COMP ANA 2023

COMPLEMENTS D’ANALYSE
ESATIC UP MATHS

Table des matières
NOTATIONS 6
1 CALCUL INTEGRAL 8
1.1 Introduction................................. 8
1.2 Objectifs................................... 8
1.3 Décomposition en éléments simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3.1 Rappels............................... 9
1.3.2 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.4 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles . . . . . . . . . 19
1.5 Primitives et intégrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.5.1 Primitives.............................. 32
1.5.2 Primitives usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5.3 Relation primitive-intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.5.4 Méthodes de Calcul de primitives et d’intégrales . . . . . . . . . 36
1.5.5 SommesdeRiemann........................ 42
1.6 Calculdeprimitives............................. 43
1.6.1 Primitives de fonctions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.6.2 Fonction Circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.6.3 Fonction hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.6.4 IntégraleAbélien.......................... 50
1.7 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs complexes . . . . . . . 53
1.8 Approximation ............................... 54
1.8.1 Méthodes numériques de calcul d’intégrales. . . . . . . . . . . . 54
1.8.2 valeur approchée de réels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.9 Résumé ................................... 56
1.9.1 Subdivision d’un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.9.2 Intégrale d’une fonction en escalier . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.9.3 Fonction intégrable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.9.4 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1.9.5 Fonctions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
1

TABLE DES MATIÈRES
1.9.6 Extension de la définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.9.7 Expression d’une primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.9.8 Calculsd’aires ........................... 57
1.9.9 Relation de Chasles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.9.10 Intégrale d’une fonction continue paire ou impaire . . . . . . . . 57
1.9.11 Linéarité de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.9.12 Signe d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.9.13 Comparaison de deux integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.9.14 Inegalites de la moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.9.15 Majoration d’une intégrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.9.16 Nullite d’une integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
1.9.17 Valeur moyenne d’une fonction continue entre aet b....... 59
1.9.18 Integration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.9.19 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.9.20 SommesdeRiemann........................ 59
1.9.21 Primitives d’une fonction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . 59
1.9.22 Primitives de fractions rationnelles en sinus et cosinus . . . . . . 60
1.9.23 Fonction hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
1.9.24 Intégrale Abélien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2 EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES ORDINAIRES 63
2.1 Introduction................................. 63
2.2 Objectifs................................... 64
2.3 Définitions.................................. 64
2.4 Equations à variables séparables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.5 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.1 Définitions ............................. 66
2.5.2 Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.5.3 Solutiongénérale.......................... 67
2.5.4 Recherche de solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.5.5 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5.6 Résolution de l’équation y0+ay =bpar la méthode de Lagrange 72
2.5.7 Exercices.............................. 75
2.6 Equations différentielles linéaires du second ordre . . . . . . . . . . . . . 76
2.6.1 Définitions ............................. 76
2.6.2 Equation à coefficients constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
2.7 Résumé ................................... 83
2.7.1 Équation différentielle linéaire du premier ordre . . . . . . . . . . 83
2.7.2 Equation différentielle linéaire du second ordre . . . . . . . . . . 83
ESATIC 2UP Maths

TABLE DES MATIÈRES
3 DEVELOPPEMENTS LIMITES (DL) 86
3.1 Introduction................................. 86
3.2 Objectifs................................... 86
3.3 Formules de Taylor ............................ 86
3.4 Définitions.................................. 88
3.5 Propriétés .................................. 89
3.6 Quelques DLs usuels (au voisinage de 0). . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.7 DL des fonctions en un point quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.8 Développement limité au voisinage de l’infini . . . . . . . . . . . . . . . 92
3.9 OpérationssurlesDL............................ 93
3.9.1 Combinaison linéaire de DL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
3.9.2 Produit ............................... 94
3.9.3 Composée.............................. 96
3.9.4 Quotient .............................. 97
3.9.5 Dérivation.............................. 99
3.9.6 Primitivation ............................100
3.10 Développements limités généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.11UtilisationsdesDL .............................101
3.11.1 Recherche d’équivalents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
3.11.2 Calcul de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
3.11.3 Etude de Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
3.11.4 Étude des branches infinies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.11.5 Position locale par rapport à la tangente . . . . . . . . . . . . . . 105
3.12Résumé ...................................105
3.12.1 Développement limité en 0.....................105
3.12.2 Développement limité en a.....................106
3.12.3 Développement limité à l’infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
3.12.4 Propriétés..............................106
3.12.5 Condition suffisante (non nécessaire) d’existence . . . . . . . . . 107
3.12.6 Recherche d’une tangente en un point . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.12.7 Recherche d’une asymptote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.12.8 Développements limités usuels en 0 . . . . . . . . . . . . . . . . 107
3.12.9 Opérations algébriques (On se ramène d’abord en 0) . . . . . . . 107
3.12.10Composition ............................108
4 NOTIONS SUR LES FONCTIONS A DEUX VARIABLES 109
4.1 Introduction.................................109
4.2 Objectifs...................................109
4.3 Normes-Ouverts...............................109
ESATIC 3UP Maths

TABLE DES MATIÈRES
4.3.1 Normes...............................109
4.3.2 Ouverts...............................110
4.4 Graphe....................................111
4.5 Applications partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.6 Limite-Continuité .............................112
4.6.1 Limite................................112
4.6.2 Continuité..............................115
4.7 Dérivées partielles - Différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7.1 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
4.7.2 Différentielle............................120
4.8 Extrémums .................................121
4.8.1 Définition..............................121
4.8.2 Condition nécessaire du premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . 122
4.8.3 Conditions du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
4.9 Résumé ...................................130
4.9.1 Définition..............................130
4.9.2 Normes...............................130
4.9.3 Ouverts...............................130
4.9.4 Graphe ...............................131
4.9.5 Applications partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.9.6 Limite - Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.9.7 Limite................................132
4.9.8 Continuité..............................133
4.9.9 Dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
4.9.10 Optimisation de fonctions de deux variables . . . . . . . . . . . . 135
5 ANNEXE : DECOMPOSITION EN ELEMENTS SIMPLES 137
5.1 Méthodethéorique .............................137
5.1.1 METHODE 0 : Revenir au théorème fondamental . . . . . . . . . 137
5.2 Méthodes communes à Ret C.......................138
5.2.1 Etapes préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
5.2.2 Simplifications éventuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
5.2.3 Deux méthodes quand il n’y a plus qu’un coefficient à calculer . . 140
5.3 Méthodes pratiques (cas complexe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.1 Cas d’un pôle simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
5.3.2 Cas d’un pôle multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
5.4 Méthodes pratiques (cas réel) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.1 Eléments de première espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
5.4.2 Eléments de deuxième espèce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
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