⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑬
1. 3) Champ créé par une distribution de charges continue
Distribution linéique de charges
𝑴
Les charges sont disposées sur une ligne
Chaque élément
la charge
avec la densité linéique .
𝒓
de la ligne, de centre
et quasi-ponctuel, porte
et crée le champ élémentaire ⃗⃗⃗⃗⃗ en
:
⃗⃗⃗⃗⃗
Le champ total en
𝚪
𝑷
𝒅𝒍
⃗
𝒅𝒒
𝝀 𝒅𝒍
est la somme (intégrale pour une sommation continue) de tous les
champs élémentaires créés par les éléments
⃗
formant la ligne .
⃗
∫
Application 1: Champ électrostatique créé par un fil
1) Calculer, en tout point
de longueur finie
Soit
de l’espace, le champ électrique
créé par un fil rectiligne
, portant une densité linéique de charges
la projection de
sur la droite
on posera :
𝑴
𝜽𝑨
𝜽
𝒚
𝜽𝑩
𝑨
𝑩
𝑷
𝟐𝒂
𝑶
𝒙
2) On examinera les cas particuliers suivants :
a) le point
est dans le plan médiateur de
b) le fil a une longueur infinie.
1) Calcul du champ E en M.
1) Soit ⃗⃗⃗⃗⃗ le champ créé par un élément de fil de longueur
⃗⃗⃗⃗⃗
Les coordonnées de
A.ELFANAOUI
et
autour de
.
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
sont :
Page 1
{
{
{
Donc ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
{
√
⃗⃗⃗⃗⃗
(
)
√
Première méthode :
(
√
∫
{
∫
∫
∫
[ (
{
)
((
)
(
{
(
)
(
)
)
]
]
(
)
) )
(
√
√
√
√
(
(
)
[ (
(
{
(
{
√
{
)
)
)
)
)
Deuxième méthode :
√
⃗⃗⃗⃗⃗
√
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗
(
(
√
√
)
)
(
(
A.ELFANAOUI
)
)
Page 2
(
)
⃗⃗⃗⃗⃗
(
⃗⃗⃗⃗⃗
)
(
)
{
∫
∫
∫
{
∫
[
]
[
{
{
]
(
)
(
)
(
{
(
(
√
√
√
√
√
(
{
√
√
√
)
)
)
)
2) Cas particuliers
a)
sur le plan médiateur de
{
A.ELFANAOUI
√
Page 3
b) Le fil a une longueur infinie :
{
1: Champ électrostatique créé par une spire chargée
On considère une spire circulaire de rayon
centre , incluse dans le plan
, de
et d’axe de symétrie
𝑹
. Cette spire porte une charge positive
de révolution
𝑴
𝒛
𝑶
répartie uniformément avec la densité linéique de
charge . On se propose d’étudier le champ sur l’axe
𝝀
.
Déterminer ( ).
A chaque élément
par rapport à
du fil, on peut faire correspondre un élément
symétrique
.
Par raison de symétrie, seule la composante de ⃗ sur l’axe
⃗ intervient : ⃗ est
porté par ⃗
L’ élément
crée ⃗ au point
:
𝑷
𝑹
Avec
et
√
𝜶
𝑶
𝒛
√
𝝀
√
𝑴
𝒅𝑬𝒛
⃗⃗⃗⃗⃗
𝒅𝑬
√
∫
√
∫
√
∫
√
√
√
⃗⃗
⃗
√
A.ELFANAOUI
Page 4
𝒛
Distribution surfacique de charges
Les charges sont disposées sur une surface
. Chaque élément
de la surface, de centre
et quasi-ponctuel,
et crée le champ élémentaire ⃗⃗⃗⃗⃗ en
:
porte la charge
⃗⃗⃗⃗⃗
Le champ total en
avec la densité surfacique
⃗
est la somme (intégrale pour une sommation
continue) de tous les champs élémentaires créés par les éléments
formant la surface S.
⃗
∬
⃗
Distribution volumique de charges
Les charges sont disposées sur un volume
Chaque élément
charge
avec la densité volumique
.
du volume, de centre
et quasi-ponctuel, porte la
et crée le champ élémentaire ⃗⃗⃗⃗⃗ en
:
⃗⃗⃗⃗⃗
Le champ total en
⃗
est la somme (intégrale pour une sommation
continue) de tous les champs élémentaires créés par les éléments
formant le volume .
⃗
∭
⃗
1.4) Symétrie et invariance du champ électrostatique
1.4.1 Symétrie
a. Plans de symétrie
Si la distribution de charges admet un plan de symétrie
, alors en tout point de ce
plan, le champ électrostatique est contenu dans ce plan.
