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Serie-d-Exercices-Corriges-Math-Suites-Reelles-2-4eme-Math-2009-2010

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Suites réelles 2
4ème année
Maths
Septembre 2009
A. LAATAOUI
Exercice n°1 : ©
ìïu0 = 0
On considère la suite ( un ) définie par : í
.
ïîun +1 = 4 + 3un , pour tout n Î ¥
1. a) Montrer que pour tout n de IN, 0 £ un < 4 .
b) Montrer que ( un ) est strictement croissante
c) En déduire que ( un ) converge et déterminer sa limite.
2. a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a : 4 - un +1 £
1
2
( 4 - un ) .
b) Retrouver le résultat de 1. c).
Exercice n°2 :
ìïu0 = 0
On considère la suite ( un ) définie sur ¥ par : í
ïîun+1 = 6 - un , pour tout n de IN
On note f la fonction définie sur ]-¥, 6] par f ( x ) = 6 - x .
Sa courbe est représentée ci – dessous dans un repère orthonormé
1) Placer les quatre premiers termes de la suite ( un ) sur l’axe des abscisses.
2) Répondre par « Vrai ou Faux » aux questions suivantes, en utilisant le graphique :
a)
( un ) est monotone
; b) u2n £ u2 n +1
; c) u2 n £ u2 n + 2 ;
d) u2n +1 £ u2 n -1 ;
e) ( un ) converge
c
d
e
vers 2.
a
Faux
1
b
Vrai
Faux
Vrai
Faux
Vrai
Faux
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Vrai
Faux
Vrai
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3) On se propose dans cette question de démontrer la convergence de la suite ( un ) .
a) Montrer que pour tout n de IN, on a : un+1 - 2 £
1
un - 2 .
2
n
æ1ö
b) Montrer par récurrence que pour tout n de IN, on a : un - 2 £ 2 ´ ç ÷ .
è2ø
c) En déduire que ( un ) est convergente et déterminer sa limite.
Exercice n°3 : ©
ìu0 = 1
ï
On considère la suite U définie sur ¥ par : í
1 .
u
=
1
+
1
n
+
ï
1 + un
î
1. Montrer que pour tout n de ¥ , un ³ 1 et un ¹ 2 .
2. Montrer que pour tout n de ¥ ,
3. On pose k =
2 -1
2
un +1 - 2
un - 2
=
1- 2
1 + un
.
.
Montrer que pour tout n de ¥ , un +1 - 2 £ k u n - 2 . En déduire que la suite U converge vers
4. Montrer que pour tout n de ¥ , 0 <
un + 2 - 2
2.
< 1.
un - 2
En déduire que la suite ( u2n ) est croissante et que la suite ( u2 n +1 ) est décroissante.
5. Application : calculer les premiers termes de la suite U et établir les encadrements suivants de
1<
7
5
<
41
29
< 2<
99
70
<
17
12
<
3
2
2 :
.
Exercice n°4 :
ù 1é
1. Soit ( un ) la suite réelle définie par u1 Î ú 0, ê et pour tout n de ¥* , un +1 = un (1 - un ) .
û 2ë
1
a) Montrer que pour tout n de ¥* , 0 < un < .
2
b) Montrer que pour tout n de ¥* , un <
1
n +1
.
é 1ù
(on pourra utiliser les variations de la fonction f définie sur ê 0, ú par f ( x ) = x (1 - x ) ).
ë 2û
c) Trouver lim u n .
n ®+¥
2. Soit ( vn ) la suite définie par vn = nun pour tout n de ¥* .
Montrer que la suite ( vn ) est croissante et qu’elle est convergente.
2
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Exercice n°5 :
Soit (U) la suite définie sur IN* par Un = n +
n²
1°/a- Montrer que pour tout nÎIN* :
n
n +............+
=
n ² + 2n + 1
n ² +1
2n +1
å n²n+ k .
k =0
2n + 2
2n
£ Un £
.
n
n +1
b- En déduire que (U) est convergente et calculer sa limite.
