20231109 (2)

NOM : Pr´enom :
Devoir de statistiques descriptives
9 novembre 2023
Consignes (`a lire)
Dur´ee : 1 heure 30 minutes.
Tous les documents en version papier sont autoris´es, de
mˆeme que les calculatrices.
Les t´el´ephones, les ordinateurs et tout autre objet mul-
tim´edia sont interdits.
Les exercices sont ind´ependants et peuvent ˆetre trait´es
dans n’importe quel ordre.
Toutes les r´eponses doivent ˆetre justifi´ees, soit par une
explication claire et pr´ecise, soit par un calcul d´etaill´e.
Un r´esultat donn´e sans unit´e, ou avec une mauvaise unit´e,
sera consid´er´e comme faux.
Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif et pourra, si besoin,
ˆetre modifi´e.
Le sujet est `a rendre avec votre copie. N’oubliez pas d’y
indiquer vos noms et pr´enoms. L’absence de sujet ou de
vos noms et pr´enoms sur le sujet entraˆınera une p´enalit´e
de 2 pts.
La langue de r´edaction des r´eponses est le fran¸cais.
Chaque faute de fran¸cais, aussi minime soit-elle, en-
traˆınera une p´enalit´e pouvant aller jusqu’`a 1 pt.
Enonc´e
Exercice 1 (8 min, 2 pts). Satan´es fumeurs.
Dans cet exercice, toutes les probabilit´es doivent ˆetre ar-
rondies `a la quatri`eme d´ecimale.
Dans les universit´es fran¸caises, il est fort malheureuse-
ment constat´e que 32 % des ´etudiants sont des fumeurs.
Une ´etude sous forme de questionnaire est r´ealis´ee sur un
´echantillon de 180 ´etudiants s´electionn´es al´eatoirement et
une question porte sur le fait d’ˆetre fumeur ou non.
Soit ¯ Xla variable al´eatoire quantitative repr´esentant la
proportion de fumeurs dans l’´echantillon.
1. (1.5 pt) Indiquez quelle est la loi de probabilit´e suivie
par la variable al´eatoire quantitative ¯ X.
2. (0.5 pt) D´eterminez la probabilit´e pour que la pro-
portion de fumeurs dans l’´echantillon soit inf´erieure `a
25 %.
Exercice 2 (9 min, 2.5 pts). Corr´elation lin´eaire.
Dans cet exercice, tous les r´esultats doivent ˆetre arrondis
`a la troisi`eme d´ecimale.
Une ´etude porte sur deux variables quantitatives xet y
quelconques et sans unit´e afin de statuer si l’une peut ˆetre
exprim´ee en fonction de l’autre. Les r´esultats obtenus sur
45 couples (xj;yj) sont les suivants :
¯x= 4.53 et ¯y= 8.65
1
45
45
X
j= 1
(xj−¯x)2= 1.262
1
45
45
X
j= 1
(yj−¯y)2= 3.122
1
45
45
X
j= 1
(xj−¯x) (yj−¯y) = −3.88
1. (0.5 pt) D´eterminez le coefficient de corr´elation
lin´eaire ρentre les variables quantitatives xet y.
2. (1 pt) Interpr´etez la valeur prise par ρ.
3. (1 pt) D´eterminez l’´equation de la droite d’ajustement
selon la m´ethode des moindres carr´es, c’est-`a-dire la
droite y=ax +btelle que l’erreur entre la s´erie
statistique et la droite soit minimale.
Suite du devoir au verso.

Exercice 3 (35 min, 7.5 pts). Temps de trajet.
Dans cet exercice, toutes les probabilit´es doivent ˆetre ar-
rondies `a la quatri`eme d´ecimale.
De plus, un passage `a niveau sera qualifi´e d’ ouvert lorsque
sa barri`ere est int´egralement lev´ee et que son feu clignotant
est ´eteint. Dans tous les autres cas, le passage `a niveau
sera qualifi´e de ferm´e.