Si la distribution de charges admet deux plans de symétrie
, alors la direction du champ électrostatique en
contenant le point
est celle de la droite
d’intersection de ces deux plans.
b. Plan d’antisymétrie
Si, par symétrie par rapport à un plan
, la distribution de charges change de signe,
alors en tout point de ce plan, le champ électrostatique est perpendiculaire à
A.ELFANAOUI
.
Page 5
⃗𝑬
𝑴
⃗𝒛
𝒆
⃗𝜽
𝒆
⃗𝒓
𝒆
⃗𝒛
𝒆
𝝅
𝝅
Distribution de charges ayant deux plans de symétrie
𝑴
⨁
⨁ ⨁
⨁ ⨁
⨁
⨁
⨁
⨁
⨁
⊖
⊖ ⊖
⊖ ⊖
⊖
⨁
⨁ ⨁
⨁ ⨁
⨁
⃗⃗
𝑬
⊖⊖
⊖⊖ ⊖
⊖⊖ ⊖
⊖⊖
𝝅
Distribution de charges ayant un plan
1.5.2 Invariance
d’antisymétrie
a. Rotation autour d’un axe
𝜽
Considérons une distribution de charges et un
point
de l’espace où le champ ⃗ est défini.
S’il existe un axe
quelconque
𝑴
tel qu’une rotation d’angle
autour
de
laisse
la
distribution de charges inchangée, alors la
valeur de
ne dépend pas de
‖⃗ ‖ en
l’angle .
𝜽
Distribution cylindrique de charges et
A.ELFANAOUI
rotation
Page 6
b. Translation selon une direction
S’il existe une droite
telle que toute translation selon cette droite laisse la
distribution de charge inchangée, alors le module de ⃗ en
ne dépend pas de la
coordonnée d’espace associée à cette translation.
𝒙
𝑴
𝑶
Distribution illimitée et translation
2. Potentiel électrostatique
2.1)
Potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle
Soit un point
et
qui crée le champ électrostatique ⃗ . Posons :
sa distance à une charge
( )
Où
est une constante.
( ) est appelé potentiel électrostatique créé par la charge
au point
.
Remarques :
La constante
peut être choisie arbitrairement car seule une différence de
potentiel est mesurable.
S’il n’y a pas de charges à l’infini, on pose
que l’effet des charges tend vers
2.2)
( )
alors
. Cela signifie
lorsque
Potentiel créé par une distribution discrète de charges
En appliquant le principe de superposition, il vient que le potentiel créé par un ensemble de
charges ponctuelles vaut la somme des potentiels créés par chacune des charges ponctuelles.
Le potentiel électrostatique
placées en
(avec
créé en un point
) vaut :
( )
2.3)
par un ensemble de n charges ponctuelles
∑
Potentiel créé par une distribution linéique de charges
Les charges sont disposées sur une ligne
avec la densité linéique . Chaque élément
la ligne, de centre P et quasi-ponctuel, porte la charge
élémentaire
de
et crée un potentiel
en un point M.
( )
A.ELFANAOUI
Page 7
Le potentiel total en M est la somme (intégrale pour une sommation qui, ici, est continue)
de tous les potentiels élémentaires
créés par les éléments
( )
2.4)
∫
de la ligne .
∫
Potentiel créé par une distribution surfacique de charges
avec la densité surfacique . Chaque élément
Les charges sont disposées sur une surface
de la surface, de centre
élémentaire
en
et quasi-ponctuel, porte la charge
et crée un potentiel
:
( )
Le potentiel total en
est la somme (intégrale pour une sommation continue) de tous les
potentiels élémentaires :
( )
2.5)
∬
∬
Potentiel créé par une distribution volumique de charges
Les charges sont disposées sur un volume V avec la densité volumique . Chaque élément
du volume, de centre
élémentaire
en
et quasi-ponctuel, porte la charge
et crée un potentiel
:
( )
Le champ total en M est la somme (intégrale pour une sommation continue) de tous les
potentiels élémentaires.
( )
∭
∭
∭
Conclusion : La fonction Potentiel définit un champ de scalaires qui permet de décrire
l’espace électrique.
Application
Soit une sphère uniformément chargée en volume avec la densité . En considérant la
sphère comme engendrée par une coque sphérique de rayon
quand
varie de
et d’épaisseur
,
à
Trouver l’expression de ( ) potentiel au point
.
On a :
Le champ électrostatique élémentaire créé par la coque sphérique de rayon
d’épaisseur
et
est :
𝑹
Avec
𝑴
𝒓
𝒂
𝑶
A.ELFANAOUI
Page 8
∫
∫
∫
[
]
Le champ électrostatique élémentaire créé par la coque sphérique de rayon
d’épaisseur
et
en fonction de la charge totale de la sphère est :
∫
[
A.ELFANAOUI
]
Page 9
