Exos Physique Sup>Spé

de la PCSI à la PC
exercices de physique
A. Le Rille
maths spé PC
lycée Janson de Sailly
2008-2009
Table des matières
I
Mécanique
5
1 Mécanique du point matériel
7
1.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.B.1 - Roue de vélo
1.B.2 - Trajectoire cycloïdale
1.B.3 - Bretelle d'autoroute
1.B.4 - Course de voitures
1.B.5 - Energie potentielle de Yukawa
1.B.6 - Une balle de golf dans un lac
1.B.7 - Saut à ski
1.B.8 - Le pendule du professeur Tournesol
1.B.9 - Interaction de deux particules chargées
1.B.10 - Lancement d'un pendule
1.B.11 - Mouvement d'une bille sur un ballon
1.B.12 - L'enfant sur un toboggan
1.B.13 - Utilisation d'un portrait de phase
1.B.14 - Tracé d'un portrait de phase
1.B.15 - Cycloïdes d'un point à la circonférence d'une roue de vélo
1.B.16 - Pendule dans un ascenseur
1.B.17 - Pendule dans une voiture
1.B.18 - Entraînement à l'apesanteur
1.B.19 - Ressort vertical dans un ascenseur
9
1.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.A.1 - Trajectoire parabolique
1.A.2 - Trajectoires circulaires
1.A.3 - La densité moyenne de la Terre
1.A.4 - Un homme sur la Lune
1.A.5 - Force dérivant d'un potentiel à deux dimensions - n1
1.A.6 - Force dérivant d'un potentiel à deux dimensions - n2
1.A.7 - Trajectoire du premier satellite articiel
1.A.8 - Trajectoire d'un point à accélération centripète
1.A.9 - Mouvement d'un ressort horizontal
1.A.10 - Mouvement d'un ressort vertical
1.A.11 - Pendule simple
1.A.12 - Etude de la chute d'une bille dans diérents référentiels
7
1.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.C.1 - Conservation de l'énergie mécanique sur une arche de cycloïde
1.C.2 - Déviation d'un satellite
1.C.3 - Un pendule dans une voiture
1.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.D.1 - Mouvement d'une particule dans un champ de force newtonien
1.D.2 - Relaxation d'un oscillateur
3
1.D.3 - Résonance d'un oscillateur
1.D.4 - Eets des forces d'inertie dans le référentiel terrestre
1.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2 Mécanique du solide
23
2.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.A.1 - Le centre de masse d'une épuisette
2.A.2 - Energie cinétique d'une balançoire
2.A.3 - Eléments cinétiques d'un cerceau
2.A.4 - Eléments cinétiques des boucles d'oreilles de Chloé
2.A.5 - Eléments cinétiques d'une nacelle de grande roue
2.A.6 - Etude du champ des vitesses dans un solide
2.A.7 - Cosette va au puits
2.A.8 - Recul d'une arme à feu
2.A.9 - Astérix et Cléopâtre
2.A.10 - Principe du diérentiel
2.A.11 - Deux sphères qui roulent
2.A.12 - Le seau qui plonge dans le puits
2.A.13 - Le patineur
2.A.14 - Moteur d'axe xe
2.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.B.1 - Roue de voiture lestée
2.B.2 - Eléments cinétiques d'un pendule demi-circulaire
2.B.3 - Moment cinétique d'une balance à plateaux
2.B.4 - La fusée
2.B.5 - La chute d'une chaîne
2.B.6 - Position d'équilibre d'une balance à plateaux
2.B.7 - Le seau qui tombe dans le puits avec une poulie
2.B.8 - Détermination d'un coecient de frottement
2.B.9 - Machine d'Atwood
2.B.10 - Nécessité du volant d'inertie
2.B.11 - Nécessité de l'équilibrage statique
2.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.C.1 - Positions d'équilibre d'une craie dans un tuyau
2.C.2 - Une bille dans une goutière
2.C.3 - Un cylindre dans un autre cylindre
2.C.4 - Sphère qui roule dans une rigole
2.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.D.1 - Réduction canonique du problème à deux corps
2.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3 Mécanique des uides
33
3.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.A.1 - Densité particulaire dans l'eau
3.A.2 - Caractéristique d'un écoulement dans un dièdre droit
3.A.3 - Accélération dans un dièdre droit
3.A.4 - Détermination d'un champ de vitesses et d'accélération
3.A.5 - Diérence entre lignes de courant et trajectoires
3.A.6 - Ecoulement entre deux cylindres
3.A.7 - Ecoulement au dessus d'un plan oscillant
3.A.8 - Champ de pression dans un écoulement unidirectionnel
3.A.9 - Ecoulement barotrope pour un gaz parfait
3.A.10 - Loi de Torricelli
3.A.11 - Compteur de gaz
3.A.12 - Jet sur une plaque mobile
3.A.13 - Puissance d'une pompe
3.A.14 - Mélangeur
3.A.15 - Compresseur adiabatique
3.A.16 - Force de poussée subie par une fusée
3.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.B.1 - Distance entre particules dans l'eau
3.B.2 - Caractéristique d'un écoulement pour un uide en rotation
3.B.3 - Caractéristique d'un écoulement plan au voisinage d'une source ponctuelle
3.B.4 - Caractéristique d'un écoulement dans un dièdre droit (2)
3.B.5 - Ecoulement entre deux cylindres (2)
3.B.6 - Fonction de courant d'un écoulement plan incompressible
3.B.7 - Relation de Bernouilli et premier principe de la thermodynamique
3.B.8 - Temps de vidange d'un récipient
3.B.9 - Force exercée sur une seringue
3.B.10 - Evolution de la vitesse d'une fusée
3.B.11 - Refrigérant
3.B.12 - Force sur une lance d'incendie
3.B.13 - Tourniquet d'arrosage
3.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.C.1 - Liquide en rotation
3.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.D.1 - Etude de quelques écoulements plans
3.D.2 - Exemples de bilans pour quelques systèmes ouverts
3.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
II
Thermodynamique
4 Transformations thermodynamiques
43
45
4.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.A.1 - Le skieur
4.A.2 - L'échelle Fahrenheit
4.A.3 - Vitesse des molécules dans l'air
4.A.4 - Température d'un pneu
4.A.5 - Masse de l'air dans une pièce
4.A.6 - Caractéristiques d'un gaz de krypton
4.A.7 - Énergie et vitesse dans un tube néon
4.A.8 - Coecients thermoélastiques d'un gaz réel
4.A.9 - Baromètres
4.A.10 - Expérience de Pascal à la tour Saint Jacques
4.A.11 - Gazomètre
4.A.12 - Du gaz dans l'eau
4.A.13 - Denivellation dans un tube en U
4.A.14 - Densitomètre
4.A.15 - Quentin joue dans son bain
4.A.16 - Forces de pression sur une paroi
4.A.17 - Chute d'eau
4.A.18 - Un bon bain chaud
4.A.19 - Chaleurs massiques
4.A.20 - Trois travaux diérents
4.A.21 - Compressions d'un gaz parfait
4.A.22 - Variation d'entropie d'un gaz parfait
4.A.23 - Entropie de mélange de deux gaz
4.A.24 - Entropie de mélange de deux liquides
4.A.25 - Cycle de Carnot
4.A.26 - Cycle à trois temps
4.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.B.1 - Dissociation du brome
4.B.2 - Calculs de pressions partielles
4.B.3 - Gaz parfait dans un cylindre vertical
4.B.4 - Coecients thermoélastiques d'un gaz parfait
4.B.5 - Coecients thermoélastiques du dioxyde de carbone
4.B.6 - Détermination d'une équation d'état à partir des coecients thermoélastiques
4.B.7 - Détermination de l'équation d'état d'un gaz à partir de la diérentielle de sa pression
4.B.8 - Modélisation de Van der Waals de la vapeur d'eau
4.B.9 - Détermination de la masse volumique d'une sphère
4.B.10 - Presse hydraulique
4.B.11 - Pression au fond d'une fosse océanique
4.B.12 - Mesure d'une diérence de pression dans une canalisation
4.B.13 - Mesure d'une diérence de pression entre deux canalisations
4.B.14 - Masse de l'atmosphère
4.B.15 - Ballon atmosphérique
4.B.16 - Atmosphère polytropique
4.B.17 - Atmosphère adiabatique
4.B.18 - Chaleur échangée par un corps qui chute
4.B.19 - Energie interne d'un gaz parfait
4.B.20 - Etirement d'un ressort
4.B.21 - Variation d'entropie d'un solide chaué ou refroidi
4.B.22 - Bilan d'entropie pour un solide métallique chaué
4.B.23 - Bilan d'entropie pour une résistance électrique
4.B.24 - Interprétation statistique de l'entropie dans le cas d'un système à deux niveaux
4.B.25 - Expression de l'équation d'état à partir de l'énergie interne et de l'entropie
4.B.26 - Cycle de Brayton
4.B.27 - Cycle de Stirling
4.B.28 - Moteur et pompe à chaleur utilisés pour un chaue-eau
4.B.29 - Climatiseur
4.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.C.1 - Un cylindre avec deux compartiments
4.C.2 - Expérience de Clément et Desormes
4.C.3 - Variation d'entropie d'une barre
4.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.D.1 - Bilans d'énergie et d'entropie pour un gaz parfait
4.D.2 - Moteurs à combustion interne
4.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5 Thermodynamique hors équilibre
59
5.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.A.1 - Équilibre de deux gaz
5.A.2 - Variétés allotropiques du soufre
5.A.3 - Mesure expérimentale de l'enthalpie massique de fusion de la glace
5.A.4 - Transformation de glace en eau
5.A.5 - Pression de vapeur saturante de l'eau
5.A.6 - Refroidissement d'un composant électronique
5.A.7 - Etude d'un double-vitrage
5.A.8 - Pertes thermiques à travers un pan de mur
5.A.9 - La sensation de chaud ou de froid
5.A.10 - Durée d'un régime transitoire
5.A.11 - Isolant
5.A.12 - Diusion d'un pic de température
5.A.13 - Séparation isotopique
5.A.14 - Temps de diusion du CO2 dans une pièce
5.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.B.1 - Évolution monotherme isochore d'un liquide
5.B.2 - Évolution lors de la fusion d'un glaçon
5.B.3 - Température dans un igloo
5.B.4 - Transfert par conduction et (ir)réversibilité
5.B.5 - Etude d'une cave enterrée
5.B.6 - Conduction thermique entre deux sphères concentriques
5.B.7 - Absorption de neutrons par le bore
5.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.C.1 - Des cochons sur la banquise
5.C.2 - Hélium dans un cryostat
5.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.D.1 - Etude des transformations de l'eau à la pression atmosphérique
5.D.2 - Conditions aux limites et équation de diusion
5.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
III Electromagnétisme
69
6 Lois générales de l'électromagnétisme
71
6.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
6.A.1 - Nuage électronique
6.A.2 - Noyau radioactif β −
6.A.3 - Feuille d'aluminium chargée
6.A.4 - Fil électrique
6.A.5 - Conduction électrique dans un ruban d'aluminium
6.A.6 - Conservation de la charge et équations de Maxwell
6.A.7 - Des "charges" magnétiques
6.A.8 - Un champ magnétique radial
6.A.9 - Un champ électrique orthoradial
6.A.10 - Courants électriques et courants de déplacement
6.A.11 - Potentiel vecteur dans le cas d'un champ magnétique homogène
6.A.12 - Potentiel scalaire créé par une charge ponctuelle
6.A.13 - Champ électrique créé par une charge ponctuelle
6.A.14 - Champ électrique au voisinage d'un conducteur parfait
6.A.15 - Champ magnétique au voisinage d'un conducteur parfait
6.A.16 - Cyclotron de Lawrence
6.A.17 - Expérience de J.J.Thomson (1897)
6.A.18 - Spectrographe de Bainbridge
6.A.19 - Bilan d'énergie dans un conducteur cylindrique
6.A.20 - Bilan d'énergie dans un condensateur plan
6.A.21 - Bilan d'énergie dans un solénoïde cylindrique
6.A.22 - Force exercée par un champ magnétique uniforme sur une spire circulaire
6.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
6.B.1 - Vitesse des électrons dans le cuivre
6.B.2 - Symétries d'une sphère chargée surfaciquement
6.B.3 - Symétries d'une spire circulaire
6.B.4 - Symétries d'un ensemble de deux ls parallèles
6.B.5 - Courant évanescent
6.B.6 - Distribution volumique de charge dans l'atome d'hydrogène
6.B.7 - Equations de Maxwell et conservation de la charge
6.B.8 - Comparaison entre courants électriques et courants de déplacement
6.B.9 - Source radioactive ponctuelle
6.B.10 - Mesure expérimentale de me
6.B.11 - Focalisation électrique d'un faisceau homocinétique d'électrons
6.B.12 - Focalisation magnétique d'un faisceau homocinétique d'électrons
6.B.13 - Moment des forces de Laplace sur une tige conductrice
6.B.14 - Roue de Barlow
6.B.15 - Cadre carré dans un champ magnétique
6.B.16 - Balance de Cotton
6.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.C.1 - Cylindre conducteur
6.C.2 - Particule traversant une zone chargée
6.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.D.1 - Introduction à l'analyse vectorielle
6.D.2 - Etude des symétries d'une distribution
6.D.3 - Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique homogène et stationnaire
6.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7 Electrostatique
83
7.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
7.A.1 - Symétries de distributions de charge
7.A.2 - Quatre charges ponctuelles
7.A.3 - Cas d'un champ connu
7.A.4 - Deux condensateurs en série
7.A.5 - Moment dipolaire de l'eau
7.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.B.1 - Disque chargé
7.B.2 - Champ électrostatique créé par un cerceau linéiquement chargé
7.B.3 - Champ électrostatique créé par un l inni linéiquement chargé
7.B.4 - Champ électrostatique créé par une demi-sphère surfaciquement chargée
7.B.5 - Champ et potentiels électrostatiques d'un noyau atomique
7.B.6 - Capacité d'un condensateur dièdrique
7.B.7 - Répulsion de deux hémisphères chargés
7.B.8 - Energies électrostatiques de l'atome d'hydrogène considéré comme un doublet
7.B.9 - Distribution dipolaire surfacique
7.B.10 - Intéraction de deux dipoles électrostatiques à distance constante
7.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.C.1 - Sphère chargée uniformément
7.C.2 - Un tunnel pour traverser la Terre
7.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
7.D.1 - Analogie entre gravitation et électrostatique
7.D.2 - Détermination de champs électrostatiques et de capacités
7.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
8 Magnétostatique
91
8.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8.A.1 - Champ magnétique créé dans un cylindre creux conducteur
8.A.2 - Force exercée par un champ magnétique uniforme sur un dipôle
