Structure algébrique et premiers exemples - MPSI

Structure alg´ebrique et premiers exemples
Chapitre 8
Au cours du chapitre pr´ec´edent, nous avons vu quelques rudiments de la th´eorie des ensem-
bles. De la mˆeme fa¸con, nous allons introduire les premi`eres structures alg´ebriques et nous
nous int´eresserons au cas particulier de l’anneau des entiers relatifs. Si cet ensemble est
stable pour les op´erations usuelles, on pourra aussi d´efinir une relation de divisibilit´e qui
nous permettra de d´ecouvrir les propri´et´es fondamentales de l’arithm´etique.
1 Structure de groupe 2
1.1 D´efinition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Caract´erisation d’un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Structure d’anneau 3
2.1 D´efinition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2.2 El´ements inversibles et premiers exemples de corps commutatifs . . . . . . . . 3
3 Cas particulier de l’anneau des entiers relatifs Z4
3.1 Pr´esentation et structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.2 Diviseurs et multiples d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
3.3 Division euclidienne dans Zet congruence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
4 PGCD et PPCM de deux entiers 6
4.1 D´efinition du PGCD de deux entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4.2 Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4.3 D´efinition du PPCM de deux entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
5 Un sous-ensemble particulier : les nombres premiers 9
5.1 D´efinition et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.2 D´ecomposition primaire d’un entier naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Typage dynamique et manipulation des donn´ees structur´ees
Liste non exhaustive des capacit´es attendues
Connaˆıtre les principales structures alg´ebriques ·Connaˆıtre les propri´et´es alg´ebriques dans Z·Utiliser les propri´et´es ´el´ementaires de divisibilit´e ·D´eterminer la
division euclidienne entre deux entiers ·Construire des algorithmes permettant d’obtenir les diviseurs d’un entier, le pgcd de deux entiers ·Connaˆıtre la d´efinition
et d´eterminer le PGCD de deux entiers par l’algorithme d’Euclide ·Montrer que deux entiers sont premiers entre eux ·Utiliser les th´eor`emes associ´es aux nombres
premiers entre eux ·R´esoudre des ´equations diophantiennes ·Connaˆıtre la d´efinition et d´eterminer le PPCM de deux entiers ·Connaˆıtre les propri´et´es des nombres
premiers et de leur ensemble ·Donner et utiliser la d´ecomposition primaire d’un entier naturel ·Utiliser les relations de congruence et leurs compatibilit´es avec les
op´erations usuelles (...)

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Chapitre 8
Structure alg´ebrique et premiers exemples
1 Structure de groupe
1.1 D´efinition et premiers exemples
D´efinition Soit Gun ensemble non vide pour lequel on d´efinit ∗une loi de composition interne, c’est `a une relation binaire telle
que :
∗: (x, y)∈G×G7→ x∗y∈G
On dit que (G, ∗) est un groupe pour la loi ∗si :
(1) cette loi est associative :∀x, y, z ∈G, x ∗(y∗z)=(x∗y)∗z
(2) cette loi poss`ede un ´el´ement neutre :∃e∈G, ∀x∈G, x ∗e=e∗x=x
(3) tout ´el´ement admet un sym´etrique par cette loi : ∀x∈G, ∃sym(x)∈G, x ∗sym(x) = sym(x)∗x=e
Remarques
1. G´en´eralement, on commence par v´erifier qu’on a bien une loi de composition interne avant de v´erifier ces assertions.
2. Si la loi ∗est commutative, c’est `a dire: ∀x, y ∈G, x ∗y=y∗x, on pourra dire que (G, ∗) est un groupe commutatif et
dans ce cas, on ne v´erifiera les assertions pr´ec´edentes que pour un cˆot´e.
Soit (G, ∗) un groupe. Alors,
(i) l’´el´ement neutre eassoci´e est unique.
(ii) pour tout ´el´ement x∈G, le sym´etrique de xest unique.
Propri´et´e 1 (unicit´e des ´el´ements remarquables).
IIl suffit de supposer qu’il y en a deux et de prouver l’´egalit´e.
