1. Géométrie affine

1.
Géométrie affine
1.2. Sous espaces anes, intersection et parallélisme
Exercice 1.
(Exemples de sous espaces anes)
(1) Montrer qu'un espace vectoriel
iquement associé à
→
(E, +, .)
dénit un espace ane
(E, E, +)
canon-
E.
Les axiomes des espaces anes découlent directement des axiomes des es-
paces vectoriels.
R4 [X]
(2) On note
l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur à 4. Montrer
que
E = {P ∈ R4 [X] | P (2) = 4}
est un sous espace ane de l'espace ane canonique associé à
R4 [X].
Quelle est
sa dimension ?
→
4
On considère la forme linéaire
appartient à
E
δ2
2.
évaluation en
Le polynôme constant
et l'on a la décomposition
E = 4 + ker δ2 = 4 + {P ∈ R4 [X] | P (2) = 0}
Le noyau
E
que
ker δ2 est un sous espace vectoriel de R4 [X]. Cette décomposition montre
R4 [X] de
est un sous espace ane de l'espace ane canonique associé à
dimension 3.
(3) Soit
K
un corps et
n≥1
colonnes à coecients dans
Kn
A une matrice à m lignes et n
B de Km . On considère la partie de
un entier. On considère
K
et un vecteur
dénie par
S = {X ∈ Kn | AX = B}
Dans quel cas
S
est il vide ? dans le cas contraire montrer que
espace ane de l'espace ane canonique associé à
Kn .
S
est un sous
Quelle est sa direction et
sa dimension ?
→
Si le vecteur
Supposons donc
B
B
n'appartient pas à l'image de
dans l'image de
A.
Soit
X0
A,
l'ensemble
S
est vide.
une solution. On vérie que
S = X0 + ker A
S est
n − rangA.
ce qui montre que
dimension
(4) Soit
a
et
b
un sous espace ane de
(Kn , Kn , +)
dirigé par
deux réels. Montrer que l'ensemble des suites
S = {(un ) ∈ RN | ∀n ∈ N, un+1 = aun + b}
est un sous espace ane de l'espace des suites. Préciser sa dimension.
→
Si
a=1
alors les suites considérées sont arithmétiques ainsi
S = {(un ) ∈ RN | ∀n ∈ N, un = u0 + nb} = {n → nb} + R
Ceci montre que
S
est un espace ane de dimension 1.
1
ker A
de
2
(5)
Si a 6= 1, on cherche une solution particulière par exemple la suite constante
b
) appartient S .
(αn = 1−a
b
Soit (un ) une suite de S , considérons la diérence (vn = un −
1−a ). C'est une
n
suite géométrique de raison a en particulier (vn = v0 a ). On déduit de cela
b
S = (αn =
)n∈N + R(an )n∈N ,
1−a
S est donc un espace ane de dimension 1 si a 6= 0 et de dimension 0 si a = 0.
~ +) un espace ane. Déterminer le sous espace ane de X engendré
Soit (X, E,
par une famille non vide (Ai )i∈I de X .
→ Soit i0 ∈ I . Le sous espace ane
−−−→
Ai0 + Vect(Ai Ai0 , i ∈ I)
Ai , il contient donc par dénition l'espace engendré par
la famille (Ai )i∈I noté < (Ai )i∈I >. Néanmoins, la direction de < (Ai )i∈I >,
−−−→
contient nécessairement les vecteurs Ai Ai0 d'où l'égalité.