8.A.3 - Force exercée par un l sur un dipôle magnétique
8.A.4 - Mesure du moment dipolaire magnétique d'un aimant
8.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
8.B.1 - Expérience de Rowland
8.B.2 - Champ magnétique créé au centre d'une sphère chargée surfaciquement qui tourne
8.B.3 - Champ magnétique créé au centre d'une sphère chargée volumiquement qui tourne
8.B.4 - Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre
8.B.5 - Eet Hall dans une plaquette semiconductrice d'arséniure d'indium
8.B.6 - Eet Hall dans une plaquette conductrice de cuivre
8.B.7 - Intéraction de deux dipoles magnétiques à distance constante
8.B.8 - Monopôles et dipôles magnétiques
8.B.9 - Modèle classique du spin de l'électron
8.B.10 - Inclinaison du champ magnétique terrestre en fonction de la latitude
8.B.11 - Valeur du moment dipolaire magnétique terrestre
8.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
8.C.1 - Cadre conducteur au voisinage d'un l électrique
8.C.2 - Roue de Barlow 1
8.C.3 - Roue de Barlow 2
8.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
8.D.1 - Détermination de champs magnétostatiques
8.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
9 Régimes quasi-stationnaires (ARQS)
99
9.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
9.A.1 - Cadre tournant dans un champ magnétique homogène et permanent
9.A.2 - Cadre xe dans un champ magnétique homogène et variable
9.A.3 - Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs parallèles
9.A.4 - Inductance mutuelle d'un l rectiligne et d'un cadre rectangulaire
9.A.5 - Auto-induction dans un solénoïde
9.A.6 - Transformateur abaisseur de tension
9.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
9.B.1 - Bobine plongée dans un champ magnétique variable inhomogène
9.B.2 - Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs concourants
9.B.3 - Courants de Foucault dans un cylindre conducteur
9.B.4 - Cylindre conducteur creux en rotation dans un champ magnétique
9.B.5 - Induction d'un solénoïde dans un autre
9.B.6 - Inductance propre d'un tore à section circulaire
9.B.7 - Inductance propre d'une ligne bilaire
9.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
9.C.1 - Barres en rotation dans un champ magnétique
9.C.2 - Circuit à condensateur, inductances et mutuelle
9.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
9.D.1 - Détermination d'inductances
9.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
10 Electricité
105
10.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
10.A.1 - Résistance équivalente
10.A.2 - Point de fonctionnement d'un électrolyseur
10.A.3 - Redressement simple
10.A.4 - Puissance consommée par une installation électrique
10.A.5 - Intensités circulant dans deux branches en régime sinusoïdal forcé
10.A.6 - Comparateur
10.A.7 - Amplicateur inverseur
10.A.8 - Amplicateur non inverseur
10.A.9 - Dispositif pour tracer à l'oscillo la caractéristique d'un dipôle
10.A.10 - Fonction de transfert d'un ltre
10.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
10.B.1 - Courant en présence d'une diode
10.B.2 - Associations de diodes identiques
10.B.3 - Adaptation d'impédance en continu
10.B.4 - Détermination d'une tension inconnue
10.B.5 - Détermination d'une intensité inconnue
10.B.6 - Détermination d'une intensité inconnue
10.B.7 - Détermination d'une intensité inconnue
10.B.8 - Détermination d'une tension inconnue
10.B.9 - Détermination d'une résistance an d'atteindre une tension idoine
10.B.10 - Détermination d'une intensité et d'une puissance dissipée
10.B.11 - Méthode des trois voltmètres
10.B.12 - Circuit RLC série
10.B.13 - Circuit RLC parallèle (ou "bouchon")
10.B.14 - Adaptation d'impedance en régime sinusoïdal forcé
10.B.15 - Fonction de transfert d'un ltre
10.B.16 - Fonction de transfert d'un ltre
10.B.17 - Fonction de transfert d'une association de deux ltres C − R
10.B.18 - Fonction de transfert d'une association de trois ltres C − R
10.B.19 - Filtre de Wien
10.B.20 - Comparateur à hystérésis
10.B.21 - Résistance négative
10.B.22 - Diode sans seuil
10.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
10.C.1 - Le ltrage d'une tension bizarre
10.C.2 - Filtre à amplicateurs opérationnels
10.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
10.D.1 - Condensateurs et selfs en régimes transitoires
10.D.2 - Relaxation d'un oscillateur
10.D.3 - Résonance d'un oscillateur
10.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
IV
Ondes
11 Généralités sur les ondes
121
123
11.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
11.A.1 - Absorption dans une bre optique
11.A.2 - Modes propre d'une cavité résonnante
11.A.3 - Observation de la galaxie d'Andromède
11.A.4 - Eet Doppler pour une voiture
11.A.5 - Dispersion dans les verres crown et int
11.A.6 - Indice optique et vitesse de l'onde
11.A.7 - Vitesses de phase et de groupe dans un milieu vériant la loi de Cauchy
11.A.8 - Gaston y'a le téléphone qui sonne
11.A.9 - Corde d'un violoncelle
11.A.10 - Relation de dispersion de Klein-Gordon
11.A.11 - Impédance caractéristique d'un câble coaxial
11.A.12 - Modes propres d'une corde de Melde
11.A.13 - Ondes sphériques
11.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
11.B.1 - La dispersion due à l'équation de Schrödinger
11.B.2 - Vitesses d'une onde T E1,0 dans un guide d'onde
11.B.3 - Propriétés d'une onde
11.B.4 - Onde de choc d'un avion supersonique
11.B.5 - Evolution de l'intensité d'une onde absorbée
11.B.6 - Relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe
11.B.7 - Vitesses de groupe de diverses ondes dans l'eau
11.B.8 - Solutions de la corde de Melde
11.B.9 - Équation de propagation de Klein-Gordon
11.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
11.D.1 - Equations de propagation de D'Alembert dans diérents milieux non dispersifs
11.D.2 - Déterminations d'ondes stationnaires dans un câble coaxial
11.D.3 - Déterminations d'équations de dispersion dans diérents milieux dispersifs
11.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
12 Ondes sonores dans les uides
131
12.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.A.1 - Première harmonique d'un tuyau
12.A.2 - Le barissement de l'oiseau et le piaillement de l'éléphant
12.A.3 - Comment entendre un c÷ur qui bat ?
12.A.4 - Longueur de la caisse de résonance d'un diapason
12.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
12.B.1 - Octaves et demi-tons
12.B.2 - Pourquoi le vent porte le son
12.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
12.D.1 - Approche lagrangienne de la propagation d'une onde sonore plane
12.D.2 - Bilan local d'énergie pour une onde sonore plane
12.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
13 Ondes électromagnétiques
135
13.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
13.A.1 - OPP et jauge de Coulomb
13.A.2 - Longueurs d'onde de quelques ondes radios
13.A.3 - Onde sphérique
13.A.4 - Caractéristiques ondulatoires de l'onde émise par un laser hélium-néon
13.A.5 - Caractéristiques corpusculaires de l'onde émise par un laser hélium-néon
13.A.6 - Modulation de l'intensité lumineuse grâce à un polarisateur tournant
13.A.7 - Détection de lumière au voisinage de l'extinction
13.A.8 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement
13.A.9 - Décomposition d'une OPPM polarisée rectilignement
13.A.10 - Polariseur circulaire
13.A.11 - Détection de l'hélicité d'une polarisation circulaire
13.A.12 - Diusion Rayleigh dans le visible
13.A.13 - Diusion de l'atome d'hydrogène
13.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
13.B.1 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement
13.B.2 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée elliptiquement
13.B.3 - Variation de l'intensité lumineuse avec la loi de Malus
13.B.4 - Rayonnement d'une antenne par unité d'angle solide
13.B.5 - Diagramme de rayonnement d'une antenne
13.B.6 - Caractéristiques d'une OPPM
13.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
13.D.1 - Equations de propagation et de dispersion
13.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
V
Optique
14 Optique géométrique
143
145
14.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
14.A.1 - Dispersion de la lumière avec la loi de Cauchy
14.A.2 - Dispersion de la lumière blanche sur un dioptre verre-air
14.A.3 - Rayon traversant une lame de verre
14.A.4 - Angle de Brewster du verre de silice
14.A.5 - Nature d'une lentille en fonction des rayons de courbure de ses dioptres
14.A.6 - Projection d'une diapositive
14.A.7 - Autocollimation
14.A.8 - Association de deux lentilles
14.A.9 - Un miroir plan comme rétroviseur
14.A.10 - Image dans un miroir convexe
14.A.11 - Se regarder dans un miroir convexe
14.A.12 - Miroir concave
14.A.13 - Petite cuiller
14.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
14.B.1 - Déviation par une lame de verre
14.B.2 - Détermination de l'indice d'un liquide
14.B.3 - Construction de Huygens
14.B.4 - Réexion totale sur un prisme
14.B.5 - Lame à face parallèle
14.B.6 - Arc en ciel
14.B.7 - Grandissement d'un rétroviseur
14.B.8 - Taille des objets observables dans un miroir de rue
14.B.9 - Deux miroirs plans
14.B.10 - Distance minimale objet réel - image réelle avec une lentille convergente
14.B.11 - Netteté d'un cliché photographique
14.B.12 - Un miroir convexe comme rétroviseur
14.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
14.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
14.D.1 - Recherche d'images optiques
14.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
15 Optique ondulatoire
153
15.1 Application directe du cours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
15.A.1 - Intensité résultant de l'éclairage par deux sources en fonction de la distance
15.A.2 - Le pêcheur et le poisson
15.A.3 - Doublet du sodium
15.A.4 - Angle entre deux miroirs de Fresnel
15.A.5 - Interfranges avec des miroirs de Fresnel éclairé par une lampe au mercure
15.A.6 - Brouillage des interférences avec une lampe au sodium
15.A.7 - Déplacement des franges
15.A.8 - Michelson en coin d'air
15.A.9 - Michelson en coin d'air
15.A.10 - Angle maximal d'un coin d'air
15.A.11 - Passage du coin d'air aux miroirs parallèles
15.A.12 - Largeur d'un faisceau laser
15.A.13 - Les phares de voiture la nuit
15.A.14 - Brouillard
15.A.15 - Positions des ordres d'un réseau
15.A.16 - Détermination d'une raie inconnue par un réseau
15.A.17 - Réseau eclairé par une lampe à vapeur de mercure
15.A.18 - Réseau eclairé par une lumière blanche
15.A.19 - Réalisation d'un monochromateur
15.2 Entraînement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
15.B.1 - Nombre d'anneaux visibles avec le michelson en miroirs parallèles
15.B.2 - Couche anti-reet
15.B.3 - Bulle de savon
15.B.4 - Principe de la spectrométrie par transformation de Fourier
15.B.5 - Limitation du taux de transfert d'une bre optique
15.B.6 - Cohérence temporelle d'une source
15.B.7 - Longueur de cohérence
15.B.8 - Trous d'Young sans diraction
15.B.9 - Création d'un réseau grâce à un interféromètre à division du front d'onde
15.B.10 - Miroir de Loyd
15.B.11 - Miroirs de Fresnel
15.B.12 - Mesure de l'indice d'un gaz
15.B.13 - Séparation d'un doublet par un réseau
15.B.14 - Minimum de déviation pour un réseau
15.B.15 - Recouvrement des ordres
15.B.16 - Doublet du sodium résolu grâce à un réseau
15.B.17 - Apodisation
15.3 Planches d'oral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
15.C.1 - Détermination de l'indice optique de l'air grâce au michelson
15.C.2 - Principe d'un ltre interférentiel
15.C.3 - Radiotélescope à proximité d'un lac
15.C.4 - Interféromètre à cône de verre
15.C.5 - Trous d'Young
15.C.6 - Limitation de la détection d'une étoile par la diraction
15.4 Travaux dirigés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
15.D.1 - Diraction d'ensembles de pupilles simples
15.5 Exercices maple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
Première partie
Mécanique
15
Chapitre 1
Mécanique du point matériel
1.1
Application directe du cours
1.A.1 - Trajectoire parabolique
Les coordonnées cartésiennes d'un point sont données, en fonction du temps, par :
3/2


x = v0 . cos(α).t
y = 12 a.t2 + v0 . sin(α).t

z=0
où α et a sont des constantes.
1) Vérier que la trajectoire est une parabole.
2) Donner l'expressions de la vitesse dans le repère cartésien.
3) Faire de même avec l'accélération.
1.A.2 - Trajectoires circulaires
3/2
1.A.3 - La densité moyenne de la Terre
3/2
Un mobile se déplace à la vitesse v = 10m.s−1 constante sur une trajectoire continue et dérivable partout, formée
d'un segment [AB] suivi d'un quart de cercle de R = 10m entre B et C , suivi d'un autre quart de cercle de R entre
C et D (de courbure opposée au quart de cercle précédent), et enn d'un segment [DE] parallèle à [AB].
1) Préciser la norme a de l'accélération subie par le mobile :
1.a) entre A et B ;
1.b) entre B et C ;
1.c) entre C et D ;
1.d) entre D et E .
•
•
•
•
On donne :
l'accélération de la pesanteur sur Terre : g = 9, 81m.s−2 ;
le rayon de la Terre RT = 6400km ;
la constante de gravitation : G = 6, 67259.10−11 m3 .kg−1 .s−2 ;
la masse volumique de l'eau : µ0 = 1, 0kg/L.
1) Déterminer la masse MT de la Terre
2) et sa densité moyenne dT .
1.A.4 - Un homme sur la Lune
3/2
Un astronaute (en scaphandre) de masse m = 75kg apporte une balance sur la Lune. Celle-ci indique mapp = 12kg !
1) Que vaut g0 l'intensité de la pesanteur sur la Lune ?
2) En déduire la masse ML de la Lune.
On donne :
17
•
•
•
l'accélération de la pesanteur sur Terre : g = 9, 81m.s−2 ;
le rayon de la Lune RL = 1750km ;
la constante de gravitation : G = 6, 67259.10−11 m3 .kg−1 .s−2 .
