Mécanique Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté 1 Oscillateur harmonique : 1.1 Dénition : On appelle oscillateur harmonique tout système dont le degré de liberté x(t) se met sous la forme suivante : x(t) = xm cos(ω0 t + φ) Avec : x(t) : élongation. xm : élongation maximale. ω0 : pulsation propre. ω0 t + φ : la phase à l'instant t. φ : la phase à l'instant t=0. 2π la période propre. T0 = ω 0 Rque : La période propre T0 est indépendante des conditions initiales ; c'est une propriété importante de l'oscillateur harmonique appelée isochronisme des oscillations. 1.2 Equation diérentielle : L'équation diérentielle d'un oscillateur harmonique est : ẍ + ω0 x = 0 Avec : k = m.ω02 L'oscillateur harmonique évolue dans un puit de potentiel de type parabolique : Ep (x) = E(x0 = 0) + 1 d2 E p |x =0 x2 2 dx2 0 1 1 Ep (x) = E(0) + k.x2 = E(0) + kx2m cos2 (ω0 t + φ) 2 2 1 1 Ec = mv 2 = mẋ 2 2 1 Ec = mω02 sin2 (ω0 t + φ) 2 1 Em = Ec + Ep = Ep (0) + kx2m = cte 2 Donc le système est conservatif. Calculons les valeurs moyennes de Ec et de Ep : Dans le cas Ep (0) = 0 : < Ec >= < Ep >= 1 T0 1 T0 T0 Ec dt = 1 2 kx 4 m Ep dt = 1 2 kx 4 m 0 T0 0 < Em >= 1 2 kx 2 m Pendant le mouvement, il y a équipartition, en moyenne, des formes cinétique et potentielle de l'énergie. c/c : < Ec >=< Ep >= CPGE Oujda Lycée Omar Ibn Abdelaziz 1 < Em > 2 Filière : MPSI Mécanique Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté 2 Régime libre d'un oscillateur linéaire amorti : 2.1 Equation diérentielle : L'équation diérentielle d'un oscillateur linéaire amorti par un frottement uide s'écrit sous la forme : ẍ + ω0 ẋ + ω02 x = ω02 d Q Avec : ω0 : pulsation propre. Q : facteur de qualité. 2α = ωQ0 : c÷cient d'amortissement. Rque : T.E.M : dEm = p(F⃗nc ) = −λv 2 < 0 dt avec : λ : c÷cient de frottement. Donc l'énergie mécanique est une fonction décroissante. On pose X = x − d : l'élongation repérée à partir de la position d'équilibre. Donc : ẍ + 2αẋ + ω02 x = 0 2.2 Diérents régimes libres amorti : Le discriminant : 2.2.1 ∆ = 4α2 − 4ω02 Régime apériodique : ⇒ ∆>0 ⇒ α > ω0 r± = −α ± Q< 1 2 q α2 − ω02 x(t) = A exp(r+ t) + B exp(r− t) x(t) = exp(−αt)(A exp( q q α2 − ω02 .t) + B exp(− α2 − ω02 .t)) 2 t 1 2 3 4 5 −2 2.2.2 Régime critique : ∆=0 ⇒ α = ω0 ⇒ Q= 1 2 r = −α x(t) = (At + B) exp(−αt) x(t) = exp(−αt)(At + B) CPGE Oujda Lycée Omar Ibn Abdelaziz 2 Filière : MPSI Mécanique Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté 2 t 1 2 3 4 5 −2 2.2.3 Régime pseudo-périodique : ⇒ ∆<0 ⇒ α < ω0 r± = −α ± i Q> 1 2 q ω02 − α2 q q x(t) = exp(−αt)(A exp(i ω02 − α2 t) + B exp(−i ω02 − α2t)) x(t) = exp(−αt)(A′ cos( q ω02 − α2 .t + φ)) x(t) = exp(−αt)(A′ cos(Ω.t + φ)) avec Ω : pseudo pulsation. 