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Prof: Jamal hafidi
2-BAC: pc-3
Examen-blanc 01-
2021 -2022
30-05-22
Exercice : 01(2.5pts)
Dans une bibliothèque se trouvent 10 livres en langues étranges : 5 en anglais, 2 en allemand et 3 en espagnol. On tire
simultanément au hasard 5 de ces livres
1- Calculer la probabilité de chacun des deux événements suivants :
A. « 3 livres sont en anglais et 2 en espagnol »
B. « 3livres sont dans une langue et 2 dans une autre »
2- Soit 𝑋 la variable aléatoire qui associe à chaque tirage le nombre de livres en espagnol tirés
a) Déterminer la loi de probabilité de 𝑋
b) Calculer l’espérance, la variance et l’écart-type
Exercice : 02(3pts)
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct (𝑂; 𝑖⃗; 𝑗⃗; 𝑘⃗⃗ ) ,on considère les points 𝐴(1; −1; 3) Et soit (𝑃) le
plan d’équation : 𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 0
1- Déterminer la représentation paramétrique de la droite (𝑂𝐴)
2- Déterminer une équation cartésienne du plan (𝑄) perpendiculaire à la droite (𝑂𝐴) en 𝐴
3- Vérifier que (𝑃) 𝑒𝑡 (𝑄) sont parallèles
On considère la sphère (𝑆) Tangente à le plan (𝑄) en 𝐴 et qui coupe le plan (𝑃) selon un cercle de centre 𝑂 est de rayon
𝑟 = √33
4- Montre que Ω(𝑎; 𝑏; 𝑐) centre de la sphère (𝑆) appartient à la droite (𝑂𝐴), puis déduire que :
𝑏 = −𝑎 𝑒𝑡 𝑐 = 3𝑎
5- Montre que :Ω𝐴2 − Ω𝑂2 = 33 et 𝑎 − 𝑏 + 3𝑐 = −11
6- Déduire les cordonnés de Ω centre de la sphère (𝑆) et montrer que son rayon 𝑅 = 2√11
Exercice : 03(3pts)
On considère la suite numérique ( un ) définie par : u0 = 2 et un +1 =
8un + 3
pour tout n de IN
un + 6
1- a) Montrer par récurrence que 1  un  3 pour tout n de IN
b) Vérifier que un +1 − un =
c) En déduire que la suite
(1 + un )( 3 − un )
6 + un
pour tout n de IN puis montrer que la suite ( un ) est croissante.
( un ) est convergente.
un − 3
pour tout n de IN
un + 1
5
a) Montrer que ( vn ) est une suite géométrique de raison puis écrire vn en fonction de n
9
n
15
3−  
3 9
b) Montrer que un =
pour tout n de IN , puis déterminer la limite de la suite ( un )
n
15
1+  
3 9
c) Déduire la limite de la suite ( wn ) définie par : wn = (un − 2)eun pour tout n de IN
2- Soit ( vn ) la suite numérique telle que :
3- a) Montrer que 3 − un +1 
vn =
5
( 3 − un ) pour tout n de IN
7
n
5
b) En déduire que 0  3 − un    pour tout n de IN
7
c) Retrouver la limite de la suite ( un )
Exercice : 04(3.5pts)
1) Résoudre dans l’ensemble
des nombres complexes l’équation : z 2 − 6 z + 10 = 0
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
(O, u, v ) , on considère les points A et B d’affixes
respectives a = 4 et b = 3 − i
a) Soient z l’affixe d’un point M du plan et z ' l’affixe du point M ' , image de M par la rotation R de

2
Montrer que z ' = −iz + 4 + 4i
b) Vérifier que l’affixe du point C image du point B par la rotation R est c = 3 + i
c) En déduire la nature du triangle ABC
3) Soient t la translation de vecteur AB et D l’image du point C par t
a) Déterminer d l’affixe du point D
b) En déduire la nature du quadrilatère ABDC
4) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que z − 3 − i = 3 + i
centre A et d’angle −
Problème(8pts)
I.
Soit 𝑓 la fonction numérique définie par : f(𝑥) = (𝑥 − 2) 𝑒 2𝑥 − 4(𝑥 − 1)𝑒 𝑥 − 2, et soit ( C f
1
(
)
4
2
) la courbe
représentative de f dans un repère orthonormé O, i, j (unité 2 cm)
1- Calculer 𝑙𝑖𝑚 𝑓(𝑥).
𝑥→ −∞
1
4
2- a- Montrer que :: f(𝑥) = 𝑥𝑒 2𝑥 (1 − 2𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑥𝑒 2𝑥 )
b- Déduire la limite de𝑓 en +∞
3- Etudier les branches infinies de ( C f )
4- Etudier les variations de f
5- Montrer que ( C f ) coupe l’axe des abscisses en un point dont l’abscisse appartient à l’intervalle [−2; −1]
6- Tracer ( C f
)
7- Résoudre graphiquement selon le paramètre 𝑚 l’équation suivante :
𝑒𝑥
𝑥(𝑒 𝑥 − 4) = (𝑚 + 2)𝑒 −𝑥 + − 4
2
8- a- soit 𝜆 un nombre réel strictement négatif. En faisant une intégration par parties, calculer
0
0
1
𝐼 = ∫ (𝑥 − 1)𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑒𝑡 𝐽 = ∫ (𝑥 − ) 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥
2
𝜆
𝜆
b- Déduire l’aire 𝐴(𝜆) du domaine plan limité par ( C f ) , les droite 𝑦 = −2; 𝑥 = 0 𝑒𝑡 𝑥 = 𝜆
c- 𝑙𝑖𝑚 𝐴(𝜆).
𝜆→ −∞
II.
1
On considère la fonction numérique 𝑔 définie par :
{
𝑔(𝑥) = (𝑥 2 − 4𝑥) ln(𝑥) − 2 (𝑥 2 − 8𝑥 + 4)
𝑔(0) = −2
et soit (𝐶𝑔 ) la courbe représentative de 𝑔 dans un repère orthonormé O, i, j (unité 2 cm)
(
1234-
)
Montrer que :∀𝑥 > 0; 𝑔(𝑥) = 𝑓(ln(𝑥))
Etudier la continuité de g à droite de 0.
Etudier la dérivabilité de g à droite de 0,
Calculer 𝑙𝑖𝑚 𝑔(𝑥).
𝑥→ +∞
5- Etudier les variations de 𝑔
6- Etudier les branches infinies de (𝐶𝑓 )
7- Déduire du résultat de 5 de la première partie un encadrement de l’abscisse du point d’intersection de (𝐶𝑔 )
avec l’axe des abscisses
8- Tracer (𝐶𝑔 )