En fait, depuis le d´ebut de l’ann´ee, nous avons d´ej`a rencontr´e de nombreux ensembles poss´edant une structure de groupe :
(Z,+) ,(Q,+) ,(R,+) ,(C,+) ,(Q∗,×),(Q∗
+,×),(R∗,×),(R∗ +,×),(C∗,×)
Exemple 1
1. On rappelle qu’on note U={z∈C,|z|= 1}. Montrer que (U,×) est un groupe, appel´e groupe des complexes de module 1.
2. Soit Eun ensemble quelconque et notons S(E) l’ensemble des bijections de Esur E. Montrer que (S(E),◦) est un groupe, appel´e
groupe des bijections de Eou encore groupe des permutations de E.
Notation Etant donn´e un groupe, sa loi de composition interne sera souvent not´ee :
•+ si celle-ci est commutative et dans ce cas, e= 0Get sym(x) = −xappel´e oppos´e de x.
•.si on n’a pas d’information sur sa commutativit´e et dans ce cas, e= 1Get sym(x) = x−1appel´e inverse de x.
1.2 Caract´erisation d’un sous-groupe
D´efinition Soient (G, ∗) un groupe et H⊂G. On dit que Hest un sous-groupe de Gsi la loi ∗induite sur Hdonne `a (H, ∗) une
structure de groupe.
Soit Gun groupe. Alors,
Hest un sous-groupe de (G, +) ⇔
H⊂G(inclusion)
0G∈H(´el´ement neutre)
∀x, y ∈H, x +y∈H(stabilit´e pour la loi induite)
∀x∈H, −x∈H(stabilit´e par passage au sym´erique)
Th´eor`eme 2 (caract´erisation d’un sous-groupe additif).
Soit Gun groupe. Alors,
Hest un sous-groupe de (G, .)⇔
H⊂G(inclusion)
1G∈H(´el´ement neutre)
∀x, y ∈H, x.y ∈H(stabilit´e pour la loi induite)
∀x∈H, x−1∈H(stabilit´e par passage au sym´erique)
Th´eor`eme 3 (caract´erisation d’un sous-groupe multiplicatif).
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Chapitre 8
Structure alg´ebrique et premiers exemples
Pour d´emontrer qu’un ensemble donn´e est un groupe, on pourra bien entendu revenir `a la d´efinition d’un tel groupe, mais on pr´ef`erera si
possible le voir comme un sous-groupe d’un groupe donn´e.
Exemple 2 Soit n∈N∗. On rappelle qu’on note Un={z∈C, zn= 1}. Montrer que Unest un sous-groupe de (C∗, .).
2 Structure d’anneau
2.1 D´efinition et premiers exemples
D´efinition Soit Aun ensemble non vide pour lequel on d´efinit + et .deux lois de composition interne. On dit que (A, +, .) est
un anneau pour les lois +et .si :
(1) (A, +) est un groupe commutatif, dont on notera d´esormais 0Al’´el´ement neutre.
(2) la loi .est associative :∀x, y, z ∈A, x.(y.z)=(x.y).z
(3) cette loi poss`ede un ´el´ement neutre qu’on notera d´esormais 1A:∀x∈A, x.1A= 1A.x =x
(4) cette loi est distributive par rapport `a + : ∀x, y, z ∈A, x.(y+z) = x.y +x.z et (y+z).x =y.x +z.x
Remarques
1. G´en´eralement, on commence par v´erifier qu’on a bien des lois de composition interne avant de v´erifier ces assertions.
2. Si la loi .est commutative, c’est `a dire : ∀x, y ∈A, x.y =y.x, on pourra dire que (A, +, .) est un anneau commutatif et
dans ce cas, on ne v´erifiera les assertions pr´ec´edentes que pour un cˆot´e.
3. Attention, les ´el´ements d’un anneau n’ont pas forc´ement d’inverse par la loi .!
En fait, depuis le d´ebut de l’ann´ee, nous avons d´ej`a rencontr´e de nombreux ensembles poss´edant une structure d’anneau :
(Z,+, .),(Q,+, .),(R,+, .),(C,+, .)
