Serie-d-Exercices-Corriges-Math-Suites-Reelles-2-4eme-Math-2009-2010

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Suites réelles 2. 4
ème
Maths 09
–
10.
www.espacemaths.com
Exercice n°1 : ©
On considère la suite
(
)
n
u
définie par : 0
1
0
43 , pour tout n
nn
u
uu
+
=
=+Î
ì
ï
í
ï
î
¥
.
1. a) Montrer que pour tout n de IN,
04
n
u
£<
.
b) Montrer que
(
)
n
u
est strictement croissante
c) En déduire que
(
)
n
u
converge et déterminer sa limite.
2. a) Montrer que pour tout entier naturel n, on a :
( )
1
1
44
2
nn
uu
+
-£-.
b) Retrouver le résultat de 1. c).
Exercice n°2 :
On considère la suite
(
)
n
u
définie sur
¥
par : 0
1
0
6 , pour tout n de IN
nn
u
uu
+
=
ì
ï
í
=-
ï
î
On note f la fonction définie sur
]
]
,6
-¥ par
(
)
f6
xx
=-
.
Sa courbe est représentée ci – dessous dans un repère orthonormé
1) Placer les quatre premiers termes de la suite
(
)
n
u
sur l’axe des abscisses.
2) Répondre par « Vrai ou Faux » aux questions suivantes, en utilisant le graphique :
a)
(
)
n
u
est monotone ; b)
221
nn
uu
+
£ ; c)
222
nn
uu
+
£ ; d)
2121
nn
uu
+-
£ ; e)
(
)
n
u
converge
vers 2.
a b c d e
Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai Faux Vrai
Suites réelles 2
4
ème
année
Maths
Septembre 200
9
A. LAATAOUI
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Suites réelles 2. 4
ème
Maths 09
–
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3) On se propose dans cette question de démontrer la convergence de la suite
(
)
n
u
.
a) Montrer que pour tout n de IN, on a : 11
22
2
nn
uu
+
-£-
.
b) Montrer par récurrence que pour tout n de IN, on a :
1
22
2
n
n
u
æö
-£´
ç÷
èø
.
c) En déduire que
(
)
n
u
est convergente et déterminer sa limite.
Exercice n°3 : ©
On considère la suite U définie sur
¥
par : 0
1
1
1
11
n
n
u
u
u
+
=
=+
+
ì
ï
í
ï
î
.
1. Montrer que pour tout n de
¥
,
1
n
u
³
et
2
n
u¹.
2. Montrer que pour tout n de
¥
, 12
12
1
2
n
n
n
u
u
u
+- -
=+
-.
3. On pose
21
2
k
-
=.
Montrer que pour tout n de
¥
, 1
22
nn
uku
+-£-
. En déduire que la suite U converge vers
2
.
4. Montrer que pour tout n de
¥
, 22
01
2
n
n
u
u
+-
<<
-.
En déduire que la suite
(
)
2
n
u
est croissante et que la suite
(
)
21
n
u+est décroissante.
5. Application : calculer les premiers termes de la suite U et établir les encadrements suivants de
2
:
74199173
12
52970122
<<<<<<
.
Exercice n°4 :
1. Soit
(
)
n
u
la suite réelle définie par 1
1
0,
2
uÎ
ùé
úê
ûë
et pour tout n de
*
¥
,
(
)
11
nnn
uuu
+=-.
a) Montrer que pour tout n de
*
¥
,
1
0
2
n
u
<<
.
b) Montrer que pour tout n de
*
¥
,
1
1
n
un <
+
.
(on pourra utiliser les variations de la fonction f définie sur
1
0,
2
éù
êú
ëû
par
(
)
f()1
xxx
=-
).
c) Trouver lim
n
n
u
®+¥ .
2. Soit
(
)
n
v
la suite définie par
nn
vnu
= pour tout n de
*
¥
.
Montrer que la suite
(
)
n
v
est croissante et qu’elle est convergente.