2 t 1 2 3 4 5 −2 La pseudo-période est : T = 2π T0 T0 =q =q 1 Ω 1 − ( ωα0 )2 1 − 4Q 2 2.3 Décrément logarithmique : Par dénition : δ = α.T x(t) = A exp(−αt) cos(Ωt + φ) x(t + nT ) = A exp(−α(t + nT )) cos(Ωt + φ) = x(t) exp(−αnT ) Donc : αnT = ln( CPGE Oujda Lycée Omar Ibn Abdelaziz x(t) ) x(t + nT ) 3 Filière : MPSI Mécanique Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté Si n = 1, donc : δ = αT = ln( Q : Montrer que : δ=p x(t) ) x(t + T ) 2π 4Q2 − 1 Rque : La mesure de δ permet de déduire le facteur de qualité Q. 2.4 Interprétation physique : 2.4.1 Facteur de qualité : Hypothèse : α → 0 ⇒ Q ≫ 1 ⇒ ω0 ≫ α. r Ω = ω0 1− 1 ≃ ω0 4Q2 donc : x(t) = A exp(−αt)(cos(ω0 t + φ)) Ep = Ec = 1 1 k.x2 = k.A2 exp(−2αt) cos2 (ω0 + φ) 2 2 1 1 m.ẋ2 = m.A2 exp(−2αt)(−α cos(ω0 + φ) − ω0 sin(ω0 t + φ))2 2 2 1 Ec ≃ m.A2 ω02 exp(−2αt) sin(ω0 t + φ) 2 nalement : Em = Q : Calculer : Em (t) − Em (t + T ) Em (t) Q = 2π 2.4.2 k.A2 exp(−2αt) 2 Energie d′ oscillateur Energie perdue pendant une pseudo − periode Temps de relaxation : (Temps d'amortissement) C'est le temps nécessaire pour que l'amplitude se divise par e = 2, 718 Q : Montrer que : τ = 1/α (Q ≫ 1) Q= 3 ω0 τ 2 Oscillateurs forcés - Résonance : Pour maintenir l'amplitude des oscillations constante, il faut fournir une énergie égale à celle perdue par les frottements à l'aide d'une force excitatrice. Moteur x R.F.D : ⃗ + f⃗ + T⃗ + F⃗ (t) = m⃗a P⃗ + R projection / Ox : −kx − λẋ + F (t) = mẍ ẍ + 2αẋ + ω02 x = CPGE Oujda Lycée Omar Ibn Abdelaziz 4 F (t) m Filière : MPSI Mécanique Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté La solution x(t) est : x(t) = xh + xp xh dépend du signe de ∆. xp = X cos(ωt + φp ) si F (t) = F0 cos(ωt + φ) xh décrit le régime transitoire. xp décrit le régime permanent. 3.1 Etude de la résonance d'élongation : Cherchons une solution de la forme : x(t) = X cos(ωt + φ)) Pour simplier : −→ x(t) = X cos(ωt + φ) x(t) = X exp(i(ωt + φ)) = X exp(iωt) avec : X = X exp iφ : Amplitude complexe. donc : X = |X| et φ = arg(X). F (t) = F0 cos(ωt) −→ F (t) = F0 exp(iωt). L'éq di devient : F0 exp(iωt) m 2 Or : ẋ(t) = iωx(t) et ẍ(t) = −ω x(t) ẍ(t) + 2αẋ(t) + ω02 x(t) = x(t)(−ω 2 + 2iαω + ω02 ) = Finalement : X= X= F0 /m ω02 − ω 2 + 2iαω ω02 X = |X| = q X F0 exp iωt m F0 /m 0ω − ω 2 + i ωQ F0 /m 0ω 2 (ω02 − ω 2 )2 + ( ωQ ) mω02 F0 5 4 3 2 1 0.5 1 1.5 2 2.5 3 ω ω0 ω → 0 ⇒ X = F0 /(mω02 ) ω→∞⇒X→0 dX =0 dω c/c : ⇒ r 1 ωr = ω0 1 − 2Q2 ⇒ 1 Q > √ ≃ 