Exemple 3 Soient n∈Net Iun intervalle inclus dans R. On consid`ere Cn(I, K) l’ensemble des fonctions de classe Cnd´efinies sur I`a
valeurs dans K. Etablir que (Cn(I, K),+, .) est un anneau.
Notation Soit (A, +,×) un anneau et consid´erons x∈Aet n∈N, on notera :
nx =x+...+x(nfois), et xn=x. . . . .x (nfois), avec la convention x0= 1A
On retrouve alors toutes les r`egles de calcul usuelles :
(i) 0Aest absorbant :∀x∈A, 0A.x =x.0A= 0A.
(ii) soit (x, y)∈A2tel que xet ycommutent, alors on a la formule du binˆome de Newton :
(x+y)n=Pn
k=0(n
k)xk.yn−k=Pn
k=0(n
k)xn−k.yk
(iii) soit (x, y)∈A2tel que xet ycommutent, alors on a la formule de factorisation :
xn−yn= (x−y).Pn−1
k=0 xk.yn−k−1= (x−y).Pn−1 k=0 xn−k−1.yk
Propri´et´e 4 (r`egles de calcul).
ISeul le premier point peut ˆetre astucieux ; les autres r´esultats se d´emontrent simplement par r´ecurrence.
2.2 El´ements inversibles et premiers exemples de corps commutatifs
D´efinition Soit (A, +, .) un anneau. On dit qu’un ´el´ement a∈A∗est inversible s’il admet un inverse par la loi ., c’est `a dire s’il
existe y∈Atel que :
x.y =y.x = 1A
Dans ce cas, l’inverse de xsera encore not´e x−1.
Avec les notations de la d´efinition, on pose U(A) l’ensemble des ´el´ements inversibles de A. Alors, (U(A), .) est un groupe, appel´e
groupe des ´el´ements inversibles.
Propri´et´e 5 (groupe des ´el´ements inversibles).
IOn revient malheureusement `a la d´efinition g´en´erale d’un groupe...
D´efinition On appelle finalement corps tout anneau (A, +, .) non r´eduit `a {0A}v´erifiant U(A) = A∗, c’est `a dire un anneau
dont tous les ´el´ements non nuls sont inversibles.
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Chapitre 8
Structure alg´ebrique et premiers exemples
Soit (A, +, .) un corps, alors Aest int`egre, c’est `a dire :
∀x, y ∈A, x.y = 0A⇔x= 0Aou y= 0A
Propri´et´e 6 (int´egrit´e dans un corps).
ISi un sens est ´evident, il suffit de multiplier par x−1ou y−1pour obtenir ce r´esultat.
En fait, depuis le d´ebut de l’ann´ee, nous avons d´ej`a rencontr´e de nombreux ensembles poss´edant une structure de corps :
(Q,+, .),(R,+, .),(C,+, .)
3 Cas particulier de l’anneau des entiers relatifs Z
3.1 Pr´esentation et structure
D´efinition
•Pour tout entier naturel n, on appelle oppos´e de nle nombre not´e −ntel que : n+ (−n) = 0.
•On appelle alors ensemble des entiers relatifs l’ensemble Zcompos´e des entiers naturels et de leur oppos´e.
Dans Z, on note encore + et .les lois d’addition et de multiplication usuelles. Alors, muni de ces deux lois, on admet que (Z,+, .) est
un anneau commutatif .
Propri´et´e 7 (premi`ere cons´equence).
Remarque Contrairement `a Rou C,Zn’est pas un corps commutatif : en effet, ses ´el´ements non nuls n’ont pas de sym´etrique
dans Zpar la loi ×, `a l’exception de ±1.
Dans Z, on note encore ≥la relation d’ordre usuelle. Alors, elle permet `a Zde v´erifier :
(1) toute partie non vide et minor´ee de Zadmet un plus petit ´el´ement
(2) toute partie non vide et major´ee de Zadmet un plus grand ´el´ement
Propri´et´e 8 (seconde cons´equence).
IPartant d’une partie Aincluse dans Z, on pose A=A−∪A+, puis selon les cas, on se ram`ene dans N.
Soient a, b ∈Z. Alors, on a encore :
ab = 0 ⇔a= 0 ou b= 0
On dit encore que Zest un anneau int`egre.