1.A.5 - Force dérivant d'un potentiel à deux dimensions - n1
Un point matériel M astreint à se déplacer dans un plan horizontal (xOy) est soumis à une force
avec k > 0.
1) Energie potentielle :
1.a) Montrer que la force F~ dérive d'une énergie potentielle Ep(x, y) qu'on déterminera.
1.b) Calculer le travail de la force F~ lorsque le point M se déplace du point A(a, 0) au point O(0, 0)
2) Positions d'équilibre :
On se place dans le cas où F~ est la seule action mécanique s'exerçant sur M .
2.a) Calculer les dérivées premières de Ep.
2.b) Existe-t-il des positions d'équilibre ?
2.c) Calculer les dérivées secondes de Ep.
2.d) S'agit-il d'équilibre(s) stable(s) ?
3/2
~
F~ = −k.OM
1.A.6 - Force dérivant d'un potentiel à deux dimensions - n2
Un point matériel M astreint à se déplacer dans un plan horizontal (xOy) est soumis à une force
F~ = k.
x+y
x−y
3/2
avec k > 0.
1) Travail :
Calculer les travaux de la force F~ lorsque le point M se déplace du point A(−a, 0) au point D(+a, 0)
1.a) W1, pour un trajet le long de l'axe (Ox) ;
1.b) W2, pour un trajet le long d'un rectangle ABCD où les coordonnées dans le repère cartésien sont B(−a, b)
et C(+a, b) .
2) Energie potentielle :
2.a) Montrer que la force F~ dérive d'une énergie potentielle Ep(x, y) qu'on déterminera.
2.b) Qu'est-ce que cela a comme conséquence pour W1 et W2 ?
3) Positions d'équilibre :
On se place dans le cas où F~ est la seule action mécanique s'exerçant sur M .
3.a) Calculer les dérivées premières de Ep.
3.b) Existe-t-il des positions d'équilibre ?
3.c) Calculer les dérivées secondes de Ep.
3.d) S'agit-il d'équilibre(s) stable(s) ?
1.A.7 - Trajectoire du premier satellite articiel
3/2
Dans le référentiel géocentrique Rg qu'on supposera galiléen, le premier satellite articiel, qu'on assimilera à un
point matériel, de masse m, décrivait une trajectoire elliptique autour de O, centre de la Terre, de rayon RT = 6400km.
Il avait son apogée à une altitude hA = 327km et son périgée à une altitude hP = 180km.
1) Déterminer le demi grand axe a.
2) Déterminer c = F2F , la demi distance entre les deux foyers.
3) Déterminer le demi petit axe b.
4) Déterminer le paramètre p.
5) Déterminer l'excentricité e de l'ellipse.
0
1.A.8 - Trajectoire d'un point à accélération centripète
On considère un point matériel M soumis à une accélération toujours centripète, dirigée vers un point xe O.
1) Montrer que le mouvement de M s'eectue :
1.a) dans un plan unique ;
1.b) à vitesse aréolaire constante.
3/2
1.A.9 - Mouvement d'un ressort horizontal
3/2
1.A.10 - Mouvement d'un ressort vertical
3/2
1.A.11 - Pendule simple
3/2
1.A.12 - Etude de la chute d'une bille dans diérents référentiels
3/2
On s'intéresse à un ressort horizontal accroché en O, de longueur à vide l0 , de constante de raideur k auquel est
associé une masse m qu'on supposera ponctuelle, en M , qui coulisse sans frottement solide sur l'axe Ox horizontal (on
repère M par son abscisse x). Le système subit un frottement uide de coecient λ.
1) Ecrire l'équation diérentielle suivie par x.
2) En déduire :
2.a) la pulsation propre ω0 de l'oscillateur ;
2.b) et son facteur de qualité Q.
On s'intéresse à un ressort vertical accroché en O, de longueur à vide l0 , de constante de raideur k auquel est associé
une masse m qu'on supposera ponctuelle, en M qu'on repère par son altitude z. On négligera tout frottement.
1) Ecrire l'équation diérentielle suivie par z.
2) En déduire :
2.a) la position d'équilibre zeq du point M ;
2.b) la pulsation propre ω0 de l'oscillateur.
On s'intéresse à un pendule simple accroché en O, composé d'un l inextensible de longueur l0 = 25cm, auquel est
associé une masse m = 115g qu'on supposera ponctuelle, en M qu'on repère par l'angle θ que fait le l avec −~uz . On
négligera tout frottement. On prendra le champ de pesanteur égal à g = 9, 81m.s−2 .
1) Ecrire l'équation diérentielle suivie par θ.
2) On supposera θ petit.
2.a) Ré-écrire l'équation diérentielle suivie par θ ;
2.b) en déduire la période T de l'oscillateur. Application numérique.
On s'intéresse à la chute d'une bille assimilée à un point matériel de masse m en M qu'on laisse tomber en t = 0
d'une fenêtre de hauteur h par rapport au sol, le point O centre du repère étant à la verticale de la fenêtre, au sol.
Elle est lâchée sans vitesse initiale dans le référentiel R0 du sol qu'on supposera plan horizontal. L'accélération de la
pesanteur est ~g = −g.~uz . On négligera les forces de frottement.
1) Quelle est l'équation du mouvement et la trajectoire de M dans un reférentiel lié à une voiture en translation
rectiligne (initialement en O à t = 0) :
1.a) la voiture étant à l'arrêt dans R0 ;
1.b) la voiture roulant à la vitesse ~v = u.~ux uniforme dans R0 ;
1.c) la voiture étant uniformément accélérée, d'accélération ~a = a.~ux dans R0, initialement au repos à t = 0
dans R0 .
1.2
Entraînement
1.B.1 - Roue de vélo
5/2
On étudie la roue d'un vélo (de centre C et de rayon R = 350mm) qui se déplace sur un sol horizontal (Ox), dans
le plan vertical (xOy). On étudie le mouvement par rapport au référentiel du sol. On se place dans le repère cartésien
(Oxyz). On appelle θ, l'angle dont a tourné la roue.
Le centre de la roue (C ) a une trajectoire rectiligne uniforme parcourue à la vitesse constante vC = 20km/h.
On s'intéresse à un point M de la circonférence de la roue.
1) Déterminer l'expression de la vitesse du point M en fonction des vecteurs ~ex et ~eθ .
2) Déterminer l'expression de la vitesse du point M dans le repère cartésien.
Pour que la roue ne dérape pas, il faut que la vitesse de tout point M de la roue soit nulle lorsqu'il passe au niveau
du sol.
3) Donner la relation qui existe dans ce cas entre vC et θ.
1.B.2 - Trajectoire cycloïdale
5/2
1.B.3 - Bretelle d'autoroute
5/2
1.B.4 - Course de voitures
5/2
On se place dans le repère cartésien (Oxyz). On s'intéresse à une roue de rayon R et de centre C qui roule sans
glisser dans le plan (x0y) : on admet que l'abscisse du centre de la roue est liée à l'angle θ dont a tourné la roue par
la relation : xC = −R.θ.
Sur cette roue se trouve le point M qui initialement coïncide avec le point O.
1) Exprimer, en fonction de R et de θ, et de ses dérivées, les coordonnées du point M .
2) Faire de même pour la vitesse de M .
3) Faire de même pour l'accélération de M .
Une automobile (qu'on assimilera à un point matériel) qui se déplace initialement à la vitesse v0 = 130km.h−1 sort
de l'autoroute. La bretelle de sortie est assimilée à un arc de cercle plan horizontal de rayon constant R = 50m. La
norme de l'accélération du système ne peut excéder µ.g, avec µ = 1, 0 et g = 10m.s−2 .
1) Questions préliminaires :
1.a) Montrer que la voiture ne peut aborder le virage à la vitesse v0, au risque de quitter la route.
1.b) Expliquer pourquoi il ne faut pas freiner dans le virage au risque, encore, de quitter la route.
Il faut donc prévoir une zone de décélération que l'on assimilera à un segment rectiligne plan.
2) Calcul dans le cas d'un terrain sec :
2.a) Quelle est la vitesse vmax maximale à laquelle la voiture peut décrire le virage ?
2.b) Quelle est la longueur minimale lmin de la zone de décélération ?
3) Calcul dans le cas d'un terrain −1
mouillé :
Dans cette question, v0 = 110km.h et µ = 0, 30.
3.a) Quelle est la vitesse vmax maximale à laquelle la voiture peut décrire le virage ?
3.b) Quelle est la longueur minimale lmin de la zone de décélération ?
Lors d'une course de voiture, 2 voitures (numérotées 1 et 2) arrivent au même instant, de front, à l'entrée d'un
virage qu'elles négocient de manière diérente.
La première voiture prend le virage à l'extérieur : elle suit à vitesse constante v1 un demi-cercle de rayon r1 = 110m.
La seconde voiture, elle, prend le virage à la corde : elle suit à une autre vitesse constante v2 un autre demi-cercle de
rayon r2 = 100m.
1) Déterminer puis calculer les distances d1 et d2 parcourues respectivement par les deux automobiles.
Du fait des frottements sur le sol, les normes des accélérations des deux voitures ne peuvent excéder µ.g, avec
µ = 1, 21 et g = 9, 81m.s−2 .
2) Déterminer les vitesses maximales des deux bolides.
3) En déduire les durées ∆t1 et ∆t2 nécessaires aux 2 voitures pour négocier le virage. Conclure.
4) Même question si la piste est mouillée : µ = 0, 342.
1.B.5 - Energie potentielle de Yukawa
Un point matériel M est soumis à une force qui dérive d'une énergie potentielle
F~
Ep = k.
2
1
−
r
r0
r
.e− r0
avec k > 0 et r0 > 0.
1) Tracer l'allure de Ep(r).
On donne l'expression du gradient dans le repère sphérique :

~ (f ) = 
grad

∂f
∂r
1 ∂f
r . ∂θ
∂f
1
r. sin θ . ∂ϕ
2) Donner l'expression dans le repère sphérique de la force F~ .
3) Position d'équilibre :
3.a) Montrer qu'il existe une position d'équilibre pour req .



5/2
3.b) Calculer la dérivée seconde de Ep en req .
3.c) S'agit-il d'un équilibre stable ?
4) Comportement de M :
On suppose que M se trouve initialement en r = req , et qu'on lui communique une vitesse initiale v0 .
4.a) Montrer que M ne peut pas atteindre O.
4.b) Quelle est la valeur minimale de v0 (vitesse de libération vl ) pour que M échappe à l'équilibre ?
1.B.6 - Une balle de golf dans un lac
Une balle de golf en M , de masse m, arrive dans un étang en O (centre du repère) avec une vitesse
5/2
~v0 = v0 . cos(α).~ux − v0 . sin(α).~uy
où (Ox) est un axe horizontal et (Oy) un axe vertical orienté vars le haut.
On admet que l'action de l'eau se limite à une force de frottements f~f = −λ.~v où λ > 0.
1) Vitesse :
1.a) Exprimer la vitesse ~v de la balle de golf dans le repère cartésien.
1.b) Montrer que la vitesse tend vers une valeur limite vlim que l'on exprimera.
2) Trajectoire :
~ de la balle de golf dans le repère cartésien.
2.a) Exprimer la position OM
2.b) Montrer que la trajectoire de la balle admet une asymptote dont on donnera l'équation dans le repère
cartésien.
1.B.7 - Saut à ski
5/2
1.B.8 - Le pendule du professeur Tournesol
5/2
1.B.9 - Interaction de deux particules chargées
5/2
On s'intéresse à un skieur assimilé à un point matériel (noté M ) qui fait un saut : il quitte le tremplin T (qui
~ = h.~uy ) avec une vitesse initiale ~v0 qui fait un angle α avec
se trouve à la verticale du centre du repère O : OT
l'horizontale ~ux .
La résistance de l'air est négligée : la seule force qui s'exerce sur le skieur durant le saut est alors son propre poids.
1) Déterminer x(t) et y(t).
2) Montrer que la trajectoire est parabolique : on donnera y = f (x).
3) Exprimer la distance d = OS si S estπ le point où le −2skieur touche le sol (Ox).
4) A.N : v0 = 90km/h, h = 8, 0m, α = 4 , g = 9.81m.s . Calculer d.
On s'intéresse à un pendule OM constitué d'un l de masse négligeable de longueur d, d'une masse ponctuelle m
en M et xé en O (centre d'un repère cylindrique d'axe (Oz) orienté vers le bas). Le pendule est dans le champ de
pesanteur ~g et on appelle T~ la tension appliquée par le l sur M .
1) Projeter le principe fondamental de la dynamique appliqué au point M sur les trois axes du repère cylindrique.
On lance le pendule avec une vitesse initiale ~v0 de telle sorte qu'il décrive des cercles horizontaux à vitesse angulaire
θ̇ constante.
2) Montrer qu'il est possible que le pendule décrive eectivement des cercles horizontaux à vitesse angulaire θ̇
constante.
3) Exprimer alors ~v0 dans le repère cylindrique en fonction de g, d et α.
On s'intéresse à un problème à une dimension (Ox). On xe en l'origine O une particule de charge électrique e.
On s'intéresse au mouvement d'une autre particule de charge q, de masse m, initialement en A d'abscisse a > 0 et de
vitesse initiale v0 .
1) Particules de charges opposées :
On suppose que q = −e.
Quelle vitesse minimale (vitesse de libération vl ) doit-on communiquer à la particule de charge q pour qu'elle
échappe à l'attraction de la particule placée en O ?
2) Particules de charges de même signe :
On suppose que q = +e et ~v0 = −v0 .~ux .
2.a) Montrer que cette particule ne peut pas atteindre O.
2.b) Calculer la distance minimale d'approche dmin.
1.B.10 - Lancement d'un pendule
5/2
1.B.11 - Mouvement d'une bille sur un ballon
5/2
1.B.12 - L'enfant sur un toboggan
5/2
On s'intéresse à un pendule OM constitué d'un l de masse négligeable de longueur d, d'une masse ponctuelle m
en M et xé en O (centre d'un repère d'axe (Oz) orienté vers le haut). Le pendule est dans le champ de pesanteur ~g.
On lance le pendule avec une vitesse initiale ~v0 orthogonale à ~uz .