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Suites réelles 2. 4
ème
Maths 09
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Exercice n°5 :
Soit (U) la suite définie sur IN* par Un = å
+
=+
=
++
++
+
+
1n2
0k k²n
n
1n2²n
n
............
1²n
n
²n
n.
1°/a- Montrer que pour tout n
Î
IN* : n
2n2
U
1n
n2
n
+
££
+ .
b- En déduire que (U) est convergente et calculer sa limite.
2°/a- Montrer que pour tout n
Î
IN* : 1nn
n2
1--£ .
b- Déduire que pour tout n
Î
IN* : n2
n
1
........
3
1
2
1
1£++++ .
3°/ Soit Sn = U1 + U2 +…….+ Un .
a- Montrer que pour tout n
Î
IN* : 2n – 2( )
n
1
......
3
1
2
1
1(2n2S)
1n
1
.......
3
1
2
1n+++++££
+
+++
b- En déduire que pour tout n
Î
IN* : 2n - n4n2S1n4 n+££+ ; puis calculer lim
n
n
S
n
®+¥ .
Exercice n°6 :
On considère la suite (Un) définie sur IN par : U0 = 2
1 et pour tout n
Î
IN* : Un = 1n U)
n2
1
1( - -.
1°/Montrer que pour tout n
Î
IN : Un > 0.
2°/Soit (Vn) définie sur IN par : Vn = n U1n +.
a- Exprimer :V²n+1 - V²n en fonction de n et de U²n.
b- Déduire que (Vn) est décroissante et que pour tout n
Î
IN : Un 1n2
1
+
£.
3°/ Soit (Wn) la définie sur IN par : Wn = nUn.
a- Montrer que (Wn) est croissante.
b- Déduire que pour tout n
Î
IN* : Un n4
1
³.
4°/ Montrer que (Un) est convergente et calculer sa limite.
5°/a- Calculer Un en fonction de n.
b-En déduire ²)!n(2
)!n2(
Lim 1n2
n+ +¥® .
Exercice n°7 :
Le but de cet exercice est l’étude de la suite
(
)
n
S
définie, pour
2
n
³
, par : 0sin
n
nk
k
S
n
p
=
æö
=
ç÷
èø
å.
1. On pose pour
2
n
³
:
i
n
ze
p
=. Calculer la somme 1
0
n
k
k
z
-
=
å
.
2. Montrer que, pour
2
n
³
: 21 1
1
2
i
ztg
n
p
=+
-
æö
ç÷
èø
.
3. En déduire que, pour
2
n
³
: 1
2
n
Stg
n
p
=
æö
ç÷
èø
.
4. Etudier la limite de la suite
(
)
n
u
définie, pour
2
n
³
, par :
n
n
S
u
n
=.
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Suites réelles 2. 4
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Maths 09
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Exercice n°8 : ©
On définit les suites
(
)
n
a
et
(
)
n
b
par 0
1
a
=
, 0
7
b
=
et
( )
( )
1
1
12
3
1
2
3
nnn
nnn
aab
bab
+
+
=+
=+
ì
ï
ï
í
ï
ï
î
.
Soit D la droite munie d’un repère
(
)
,
Oi
r
. Pour tout n
Î
¥
, on considère les points
n
A
et
n
B
d’abscisses
respectives
n
a
et
n
b
.
1. Placer les points
0
A
,
0
B
,
1
A
,
1
B
,
2
A
et
2
B
.
2. Soit
()
n
u
la suite définie par
nnn
uba
=-
pour tout n
Î
¥
. Démontrer que
()
n
u
est une suite géométrique
dont on précisera la raison et le premier terme. Exprimer
n
u
en fonction de n.
3. Comparer
n
a
et
n
b
. Etudier le sens de variation des suites
(
)
n
a
et
(
)
n
b
.
4. Démontrer que les suites
(
)
n
a
et
(
)
n
b
sont adjacentes.