contient tous les points
Exercice 2
(1) Soit
(Intersection)
Y
et
Z
.
Soit
~ +)
(X, E,
un espace ane.
deux sous espaces anes. Soit
A∈Y
et
B ∈ Z . Montrer l'équivalence
entre
(a)
(b)
Y ∩ Z 6= ∅
−−→ ~
~Z
AB ∈ EY + E
(2) En dimension 3 et pour deux droites non parallèles
D1 = A + K~u et D2 = B + K~v
montrer que
(3)
−−→
D1 ∩ D2 6= ∅ ⇔ (AB, ~u, ~v ) est liée.
~ Y et E
~Z
Soit Y et Z deux sous espaces anes tels que E
~ . En ce cas Y ∩ Z est un point.
supplémentaires de E
soient deux sous espaces
→ Supposons que l'intersection Y ∩ Z soit non vide. Considérons un point M ∈ Y ∩ Z .
−−→
~ Y , de même les
A et M appartiennent à Y donc le vecteur AM appartient à E
−−→
~ Z . Par la relation
points B et M appartiennent à Z donc le vecteur M B appartient à E
−−→ −−→ −−→ ~
~Z.
de Chasles AB = AM + M B ∈ EY + E
−−→
~Y + E
~ Z . Par conRéciproquement supposons que le vecteur AB appartiennent à E
Les points
séquent il s'écrit sous la forme
−−→
AB = ~u + ~v
Comme Y et Z sont deux espaces anes, notons N le point de Y déni par A + ~
u et M
−−→
−−→
le point de Z déni par B − ~
v . Montrons que M = N . Nous avons ~u = AN et ~v = M B
−−→ −−→ −−→
−−→ −−→ −−→ −−→
ainsi que AB = AN + M B or par la relation de Chasles AB = AN + N M + M B , donc
−−→
N M = 0 donc les points N et M sont égaux donc l'intersection de Y et Z est non vide.
→
En dimension 3 et pour deux droites non parallèles
D1 = A + K~u
on en déduit que
−−→ −−→
−−→
D1 ∩ D2 6= ∅ ⇔ AB ∈ Vect(~u, ~v ) ⇔ (AB, ~u, ~v ) est
liée.
et
D2 = B + K~v
3
~ Y et E
~ Z sont deux sous
Z , les espaces E
−−→
~
~ Z donc par la
espaces supplémentaires de
donc le vecteur AB appartient à EY + E
première question l'intersection est non vide. Si A et B sont deux points d'intersection
−−→
alors AB appartient à l'intersection EY ∩ EZ qui est nulle car les espaces sont en somme
directe. Les ensembles Y et Z s'intersectent en un unique point.
→
Considérons deux points
A
et
B
de
Y
et
~
E
Exercice 3
Z
(Dimension)
.
Soit
~ +)
(X, E,
un espace ane de dimension nie. Soit
Y
et
deux sous espaces anes. Montrer que
(1) Si
Y ∩ Z 6= ∅
alors
dim < Y ∪ Z >= dim Y + dim Z − dim(Y ∩ Z).
(2) Si
Y ∩Z =∅
alors
~Y ∩ E
~Z) + 1
dim < Y ∪ Z >= dim Y + dim Z − dim(E
où
<Y ∪Z >
est l'ensemble des points de l'espace ane engendré par
Y
et
Z.
→ Par dénition la dimension dim < Y ∪ Z > est la dimension de la direction de
< Y ∪ Z >. Nous devons donc l'identier.
• Si l'intersection est non vide, alors considérons un point M de l'intersection Y ∩ Z . On
~ Y et Z = M + E
~ Z . Montrons que < Y ∪ Z >= M + E
~Y + E
~Z.
a donc Y = M + E
On procède par double inclusion : tout d'abord nous avons