1) Altitude maximale :
1.a) Calculer zmax, l'altitude où le point M a une vitesse nulle, si l'on fait abstraction du l.
1.b) Dans quel domaine varie z ?
1.c) Ré-exprimer zmax en prenant en compte cette dernière contrainte selon la valeur de v0.
2) Mouvements du pendule :
2.a) Montrer que si v0 > v1 que l'on déterminera, le pendule fait un tour complet autour de O, le l restant
tendu.
2.b) Montrer que si v0 < v2 que l'on déterminera, le pendule oscille, le l restant tendu.
2.c) Que se passe-t-il si v0 ∈ ]v2; v1[ ?
On s'intéresse à une bille qu'on assimile à un point matériel M de masse m et à un ballon xe dans le référentiel
du sol R qu'on assimile, lui, à une sphère de rayon r, de centre O, le centre du repère d'axe (Oy) vertical orienté vers
le haut.
La bille est lâchée à l'instant initial avec une vitesse initiale ~v0 = v0 .~ux sur le sommet S du ballon.
1) Dans un premier temps, la bille reste en contact avec le ballon : elle glisse sans frottement. On repère par
~ ) la position de M sur le ballon.
θ = (~ux , OM
Déterminer la réaction N~ de la sphère sur la bille en fonction de θ, g (l'accélération de la pesanteur), m et r.
2) La bille décolle du ballon.
2.a) Donner la valeur θmax de θ pour laquelle il y a décollage de la bille.
2.b) A partir de quelle vitesse vmin de v0 la bille décolle-t-elle dès le début ?
2.c) Si v0 = 0, déterminer θmax en degrés.
On étudie dans le référentiel terrestre galiléen le mouvement d'un enfant assimilé à un point matériel M de masse
qui glisse sur un toboggan, décrivant une trajectoire circulaire de rayon r = 1, 5m, de centre O. On se place dans
un repère (Oxyz), le vecteur ~uy étant vertical, dirigé vers le haut (l'accélération de la pesanteur est g = 9.81m.s−2 ).
~ ).
La position de M est repérée sur le cercle par l'angle θ = (~ux , OM
L'enfant passe de la position initiale θi = −15◦ où il possède une vitesse nulle jusqu'à la position θf = −90◦ où il
quitte le toboggan. On néglige tous les frottements.
1) Moment cinétique :
1.a) Exprimer le moment cinétique ~σO de M en O.
1.b) En déduire l'équation diérentielle suivie par θ.
2) Energie mécanique :
2.a) Exprimer l'énergie mécanique Em.
2.b) Retrouver l'équation diérentielle suivie par θ.
2.c) En déduire l'expression de la norme v de la vitesse de M en fonction de θ.
2.d) Calculer la vitesse maximale vmax atteinte par l'enfant. Application numérique.
m,
1.B.13 - Utilisation d'un portrait de phase
1) Etude théorique :
5/2
On s'intéresse à un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k placé horizontalement. Son extrémité gauche est
xe (en O, centre du repère d'axe (Ox) orienté vers la droite) dans le référentiel du sol considéré galiléen, et l'extrémité
droite est liée à un point matériel M de masse m, astreint par une tige à se déplacer sans frottement suivant l'axe
(Ox), et qui subit une force de frottement uide f~ = −λ.~v , où ~v est sa vitesse et λ > 0, une constante.
1.a) Ecrire l'équation diérentielle suivie par l'élongation x, du ressort.
1.b) Exprimer la pulsation propre ω0 de l'oscillateur en fonction de k et m.
1.c) Exprimer le facteur de qualité Q de l'oscillateur en fonction de λ et m.
2) Etude pratique :
On donne sur la gure 1.1 le portrait de phase (x(t), ẋ(t)) de l'oscillateur.
Déterminer par lecture graphique :
0.2
0.1
-0.08
-0.06
-0.04
-0.02
0.02
0.04
0
-0.1
-0.2
-0.3
Fig.
1.1 Portrait de phase (x(t), ẋ(t))
0.06
2.a) la nature du régime de l'oscillateur (qu'est-ce que cela induit ?) ;
2.b) la valeur initiale de la position xi = x(t = 0) ;
2.c) la valeur nale
de la position xf = x(tf ) ;
2.d) le rapport tT où T est la pseudo-période.
1.B.14 - Tracé d'un portrait de phase
1) Equation de l'oscillateur :
−1
f
5/2
On s'intéresse à un ressort de longueur à vide l0 et de raideur k = 11N.m placé horizontalement. Son extrémité
gauche est xe (en O, centre du repère d'axe (Ox) orienté vers la droite) dans le référentiel du sol considéré galiléen, et
l'extrémité droite est liée à un point matériel M de masse m = 130g, astreint par une tige à se déplacer sans frottement
suivant l'axe (Ox), et qui subit une force de frottement uide f~ = λ.~v, où ~v est sa vitesse et λ = 1, 2N.m−1 .s, une
constante.
1.a) Ecrire l'équation diérentielle suivie par l'élongation l = x − l0, où x est l'absisse du point M .
1.b) Exprimer la pulsation propre ω0 de l'oscillateur en fonction de k et m. Application numérique.
1.c) Exprimer le facteur de qualité Q de l'oscillateur en fonction de λ et m. Application numérique.
2) Solution
de l'équation diérentielle :
l(t) = l0 .e− .cos(ω.t + ϕ) est solution de l'équation diérentielle.
2.a) Justier le fait que la solution est pseudo-périodique.
2.b) Exprimer la pulsation ω en fonction de ω0 et Q. Application numérique.
2.c) En déduire la pseudo-période T . Application numérique.
2.d) Exprimer le temps τ en fonction de ω0 et Q. Application numérique.
3) Portrait de phase :
Les conditions initiales (x(t = 0) = 10cm et ẋ(t = 0) = 0) imposent x0 = 11, 56cm et ϕ = −0, 5256rad. Donner
l'alure du portrait de phase (x(t), ẋ(t)) de l'oscillateur.
t
τ
1.B.15 - Cycloïdes d'un point à la circonférence d'une roue de vélo
5/2
1.B.16 - Pendule dans un ascenseur
5/2
On s'intéresse à un vélo dont le cadre (assimilé à un référentiel R1 ) est en mouvement de translation rectiligne
uniforme de vitesse ~v = v0 .~ux par rapport au sol (assimilé à un référentiel R0 ). O est un point xe du sol. Une des
roues de ce vélo (assimilée à un référentiel R2 ) est en rotation uniforme de vecteur rotation Ω~ = −Ω.~uz dans R1 . La
roue, de rayon R, a pour centre O0 qui est xe dans R1 et dans R2 . On s'intéresse au mouvement d'un point M de la
circonférence de la roue initialement en O.
1) Déterminer les équations paramétriques de la trajectoire de M dans R0 et la tracer en distinguant trois cas :
1.a) v0 = Ω.R ;
1.b) v0 < Ω.R ;
1.c) v0 > Ω.R.
Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le référentiel
a un mouvement de translation rectiligne vertical.
Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de masse m est suspendu en O dans
l'ascenseur. Sa longueur est l = OM . θ est l'angle que fait le l avec la verticale.
L'accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz .
1) Déterminer la période T des petites oscillations du pendule dans les cas suivants :
1.a) L'ascenseur est immobile ;
1.b) L'ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ;
1.c) L'ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz .
R2 ),
1.B.17 - Pendule dans une voiture
5/2
Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un véhicule (assimilé à un solide auquel on attache le référentiel
a un mouvement de translation rectiligne horizontal uniformément accéléré, d'accélération ~a = a.~ux .
Un pendule simple constitué d'un l sans masse et d'un point matériel M de masse m est suspendu en O dans le
véhicule. Sa longueur est l = OM . θ est l'angle que fait le l avec la verticale (cet angle étant orienté, avec ~uz pointant
vers nous, (~ux , ~uy , ~uz ) étant un trièdre direct).
L'accélération du champ de pesanteur est ~g = g.~uy .
1) Déterminer l'équation diérentielle suivie par θ.
R2 ),
2) Déterminer la position d'équilibre repérée par l'angle α que fait le l avec la verticale.
3) Quelle est la période des petites oscillations autour de α ?
On donne sin (α ± β) = sin α. cos β ± cos α. sin β et cos (α ± β) = cos α. cos β ∓ sin α. sin β .
1.B.18 - Entraînement à l'apesanteur
5/2
1.B.19 - Ressort vertical dans un ascenseur
5/2
Pour s'entraîner à l'impesanteur, les astronautes vont dans un avion. On supposera grossièrement que l'avion est en
translation par rapport au sol, supposé galiléen. Le champ de pesanteur ~g = −g.~uz est homogène avec g = 9, 81m.s−2 .
1) Quelle doit être la nature de la trajectoire de l'avion pour obtenir l'eet d'impesanteur pendant le vol ?
L'avion vole à une altitude limitée à h = 9000m.
2) Quelle est la durée maximale T pendant laquelle on peut réaliser l'impesanteur par ce procédé ?
Dans le référentiel terrestre R1 (supposé galiléen), un ascenseur (assimilé à un solide auquel on attache le référentiel
a un mouvement de translation rectiligne vertical.
On suspend en un point O de l'ascenseur un ressort de raideur k, de masse négligeable et de longueur à vide l0 qui
soutient un point matériel M de masse m (initialement immobile dans l'ascenseur).
L'accélération du champ de pesanteur est ~g = −g.~uz .
1) Déterminer l'altitude z de M au cours du temps :
1.a) si l'ascenseur commence à monter : son accélération dans R1 est ~a = +a.~uz ;
1.b) si l'ascenseur commence à descendre : son accélération dans R1 est ~a = −a.~uz .
2) Que faut-il pour transformer ce dispositif en un accéléromètre, même si M n'est pas au repos initialement ?
R2 ),
1.3
Planches d'oral
1.C.1 - Conservation de l'énergie mécanique sur une arche de cycloïde
***
(d'après CCP 2002)
Un point matériel M de masse m se déplace sans frottements sur l'arche de cycloïde (cf. gure 1.2) d'équation :
x = R. (θ + sin θ)
y = R. (1 − cos θ)
dans le champ de pesanteur ~g = g.~uy .
Fig.
1.2 Arche de cycloïde
1) Trouver l'abcisse s(θ) parcourue par le point M pour aller de O au point P repéré par le paramètre θ.
2) En utilisant le fait que l'énergie mécanique est constante, trouver la forme de l'abcisse s(t).
1.C.2 - Déviation d'un satellite
***
(Centrale 2007)
Ou note M la masse de la Terre de centre O et G la constante gravitationnelle. Un satellite en P de masse m est
lancé à une distance r0 avec une vitesse déviée d'un angle α, mais de même norme que celle qu'il aurait sur une
orbite circulaire de rayon r0 .
1) Calculer l'énergie potentielle de gravitation.
2) Trouver une équation du second degré dont OP à l'apogée et au périgée est solution.
3) Exprimer rp au périgée et ra à l'apogée en fonction de r0 et α.
4) L'équation polaire de la trajectoire est r = 1+e.pcos θ .
4.a) Calculer p et e en fonction de r0 et α.
4.b) Qu'obtient-on pour α = 0 ?
4.c) Comment fait-on pour passer d'une orbite circulaire à une orbite elliptique ? Et inversement ?
1.C.3 - Un pendule dans une voiture
***
(CCP 2007)
Un pendule simple est accroché au plafond d'un véhicule en translation uniformément accélérée avec l'accélération
~a par rapport au sol.
1) Quelle est sa position d'équilibre ?
2) Donner l'équation dn mouvement pour de petites oscillations autour de la position d'équilibre.
1.4
Travaux dirigés
1.D.1 - Mouvement d'une particule dans un champ de force newtonien
TD
On étudie le mouvement d'une particule de masse µ, placée dans un champ de force newtonien de centre O :
F~ = − rk2 ~ur .
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Montrer que la trajectoire est plane.
Démontrer que des aires égales sont balayées pendant des temps égaux.
Démontrer que la trajectoire est une conique.
Exprimer l'énergie de la particule.
Discuter de la nature de cette conique en fonction de l'énergie de la particule.
Dans le cas de la trajectoire elliptique, exprimer le rapport entre la période T pour la décrire et a, le demi grand
axe. En déduire l'altitude d'un satellite géostationnaire.
7. Donner vl , la vitesse de libération d'un point matériel qui serait à une distance r de O. Application numérique
pour un objet sur Terre.
On donne : G = 6, 67.10−11 N.m2 .kg−2 , le rayon moyen de la Terre : RT = 6, 4.103 km, et la masse de la Terre :
MT = 6, 0.1024 kg .
Méthode:
•
•
Moment cinétique et constante des aires
En appliquant le théorème du moment cinétique montrer que :
• la trajectoire est plane ;
C
• la norme de la vitesse aréolaire, est une constante : dA
dt = 2 = cste.
(Il sera utile, par la suite de donner l'expression de C , appelée constante des aires, en fonction de r, θ et µ. )
Trajectoire conique
On peut utiliser trois méthodes diérentes pour montrer que la trajectoire est une conique, d'équation :
r (θ) =
•
•
p
1 − e. cos θ
Méthode du vecteur excentricité
On pose le vecteur excentricité : ~e = ~uθ − µCk ~v.
• Montrer que ~e est une constante du mouvement.
• En formant le produit scalaire ~e.~uθ , montrer que la trajectoire est une conique.
Méthode de l'intégrale première de Runge-Lenz (ou de Laplace)
On pose le vecteur de Runge-Lenz : A~ = k1 ~v ∧ ~σ0 − ~ur .
~ est une constante du mouvement.
• Montrer que A
~ r, montrer que la trajectoire de la particule est une conique.
En formant le produit scalaire A.~
~ e et ~e2 = A
~2.
• NB : on peut montrer que A⊥~
Méthode des formules de Binet :
• On pose ξ (θ) = 1r . On exprime les dérivées successives ξ 0 et ξ” de ξ .
d dr dθ
dθ 2
2 2
• Comme ddt r = dθ
= C 2 .ξ 3 , l'accélération est : ~a = −C 2 .ξ 2 . (ξ + ξ”) .~ur .
dt dt dt dt = −C .ξ .ξ” et r. dt
• Montrer que le principe fondamental de la dynamique induit :
•
•
2
2
(ξ + ξ”) = cste
Vérier que la solution de l'équation diérentielle en ξ donne l'équation d'une conique.