5. Soit
(
)
n
v
la suite définie par
nnn
vab
=+
pour tout n
Î
¥
. Démontrer que
(
)
n
v
est une suite constante.
6. Justifier que les suites
(
)
n
a
et
(
)
n
b
sont convergentes et calculer leur limite.
Exercice n°9 :
On définit deux suites
u
et
v
sur
¥
par :
0
1
1
2
nn
n
nn
u
uv
u
uv
+
=
=
+
ì
ï
í
ï
î
et 0
1
3
2
nn
n
v
uv
v+
=
+
=
ì
ï
í
ï
î
1. Calculer les valeurs exactes de
1
u
,
1
v
,
2
u
et
2
v
.
2. a) Vérifier que, pour tout entier naturel
n
,
( )
( )
2
11
2
nn
nn
nn
vu
vu
uv
++
-
-= + .
b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel
n
,
0
nn
uv
<<
.
3. a) Montrer que, pour tout entier naturel
n
,
( )
11
1
2
nnnn
vuvu
++
-£-
b) En déduire que, pour tout entier naturel
n
,
1
1
2
nn n
vu
-
-£ .
4. Démontrer que les suites
u
et
v
sont adjacentes. Que peut – on déduire ?
5. On pose pour tout entier naturel
n
:
nnn
auv
=.
a) Prouver que la suite
(
)
nn
a
Î
¥
est constante.
b) En calculant de deux façons différentes la limite de
n
a
lorsque
n
tend vers
+¥
, déterminer la limite
commune
l
des suites
u
et
v
.
6. En utilisant
2
u
et
2
v
, donner un encadrement de
l
par deux décimaux, d’amplitude 0.04.
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Suites réelles 2. 4
ème
Maths 09
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Exercice n°10 : (Contrôle 2009) ©
On considère les suites
(
)
n
u
et
(
)
n
v
définies sur IN par 01
01
2
0 ; 3
32
1 ; 5
nn
n
nn
n
uv
uu
uv
vv
+
+
+
ì
==
ï
ï
í+
ï
==
ï
î
1. Montrer que pour tout entier naturel non nul n,
nn
uv
£
.
2. Montrer que la suite
(
)
n
u
est croissante et que la suite
(
)
n
v
est décroissante.
3. Montrer que les suites
(
)
n
u
et
(
)
n
v
sont convergentes et qu’elles admettent la même limite.
4. Soit la suite
(
)
n
w
définie sur IN par
95
nnn
wuv
=+
a) Montrer que
(
)
n
w
est une suite constante.
b) En déduire la limite commune des suites
(
)
n
u
et
(
)
n
v
.
Exercice n°11 :
On pose, pour tout entier n supérieur ou égal à 1 :
111
1...
1!2!!
=++++
n
u
n
et
1
!
=+
´
nn
vu
nn
.
1. Vérifier que : 1
2
=
u et 1
3
=
v, puis calculer
2323
,,et
uuvv
.
2. Montrer que (
n
u
) est une suite strictement croissante.
3. a) Démontrer que pour tout entier n ³ 1, on a : 11
(1)(1)!
+
-
-=
´+´+
nn
vv
nnn
.
b) En déduire que (
n
v
) est une suite strictement décroissante.
4. a) Démontrer que pour tout entier n ³ 2, on a :
!
³
nn
.
b) Calculer :
lim!
®+¥n
n
, puis
1
lim
!
®+¥
´
n
nn
.
c) En déduire que les suites (
n
u
) et
()
n
v
sont adjacentes.
Exercice n°12 :
On considère la suite (
n
u
) définie pour tout entier n ³ 1, par :
2
1
n
u
n
=, et on pose :
12
222
1
111
S......
12
n
nkn
k
uuuu
n
=
==+++=+++
å
Le but de cet exercice est l’étude de la convergence de la suite (
S
n
) de deux façons différentes
Partie préliminaire
1. Calculer
123
S,SetS
.
2. Démontrer que la suite (
S
n
) est une suite croissante.
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