2°/a- Montrer que pour tout nÎIN* : 1 £ n - n -1 .
2n
b- Déduire que pour tout nÎIN* : 1 + 1 + 1 +........+ 1 £ 2 n .
n
2 3
3°/ Soit Sn = U1 + U2 +…….+ Un .
a- Montrer que pour tout nÎIN* : 2n – 2( 1 + 1 +.......+ 1 ) £ Sn £ 2n + 2(1 + 1 + 1 +......+ 1 )
2
n +1
3
2
n
3
Sn
.
n ®+¥ n
b- En déduire que pour tout nÎIN* : 2n - 4 n +1 £ Sn £ 2n + 4 n ; puis calculer lim
Exercice n°6 :
On considère la suite (Un) définie sur IN par : U0 = 1 et pour tout nÎIN* : Un = ( 1 - 1 )Un -1 .
2
2n
1°/Montrer que pour tout nÎIN : Un > 0.
2°/Soit (Vn) définie sur IN par : Vn = n + 1 U n .
a- Exprimer :V²n+1 - V²n en fonction de n et de U²n.
b- Déduire que (Vn) est décroissante et que pour tout nÎIN : Un £
1
.
2 n +1
3°/ Soit (Wn) la définie sur IN par : Wn = n Un.
a- Montrer que (Wn) est croissante.
b- Déduire que pour tout nÎIN* : Un ³ 1 .
4 n
4°/ Montrer que (Un) est convergente et calculer sa limite.
5°/a- Calculer Un en fonction de n.
b-En déduire Lim
n ® +¥
(2n)!
.
2
(n! )²
2n +1
Exercice n°7 :
n
æ kp
Le but de cet exercice est l’étude de la suite ( Sn ) définie, pour n ³ 2 , par : S n = å sin ç
è n
k =0
p
n
ö
÷.
ø
n -1
1. On pose pour n ³ 2 : z = e . Calculer la somme å z k .
i
k =0
2
2. Montrer que, pour n ³ 2 :
= 1+ i
1- z
1
.
æp ö
tg ç ÷
è 2n ø
1
3. En déduire que, pour n ³ 2 : S n =
.
æp ö
tg ç ÷
è 2n ø
4. Etudier la limite de la suite ( un ) définie, pour n ³ 2 , par : un =
3
Sn
.
n
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Exercice n°8 : ©
1
ì
ïïan+1 = 3 ( 2an + bn )
On définit les suites ( an ) et ( bn ) par a0 = 1 , b0 = 7 et í
.
ïbn +1 = 1 ( an + 2bn )
ïî
3
r
Soit D la droite munie d’un repère O, i . Pour tout n Î ¥ , on considère les points An et Bn d’abscisses
( )
respectives an et bn .
1. Placer les points A0 , B0 , A1 , B1 , A2 et B2 .
2. Soit (un ) la suite définie par un = bn - an pour tout n Î ¥ . Démontrer que (un ) est une suite géométrique
dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimer un en fonction de n.
3. Comparer an et bn . Etudier le sens de variation des suites ( an ) et ( bn ) .
4. Démontrer que les suites ( an ) et ( bn ) sont adjacentes.
5. Soit ( vn ) la suite définie par vn = an + bn pour tout n Î ¥ . Démontrer que ( vn ) est une suite constante.
6. Justifier que les suites ( an ) et ( bn ) sont convergentes et calculer leur limite.
Exercice n°9 :
On définit deux suites u et v sur ¥ par :
ìu0 = 1
ìv0 = 3
ï
ï
2un vn et í
í
un + vn
ïun +1 = u + v
ïîvn +1 = 2
î
n
n
1. Calculer les valeurs exactes de u1 , v1 , u2 et v2 .
2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel n ,
vn +1 - un +1 =
( vn - un )2
.
2 ( un + vn )
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n ,
0 < un < vn .
3. a) Montrer que, pour tout entier naturel n ,
1
vn +1 - un +1 £ ( vn - un )
2
b) En déduire que, pour tout entier naturel n ,
1
vn - un £ n -1 .