Energie de la particule
• Montrer que l'énergie mécanique totale du système n'est fonction que de r et que l'on peut alors la séparer en
deux termes :
• l'énergie cinétique radiale : Ecr = 21 µ.ṙ2 ;
• l'énergie potentielle eective : Epef f (r) = − kr + µ.C
2.r .
• Interpréter cela :
• en remarquant que Ecr ≥ 0 ;
• en traçant la courbe Epef f (r).
Nature de la conique
• Montrer que ~e2 − 1 est proportionnel à l'énergie de la particule.
• Discuter de la nature de la trajectoire en fonction de la valeur de l'excentricité dont les cas généraux sont :
• |~e| < 1 : ellipse de foyer O ;
• |~e| = 1 : parabole ;
• |~e| > 1 : hyperbole ;
et un cas particulier :
• |~e| = 0 : cercle de centre O.
Cas de l'ellipse
• Utiliser l'aire de l'ellipse A = π.a.b avec b2 = p.a (p est le paramètre de l'ellipse), pour calculer la période T à
partir de la vitesse aréolaire.
• En déduire la loi Ta = cste.
Vitesse de libération
On cherche la vitesse vl telle que le système devienne diusif, c'est à dire Em = 0.
•
•
2
2
•
•
2
3
•
1.D.2 - Relaxation d'un oscillateur
TD
On s'intéresse à un oscillateur (mécanique, par exemple), dont la position x est régie par l'équation diérentielle :
ẍ +
avec :
• ω0 ,
fx
ω0
ẋ + ω02 .x =
Q
m
la pulsation propre de l'oscillateur (en rad.s−1 ) ;
• Q, le facteur de qualité de l'oscillateur (sans unités) ;
• fx , la projection de la force (m est la masse).
Dès que t > 0, on n'impose plus aucune force volontaire sur l'oscillateur (l'opérateur le laisse évoluer librement).
Etudier la relaxation de l'oscillateur. Montrer en particulier que, selon la valeur de Q, il existe trois régimes :
1. Relaxation apériodique
(a) Dans le cas des frottements forts, donner les lois suivies par la relaxation apériodique.
(b) Estimer la durée du régime transitoire, en exprimant le temps de relaxation τ .
(c) Applications numériques pour Q = 0, 1 et 2.π
ω = 1s. Tracer le graphe de x(t) suivant diverses conditions
initiales (allongement sans vitesse initiale, sans allongement mais avec vitesse initiale, avec allongement et
vitesse initiale).
2. Relaxation pseudo - périodique
(a) Dans le cas des frottements faibles, donner les lois suivies par la relaxation pseudo - périodique.
(b) Estimer la durée du régime transitoire τ .
(c) Exprimer la pulsation d'oscillation ω en fonction de ω0 et Q.
−
−
(d) Applications numériques pour Q = 10, 2.π
ω = 1s, et les conditions initiales x (t = 0 ) = 1m et ẋ (t = 0 ) =
0m.s−1 (allongement sans vitesse initiale).
(e) Etudier le cas particulier de l'oscillateur harmonique (non amorti).
3. Relaxation critique
(a) Dans le cas des frottements intermédiaires, donner les lois suivies par la relaxation critique.
(b) Montrer qu'on a alors un amortissement optimal.
0
0
Méthode:
•
Forme des solutions de l'équation diérentielle :
Les mathématiques nous enseignent que la solution générale est de type exponentiel : xgenerale (t) = A.er.t où r est
une racine de l'équation caractéristique :
ω
r2 +
0
Q
r + ω02 = 0
Comme c'est un trinôme du second degré (a.r2 + b.r + c = 0), posons
∆ = b2 − 4.a.c =
ω0
Q
2
− 4.ω02 = 4.ω02 −1 +
1
4.Q2
Suivant le signe de ∆, plusieurs cas se présentent :
• ∆>0⇔Q<
1
2
√
L'équation caractéristique a deux racines réelles : r± = −b±2.a ∆ . On parlera de relaxation apériodique :
xaperiodique (t) = A.er+ .t + B.er− .t
• ∆<0⇔Q>
1
2
L'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées : r± =
pseudo-périodique :
√
−b±j. −∆
2.a
. On parlera de relaxation
xpseudo (t) = A.er+ .t + B.er− .t
• ∆=0⇔Q=
1
2
−b
L'équation caractéristique a une seule racine réelle : r0 = 2.a
. On parlera de relaxation critique :
xcritique (t) = (A + B.t) .er0 .t
•
Ce sont donc les caractéristiques de l'oscillateur (son facteur de qualité Q) qui décident de la nature de la relaxation
(apériodique, pseudo-périodique ou critique).
Conditions initiales
Pour déterminer parfaitement la solution de l'équation diérentielle, il faut connaître les constantes réelles A et B .
Or, il y a continuité de la position et de la vitesse à t = 0 : x (t = 0+ ) = x (t = 0− ) et ẋ (t = 0+ ) = vx (t = 0− ).
Ceci est assuré par la continuité de l'énergie (potentielle Ep = 21 k.x2 pour x, et cinétique Ec = 12 m.v2 pour v).
Les conditions initiales permettent donc de déterminer les constantes.
1.D.3 - Résonance d'un oscillateur
TD
On s'intéresse à un oscillateur (mécanique, par exemple), dont la position x est régie par l'équation diérentielle :
ẍ +
ω0
fx
ẋ + ω02 .x =
Q
m
avec :
• ω0 ,
la pulsation propre de l'oscillateur (en rad.s−1 ) ;
• Q, le facteur de qualité de l'oscillateur (sans unités) ;
• fx , la projection de la force (m est la masse).
L'oscillateur est en régime permanent excité de façon sinusoïdale, à la pulsation ω.
1. Résonance en vitesse
(a) Etudier l'amplitude de la vitesse v0 , en fonction de ω. Montrer en particulier que cette fonction admet
toujours un maximum, et qu'il se trouve toujours en ω0 . Tracer son allure.
(b) Etudier l'acuité de la résonance : exprimer pour cela la largeur du pic ∆ω = |ω2 − ω1 |, pulsations telles
que : v0 (ω1 ) = v0 (ω2 ) = v √(ω2 ) .
(c) Etudier aussi la phase ψ en fonction de ω.
2. Résonance en élongation
(a) Etudier l'amplitude de l'élongation x0 , en fonction de ω. Chercher les conditions d'existence d'un maximum,
et sa position.
(b) Etudier aussi la phase ϕ en fonction de ω. Montrer que l'élongation est toujours en retard sur l'excitation
(ϕ < 0).
(c) Dans le cas d'un oscillateur à faible frottement (Q 1), montrer que la résonance en élongation est
identique à la résonance en vitesse.
0
0
Méthode:
•
Equation diérentielle
Le second membre de l'équation diérentielle est sinusoïdal :
ẍ +
•
ω0
f0
ẋ + ω02 .x =
cos (ω.t)
Q
m
Le régime est permanent : après un temps de l'ordre de quelques τ , le régime transitoire est terminé car la solution
générale de l'équation diérentielle sans second membre est nulle xgenerale (t τ ) = 0 ;
Passage aux grandeurs complexes
Puisque l'équation diérentielle à résoudre
est linéaire,
elle est vériée par les grandeurs complexes associées.
f
f
j.ω.t
Ainsi, l'excitation est : m cos (ω.t) = Re m .e
, la position : x (t) = Re (x̃ (t)) avec x̃ (t) = x0 .ej.ϕ .ej.ω.t .
Or la dérivation temporelle de ces grandeurs complexes est très simple : x̃˙ (t) = j.ω.x̃ (t) et x̃¨ (t) = (j.ω)2 .x̃ (t) =
−ω 2 .x̃ (t).
L'équation diérentielle à résoudre devient donc :
0
0
˜ + ω0 ẋ
˜ + ω02 .x̃ = f0 .ej.ω.t
ẍ
Q
m
soit : −ω2 + ωQ j.ω + ω02 .x0 .ej.ϕ .ej.ω.t = fm .ej.ω.t . Grâce à l'utilisation des complexes, la variation temporelle
disparaît, ce qui explique pourquoi on se sert d'une telle méthode de résolution.
On aboutit à une équation complexe :
0
0
x0 .ej.ϕ =
ω02 −
f0
m
ω2 +
j ω0Q.ω
•
•
Pour déterminer parfaitement l'élongation, il faut connaître x0 (le module du membre de droite) et ϕ (son
argument).
Pour déterminer la vitesse, qui peut se mettre sous la forme : vx (t) = Re (ṽ (t)) avec ṽ (t) = v0 .ej.ψ .ej.ω.t , il
sut de remarquer que : ṽ (t) = x̃˙ (t) = j.ω.x̃ (t) = ω.x0 .ej(ϕ+ ) .ej.ω.t , ainsi : v0 = ω.x0 et ψ = ϕ + π2 .
π
2
1.D.4 - Eets des forces d'inertie dans le référentiel terrestre
TD
1. Le poids
On donne : G = 6, 67.10−11 N.m2 .kg−2 , le rayon moyen de la Terre : RT = 6, 4.103 km, et la masse de la Terre :
MT = 6, 0.1024 kg .
(a) Quelle est la forme de la Terre ?
(b) Un l à plomb statique dénit la verticale locale. La direction qu'il donne passe-t-elle par le centre de la
Terre ?
(c) Discuter des inhomogénéités de |~g| en fonction de l'altitude et de la latitude.
2. La déviation vers l'est
On supposera ~g uniforme (|~g| = 9, 81m.s−2 ). On s'intéresse à un point matériel qui tombe sans vitesse initiale.
L'expérience a été faite dans un puits de 158m de profondeur, en Allemagne (λ = 55◦ ).
(a) Pourquoi donc dans un puits ?
(b) Montrer que le point matériel est dévié vers l'Est.
(c) Proposer une interprétation simple de cette déviation vers l'est.
3. Le pendule de Foucault
Le pendule de Foucault est un pendule sans frottement, à petites oscillations. La pointe du mobile trace un sillon
dans le sable le long de sa trajectoire.
(a) Montrer que le plan d'oscillation du pendule tourne.
(b) Quelle serait la période du phénomène si le pendule de Foucault était suspendu au pôle nord ?
(c) La latitude de Paris est : λ ≈ 50◦ N . Quelle est la période du phénomène observé au Panthéon ?
Méthode:
est le référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, dont les axes pointent vers trois étoiles xes. R0 est le
référentiel terrestre, lié à la Terre. R est galiléen, mais R0 qui est en rotation uniforme dans R, autour de l'axe des
pôles, n'est pas galiléen : toute étude dynamique faite dans R0 impose de considérer les forces d'inertie.
• On se place dans une région autour d'un point de la surface du globe de latitude λ et de longitude ϕ. (Oz) est
l'axe vertical en ce point, (Ox) est orienté vers le sud et (Oy) vers l'est an que (Oxyz) soit orthonormé.
• Exprimer la force d'inertie d'entraînement dans (Oxyz) :
R
f~ie = m.RT . cos λ.Ω2 . (sin λ.~ux + cos λ.~uz )
•
Faire de même pour la force d'inertie de Coriolis :
f~iC = 2.m.Ω2 . [vy . sin λ.~ux + (−vz . cos λ − vx . sin λ) .~uy + vy . cos λ.~uz ]
•
Eets de la force d'inertie d'entraînement : le poids
• Le poids d'un système ponctuel de masse m en P est la résultante de la force d'attraction gravitationnelle de
la Terre et de la force d'inertie d'entraînement : P~ = m.~g.
• Si la Terre est à répartition de masse sphérique, on peut montrer (il s'agit d'appliquer un théorème de Gauss
pour la gravitation) que la force d'attraction gravitationnelle est celle que crée un point matériel situé au centre
de la Terre O et qui aurait comme masse la masse de la Terre, MT : cette force est dirigée suivant OP (vers
O).
Le mouvement du point coincidant en P est un mouvement circulaire uniforme : la force d'inertie d'entraînement
est centrifuge, dans le plan du parallèle qui passe en P .
• La force d'attraction est bien supérieure à la force d'inertie d'entraînement.
Eet de la force d'inertie de Coriolis verticale : la déviation vers l'est
On peut faire une résolution du problème en puissances croissantes : l'équation ~r (t) du mouvement de la chute
libre sans vitesse initiale se développe en ~r (t) = ~r1 (t) + ~r2 (t) + ....
• Résolution au premier ordre.
Pour déterminer ~r1 (t), on néglige la force d'inertie de Coriolis devant le poids.
• Résolution au second ordre.
On trouve la perturbation ~r2 (t) introduite par la force d'inertie de Coriolis sur le mouvement précédent.
Eets planaires de la force d'inertie de Coriolis : le pendule de Foucault
Le problème est à deux dimensions, dans le plan horizontal déni pour un point de la surface du globe de latitude
λ : vz = 0 et f~iC .~uz = 0. On s'intéresse donc à un point matériel de masse m se déplaçant dans ce plan horizontal.
• Donner l'expression de f~iC// , la projection horizontale de la force d'inertie de Coriolis :
•
•
•
f~iC// = 2.m.Ω2 . sin λ. (vy .~ux − vx .~uy )
•
1.5
Montrer que la projection horizontale de la force d'inertie de Coriolis tend à dévier le point matériel vers la
droite si l'on est dans l'hémisphère nord (λ > 0) : f~iC// .~v = 0 ⇒ f~iC// ⊥~v et f~iC// ∧ ~v = + f~iC// . f~iC ~uz .
Exercices maple
1.E.1 - Trajectoire d'un satellite vue de la Terre
Fig.
maple
1.3 Repères adaptés à l'étude de la trajectoire du satellite
Soit Rg , le référentiel géocentrique ; T est le centre de la Terre. (T x0 y0 z0 ) est un repère lié à Rg , choisi de telle
sorte que (T z0 ) soit l'axe polaire (orienté vers le Nord).
Soit Rt , le référentiel terrestre. (T x1 y1 z1 ) est un repère lié à Rt avec (T z1 ) = (T z0 ).
(T x0 y0 ) = (T x1 y1 ) est donc le plan équatorial.
On rappelle que la Terre tourne dans le référentiel géocentrique avec un vecteur rotation ω1 autour de l'axe polaire.
On donne le rayon terrestre : rT = 6, 4.106 m.
