Mathématiques Spéciales.

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Compléments d’Algèbre Linéaire : Résumé
Ce chapitre expose les points du programme de deuxième année, mais rappelle également, par
souci de cohérence, quelques notions de base de première année.
Les espaces vectoriels considérés dans ce chapitre sont définis sur un corps Kde caractéristique
0.
Kdésigne un corps de caractéristique nulle, et Eest un K-espace vectoriel.
1Familles libres, familles génératrices, bases
Définition 1 Combinaison linéaire
Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E. On appelle combinaison linéaire de cette famille tout vecteur
de Ede la forme : X
i∈I
λixi, où (λi)i∈Iest une famille d’éléments de Kà support fini, c’est-à-dire telle
que l’ensemble {i∈I / λi6= 0}est une partie finie de I.
Notation 1
On note K(I)l’ensemble des familles d’éléments de Kà support fini. K(I)est un sous-espace vectoriel de
K(I).
Définition 2
•(xi)i∈I, famille de vecteurs de E, est libre si, et seulement si, quelle que soit la famille (λi)i∈I∈K(I),
X
i∈I
λixi= 0E=⇒(∀i∈I, λi= 0).
•Les xi, i ∈I, sont linéairement indépendants si, et seulement si, la famille (xi)i∈Iest libre.
•Si une famille n’est pas libre, on dit qu’elle est liée.
Remarque 1
On constate que :
si Iest fini, on retrouve les définitions de famille libre et de famille liée vue en première années ;
(xi)i∈I, famille de vecteurs de Ede cardinal quelconque, est libre si, et seulement si, toutes ses
sous-familles finies sont libres.
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Proposition 1
•Si une famille est libre, toute famille obtenue en permutant ses éléments est libre, le fait qu’une
famille soit libre ne dépend pas de l’ordre de ses éléments.
•Toute famille contenue dans une famille libre est libre.
•Toute famille contenant une famille liée est liée. (C’est la transposée de l’implication précédente).
En particulier, toute famille contenant le vecteur nul est liée.
•Une famille de deux vecteurs est liée si, et seulement si, ces deux vecteurs sont colinéaires.
•Une famille non injective (autrement dit qui contient plusieurs fois le même élément) est liée.
b
Proposition 2
Une famille (xi)i∈Iest liée si, et seulement si, l’un au moins des xiest combinaison linéaire des autres.
b
Lemme 1
Soit (xi)i∈Iune famille de vecteurs de E. Le sous-espace vectoriel engendré par {xi, i ∈I}, c’est-à-dire
le plus petit sous-espace de Equi contient cet ensemble, est l’ensemble des combinaisons linéaire de la
famille (xi)i∈I.
Définition 3
Une famille (xi)i∈Ide vecteurs de Eest une famille génératrice de Esi, et seulement si, le sous-
espace vectoriel Vect({xi, i ∈I})est Elui-même, c’est-à-dire si, et seulement si, tout élément de E
est combinaison linéaire de (xi)i∈I.
Définition 4
Soit e= (ei)i∈Iune base de E. Pour tout vecteur xde E, il existe une unique famille (xi)i∈Ià support
fini d’éléments de Ktelle que :
x=X
i∈I
xiei.
Cette famille est appelée la famille des composantes ou des coordonnées du vecteur xdans la base e.
Exemple 1
•(Xn)n∈Nest une base de K[X].
•((δi,j )16i6n)16j6nest une base de Kn.
Les bases de chacun de ces espaces vectoriels sont appelées leurs bases canoniques respectives.
Exemple 2
Pour chaque (i, j)∈J1, nK×J1, pK, on note Ei,j la matrice de Mn,p(K)dont tous les coefficients sont
nuls, sauf celui de la ligne iet de la colonne j, qui vaut 1.
La famille (Ei,j )(i,j)∈J1,nK×J1,pKdes matrices de Mn,p(K)est une base, dite base canoniques, de cet espace
vectoriel.
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Proposition 3
Si dim E=net si eest dite famille de nvecteurs de E, alors il y a équivalence entre
1. eest une base de E2. eest une famille libre 3. eest une famille génératrice de
E.
b
Proposition 4
Étant donné deux K-espace vectoriels de Eet Fest une base (ei)i∈Ide Eet une famille (fi)i∈Ide
vecteurs de F, il existe une application linéaire uet une seule de Edans F, telle que :
∀i∈I, u(ei) = fi.
b
Proposition 5
Soit v= (v1, v2, . . . , vp)une famille donnée de pvecteurs du K-espace vectoriel E. On note ε= (ε1, . . . , εp)
la base canonique de Kp. Il existe une unique application linéaire ude Kpdans Etelle que ∀j∈
J1, pK, u(εj) = uj. Cette application vérifie :
∀x= (x1, . . . , xp)∈Kp, u(x) =
p
X
i=1
xivi;
Im u= Vect(v1, . . . , vp).uest surjective si, et seulement si, vest génératrice ;
uest injective si, et seulement si, vest libre ;
uest bijective si, et seulement si, vest une base de E.b
2Somme et somme directe d’une famille finie de sous-espaces vectoriels
Définition 5
Soit (Ei)i∈J1,nKune famille de sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme de ces sous-espaces
vectoriels on note
n
X
i=1
Ei, le sous-espace vectoriel engendré par la réunion des Ei:
n
X
i=1
Ei= Vect(
n
[
i=1
Ei).