2
4. Démontrer que les suites u et v sont adjacentes. Que peut – on déduire ?
5. On pose pour tout entier naturel n : an = un vn .
a) Prouver que la suite ( an ) nΥ est constante.
b) En calculant de deux façons différentes la limite de an lorsque n tend vers +¥ , déterminer la limite
commune l des suites u et v .
6. En utilisant u2 et v2 , donner un encadrement de l par deux décimaux, d’amplitude 0.04.
4
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Exercice n°10 : (Contrôle 2009) ©
2un + vn
ì
ïïu0 = 0 ; un +1 =
3
On considère les suites ( un ) et ( vn ) définies sur IN par í
ïv = 1 ; v = 3un + 2vn
n +1
ïî 0
5
1. Montrer que pour tout entier naturel non nul n, un £ vn .
2. Montrer que la suite ( un ) est croissante et que la suite ( vn ) est décroissante.
3. Montrer que les suites ( un ) et ( vn ) sont convergentes et qu’elles admettent la même limite.
4. Soit la suite ( wn ) définie sur IN par wn = 9un + 5vn
a) Montrer que ( wn ) est une suite constante.
b) En déduire la limite commune des suites ( un ) et ( vn ) .
Exercice n°11 :
On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 : un = 1 +
1 1
1
1
+ + ... +
et vn = un +
.
1! 2 !
n!
n´n!
1. Vérifier que : u1 = 2 et v1 = 3 , puis calculer u2 , u3 , v2 et v3 .
2. Montrer que ( un ) est une suite strictement croissante.
3. a) Démontrer que pour tout entier n ³ 1, on a : vn +1 - vn =
-1
.
n ´ (n + 1) ´ ( n + 1) !
b) En déduire que ( vn ) est une suite strictement décroissante.
4. a) Démontrer que pour tout entier n ³ 2, on a : n !³ n .
1
.
n´n!
c) En déduire que les suites ( un ) et (vn ) sont adjacentes.
b) Calculer : lim n ! , puis lim
n ® +¥
n ® +¥
Exercice n°12 :
On considère la suite ( un ) définie pour tout entier n ³ 1, par : u n =
1
, et on pose :
n2
n
1 1
1
+ 2 + ... + 2
2
1 2
n
k =1
Le but de cet exercice est l’étude de la convergence de la suite ( Sn ) de deux façons différentes
Sn = å uk = u1 + u2 + ... + un =
Partie préliminaire
1. Calculer S1 , S2 et S3 .
2. Démontrer que la suite ( Sn ) est une suite croissante.
5
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Partie 1 : Convergence de ( Sn ) – Méthode 1
On considère la suite ( vn ), définie pour tout entier n ³ 1 par : vn =
n
2
, et on pose : Tn = å vk
n( n + 1)
k =1
1. a) Démontrer par récurrence que pour tout entier n ³ 1, on a : Tn = 2 -
2
.
n +1
b) En déduire que la suite ( Tn ) est une suite majorée.
2. Démontrer que pour tout entier n ³ 1, on a : un £ vn .
3. Démontrer que la suite ( Sn ) converge vers un nombre réel l.
Partie 2 : Convergence de ( Sn ) – Méthode 2 et valeur approchée de l
1
n
On considère la suite ( wn ), définie pour tout entier n ³ 1 par : wn = Sn + .
1. Démontrer que les deux suites ( Sn ) et ( wn ) sont adjacentes.
2. En déduire que la suite ( Sn ) converge vers un nombre réel l.
6
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Suites réelles 2
Corrigé
4ème année
Maths
Septembre 2009
A. LAATAOUI
Exercice n°1 :
ìïu0 = 0
í
ïîun +1 = 4 + 3un , pour tout n Î ¥
Illustration graphique de la suite :
Conjecture : La suite (un) est croissante, majorée par 4 et elle converge vers 4.
Réponses :
1. a) Montrons par récurrence que pour tout n de IN, 0 £ un < 4 .