~Y + E
~Z
Y ⊂M +E
~Y + E
~ Z , donc par
Y ∪Z ⊂M +E
~ <Y ∪Z> la
Réciproquement, si on note E
donc
et
~Y + E
~Z,
Z ⊂M +E
~Y + E
~Z.
< Y ∪ Z >⊂ M + E
de < Y ∪ Z >, alors
dénition,
direction
~ <Y ∪Z> .
< Y ∪ Z >= M + E
~Y ⊂ M + E
~ <Y ∪Z> donc E
~Y ⊂ E
~ <Y ∪Z> et de même E
~Z ⊂ E
~ <Y ∪Z> , ce qui
Y = M +E
~
~
~
entraîne EY + EZ ⊂ E<Y ∪Z> . La formule suit de la formule analogue en algèbre linéaire.
Or
•
Supponsons l'intersection vide. Considérons
rection de
<Y ∪Z >
A ∈ Y, B ∈ Z
et montrons que la di-
est
−−−−−−−→ ~
−→
~ Z ⊕ K−
< Y ∪ Z > = EY + E
AB.
Si c'est le cas alors la formule suit.
−−−−−−→ ~
−−−−−−−→
−−→
−−−−−−−→
~Y ⊂ −
E
< Y ∪ Z >, E
Z ⊂ < Y ∪ Z > et KAB ⊂ < Y ∪ Z > donc
−
−
→
−
−
−
−
−
−
−
→
~Y + E
~ Z ⊕ KAB ⊂ < Y ∪ Z >.
E
−→
~Y + E
~ Z + K−
Réciproquement A + E
AB est un sous espace ane de X , qui contient Y et
Z donc qui contient par dénition le sous espace ane engendré < Y ∪ Z >. Ceci fournit
Remarquons que
donc l'égalité
−−−−−−−→ ~
−→
~ Z + K−
< Y ∪ Z > = EY + E
AB.
−−→
~Y + E
~Z
Il reste à montrer que la somme est directe. Si le vecteur AB appartient à E
−−→
AB = ~u + ~v
alors
4
~Y
~u ∈ E
avec
et
~Z.
~v ∈ E
Par conséquent on a
−−→
A + (~u + ~v ) = A + AB = B
ce qui donne
or
A + ~u
appartient à
Exercice 4.
A + ~u = B − ~v
Y , B − ~v appartient à Z et Y ∩ Z = ∅,
contradiction.
Prouver les assertions suivantes :
Par tout point d'un plan ane , il passe une et une seule droite parallèle à une droite
donnée.
Deux droites parallèles à une même troisième sont parallèles entre elles.
Deux droites parallèles d'un plan ane ne se coupent pas ou sont confondues.
Deux droites disjointes d'un plan ane sont parallèles.
Dans un espace ane de dimension 3, deux plans anes non parallèles sont concourants.
~ passe
→ Soit P un plan ane, soit A un point et D une droite de P . La droite A + D
0
0
par A et est parallèle à D . Si D est une autre droite convenable, alors la direction de D
0
~
est celle de D de plus passant par A on a D = A + D, d'où l'unicité.
→
Si deux droites sont parallèles à une même troisième, ces deux droites ont la même
direction, elles sont donc parallèles.
→
Considérons deux droites distinctes
sont pas parallèles alors
→
−
D1
et
→
−
D2
D1
et
D2
dans un plan ane. Si ces droites ne
sont deux droites vectorielles distinctes, elles engen-
drent donc la direction du plan ane et par l'exercice précédent, ces droites sont donc
concourantes.
→
Même raisonnement.
Exercice 5.
(a, b) ∈
On se place dans
R2 pour que
D:
R3 .
Donner une condition nécessaire et susante sur
x = 2z + 1
,
y = az − 2
et
0
D :
x = bz − 3
y = 4z + 1
soient deux droites parallèles.
→
On écrit


