x(t)
x(t) = xmcos(ω0t+φ)
x(t)
xm
ω0
ω0t+φ
φ
T0=2π
ω0T0
¨x+ω0x= 0
k=m.ω2
0
Ep(x) = E(x0= 0) + 1
2
d2Ep
dx2|x0=0x2
Ep(x) = E(0) + 1
2k.x2=E(0) + 1
2kx2
mcos2(ω0t+φ)
Ec=1
2mv2=1
2m˙x
Ec=1
22
0sin2(ω0t+φ)
Em=Ec+Ep=Ep(0) + 1
2kx2
m=cte
EcEp
Ep(0) = 0
< Ec>=1
T0
T0
0
Ecdt =1
4kx2
m
< Ep>=1
T0
T0
0
Epdt =1
4kx2
m
< Em>=1
2kx2
m
< Ec>=< Ep>=< Em>
2
¨x+ω0
Q˙x+ω2
0x=ω2
0d
ω0
Q
2α=ω0
Q
dEm
dt =p(
Fnc) = λv2<0
λ
X=xd
¨x+ 2α˙x+ω2
0x= 0
∆=4α24ω2
0
>0α > ω0Q < 1
2
r±=α±qα2ω2
0
x(t) = Aexp(r+t) + Bexp(rt)
x(t) = exp(αt)(Aexp(qα2ω2
0.t) + Bexp(qα2ω2
0.t))
1 2 3 4 5
2
2
t
∆=0 α=ω0Q=1
2
r=α
x(t)=(At +B) exp(αt)
x(t) = exp(αt)(At +B)
1 2 3 4 5
2
2
t
<0α < ω0Q > 1
2
r±=α±iqω2
0α2
x(t) = exp(αt)(Aexp(iqω2
0α2t) + Bexp(iqω2
0α2t))
x(t) = exp(αt)(Acos(qω2
0α2.t +φ))
x(t) = exp(αt)(Acos(Ω.t +φ))
12345
2
2
t
T=2π
=T0
q1(α
ω0)2
=T0
q11
4Q2
δ=α.T
x(t) = Aexp(αt) cos(Ωt+φ)
x(t+nT ) = Aexp(α(t+nT )) cos(Ωt+φ) = x(t) exp(αnT )
αnT = ln( x(t)
x(t+nT ))
n= 1
δ=αT = ln( x(t)
x(t+T))
δ=2π
p4Q21
δ Q
α0Q1ω0α
Ω = ω0r11
4Q2ω0
x(t) = Aexp(αt)(cos(ω0t+φ))
Ep=1
2k.x2=1
2k.A2exp(2αt) cos2(ω0+φ)
Ec=1
2m. ˙x2=1
2m.A2exp(2αt)(αcos(ω0+φ)ω0sin(ω0t+φ))2
Ec1
2m.A2ω2
0exp(2αt) sin(ω0t+φ)
Em=k.A2
2exp(2αt)
Em(t)Em(t+T)
Em(t)
Q= 2πEnergie doscillateur
Energie perdue pendant une pseudo periode
e= 2,718
τ= 1 Q 1
Q=ω0τ
2
x
P+
R+
f+
T+
F(t) = ma
Ox
kx λ˙x+F(t) = m¨x
¨x+ 2α˙x+ω2
0x=F(t)
m
x(t)
x(t) = xh+xp
xh
xp=Xcos(ωt +φp)F(t) = F0cos(ωt +φ)
xh
xp
x(t) = Xcos(ωt +φ))
x(t) = Xcos(ωt +φ)x(t) = Xexp(i(ωt +φ)) = Xexp(t)
X=Xexp
X=|X|φ= arg(X)
F(t) = F0cos(ωt)F(t) = F0exp(t)
¨x(t) + 2α˙x(t) + ω2
0x(t) = F0
mexp(t)
˙x(t) = x(t) ¨x(t) = ω2x(t)
x(t)(ω2+ 2iαω +ω2
0) = F0
mexp t
X=F0/m
ω2
0ω2+ 2iαω
X=F0/m
ω2
0ω2+iω0ω
Q
X=|X|=F0/m
q(ω2
0ω2)2+ (ω0ω
Q)2
0.5 1 1.522.5 3
1
2
3
4
5
X2
0
F0
ω
ω0
ω0X=F0/(2
0)
ω→ ∞ X0
dX
= 0 ωr=ω0r11
2Q2Q > 1
20.7
Q1ωrω0
Q > 1/2
Q < 1/2
1 / 8 100%
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