·
Pour n = 0, 0 £ u0 = 0 < 4
·
Pour n ³ 0, supposons que 0 £ un < 4 et montrons que 0 £ un +1 < 4
En effet :
0 £ un < 4 Þ 0 £ 3un < 12 Þ 4 £ 4 + 3un < 16 Þ 4 £ 4 + 3un < 16 Þ 0 £ 2 £ un+1 < 4
Ainsi " n Î IN, 0 £ un < 4 .
b) un2+1 - un2 = 4 + 3un - un2 = (1 + un )( 4 - un ) > 0 Þ un2+1 > un2 Þ un +1 > un ( un > 0 )
123 1
424
3
> 0 car un ³ 0 > 0 car u n < 4
7
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Þ ( un ) est strictement croissante
c) ( un ) est croissante et majorée par 4 donc ( un ) est convergente. Soit l la limite de ( un )
ì
ï( u ) converge vers l Î [0, 4]
ï n
ï
é 4
é
íun+1 = f ( un ) = 4 + 3un , avec f ( x ) = 4 + 3x x Î ê - , +¥ ê Þ f (l) = l
ë 3
ë
ï
ï
é 4
é
ï f est continue sur ê - , +¥ ê donc en l
ë 3
ë
î
Þ 4 + 3l = l, avec l Î [ 0, 4] Û l 2 - 3l - 4 = 0 Û l{
= -1 ou l=4 Þ l =4
à rejeter
2. Autre procédé de convergence :
a) 4 - un +1 = 4 - 4 + 3un =
3 ( 4 - un )
12 - 3un
=
4 + 4 + 3un 4 + 4 + 3un
Or un ³ 0 Þ 4 + 3un ³ 2 Þ 4 + 4 + 3un ³ 6 Þ
Þ 4 - un +1 =
3 ( 4 - un )
4 + 4 + 3un
£
1
1
£
4 + 4 + 3un 6
3
1
( 4 - un ) = ( 4 - un )
6
2
b)
1
( 4 - uk ) , pour tout k de IN
2
1
ü
Pour k = 0, 0<4 - u1 £ ( 4 - u0 )
ï
2
ï
1
ï
Pour k = 1, 0<4 - u2 £ ( 4 - u1 )
ï
2
ï
1
ï
Pour k = 2, 0<4 - u3 £ ( 4 - u2 )
ý
2
ï
M
ï
ï
M
ï
1
ï
Pour k = n - 1, 0<4 - un £ ( 4 - un -1 )ï
þ
2
4 - uk +1 £
n
æ1ö
æ1ö
On fait le produit terme à terme et on simplifie on aura 0<4 - un £ ç ÷ ( 4 - u0 ) = 4 ´ ç ÷
è 2ø
è2ø
n
n
æ1ö
0<4 - un £ 4 ´ ç ÷ Þ ( un ) converge et lim un = 4
n®+¥
2ø
è{
]0
8
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Exercice n°3 :
ìu0 = 1
ï
1
í
ïun +1 = 1 + 1 + u
î
n
Illustration graphique de la suite :
Conjecture :
· La suite ( u2n ) est croissante et majorée par
2
·
La suite ( u2 n +1 ) est décroissante et minorée par
·
La suite ( un ) converge vers
2
2
Réponses :
1. Montrons par récurrence que pour tout n de IN, on a : un ³ 1 et un ¹ 2 .
·
Pour n = 0, u0 = 1 ³ 1 et u0 = 1 ¹ 2 .
·
Pour n ³ 0, supposons que un ³ 1 et un ¹ 2 et montrons que un +1 ³ 1 et un +1 ¹ 2 .
En effet :
un ³ 1 Þ 1 + un > 0 Þ
9
1
1
> 0 Þ 1+
³ 1 Þ un +1 ³ 1
1 + un
1 + un
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u n ¹ 2 Þ 1 + un ¹ 1 + 2 Þ
1
1
1
1
¹
Þ
¹ 2 -1 Þ 1+
¹ 2 Þ un+1 ¹ 2
1 + un 1 + 2
1 + un
1 + un
Ainsi " n Î IN, un ³ 1 et un ¹ 2 .