1) Donner, dans (T x1y1z1), la position d'un point M (x0, y0, z0).
2) Dans Rg , la trajectoire d'un satellite articiel de la Terre (qu'on supposera ponctuel, en S ) est un cercle de
rayon rS contenu dans le plan (T x2 y2 ), décrit uniformément par S avec la pulsation ω2 .
Quelles sont les coordonnées de S dans le repère (T x1 y1 z1 ) ?
3) Le plan de révolution du satellite (T x2y2) est incliné d'un angle θ par rapport au plan équatorial, et on décide
que l'axe (T x2 ) coïncide avec (T x0 ) (cf. gure 1.3).
Quelles sont les composantes de S dans (T x0 y0 z0 ) ?
4) En déduire les composantes
de S dans (T x1 y1 z1 ).
5) On choisit rS = 42, 103km (orbite géostationnaire). A une telle altitude, ω2 = ω1.
Donner les nouvelles composantes de S dans la base (T x1 y1 z1 ).
À quelle condition le satellite parait au repos pour un observateur xe au sol ? (On se rappellera que les paraboles
de réception TV sont orientées vers le Sud, en France).
6) Etudier, pour plusieurs valeurs de l'inclinaison θ du plan de révolution du satellite, la trajectoire apparente de
celui-ci pour un observateur terrestre. Montrer en particulier que c'est une sorte de huit .
1.E.2 - Déviation vers l'est
maple
R est le référentiel géocentrique, lié au centre de la Terre, dont les axes pointent vers trois étoiles xes. R est le
référentiel terrestre, lié à la Terre. On suppose R galiléen.
On se place dans une région autour d'un point de la surface du globe de latitude λ et de longitude ϕ. (Oz) est
l'axe vertical en ce point, (Ox) est orienté vers le sud et (Oy) vers l'est an que (Oxyz) soit orthonormé.
On supposera ~g = −g.~uz uniforme (|~g| = 9, 81m.s−2 ).
1) Exprimer la force d'inertie de Coriolis f~iC = −2.m.Ω~ ∧ ~v dans le repère (Oxyz) (la rotation de la Terre se fait
en 24h, suivant le vecteur rotation f~iC = −2.m.Ω~ ∧ ~v dirigé du pôle sud vers le pôle nord).
2) Faire une étude balistique en intégrant le mouvement pas à pas et montrer que le projectile est dévié vers la
droite dans l'hémisphère nord (λ > 0).
0
Chapitre 2
Mécanique du solide
2.1
Application directe du cours
2.A.1 - Le centre de masse d'une épuisette
3/2
Une épuisette est formée d'une tige en acier, homogène, de longueur l = 50cm, à l'extrémité de laquelle est soudée
un anneau de rayon r = 10cm, obtenu en courbant une tige de même nature et de même section que la première. La
tige est dans le plan de l'anneau, et le centre O de cet anneau se trouve sur le prolongement de la tige. On négligera
la masse du maillage en celle devant celle de la tige en acier, et le diamètre de la tige devant sa longueur.
1) Déterminer la distance OG du centre de masse de l'épuisette au centre de l'anneau.
2.A.2 - Energie cinétique d'une balançoire
3/2
Une balançoire est formée de deux tiges rigides identiques AB et A B , homogènes, de masse m et de longueur l,
qui tournent d'un angle θ par rapport à l'axe AA0 horizontal, ainsi que d'un siège assimilé à une tige BB 0 de masse
m.
On donne le moment d'inertie d'une tige homogène de masse m et de longueur 2.b par rapport à sa médiatrice :
J = 31 m.b2 .
1) Calculer l'énergie cinétique du siège BB0.
2) Calculer l'énergie cinétique de la tige AB.
3) En déduire l'énergie cinétique totale de la balançoire.
0
0
2.A.3 - Eléments cinétiques d'un cerceau
3/2
2.A.4 - Eléments cinétiques des boucles d'oreilles de Chloé
3/2
Un cerceau homogène de centre O, d'axe (Oz) de masse m et de rayon r tourne à vitesse constante θ̇ autour de
son axe qui reste xe dans le référentiel R.
1) Calculer le moment cinétique en O du cerceau dans R.
2) Calculer l'énergie cinétique du cerceau dans R.
Chloé possède des boucles d'oreilles. Chaque pendentif, acroché à l'oreille en O est constitué de deux boules
identiques, assimilables à deux points matériels A et B de masse m, xées aux deux extrémités d'une barre AB de
masse négligeable et de longueur l. Cette barre, astreinte à rester dans le plan (xOy), est articulée en G, milieu de
~ et
[AB] à une tige OG de masse négligeable et de longueur a. Le mouvement est repéré par les angles θ1 = (~ux , OG)
~
θ2 = (~uy , GB).
1) Calculer directement, pour le pendentif, en fonction de m, a, l, dθdt et dθdt :
1.a) le moment cinétique ~σO ;
1.b) et l'énergie cinétique Ec.
1
2.A.5 - Eléments cinétiques d'une nacelle de grande roue
2
3/2
Une grande roue de fête foraine de rayon r tourne autour de son axe horizontal (Oz) dans le référentiel R. On
considère une nacelle accrochée en A sur la roue, de masse m, de centre d'inertie G qui se trouve sur la verticale du
33
~ .
point A, en dessous, à une distance a. On repère l'angle θ = (~ux , OA)
1) Calculer la vitesse du centre de masse G de la nacelle dans R.
2) Calculer le moment cinétique en O de la nacelle dans R.
3) Calculer l'énergie cinétique de la nacelle dans R.
2.A.6 - Etude du champ des vitesses dans un solide
1) Montrer que l'étude des vitesses d'un solide peut se ramener à ~v = Ω~ ∧ ~r.
2) Exprimer div (~v). Comment interpréter cette formule ?
~ (~v ). Comment interpréter cette formule ?
3) Exprimer rot
2.A.7 - Cosette va au puits
3/2
3/2
Cosette doit aller cherche de l'eau au puits avec son seau de masse négligeable (il est en aluminium) de contenance
V = 10L.
1) Quelle sera la masse m du seau rempli d'eau−2?
On prendra l'intensité de pesanteur g = 10m.s .
Au puits (dont la profondeur est h = 15m), Cosette a deux solutions.
2) Soit elle accroche le seau à la corde, corde qu'elle fait passer dans la gorge d'une poulie P1 accrochée au sommet
du puits.
2.a) Donner la tension T1 que cosette doit exercer pour tenir en équilibre le seau plein d'eau.
2.b) En déduire le travail W1 minimal (c'est à dire dans le cas réversible) que Cosette devra développer pour
remonter le seau rempli d'eau.
3) La deuxième possibilité consiste à accrocher la corde au sommet du puits, à la faire passer dans une seconde
poulie P2 à l'axe de laquelle est accroché le seau, pour réaliser un palan. Cosette n'a plus qu'à passer la corde dans la
gorge de la poulie P1 accrochée au sommet du puits, et à tirer sur l'extrémité libre de cette corde.
3.a) Donner la tension T2 que cosette doit exercer pour tenir en équilibre le seau plein d'eau grâce au palan.
3.b) En déduire le travail W2 minimal (c'est à dire dans le cas réversible) que Cosette devra développer pour
remonter le seau rempli d'eau.
2.A.8 - Recul d'une arme à feu
3/2
Une arme à feu de masse m1 tire un projectile de masse m2 à la vitesse ~v2 .
1) Calculer en fonction des données, pour l'arme à feu :
1.a) la vitesse ~v1 ;
1.b) et l'énergie cinétique de recul Ec .
2) Soit Ec l'énergie cinétique totale libérée par l'explosion.
2.a) Exprimer en fonction de m1 et m2 la fraction de cette énergie perdue sous forme d'énergie cinétique de
recul.
2.b) A quelle condition cette perte est-elle faible ?
1
2.A.9 - Astérix et Cléopâtre
3/2
2.A.10 - Principe du diérentiel
3/2
Obélix pousse à la vitesse v un bloc de pierre (assimilé à un parallélépipède rectangle) sur des rondins de bois
(assimilés à des cylindres de rayon R) qui ne glissent ni sur le sol, ni sur la pierre.
1) Quelle est la vitesse du centre de gravité des rondins, vO ?
2) Quelle est leur vitesse angulaire Ω ?
On va donner le principe d'un diérentiel de voiture, qui permet, dans un virage, aux deux roues motrices de
tourner à des vitesses diérentes.
Un cylindre creux, d'axe Oz, de rayon R2 , tourne à la vitesse angulaire ω2 d'une roue et un cylindre coaxial, de
rayon R1 , à la vitesse angulaire ω1 de l'autre.
On supposera R1 < R2 .
La synchonisation entre les deux roues se fait par l'intermédiaire d'un troisième cylindre de diamètre R2 − R1 ,
tangent aux deux précedents : il est inclu dans le cylindre de rayon R2 et roule sans glisser (en fait il s'agit de roues
dentées).
1) Ecrire les deux conditions de non glissement dans le repère cylindrique d'axe (Oz).
2) En déduire, en fonction de R2, ω2, R1 et ω1 :
2.a) la vitesse angulaire ω3 du cylindre de rayon R3 = R −R
;
2
2.b) et la vitesse v3 de son centre C .
2.A.11 - Deux sphères qui roulent
2
1
3/2
On dispose de deux sphères de même masse m, de même rayon R. La sphère n1 est pleine (en aluminium) et
la sphère n2 est creuse (en plomb). On les fait rouler sans glisser sur un plan incliné (qui fait un angle α avec
l'horizontale).
1) Comparer les moments d'inertie par rapport à leur diamètre J1 et J2 respectifs.
2) Pour chacune des deux sphères (numérotées k ∈ [1; 2]), on donnera :
2.a) la vitesse du centre vk en fonction de la vitesse angulaire Ωk et de R ;
2.b) l'énergie cinétique Ec en fonction de m, R, vk et Jk .
3) Etude dynamique :
3.a) En appliquant le théorème de la puissance cinétique, exprimer dvdt en fonction de m, R, Jk , α et g,
l'intensité de la pesanteur.
3.b) Conclure : quelle sphère descendra le plus rapidement la pente ?
k
k
2.A.12 - Le seau qui plonge dans le puits
3/2
2.A.13 - Le patineur
3/2
Un treuil est constitué d'un cylindre de révolution de rayon R et de moment d'inertie J par rapport à son axe
horizontal ∆, par rapport auquel il peut tourner sans frottement. Une chaîne, dont on négligera l'épaisseur et la masse,
est enroulée sur le cylindre et retient un seau de masse M .
1) Déterminer la projection az suivant la verticale ascendante de l'accélération du seau si le système est laissé à
lui-même.
On s'intéresse à un patineur de masse volumique µ = 1kg/L de masse M = 70kg. On négligera tout frottement.
1) Dans un premier temps, le patineur tient ses bras le long de son corps, il tourne à la vitesse angulaire ω autour
de son axe (vertical). On peut l'assimiler à un cylindre de hauteur h = 1, 70m et de rayon R.
1.a) Calculer le rayon r.
1.b) En déduire le moment d'inertie du patineur par rapport à son axe J .
2)
Dans un second temps, le patineur éloigne ses bras (assimilés à des cylindres de rayon R1 = 5, 0cm, de longueur
h
)
perpendiculairement
à son corps, sa vitesse angulaire est ω0 .
2
2.a) Calculer la masse m1 et le moment d'inertie J1 des deux bras du patineur par rapport à son axe.
2.b) Calculer la masse m2, le rayon R2 et le moment d'inertie J2 du tronc du patineur par rapport à son axe.
2.c) En déduire le moment
d'inertie J 0 total du patineur par rapport à son axe.
3) Exprimer le rapport ωω .
0
2.A.14 - Moteur d'axe xe
3/2
On considère un moteur d'axe horizontal xe qui exerce un couple C sur une poulie de rayon R. Une masse M est
suspendue à la poulie. La poulie a un moment d'inertie J .
1) Sans frottement :
1.a) Quelle est la condition sur C pour que la masse remonte ?
Dans la suite, la dernière relation sera satisfaite. A t = 0, le mouvement démarre (la vitesse angulaire de la poulie
est ω (t = 0) = 0).
1.b) Que vaut ω (t) ?
1.c) La solution vous semble-t-elle satisfaisante physiquement ?
2) On prend en compte les frottements uides qui s'exercent sur un tel système en considérant le couple Cf .
2.a) Comment modéliser Cf ?
2.b) Que vaut ω (t) ?
3) Dans la suite, on supprime la masse M et on néglige les frottements uides, mais pas les frottement solides Cs
sur l'axe.
3.a) Comment modéliser Cs ?
3.b) Quelle est la condition sur C pour que la poulie se mette à tourner ?
3.c) A t = 0, la poulie tourne à la vitesse angulaire Ω = ω (t = 0). Quel temps faudra-t-il pour arrêter la poulie
grâce à un frein qui exerce un frottement solide sur l'axe Cs ?
2.2
Entraînement
2.B.1 - Roue de voiture lestée
5/2
1) Une roue de voiture assimilée à un cylindre homogène, de rayon R de centre O, de masse M , de hauteur h
d'axe (Oz) tourne à la vitesse constante ω autour de son axe xe dans le référentiel d'étude.
1.a) Calculer son moment d'inertie J par rapport à (Oz).
1.b) Calculer la résultante cinétique P~1 du système.
1.c) Calculer le moment cinétique en O du système ~σ1.
2) On ajoute sur une face de la roue deux masselottes ponctuelles identiques de masse m en A et B, à une distance
d de (Oz), symétriquement par rapport cet axe.
2.a) Calculer la résultante cinétique P~2 du système.
2.b) Calculer le moment cinétique en O du système ~σ2.
2.B.2 - Eléments cinétiques d'un pendule demi-circulaire
5/2
On considère un pendule demi circulaire AB , de rayon r, homogène, de masse m. On accroche en son milieu C le
pendule à un point O xe, grâce à une tige OC de masse négligeable et de longueur r (le point d'accroche C est à
mi-chemin de A et B ).
Le pendule peut tourner autour de son axe (Ox) horizontal qui reste xe dans le référentiel R. On repère sa position
par l'angle β que fait la tige OC avec la verticale descendante.
1) Calculer la résultante cinétique du pendule dans R.
2) Calculer le moment cinétique en O du pendule dans R.
3) Calculer l'énergie cinétique du pendule dans R.