Vocabulaire 1
L’application "somme de sous-espace vectoriels" est justifiée par la caractérisation suivante :
Proposition 6
n
X
i=1
Eiest l’ensemble des sommes de vecteurs des Eiautrement dit :
n
X
i=1
Ei=(n
X
i=1
xi,où ∀i∈J1, nK, x ∈Ei).
b
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Définition 6
La somme des sous-espaces vectoriels de la famille (Ei)i∈J1,nKest directe si, et seulement si :
∀(x1, x2, . . . , xn)∈E1× · · · × En,
n
X
i=1
xi= 0E=⇒(∀i∈J1, nK, xi= 0E).
Lorsque cette condition est remplie, on note la somme de ces sous-espaces vectoriel :
n
M
i=1
Ei.
Proposition 7
La famille (Ei)i∈J1,nKest en somme directe si, et seulement si, tout vecteur xde
n
X
i=1
Eise décompose de
manière unique sous la forme :
x=
n
X
i=1
xi,où (xi)i∈J1,nK∈E1×E2× · · · × En
b
Définition 7
Les sous-espaces vectoriels (Ei)i∈J1,nKde Esont supplémentaires si, et seulement si, leur somme est
directe et égale à E.
Dans ce cas, E=
n
M
i=1
Ei.
Proposition 8
Tout sous-espace vectoriel d’un K-espace vectoriel de dimension finie admet un supplémentaire. b
Exemple 3
Dans l’espace vectoriel K[X], un polynôme Pde degré n+ 1 étant donné, le sous-espace vectoriel K[X]P,
constitué des multiples de P, et le sous-espace vectoriel Kn[X]des polynômes de degré inférieur ou égale
ànsont supplémentaires : K[X] = Kn[X]⊕K[X]P.
Proposition 9
Les sous-espaces vectoriels (Ei)i∈J1,nKde Esont supplémentaires si, et seulement si :
∀x∈E, ∃!(Ei)i∈J1,nK∈E1×E2× · · · × Entel que x=
n
X
i=1
xi.
b
Proposition 10
Lorsque E=
n
M
i=1
Ei, chaque vecteur xde Es’écrit, de manière unique :
x=
n
X
i=1
xi,où (xi)i∈J1,nK∈
n
Y
i=1
Ei.
Pour tout i∈J1, nK, notons pil’application de Edans Edéfinie par : pi(x) = xi.b
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∀i∈J1, nK, piest un endomorphisme de E;
∀i∈J1, nK, pi◦pi=pi(piest un projecteur) ;
∀(i, j)∈J1, nK2,(i6=j=⇒pi◦pj= 0L(E));
n
X
i=1
pi= IdE.
b
Définition 8
La famille des (pi)i∈J1,nKest la famille des projecteurs de Eassociée à la décomposition E=
n
M
i=1
Ei.
Proposition 11
Si E=
n
M
i=1
Eialors, pour toute famille uid’application linéaires de Eidans un espace vectoriel F, il
existe une application linéaire unique ude Edans Ftelle que, pour tout i, uisoit la restriction de uà
Ei.b
Théorème 1
Soit Eun K-espace vectoriel de dimension finie et (Ei)i∈J1,nKune famille de nsous-espaces vectoriels de
E, de base respectives bi,16i6n.
Si la somme des (E)i∈J1,nKest directe, alors b=
n
[
i=1
biest une base de
n
M
i=1
Ei.
Si les Ei,16i6n, sont supplémentaires, alors b=
n
[
i=1
biest une base de Ei, dite base adaptée à la
décomposition E=
n
M
i=1
Ei.
Corollaire 1
Sous les mêmes hypothèses, la somme des (E)i∈J1,nKest directe si, et seulement si,
dim n
X
i=1
Ei!=
n
X
i=1
dim Ei.
Corollaire 2
Les conditions suivantes sont équivalentes :
1. E=
n
M
i=1
Ei.
2. Les (E)i∈J1,nKsont en somme directe et dim E=
n
X
i=1
dim Ei.
3. E=
n
X
i=1
Eiet dim E=
n
X
i=1
dim Ei.
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