sur n ≥ 2.
Corollaire 31 (ensemble des nombres premiers).
Notons P l’ensemble des nombres premiers. Alors, P est infini.
I On raisonne par l’absurde en supposant que P est fini et on considère n =
5.2
Qk
i=1
pi + 1.
Décomposition primaire d’un entier naturel
Théorème 32 (fondamental de l’arithmétique).
Tout nombre entier n ∈ N − {0, 1} peut s’écrire comme un produit de facteurs premiers positifs:
α
∗
1 α2
k
n = pα
1 p2 . . . pk , avec pi ∈ P deux à deux distincts et αi ∈ N
De plus, cette décomposition est unique à l’ordre près, et elle sera appelée la décomposition primaire de n, dans laquelle les
exposants αi désigneront les valuations associées aux facteurs premiers pi .
I On établit encore l’existence par récurrence sur n ≥ 2, puis on démontrera l’unicité en montrant que s’il y a deux décompositions
primaires, alors elles seront nécessairement égales.
Remarque Dans certains exercices, on pourra définir une décomposition primaire sous la forme :
Y α
n=
pi i
pi ∈P
avec la convention αi = 0, pour les nombres premiers pi qui n’interviennent pas dans la décomposition de n.
Exemple 10 Soient a, b ∈ N − {0, 1}. Montrer que :
a2 |b2 ⇔ a|b
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Chapitre 8
Structure algébrique et premiers exemples
MPSI - Lycée Chrestien de Troyes
Propriété 33 (nombre de diviseurs).
α
1 α2
k
Soit un entier n ∈ N − {0, 1} de décomposition primaire n = pα
1 p2 . . . pk . Alors, le nombre de diviseurs de n est donné par :
Card(Dn ) =
k
Y
(αi + 1)
i=1
I Par unicité de la décomposition primaire, on identifie la forme d’un diviseur quelconque avant de les dénombrer.
Propriété 34 (calcul explicite du PGCD et du PPCM).
(
Soit un entier a, b ∈ N − {0, 1} dont on donne les décompositions primaires :
Q
α
a = pi ∈P pi i
Q
βi
b = pi ∈P pi
avec αi , βi ∈ N.
Alors, on peut obtenir directement le PGCD et le PPCM :
Y min(α ,β )
Y max(α ,β )
i i
i i
a∧b=
pi
, et a ∨ b =
pi
pi ∈P
pi ∈P
I On pose d = a ∧ b et D le produit donné avant de montrer qu’ils sont associés. Pour l’expression du PPCM, on la déduira
simplement de la formule md = ab.
Remarque Avec les notations précédentes, si on suppose par exemple que αi = 0 et βi 6= 0, on montre alors que pi n’interviendra pas
dans le calcul du PGCD, mais sera bien présent dans celui du PPCM. Ainsi, on peut résumer les formules précédentes de cette façon :
• a ∧ b désigne le produit des facteurs premiers communs aux deux décompositions, affectés des puissances minimales,
• a ∨ b désigne le produit des facteurs premiers des deux décompositions affectés des puissances maximales.
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