Une ´etudiante vient `a l’IUT en voiture. Sur le trajet sont
dispos´es quatre passages `a niveau ayant chacun une prob-
abilit´e d’ˆetre ouvert ´egale `a 0.8. Les passages `a niveau
sont tous identiques et tous relatifs `a des lignes de TER
diff´erentes. Ils ne sont par cons´equent pas synchronis´es.
Soit Xla variable al´eatoire quantitative discr`ete
repr´esentant le nombre de passages `a niveau ouverts ren-
contr´es par l’´etudiante pendant son trajet.
1. (2 pts) Indiquez quelle est la loi de probabilit´e suivie
par la variable al´eatoire quantitative discr`ete X.
2. (0.5 pt) Calculez la probabilit´e pour que tous les pas-
sages `a niveau soient ferm´es.
3. (0.5 pt) Calculez la probabilit´e pour qu’au moins deux
passages `a niveau soient ouverts.
La distance entre le domicile de l’´etudiante et l’IUT est de
35 km et l’´etudiante les parcourt `a une vitesse suppos´ee
constante de 75 km/h. De plus, ´etant respectueuse du
code de la route (et surtout de sa vie), elle s’arrˆete `a chaque
passage `a niveau ferm´e rencontr´e sur son trajet et le temps
d’attente pour chacun d’entre eux est de trois minutes.
Soit Tla variable al´eatoire quantitative repr´esentant le
temps, en minutes, mis par l’´etudiante pour se rendre `a
l’IUT depuis son domicile.
4. (2 pts) D´eterminez la relation math´ematique don-
nant la variable al´eatoire Ten fonction de la variable
al´eatoire X.
5. (0.5 pt) Calculez l’esp´erance de la variable al´eatoire
quantitative discr`ete X.
6. (0.5 pt) En d´eduire l’esp´erance de la variable al´eatoire
quantitative T.
7. (0.5 pt) Interpr´etez le r´esultat obtenu.
L’´etudiante part de son domicile 28 minutes avant le d´ebut
des cours `a l’IUT.
8. (1 pt) Calculez la probabilit´e pour que l’´etudiante soit
`a l’heure en cours (le temps mis pour se garer `a l’IUT
est n´eglig´e).
Exercice 4 (38 min, 8 pts). Temps de discussion.
Dans cet exercice, toutes les fr´equences doivent ˆetre ar-
rondies `a la troisi`eme d´ecimale. Les dur´ees doivent quant
`a elles ˆetre arrondies `a la deuxi`eme d´ecimale.
Une entreprise r´ealise une ´etude statistique sur le temps
pass´e au t´el´ephone avec ses diff´erents clients. Les dur´ees
des appels, en secondes, sont donn´ees dans le tableau suiv-
ant :
mi[s] nifiNiFi
[ 30 −50 [ 6 0.00000 00000 0.00000
[ 50 −70 [ 10
[ 70 −90 [ 20
[ 90 −110 [ 56
[ 110 −130 [ 24
[ 130 −150 [ 16
[ 150 −170 [ 8
1. Indiquez ...
(a) (0.5 pt) ... quelle est la population ´etudi´ee, et
calculez son effectif N.
(b) (0.5 pt) ... quelle est la variable ´etudi´ee, et don-
nez ses caract´eristiques.
2. (1.5 pt) Compl´etez le tableau ci-dessus avec les
fr´equences fi, les effectifs cumul´es croissants Niet les
fr´equences cumul´ees croissantes Fi.
3. (2 pts) Tracez le graphique correspondant aux
fr´equences cumul´ees croissantes Fi(tous les ´el´ements
indispensables `a la compr´ehension d’un graphique
doivent clairement apparaˆıtre).
4. (2 pts) D´eterminez le nombre ηd’appels t´el´ephoniques
dont la dur´ee est comprise entre 54 secondes et 2 min-
utes et 15 secondes.
5. (0.5 pt) Calculez la dur´ee m´ediane ˜xdes appels
t´el´ephoniques.
6. (1 pt) Calculez la dur´ee moyenne ¯xdes appels
t´el´ephoniques.
Bon courage `a toutes et `a tous !