2.B.3 - Moment cinétique d'une balance à plateaux
5/2
On considère un repère cartésien (Oxyz) xe dans le référentiel du sol, R. L'axe (Oy) est vertical, dirigé vers le
haut.
Une balance à trébuchet est composée (cf. gure 2.1 ) :
• d'un éau de masse m0 assimilable à un axe (Ox0 ), avec une èche (Oy 0 ), qui peut tourner autour de l'axe (Oz) ;
• d'un premier plateau et de son poids (de masse m1 ) suspendu à l'extrémité A1 du éau, qui peut tourner autour
de l'axe (A1 z) ;
• d'un second plateau et de son poids (de masse m2 ) suspendu à l'autre extrémité A2 du éau, qui peut tourner
autour de l'axe (A2 z).
~ 0 = −a.~u0y . Le moment d'inertie du éau par rapport à l'axe (G0 z)
G0 , le centre d'inertie du éau est tel que OG
est égal à J .
Fig.
2.1 Balance à plateaux
1) Déterminer le moment d'inertie J 0 du éau par rapport à l'axe (Oz).
~ 2 = b.~u0x . Au cours du
Les points A1 et A2 sont symétriques par rapport à O, sur l'axe (Ox0 ) tels que A~1 O = OA
mouvement, les centres d'inertie (respectivement G1 et G2 ) des deux plateaux se trouvent toujours à la verticale des
points d'accroche des plateaux (respectivement A1 et A2 ) : A1~G1 = A2~G2 = −c.~uy .
2) Qualier le mouvement des plateaux dans R.
On dénit l'angle α = (~ux , ~u0x ).
3) Déterminer le moment cinétique total ~σ0 en O de la balance dans R.
2.B.4 - La fusée
5/2
2.B.5 - La chute d'une chaîne
5/2
2.B.6 - Position d'équilibre d'une balance à plateaux
5/2
2.B.7 - Le seau qui tombe dans le puits avec une poulie
5/2
Une fusée, de masse totale m(0) = 12t au départ, est lancée verticalement. La propulsion est assurée par un dispositif
à réaction : éjection de gaz produits par la combustion de propergol à travers une tuyère, avec un débit massique
constant a = 120kg.s−1 , à la vitesse relative ~u par rapport à la fusée (u = 2400m.s−1 ). Le mélange combustible a une
masse mc (0) = 0, 8.m(0) au départ.
1) Etablir l'équation diérentielle vériée par la vitesse V~ de la fusée à l'instant t dans le référentiel terrestre
considéré comme galiléen, en fonction de ~g, intensité du champ de pesanteur au lieu où se trouve la fusée, u, et m(t)
masse de la fusée à l'instant t.
2) Pour une intensité du champ de pesanteur constante, intégrer la précédente relation pour trouver V~ (t), la
vitesse de la fusée à l'instant t.
3) On prendra g = 10m.s−2. Calculer la vitesse maximale Vmax acquise par la fusée.
Le référentiel terrestre est supposé galiléen. Une chaîne AB homogène sans raideur, de longueur d et de masse m,
est posée sur le bord d'une table horizontale, sans vitesse initiale.
L'axe (Oz) est orienté vers le bas, O se trouvant au bord de la table. La partie OA de la chaîne pend dans le vide
tandis que le reste de la chaîne BO repose sur la table. On repère par z l'altitude de A. Initialement, z(t = 0) = a.
On néglige tout frottement interne à la chaine d'une part, et entre la table et la chaîne d'autre part.
1) Calculer l'énergie mécanique de la chaîne.
2) En déduire l'équation diérentielle que vérie z.
3) Déterminer alors la loi z(t).
On considère un repère cartésien (Oxyz) xe dans le référentiel du sol, R. L'axe (Oy) est vertical, dirigé vers le
haut.
Une balance à trébuchet est composée (cf. gure 2.1 ) :
• d'un éau de masse m0 assimilable à un axe (Ox0 ), avec une èche (Oy 0 ), qui peut tourner sans frottement autour
de l'axe (Oz) ;
• d'un premier plateau et de son poids (de masse m1 ) suspendu à l'extrémité A1 du éau, qui peut tourner sans
frottement autour de l'axe (A1 z) ;
• d'un second plateau et de son poids (de masse m2 ) suspendu à l'autre extrémité A2 du éau, qui peut tourner sans
frottement autour de l'axe (A2 z).
~ 0 = −a.~u0y . Les points A1 et A2 sont symétriques par rapport à O,
G0 , le centre d'inertie du éau est tel que OG
~ 2 = b.~u0x . Au cours du mouvement, les centres d'inertie (respectivement G1 et G2 )
sur l'axe (Ox0 ) tels que A~1 O = OA
des deux plateaux se trouvent toujours à la verticale des points d'accroche des plateaux (respectivement A1 et A2 ) :
A1~G1 = A2~G2 = −c.~uy .
On dénit l'angle α = (~ux , ~u0x ).
1) Déterminer les moments en O
1.a) du poids du éau M~ 0 ;
1.b) du poids du premier plateau M~ 1 ;
1.c) du poids du second plateau M~ 2.
2) En déduire la position d'équilibre du éau αeq .
Un seau de masse m est accroché à un bout d'une corde sans masse qui coulisse sans glisser dans la gorge d'une
poulie de rayon R, de moment d'inertie J , dont l'axe Ox est accroché au sommet d'un puits de profondeur h.
1) Exprimer la condition de non glissement en fonction de R, v (la vitesse du seau) et ω (la vitesse angulaire de
la poulie).
2) Déterminer la vitesse du seau v0 à son arrivée dans l'eau (il est lâché sans vitesse initiale) :
2.a) en utilisant le théorème du moment cinétique ;
2.b) en utilisant le théorème de l'énergie cinétique.
2.B.8 - Détermination d'un coecient de frottement
5/2
2.B.9 - Machine d'Atwood
5/2
2.B.10 - Nécessité du volant d'inertie
1) Régime transitoire.
5/2
Une masse M1 est posée sur un plan horizontal (le coecient de frottement est noté f ). Elle est reliée par l'intermédiaire d'un l inextensible sans masse et d'une poulie de moment d'inertie négligeable à une masse M2 , lâchée sans
vitesse initiale à partir d'une hauteur h du sol.
1) En appliquant le théorème de l'énergie cinétique au système composé des deux masses, déterminer la vitesse
v1 quand M2 arrive au sol, en fonction de M1 , M2 , g (l'accélération de la pesanteur) et h.
Quand M2 , arrivée au sol, s'arrête, M1 continue sur sa lancée et met une distance d pour s'arrêter.
2) Calculer f en fonction de M1, M2, h et d.
La machine d'Atwood est composée d'une poulie de rayon R et de moment d'inertie J par rapport à son axe
horizontal. Y coulisse, sans glissement un l sans masse avec, d'un côté une masse M et de l'autre une masse M + µ
où la surcharge est µ M .
1) En appliquant le théorème du moment cinétique au système composé de la poulie et des deux masses, déterminer
la dérivée de la vitesse angulaire dω
dt .
2) En déduire l'accélération a de la masse la plus lourde.
3) On utilisait la machine d'Atwood en TP de physique pour mesurer l'accélération de la pesanteur. Expliquer
pourquoi.
Initialement immobile, une machine tournante de moment d'inertie J par rapport à son axe, est soumise à partir
de l'instant t = 0 à l'action d'un couple moteur de moment Γ = Γ0 constant. On supposera que l'ensemble des forces
de frottement a un moment de la forme −k.ω, où ω est la vitesse angulaire de la machine tournante.
1.a) On donnera l'équation diérentielle suivie par ω.
1.b) Identier la vitesse angulaire ω0 atteinte en régime permanent
1.c) ainsi que le temps de relaxation τ du système.
2) Inuence d'une vibration.
On reprend l'étude précédente en supposant que, en raison de vibrations indésirables, le couple moteur n'est plus
Ω
avec un taux de modulation η :
une constante mais est modulé à la fréquence 2.π
Γ = Γ0 (1 + η. cos (Ω.t))
2.a) Reprendre l'étude du mouvement en établissant l'équation diérentielle dénie par la fonction ε(t) telle
que : ω(t) = ω0 [1 + ε(t)].
Au bout d'un temps susant, ε(t) est une fonction sinusoïdale de pulsation Ω que l'on cherchera sous la forme :
ε(t) = α. cos (Ω.t − ψ).
2.b) Déterminer les constantes α
2.c) et ψ en fonction des données η, Ω et τ .
3) Rôle d'un volant.
A l'aide des expressions précédentes, expliquer pourquoi, de façon à régulariser le fonctionnement d'une machine
tournante, on adjoint aux parties tournantes un anneau massif et de grand rayon appelé volant.
2.B.11 - Nécessité de l'équilibrage statique
5/2
Un disque de centre O, d'axe (Oz) vertical, de centre de masse G (tel que OG = 0, 5mm), de masse M = 10kg
tourne uniformément autour de son axe à la pulsation ω = 4000tours/min dans le référentiel du sol R.
Le support xe dans R exerce des forces respectivement notées F~1 et F~2 respectivement en O1 et O2 , deux points de
xation situés sous O, tels que O1 O = 10cm et O2 O = 50cm. Le champ de pesanteur est ~g = −g~uz avec g = 9, 81m.s−2 .
~
OG
.
On utilisera le repère (~ur , ~uθ , ~uz ) tel ~ur , où ~ur = OG
1) Appliquer au système décrit le théorème de la résultante cinétique. Le projeter dans le repère cylindrique
(~ur , ~uθ , ~uz ).
2) Lui appliquer le théorème du moment cinétique en O. Le projeter dans le repère cylindrique (~ur , ~uθ , ~uz ).
3) En déduire les valeurs numériques des projections horizontales des forces F~1 et F~2. Les comparer au poids du
disque. Conclusion ?
2.3
Planches d'oral
2.C.1 - Positions d'équilibre d'une craie dans un tuyau
***
(d'après CCP 2002)
On se place dans un repère (O, ~ux , ~uy , ~uz ), ~uy étant vertical, orienté vers le bas. Un cylindre de centre O0 , de rayon
r se déplace librement dans un autre cylindre, d'axe parallèle (Oz horizontal, parallèle à ~ux ), de rayon R > r. On
~ 0 ) (cf. gure 2.2).
repère la position du centre O0 du petit cylindre par l'angle θ = (~uy , OO
Fig.
2.2 Un bâton de craie dans un tuyau
1) Trouver les positions d'équilibre et étudier leur stabilité.
2.C.2 - Une bille dans une goutière
***
(Mines-Pont 2007)
On place une bille de rayon r, de moment d'inertie I = 2.m.r
par rapport à l'un de ses axes, à l'intérieur d'un
5
cylindre de rayon R d'axe horizontal et on la lâche d'un angle ϕ = ϕ0 (cf. gure 2.3).
2
Fig.
2.3 la bille dans la goutière
On donne ψ(0) = 0, ψ̇(0) = 0, ϕ(0) = ϕ0 , ϕ̇(0) = 0.
1) Montrer par des considérations physiques que |ϕ(t)| ≤ ϕ0.
2) Etablir l'expression de ψ(t).
On note f le coecient de frottement statique.
3) A quelle condition y-a-t-il roulement sans glissement ?
4) Commenter pour ψ0 = 15◦ ; R = 2m ; r = 5cm ; g = 9, 81m.s−2.
2.C.3 - Un cylindre dans un autre cylindre
***
2.C.4 - Sphère qui roule dans une rigole
***
(Mines-Pont 2007)
Un cylindre C de rayon a, de masse M et de moment d'inertie J par rapport à son axe ∆, contient un cylindre C 0
de masse m0 , de même axe, de moment, d'inertie J 0 , libre de tourner autour de son axe grâce à une liaison pivot.
C peut rouler, mais alors c'est sans glisser, sur le plan horizontal lié à un réfèrentiel galiléen R. A l'origine, C est
immobile dans R et la vitesse angulaire de C 0 par rapport à C est ω0 . Un dispositif interne à C + C 0 freine la vitesse
angulaire de C 0 relative à C jusqu'à l'annuler.
1) Quelle est alors la vitesse angulaire commune de C et C 0 dans R ?
2) Quelle est l'évolution ultérieure du système ?
3) Faire un bilan énergétique et déterminer le travail des actions intérieures Wint.
(Centrale 2007)
Une sphère de masse m, de rayon r, de moment d'inertie J par rapport à un de ses diamètres, roule sans glisser
dans une rigole de largeur W < 2r, sur un plan incline d'un angle θ par rapport à l'horizontale.
1) Calculer le coecient de frottement minimal fmin pour qu'il y ait roulement sans glissement (on supposera
que la force de frottement se fait uniquement suivant la direction de la glissière).
2) Décrire le mouvement pour un coecient de frottement
2.a) f ≤ fmin
2.b) et f ≥ fmin.
2.4
Travaux dirigés
2.D.1 - Réduction canonique du problème à deux corps
TD
On s'intéresse à un système isolé de deux points matériels (de masse m1 en M1 et de masse m2 en M2 ), de centre
de masse O. On pose le vecteur position relative : ~r = M1~M2 .
.m
Montrer que l'étude du système à deux corps revient à l'étude d'une particule ctive, de masse µ = mm +m
, en ~r,
~
qui subit la force f2 qu'exerce M1 sur M2 .
1
1
2
2
Méthode:
•
•
•
•
•
Montrer que O est xe dans le référentiel barycentrique R∗ et que ce référentiel est galiléen. La suite de l'étude se
fera dans le référentiel R∗ .
~ = ~r.
Montrer que les trajectoires respectives de M1 et de M2 sont homothétiques de celle d'un point M situé en OM
~
dr
Exprimer les vitesses respectives de M1 et de M2 en fonction de ~v = dt .
Montrer que les expressions :
• du moment cinétique total du système ~σO
• et de l'énergie cinétique totale du système Ec
sont celle d'une particule de masse µ en ~r.
En déduire que l'étude dynamique du système revient à celle d'une particule ctive de masse µ en ~r, qui ressent
une force f~2 , aussi bien en ce qui concerne :
• le principe fondamental de la dynamique,
• le théorème du moment cinétique,
• le théorème de l'énergie cinétique.
Se ramener au cas où m2 m1 , pour vérication.