Propri´et´e 9 (int´egrit´e).
3.2 Diviseurs et multiples d’un entier
D´efinition Soient a, b ∈Z. On dit que adivise bdans Z, que l’on note a|b, s’il existe q∈Ztel que b=aq.
Dans ce cas, on dit que aest un diviseur de b, ou que best un multiple de a.
Remarque On convient alors de noter aZl’ensemble des multiples de a, et Dbl’ensemble des diviseurs de b. En particulier, on
a imm´ediatement :
•0Z={0}et D0=Z,
•±1Z=Zet D±1={−1,1},
•pour tout a∈Z,{−1,1,−a, a} ⊂ Da.
Soient a, b, c, u, v ∈Zet n∈N. Alors, on a:
(i)a|a(ii) (a|bet b|a)⇒ |a|=|b|(iii) (a|bet b|c)⇒a|c(iv)a|b⇒ac|bc
(v) (a|bet a|c)⇒a|bu +cv (vi)a|b⇒an|bn
Propri´et´e 10 (propri´et´es ´el´ementaires).
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Structure alg´ebrique et premiers exemples
IOn se ram`ene simplement `a la d´efinition pr´ec´edente pour d´emontrer chacune de ces propri´et´es.
Exemple 4
1. Montrer que pour tout nimpair, 8|n2−1.
2. Montrer que pour tout n∈N, 7|23n−1.
Remarque Si on restreint la relation de divisibilit´e ·|· `a l’ensemble N∗, les propri´et´es pr´ec´edentes impliquent qu’il s’agit d’une
relation d’ordre partiel :
elle est r´eflexive d’apr`es (i)
elle est antisym´etrique d’apr`es (ii)
et elle est transitive d’apr`es (iii)
mais tous les entiers naturels ne sont pas comparables par cette relation: 2 6 | 3 et 3 6 | 2
Soient a, b ∈Zavec b6= 0 et tels que a|b. Alors, |a|≤|b|.
Propri´et´e 11 (division et in´egalit´e).
IOn revient `a la d´efinition de la divisibilit´e, et on utilise la compatibilit´e de ≤et ×dans R.
Soient a, b ∈Z. Alors:
a|bet b|a⇔ |a|=|b| ⇔ aZ=bZ
Si l’une de ces assertions est v´erifi´ee, on dit alors que aet bsont des entiers associ´es.
Propri´et´e 12 (caract´erisation des entiers associ´es).
INotons (i),(ii),(iii)ces assertions, on proc`edera de fa¸con cyclique afin de d´emontrer: (i)⇒(ii)⇒(iii)⇒(i).
3.3 Division euclidienne dans Zet congruence
(i) Soient a, b ∈Ntels que b6= 0. Alors, il existe un unique couple (q, r)∈N2tel que :
(a=bq +r
0≤r < b
(ii) Plus g´en´eralement, si a, b ∈Ztels que b6= 0, alors il existe un unique couple (q, r)∈Z×Ntel que :
(a=bq +r
0≤r < |b|
Dans tous les cas, qet rseront appel´es le quotient et le reste dans la division euclidienne de apar b.
Th´eor`eme 13 (de la division euclidienne).
IDans le premier point, on s’int´eresse d’abord `a l’existence, pour laquelle on introduira l’ensemble E={q∈N, bq ≤a}, puis `a
l’unicit´e. La g´en´eralisation d´ecoule alors du premier r´esultat, mais il ne faudra pas oublier de v´erifier les deux conditions.
Exemple 5 On consid`ere n∈Z.
1. Soit a∈Z. Montrer que le reste de la division euclidienne de a2par 8 est n´ecessairement 0,1 ou 4.
2. On suppose que 8|n+ 5. Montrer que nne peut pas s’´ecrire comme la somme de deux carr´es d’entiers.
D´efinition Soit n∈N∗. On appelle relation de congruence modulo nla relation binaire d´efinie sur Z×Zpar :
x≡y[n]⇔n|x−y
Soient n∈N∗et x∈Z. Alors, il existe un unique r∈J0, n −1Ktel que x≡r[n].
Propri´et´e 14 (repr´esentant irr´eductible).
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