0.7 2 Lorsque Q ≫ 1 ⇒ ωr → ω0 √ Si Q > 1/√2 il y a résonance d'amplitude. Si Q < 1/ 2 pas de résonance d'amplitude. CPGE Oujda Lycée Omar Ibn Abdelaziz 5 Filière : MPSI Mécanique Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté 3.2 Etude de la résonance de vitesse : Cherchons des solutions de la forme : v(t) = V exp(iωt + φ′ ) = V exp(iωt) Dérivons l'équation diérentielle vériée par x(t) : v̈(t) + 2αv̇(t) + ω02 v(t) = iω F0 exp(iωt) m La solution de cette équation est : v(t) = iωF0 /m exp(iωt) ω02 − ω 2 + 2iαω V = V = nalement : V ω02 iωF0 /m − ω 2 + 2iαω iωF0 /m ω02 − ω 2 + iωQ0 ω QF0 /mω0 V = |V | = q 1 + Q2 ( ωω0 − ω 2 ω0 ) mω0 F0 5 4 3 2 1 0.5 c/c : 4 1 1.5 2 2.5 3 ω ω0 ω → 0 ⇒ V = 0. ω → ∞ ⇒ V = 0. dV ω = 0 ⇒ ω = ω0 . La résonance de vitesse se fait toujours à ω = ω0 , ∀Q. Portrait de phase : 4.1 Dénitions - Propriétés : On considère un point matériel M d'un seul degré de liberté ; x, θ, s..., et de vitesse : ẋ, θ̇, v ... . L'état de ce point est caractérisé par "point de phase" (x, ẋ) qui se déplace dans le "plan de phase" sur "la trajectoire de phase". Portrait de phase : L'ensemble des trajectoires de phase pour les diérentes conditions initiales. Les positions d'équilibre : X F⃗ext = mẍ⃗ex Si ẍ = 0 ; Le point de phase est une position d'équilibre. Si la trajectoire de phase est une courbe fermée donc : → Le mouvement est périodique. → Absence de frottements. CPGE Oujda Lycée Omar Ibn Abdelaziz 6 Filière : MPSI Mécanique Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté 4.2 Portrait de phase d'un d'un oscillateur harmonique : x(t) = A cos(ω0 + φ) donc : ẋ(t) = −Aω0 sin()ω0 t + φ Avec les conditions initiales qui sont : x(t = 0) = x0 et ẋ = ẋ0 . donc : r ẋ0 2 ) + x20 ω0 ẋ0 φ = − tan−1 ( ) ω0 x0 A= ( donc ; l'équation de la trajectoire de phase est : ( ẋ 2 x ) + ( )2 = 1 Aω0 A ẋ(t) ẋ(t)/ω0 x(t) x(t) Le sens de la trajectoire de phase est le sens horaire. Exemple : Portrait de phase d'un pendule simple. θ̈ + ω02 sin θ = 0 θ̇/ω0 θ CPGE Oujda Lycée Omar Ibn Abdelaziz 7 Filière : MPSI Mécanique Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté Propriétés : −→ La trajectoire est fermée : ⋆ mouvement périodique. ⋆ absence de frottement. ⋆ La position d'équilibre stable est xe = 0. ⋆ sens horaire. 4.3 Portrait de phase d'un d'un oscillateur amorti : Avec un logiciel de calcul, on obtient les courbes suivantes : θ̇/ω0 θ Propriétés : −→ La trajectoire est ouverte : ⋆ mouvement non périodique. ⋆ présence de frottement. ⋆ tend vers la position d'équilibre stable. CPGE Oujda Lycée Omar Ibn Abdelaziz 8 Filière : MPSI