2.
un +1 - 2
un - 2
(u
n +1
=
1- 2
1 + un
?
æ
ö
1
- 2 (1 + un ) = ç 1 +
- 2 ÷ (1 + un ) =
è 1 + un
ø
)
(1 - 2 ) (1 + u ) + 1 = (1 - 2 ) (1 + u ) - (1 - 2 )(1 + 2 ) = (1 - 2 )(u
n
3. k =
·
n
n
- 2
)
2 -1
2
un +1 - 2 1 - 2
2 -1
=
=
1 + un
1 + un
un - 2
Or 1 + un ³ 2 Þ
1
1
2 -1
2 -1
2 -1
£ Þ
£
Þ
£k
1 + un 2
1 + un
2
1 + un
Þ u n +1 - 2 £ k u n - 2
·
u p +1 - 2 £ k u p - 2 , " p Î IN
ü
ï
ï
Pour p = 1, u2 - 2 £ k u1 - 2
ï
ï
M
ý
ï
M
ï
Pour p = n - 1, u n - 2 £ k u n - 2 ï
ïþ
On fait le produit terme à terme et on simplifie, on obtient :
Pour p = 0, u1 - 2 £ k u 0 - 2
un - 2 £ k n u0 - 2 £ k n
1
424
3
2 -1
lim k = 0 car k Î ]-1,1[ Þ ( un ) converge vers
n
n ®+¥
un + 2 - 2
4.
un +1 - 2
un +1 - 2
=
2
1- 2 ü
ï
1 + un +1 ï
ý
1- 2 ï
=
1 + un ï
un - 2
þ
10
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On fait le produit terme à terme et on simplifie, on obtient :
2)
(114-24
3
2
0<
un + 2 - 2
un - 2
=
>0
£
{
1 + un +1 )(1 + un ) car1+u ³ 2 et 1+u
(144
2443
n
(1 - 2 )
4
n+1 ³ 2
2
=
3- 2 2
<1
4
>0
·
Montrons par récurrence que pour tout n de IN, u2 n < 2
Pour n = 0, u0 = 1 < 2
Pour n ³ 0, supposons que u2 n < 2 et montrons que u2n + 2 < 2
En effet :
u2 n + 2 - 2
u2 n - 2
> 0 et u2n - 2 < 0 Þ u2 n+ 2 - 2 < 0 Þ u2 n + 2 < 2
Ainsi " n Î IN, u2 n < 2
·
Montrons que la suite ( u2n ) est croissante :
u2 n +2 - 2
u2 n - 2
< 1 et u2 n - 2 < 0 Þ u2 n + 2 - 2 > u2 n - 2 Þ u2 n + 2 > u2 n
On montre de même que u2 n +1 > 2 et que la suite ( u2 n +1 ) est décroissante.
5. u0 = 1, u1 = 1 +
1 3
1
7
1
17
1
41
1
99
= , u2 = 1 +
= , u3 = 1 +
= , u4 = 1 +
= , u5 = 1 +
=
3
7
17
41
2 2
+1 5
+ 1 12
+ 1 29
+ 1 70
2
5
12
29
.
Puisque : u0 < u2 < u4 < 2 < u5 < u3 < u1 Þ 1 <
7
5
<
41
29
< 2<
99
70
<
17
12
<
3
2
Exercice n°8 :
( an ) et ( bn )
1
ì
ïïan +1 = 3 ( 2an + bn )
sont deux suites définies par a0 = 1 , b0 = 7 et í
.
ïbn +1 = 1 ( an + 2bn )
ïî
3
1.
11
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2. un = bn - an
·
un +1 = bn +1 - an +1 =
1
1
1
1
( an + 2bn ) - ( 2an + bn ) = ( bn - an ) = un
3
3
3
3
Þ (un ) est une suite géométrique de raison
1
et de premier terme u0 = b0 - a0 = 6 .
3
n
·
æ1ö
un = u0 ´ q = 6 ´ ç ÷ , pour tout n de IN.