 
1
2



−2
D=
+R a 
0
1
Pour que
D
et
D0
D0 =
−3
1


b
+ R 4 
1
soient parallèles il faut et il sut que ces deux droites aient même
direction, ce qui équivaut à
Exercice 6.
et
a=4
et
b = 2.
3
On se place dans R . Donner une condition nécessaire et susante sur
pour que les droites
D:
x = az − 1
,
y = 2z + 3
et
D0 :
x=z−2
y = 3z − 1
a∈R
5
soient coplanaires.
→
On écrit


 
−1
a
D =  3  + R 2 
0
1

et

 
−2
1
D0 =  −1  + R  3 
0
1
Ces droites ne sont pas parallèles car leur direction ne sont pas égales (les vecteurs
directeurs ne sont pas colinéaires). Par la formule de la dimension, elles sont donc
coplanaires si et seulement si leur intersection est non
vide etpar l'exercice
précédent
 elles
−1
−2
A =  3  ∈ D, B =  −1  ∈ D0 ,
0
0

sont concourantes si et seulement si en notant

−1 a 1
−−→ ~ ~ 0
det(AB, D, D ) = det  −4 2 3  = −3 + 4a = 0,
0 1 1
Exercice 7
(Parallélisme)
.
soit
a = 3/4.
Considérons un espace ane de dimension 3.
0
0
(1) Soit D et D deux droites parallèles, P un plan contenant D et P un plan
0
0
contenant D . On suppose P et P non parallèles. Montrer que l'intersection
P ∩ P 0 et D sont parallèles.
P
P ∩Q
(2) Soit
(3) Soit
et
et
P 0 deux plans parallèles
P 0 ∩ Q sont parallèles.
et
Q
un plan non parallèle à
P.
Montrer que
P , Q, R trois plans deux à deux non parallèles. Montrer que leur intersection
deux à deux sont trois droites concourantes ou parallèles.
∆ = P ∩ P 0 . Soient D1 et
D2 deux droites concourantes et non confondues. On note A1 et A2 (respective0
0
ment A1 et A2 ) les points d'intersection respectifs de D1 , D2 avec P (respective0
0 0
ment P ). Montrer que les droites (A1 A2 ) et (A1 A2 ) sont parallèles ou se coupent
en un point de ∆.
(4) Soient
P
et
P0
deux plans non parallèles d'intersection
→ Par l'exercice 4, les deux plans anes se coupent en une droite de direction P~ ∩ P~ 0 .
0
0
Les droites parallèles D et D sont contenues dans P et P leur direction commune
0
est donc contenue dans les directions de P et P . Par conséquent par égalité de dimen~ ∩ P~ 0 = D
~ . On en déduit donc que l'intersection P ∩ P 0 est parallèle à D et D0 .
sion on a P
→ Notons tout d'abord que les plans n'étant pas parallèles (dans un espace de dimenP ∩ Q et P 0 ∩ Q sont non vides et leur direction sont égales (inclusion et égalité
sion 3),
de dimension)
~ = P~ 0 ∩ Q
~
P~ ∩ Q
P et P 0 sont parallèles.
→ Supposons que les droites P ∩ Q et P ∩ R sont concourantes alors P ∩ Q ∩ R
non vide. Donc les droites P ∩ Q, P ∩ R et Q ∩ R sont concourantes.
car
est
6
Supposons que les droites
Par conséquent
P ∩ Q et P ∩ R sont parallèles,
~ = P~ ∩ R
~ = Vect(~u).
P~ ∩ Q
~ ∩R
~
~u ∈ P~ ∩ Q
alors
et donc
~ ∩R
~ = Vect(~u)
Q
par inclusion est égalité de dimension. Ceci montre que les trois droites sont parallèles.
→ On considère le plan P ” engendré par les droites concourantes et non confondues
D1 et D2 . L'intersection P ” ∩ P est donc la droite (A1 A2 ). L'intersection P 0 ∩ P est la
0 0
droite (A1 A2 ). On prouve le point 4, en appliquant la question précédente à ces trois
plans.
Exercice 8.
Dans un espace ane
X
de dimension 3, on considère un plan ane
O n'appartenant pas à P , deux droites
Q =< O, D > et Q0 =< O, D0 > et ∆ = Q ∩ Q0 .
un point
(1) Donner les dimensions de
(2) Montrer que
∆
Q, Q0
et
distinctes
D
0
et D de
P.
P,
Considérons
∆.
est faiblement parallèle à
P
si et seulement si les droites
D
et
D0
sont parallèles.
→
Par la formule de la dimension les espaces
Q
et
Q0
sont tous les deux de dimension
O n'appartenant à aucune des deux droites). L'intersection de Q avec P est
D, l'intersection de Q0 avec P est la droite D0 . Si les droites D et D0 sont égales
alors ces plans sont confondus (∆ est alors de dimension 2), sinon ils sont distincts et
leur intersection ∆ est une droite, espace ane de dimension 1.
0
0
Si les droites D et D sont parallèles alors la direction de l'intersection Q ∩ Q contient
~
~
D et par égalité de dimension cette intersection est dirigée par D ce qui montre que ∆
est faiblement parallèle à P .
0
Si les deux droites D et D ne sont pas parallèles, elles sont donc concourantes (exercices précédents) en un points Ω. La droite d'intersection ∆ est donc la droite OΩ, elle
intersecte P en Ω, elle peut être faiblement parallèle à P sinon elle serait incluse dans P
ce qui n'est pas le cas car elle passe par O non contenu dans P .
2 (le point
la droite