Oscillateur

Mécanique
Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté
Ch4 : Oscillateur linéaire à un degré de liberté
1
Oscillateur harmonique :
1.1 Dénition :
On appelle oscillateur harmonique tout système dont le degré de liberté x(t) se met sous la forme
suivante :
x(t) = xm cos(ω0 t + φ)
Avec : x(t) : élongation.
xm : élongation maximale.
ω0 : pulsation propre.
ω0 t + φ : la phase à l'instant t.
φ : la phase à l'instant t=0.
2π
la période propre.
T0 = ω
0
Rque : La période propre T0 est indépendante des conditions initiales ; c'est une propriété
importante de l'oscillateur harmonique appelée isochronisme des oscillations.
1.2 Equation diérentielle :
L'équation diérentielle d'un oscillateur harmonique est :
ẍ + ω0 x = 0
Avec :
k = m.ω02
L'oscillateur harmonique évolue dans un puit de potentiel de type parabolique :
Ep (x) = E(x0 = 0) +
1 d2 E p
|x =0 x2
2 dx2 0
1
1
Ep (x) = E(0) + k.x2 = E(0) + kx2m cos2 (ω0 t + φ)
2
2
1
1
Ec = mv 2 = mẋ
2
2
1
Ec = mω02 sin2 (ω0 t + φ)
2
1
Em = Ec + Ep = Ep (0) + kx2m = cte
2
Donc le système est conservatif.
Calculons les valeurs moyennes de Ec et de Ep :
Dans le cas Ep (0) = 0 :
< Ec >=
< Ep >=
1
T0
1
T0
T0
Ec dt =
1 2
kx
4 m
Ep dt =
1 2
kx
4 m
0
T0
0
< Em >=
1 2
kx
2 m
Pendant le mouvement, il y a équipartition, en moyenne, des formes cinétique et potentielle
de l'énergie.
c/c :
< Ec >=< Ep >=
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1
< Em >
2
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MPSI
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2
Régime libre d'un oscillateur linéaire amorti :
2.1 Equation diérentielle :
L'équation diérentielle d'un oscillateur linéaire amorti par un frottement uide s'écrit sous la forme :
ẍ +
ω0
ẋ + ω02 x = ω02 d
Q
Avec : ω0 : pulsation propre.
Q : facteur de qualité.
2α = ωQ0 : c÷cient d'amortissement.
Rque : T.E.M :
dEm
= p(F⃗nc ) = −λv 2 < 0
dt
avec : λ : c÷cient de frottement.
Donc l'énergie mécanique est une fonction décroissante.
On pose X = x − d : l'élongation repérée à partir de la position d'équilibre.
Donc :
ẍ + 2αẋ + ω02 x = 0
2.2 Diérents régimes libres amorti :
Le discriminant :
2.2.1
∆ = 4α2 − 4ω02
Régime apériodique :
⇒
∆>0
⇒
α > ω0
r± = −α ±
Q<
1
2
q
α2 − ω02
x(t) = A exp(r+ t) + B exp(r− t)
x(t) = exp(−αt)(A exp(
q
q
α2 − ω02 .t) + B exp(− α2 − ω02 .t))
2
t
1
2
3
4
5
−2
2.2.2
Régime critique :
∆=0
⇒
α = ω0
⇒
Q=
1
2
r = −α
x(t) = (At + B) exp(−αt)
x(t) = exp(−αt)(At + B)
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2
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MPSI
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2
t
1
2
3
4
5
−2
2.2.3
Régime pseudo-périodique :
⇒
∆<0
⇒
α < ω0
r± = −α ± i
Q>
1
2
q
ω02 − α2
q
q
x(t) = exp(−αt)(A exp(i ω02 − α2 t) + B exp(−i ω02 − α2t))
x(t) = exp(−αt)(A′ cos(
q
ω02 − α2 .t + φ))
x(t) = exp(−αt)(A′ cos(Ω.t + φ))
avec Ω : pseudo pulsation.
2
t
1
2
3
4
5
−2
La pseudo-période est :
T =
2π
T0
T0
=q
=q
1
Ω
1 − ( ωα0 )2
1 − 4Q
2
2.3 Décrément logarithmique :
Par dénition :
δ = α.T
x(t) = A exp(−αt) cos(Ωt + φ)
x(t + nT ) = A exp(−α(t + nT )) cos(Ωt + φ) = x(t) exp(−αnT )
Donc :
αnT = ln(
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x(t)
)
x(t + nT )
3
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Si n = 1, donc :
δ = αT = ln(
Q : Montrer que :
δ=p
x(t)
)
x(t + T )
2π
4Q2 − 1
Rque :
La mesure de δ permet de déduire le facteur de qualité Q.
2.4 Interprétation physique :
2.4.1
Facteur de qualité :
Hypothèse : α → 0 ⇒ Q ≫ 1 ⇒ ω0 ≫ α.
r
Ω = ω0
1−
1
≃ ω0
4Q2
donc :
x(t) = A exp(−αt)(cos(ω0 t + φ))
Ep =
Ec =
1
1
k.x2 = k.A2 exp(−2αt) cos2 (ω0 + φ)
2
2
1
1
m.ẋ2 = m.A2 exp(−2αt)(−α cos(ω0 + φ) − ω0 sin(ω0 t + φ))2
2
2
1
Ec ≃ m.A2 ω02 exp(−2αt) sin(ω0 t + φ)
2
nalement :
Em =
Q : Calculer :
Em (t) − Em (t + T )
Em (t)
Q = 2π
2.4.2
k.A2
exp(−2αt)
2
Energie d′ oscillateur
Energie perdue pendant une pseudo − periode
Temps de relaxation :
(Temps d'amortissement)
C'est le temps nécessaire pour que l'amplitude se divise par e = 2, 718
Q : Montrer que : τ = 1/α (Q ≫ 1)
Q=
3
ω0 τ
2
Oscillateurs forcés - Résonance :
Pour maintenir l'amplitude des oscillations constante, il faut fournir une énergie égale à celle perdue
par les frottements à l'aide d'une force excitatrice.