è3ø
n
n
æ1ö
3. un = bn - an = 6 ´ ç ÷ > 0 Þ bn > an , " n Î IN.
è3ø
ö
1
1æ
ç
÷ > 0 Þ ( an ) est croissante.
2
a
+
b
a
=
a
+
b
( n n) n ç1
n
3n ÷
3
3 424
è >0 ø
ö
1
1æ
bn+1 - bn = ( an + 2bn ) - bn = ç an - bn ÷ < 0 Þ ( bn ) est décroissante.
3
3 ç 123 ÷
è <0 ø
an +1 - an =
lim ( bn - an ) = lim un = 0 , car (un ) est une suite géométrique de raison
4.
n ®+¥
n ®+¥
1
Î ]-1, 1[.
3
( an ) est croissante ü
ï
( bn ) est décroissante ï
an < bn
lim bn - an = 0
n ®+¥
ý Þ ( an ) et ( bn ) sont deux suites adjacentes.
ï
ï
þ
5. vn = an + bn
1
1
( 2an + bn ) + ( an + 2bn ) = an + bn = vn Þ ( vn ) est une suite constante.
3
3
v0 = a0 + b0 = 8 Þ vn = an + bn = 8 , " n Î IN.
vn +1 = an +1 + bn +1 =
6.
( an ) et ( bn ) sont deux suites adjacentes Þ ( an ) et ( bn ) sont convergentes et elles convergent vers
la même limite.
Soit l leur limite commune Þ lim an + bn = 2l = 8 Þ l = 4 .
n ®+¥
Exercice n°10 :
2un + vn
ì
ïïu0 = 0 ; un+1 =
3
í
ïv = 1 ; v = 3un + 2vn
n +1
ïî 0
5
1. Montrons par récurrence que pour tout n de IN, un £ vn :
12
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·
Pour n = 0, u0 = 0 £ v0 = 1
·
Pour n ³ 0, supposons que un £ vn et montrons que un+1 £ vn +1
En effet :
³0
678
3u + 2vn 2un + vn 9un + 6vn - 10un - 5vn vn - un
vn +1 - un +1 = n
=
=
³0
5
3
15
15
Þ un+1 £ vn +1 .
Ainsi " n Î IN, un £ vn .
2. Monotonie de la suite ( un ) :
v - un
2un + vn
- un = n
³ 0 Þ La suite ( un ) est croissante.
3
3
Monotonie de la suite ( vn ) :
un+1 - un =
3 ( un - vn )
3un + 2vn
- vn =
£ 0 Þ La suite ( vn ) est décroissante.
5
5
3. On pose tn = vn - un , dans la réponse de la question 1, on a montré que
vn+1 - vn =
tn+1 = vn +1 - u N +1 =
1
1
1
( vn - un ) = tn Þ la suite ( tn ) est géométrique de raison Î ]-1,1[ Þ
15
15
15
lim vn - un = 0
n ®+¥
ì( un ) est croissante
ï
ï( vn ) est décroissante
Þ les suites ( un ) et ( vn ) sont adjacentes et par suite elles
Ainsi on a : í
£
u
v
n
n
ï
ï lim vn - un = 0
în ®+¥
sont convergentes et elles convergent vers la même limite.
4. wn = 9un + 5vn .
æ 2u + vn ö
æ 3u + 2vn ö 18un + 9vn
wn +1 = 9un +1 + 5vn +1 = 9 ç n
+ 5/ ç n
+ 3un + 2vn
÷
÷=
3
5/
3
è
ø
è
ø
a)
27un + 15vn
=
= 9un + 5vn = wn
3
Þ ( wn ) est une suite constante et on a : " n Î IN, wn = 9un + 5vn = w0 = 9u0 + 5v0 = 5
b) Soit l la limite commune de ( un ) et ( vn )
æ
ö
5
On a : lim wn = lim ç 9 un + 5 vn ÷ = 5 Þ 14l = 5 Þ l =
{
{
n ®+¥
n ®+¥ ç
÷
14
è l
l ø
13
Suites réelles 2. 4ème Maths 09 – 10.
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