Moteur
x
R.F.D :
⃗ + f⃗ + T⃗ + F⃗ (t) = m⃗a
P⃗ + R
projection / Ox :
−kx − λẋ + F (t) = mẍ
ẍ + 2αẋ + ω02 x =
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F (t)
m
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La solution x(t) est :
x(t) = xh + xp
xh dépend du signe de ∆.
xp = X cos(ωt + φp ) si F (t) = F0 cos(ωt + φ)
xh décrit le régime transitoire.
xp décrit le régime permanent.
3.1 Etude de la résonance d'élongation :
Cherchons une solution de la forme :
x(t) = X cos(ωt + φ))
Pour simplier :
−→
x(t) = X cos(ωt + φ)
x(t) = X exp(i(ωt + φ)) = X exp(iωt)
avec : X = X exp iφ : Amplitude complexe.
donc : X = |X| et φ = arg(X).
F (t) = F0 cos(ωt) −→ F (t) = F0 exp(iωt).
L'éq di devient :
F0
exp(iωt)
m
2
Or : ẋ(t) = iωx(t) et ẍ(t) = −ω x(t)
ẍ(t) + 2αẋ(t) + ω02 x(t) =
x(t)(−ω 2 + 2iαω + ω02 ) =
Finalement :
X=
X=
F0 /m
ω02 − ω 2 + 2iαω
ω02
X = |X| = q
X
F0
exp iωt
m
F0 /m
0ω
− ω 2 + i ωQ
F0 /m
0ω 2
(ω02 − ω 2 )2 + ( ωQ
)
mω02
F0
5
4
3
2
1
0.5
1
1.5
2
2.5
3
ω
ω0
ω → 0 ⇒ X = F0 /(mω02 )
ω→∞⇒X→0
dX
=0
dω
c/c :
⇒
r
1
ωr = ω0 1 −
2Q2
⇒
1
Q > √ ≃ 0.7
2
Lorsque Q ≫ 1 ⇒ ωr → ω0
√
Si Q > 1/√2 il y a résonance d'amplitude.
Si Q < 1/ 2 pas de résonance d'amplitude.
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3.2 Etude de la résonance de vitesse :
Cherchons des solutions de la forme :
v(t) = V exp(iωt + φ′ ) = V exp(iωt)
Dérivons l'équation diérentielle vériée par x(t) :
v̈(t) + 2αv̇(t) + ω02 v(t) = iω
F0
exp(iωt)
m
La solution de cette équation est :
v(t) =
iωF0 /m
exp(iωt)
ω02 − ω 2 + 2iαω
V =
V =
nalement :
V
ω02
iωF0 /m
− ω 2 + 2iαω
iωF0 /m
ω02 − ω 2 + iωQ0 ω
QF0 /mω0
V = |V | = q
1 + Q2 ( ωω0 −
ω 2
ω0 )
mω0
F0
5
4
3
2
1
0.5
c/c :
4
1
1.5
2
2.5
3
ω
ω0
ω → 0 ⇒ V = 0.
ω → ∞ ⇒ V = 0.
dV
ω = 0 ⇒ ω = ω0 .
La résonance de vitesse se fait toujours à ω = ω0 , ∀Q.
Portrait de phase :
4.1 Dénitions - Propriétés :
On considère un point matériel M d'un seul degré de liberté ; x, θ, s..., et de vitesse : ẋ, θ̇, v ... .
L'état de ce point est caractérisé par "point de phase" (x, ẋ) qui se déplace dans le "plan de phase"
sur "la trajectoire de phase".
Portrait de phase : L'ensemble des trajectoires de phase pour les diérentes conditions initiales.
Les positions d'équilibre :
X
F⃗ext = mẍ⃗ex
Si ẍ = 0 ; Le point de phase est une position d'équilibre.
Si la trajectoire de phase est une courbe fermée donc :
→ Le mouvement est périodique.
→ Absence de frottements.
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4.2 Portrait de phase d'un d'un oscillateur harmonique :
x(t) = A cos(ω0 + φ)
donc :
ẋ(t) = −Aω0 sin()ω0 t + φ
Avec les conditions initiales qui sont : x(t = 0) = x0 et ẋ = ẋ0 .
donc :
r
ẋ0 2
) + x20
ω0
ẋ0
φ = − tan−1 (
)
ω0 x0
A=
(
donc ; l'équation de la trajectoire de phase est :
(
ẋ 2
x
) + ( )2 = 1
Aω0
A
ẋ(t)
ẋ(t)/ω0
x(t)
x(t)
Le sens de la trajectoire de phase est le sens horaire.
Exemple : Portrait de phase d'un pendule simple.
θ̈ + ω02 sin θ = 0
θ̇/ω0
θ
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Propriétés :
−→ La trajectoire est fermée :
⋆ mouvement périodique.
⋆ absence de frottement.
⋆ La position d'équilibre stable est xe = 0.
⋆ sens horaire.
4.3 Portrait de phase d'un d'un oscillateur amorti :
Avec un logiciel de calcul, on obtient les courbes suivantes :
θ̇/ω0
θ
Propriétés :
−→ La trajectoire est ouverte :
⋆ mouvement non périodique.
⋆ présence de frottement.
⋆ tend vers la position d'équilibre stable.
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