2.5
Exercices maple
2.E.1 - Calcul de l'ensoleillement sur Terre
maple
On repère un point à la surface de la Terre par sa latitude λ.
Soit un repère sphérique xe dans le référentiel géocentrique. (Oz) est suivant l'axe polaire. (Ox) est l'axe de
référence dans le plan équatorial par rapport auquel on compte l'angle ϕ.
La Terre tourne dans le référentiel géocentrique en un jour (24 heures) autour de l'axe polaire : ϕ varie alors de -π
à +π.
(Oz) pointe vers l'étoile polaire et fait un angle α0 = 23◦ 270 avec la normale au plan de l'écliptique. Le Soleil,
toujours dans le plan (xOz), envoie ses rayons avec un angle α par rapport à (Ox) : α ∈ [−α0 ; +α0 ]. Aussi, on repère
le moment de l'année par l'angle α : α = −α0 au solstice d'hiver (21 décembre), α = +α0 au solstice d'été (21 juin)
et α = 0 aux équinoxes (de printemps le 21 mars et d'automne le 22 septembre). On supposera que la vitesse de
révolution de la Terre est constante au cours de l'année.
1) Montrer que le Soleil se lève ou se couche pour l'angle ϕ0 = Arc cos (− tan α. tan λ) u.
2) Montrer que l'éclairement théorique d'une◦ journée est de la forme : I ◦= 2.I0. (sin ϕ0. cos α. cos λ + ϕ0. sin α. sin λ).
3) Pour l'équateur (λ = 0), Paris (λ = 50 ) et le pôle Nord (λ = 90 ), donner les heures de lever et coucher du
soleil au cours de l'année. Comparer ensuite l'éclairement théorique pour ces trois latitudes (sur un même graphique
, au cours de l'année, et numériquement pour l'année entière).
Chapitre 3
Mécanique des uides
3.1
Application directe du cours
3.A.1 - Densité particulaire dans l'eau
3/2
3.A.2 - Caractéristique d'un écoulement dans un dièdre droit
3/2
On donne :
• le nombre d'Avogadro : NA = 6, 02.1023 mol−1 ;
• la masse volumique de l'eau liquide ρliq = 1, 0.103 kg.m−3 ;
• la masse molaire de l'eau M = 18.g.mol−1 ;
• la constante des gaz parfaits R = 8, 31J.K −1 ..mol−1 .
1) Calculer la densité particulaire n pour :
1.a) l'eau à l'état liquide ;
1.b) l'eau à l'état gaz à la température T = 400K , sous une pression P = 1bar. Ce gaz est supposé obéir à la
loi des gaz parfaits.
Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy
1) Ce champ des vitesses correspond-il à :
1.a) un écoulement stationnaire ?
1.b) un écoulement incompressible ?
1.c) un écoulement avec tourbillons ?
2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
3) Déterminer :
3.a) les lignes de courant ;
3.b) les trajectoires des particules de uide.
3.A.3 - Accélération dans un dièdre droit
3/2
Soit un écoulement bidimensionnel dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et
est
y > 0,
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy
1) Déterminer l'accélération d'une particule de uide.
1.a) en passant par le formalisme lagrangien ;
1.b) en passant par le formalisme eulérien.
3.A.4 - Détermination d'un champ de vitesses et d'accélération
Soit un écoulement bidimensionnel déni en formalisme lagrangien par :
X = X0 . (1 + b.t)
Y = Y0
43
3/2
1) Déterminer :
1.a) la vitesse d'une particule de uide en formalisme lagrangien ;
1.b) le champ de vitesse en formalisme eulérien.
2) Déterminer l'accélération d'une particule de uide :
2.a) en passant par le formalisme lagrangien ;
2.b) en passant par le formalisme eulérien.
3.A.5 - Diérence entre lignes de courant et trajectoires
Soit un champ des vitesses, avec un axe (Oz) vertical et orienté vers le haut, déni par
3/2
~v (~r, t) = u0 .~ux + (v0 − g.t) .~uz
1) Déterminer les lignes de courants.
2) Déterminer :
2.a) les trajectoires,
2.b) et la ligne d'émission issue du point (0, 0).
3.A.6 - Ecoulement entre deux cylindres
3/2
L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur axe
commun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses :
~v (~r, t) =
A.r +
B
r
.~uθ
1) Ce champ des vitesses correspond-il à :
1.a) un écoulement stationnaire ?
1.b) un écoulement incompressible ?
1.c) un écoulement avec tourbillons ?
2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
3.A.7 - Ecoulement au dessus d'un plan oscillant
3/2
L'écoulement entre un plan oscillant (y = 0) et l'inni (y → +∞) est donné par le champ eulérien des vitesses
suivant :
~v (~r, t) = A.e−k.y . cos (ω.t − k.y) .~ux
1) Ce champ des vitesses correspond-il à :
1.a) un écoulement stationnaire ?
1.b) un écoulement incompressible ?
1.c) un écoulement avec tourbillons ?
2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
3) Vérier si les conditions aux limites sont correctes.
3.A.8 - Champ de pression dans un écoulement unidirectionnel
3/2
3.A.9 - Ecoulement barotrope pour un gaz parfait
3/2
3.A.10 - Loi de Torricelli
3/2
Dans un écoulement unidirectionnel horizontal, la vitesse est de la forme ~v = v(x, t).~ex . Les seules forces volumiques
considérées seront les forces de pesanteur (l'axe (Oy) étant pris vertical ascendant).
1) Montrer que le champ de pression, transversalement à l'écoulement horizontal, obéit aux lois de la statique des
uides.
Un uide considéré comme un gaz parfait est en écoulement isentropique.
1) Montrer que l'écoulement est barotrope.
On s'intéresse à un récipient de hauteur h rempli d'un uide parfait qui s'écoule par un orice très petit devant la
section du récipient situé dans le fond de celui-ci.
1) Calculer la vitesse d'écoulement v.
3.A.11 - Compteur de gaz
3/2
Le méthane, principal constituant du gaz naturel, peut céder par combustion à 300K une énergie molaire Qm =
890kJ.mol−1 .
1) Quel est le débit volumique en m3/h d'une canalisation qui alimente un brûleur dont la puissance théorique
est de 20kW ?
3.A.12 - Jet sur une plaque mobile
3/2
3.A.13 - Puissance d'une pompe
3/2
3.A.14 - Mélangeur
3/2
Une plaque, perpendiculaire à la direction horizontale (Ox), est en translation, de vitesse constante ~v = v.~ex . Elle
est poussée par un jet d'eau, dont la vitesse est ~vi 0 = v0 .~ex et le débit massique Dm .
Un déecteur dévie le jet d'un angle dont la valeur est α dans le référentiel de la plaque. Le jet garde une section
uniforme, sa pression reste égale à la pression atmosphérique et on néglige toute viscosité.
1) Calculer le débit Dm0 du jet dans le référentiel de la plaque.
2) Calculer la force exercée sur la plaque.
Une pompe aspire l'eau d'un puits, et la transvase dans un réservoir pressurisé avec un débit massique Dm constant.
Le niveau supérieur de l'eau dans le réservoir est à une altitude h au-dessus de celui du puits, et la pression y est égale
à P1 , supérieure à la pression atmosphérique P0 . On néglige toute viscosité.
1) Calculer la puissance utile Pu fournie par la pompe au uide.
Tc ,
Un robinet mélangeur admet de l'eau froide (température Tf , débit massique Df ) et de l'eau chaude (température
débit massique Dc ).
1) Déterminer la température T de l'eau sortant du robinet.
3.A.15 - Compresseur adiabatique
3/2
3.A.16 - Force de poussée subie par une fusée
3/2
Un compresseur amène de l'air de l'état atmosphérique (Pi = 1bar, Ti = 300K ) jusqu'à l'état nal (Pf = 6bar, Tf )
sans échange de chaleur. La puissance du moteur qui l'entraîne est P = 1, 5kW , et le débit massique est Dm = 6, 5g.s−1 .
On assimilera l'air à un gaz parfait de capacité thermique massique à pression constante cp = 1, 0kJ.kg−1 .K −1 .
1) Calculer la température Tf .
Une fusée, dont la masse à l'instant t est m éjecte vers l'arrière les gaz issus de la combustion du carburant et
du comburant qu'elle contient. On suppose qu'elle est en translation, de vitesse ~v par rapport au référentiel d'étude,
galiléen, et que la vitesse ~u des gaz éjectés dans le référentiel de la fusée est uniforme et constante. Dm représente leur
débit massique.
1) Calculer la poussée de la fusée, c'est-à-dire la force F~p qu'il faudrait appliquer à un système fermé soumis aux
mêmes forces extérieures pour obtenir la même accélération.
3.2
Entraînement
3.B.1 - Distance entre particules dans l'eau
•
•
•
•
On donne :
le nombre d'Avogadro : NA = 6, 02.1023 mol−1 ;
la masse volumique de l'eau liquide ρliq = 1, 0.103 kg.m−3 ;
la masse molaire de l'eau M = 18.g.mol−1 ;
la constante des gaz parfaits R = 8, 31J.K −1 ..mol−1 .
1) Calculer la distance moyenne entre molécules pour :
1.a) l'eau à l'état liquide ;
5/2
1.b) l'eau à l'état gaz à la température T = 400K , sous une pression P = 1bar. Ce gaz est supposé obéir à la
loi des gaz parfaits.
3.B.2 - Caractéristique d'un écoulement pour un uide en rotation
Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :
5/2
~v (~r, t) = −k.y.~ux + k.x.~uy
1) Ce champ des vitesses correspond-il à :
1.a) un écoulement stationnaire ?
1.b) un écoulement incompressible ?
1.c) un écoulement avec tourbillons ?
2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
3) Déterminer :
3.a) les lignes de courant ;
3.b) les trajectoires des particules de uide.
4) Calculer l'accélération des particules de uide :
4.a) en passant par le formalisme lagrangien ;
4.b) en passant par le formalisme eulérien.
3.B.3 - Caractéristique d'un écoulement plan au voisinage d'une source ponctuelle
Soit un écoulement dont le champ des vitesses est :
5/2
~v (~r, t) = +k.x.~ux + k.y.~uy
1) Ce champ des vitesses correspond-il à :
1.a) un écoulement stationnaire ?
1.b) un écoulement incompressible ?
1.c) un écoulement avec tourbillons ?
2) Existe-t-il un potentiel des vitesses ?
3) Déterminer :
3.a) les lignes de courant ;
3.b) les trajectoires des particules de uide.
4) Calculer l'accélération des particules de uide :
4.a) en passant par le formalisme lagrangien ;
4.b) en passant par le formalisme eulérien.
3.B.4 - Caractéristique d'un écoulement dans un dièdre droit (2)
Soit un écoulement dans un dièdre droit dont le champ des vitesses, déni dans la région x > 0 et y > 0, est
5/2
~v (~r, t) = −k.x.~ux + k.y.~uy + a.ω. cos (ω.t) .~uz
1) Qualier cet écoulement.
2) Déterminer :
2.a) les lignes de courant ;
2.b) les trajectoires des particules de uide.
3.B.5 - Ecoulement entre deux cylindres (2)
5/2
L'écoulement d'un uide entre deux cylindres concentriques, de rayons R1 et R2 , tournant autour de leur axe
commun (Oz) aux vitesses angulaires Ω1 et Ω2 peut être décrit par le champ des vitesses :
~v (~r, t) =
B
A.r +
r
.~uθ
1) Déterminer les constantes A et B en écrivant la continuité des vitesses du uide et des cylindres en R1 et R2.
2) Que se passe-t-il dans le cas où Ω1 = Ω2 = Ω ?
3) Déterminer l'accélération d'une particule de uide.
3.B.6 - Fonction de courant d'un écoulement plan incompressible
5/2
1) Montrer qu'à tout écoulement plan incompressible déni en coordonnées cartésiennes par ~v(~r, t) = vx.~ux +vy .~uy ,
il est possible d'associer une fonction scalaire ψ (fonction courant) telle que :
(
vx = ∂ψ
∂y
vy = − ∂ψ
∂x
~
2) Montrer qu'alors ~v.grad(ψ)
= 0 et en déduire que les courbes d'équation ψ = cte s'identient aux lignes de
courant.
3) Déterminer la fonction courant associée aux écoulements dénis par les champs de vitesse suivants :
3.a) ~v(~r, t) = −k.y.~ux + k.x.~uy ;
3.b) ~v(~r, t) = k.y.~ux + k.x.~uy .
3.B.7 - Relation de Bernouilli et premier principe de la thermodynamique
5/2
1) Montrer que pour un uide quelconque en écoulement isentropique et stationnaire, l'équation de Bernouilli
prend la forme :
v2
+ ep + h = cte
2
où h est l'enthalpie massique du uide.
3.B.8 - Temps de vidange d'un récipient
5/2
On s'intéresse à un récipient ayant la forme d'un cylindre d'axe vertical, de hauteur H = 50cm et de rayon
R = 10cm, initialement complètement rempli d'un uide parfait qui s'écoule par un orice circulaire de rayon r = 0, 5cm
situé dans le fond du cylindre.
1) Calculer la vitesse d'écoulement v à l'orice de ce récipient lorsque la hauteur de uide est h. Vérier que l'on
retrouve bien la loi de Torricelli dans le cas où R r.
2) Calculer le temps de vidange T de ce récipient.
3.B.9 - Force exercée sur une seringue
5/2
Une seringue est formée d'un corps de section constante S1 et d'une aiguille dont l'extrémité a une section S2 Cette seringue contient un liquide de masse volumique µ qui est éjecté en appuyant sur un piston mobile sans
frottements.
1) Quelle force un opérateur doit-il exercer sur le piston pour assurer un débit volumique D d'éjection ?
S1 .
3.B.10 - Evolution de la vitesse d'une fusée
5/2
Une fusée, de masse totale m(0) = 12t au départ, est lancée verticalement. La propulsion est assurée par un dispositif
à réaction : éjection de gaz produits par la combustion de propergol à travers une tuyère, avec un débit massique
constant a = 120kg.s−1 , à la vitesse relative ~u par rapport à la fusée (u = 2400m.s−1 ). Le mélange combustible a une
masse mc (0) = 0, 8.m(0) au départ.
1) Etablir l'équation diérentielle vériée par la vitesse V~ de la fusée à l'instant t dans le référentiel terrestre
considéré comme galiléen, en fonction de ~g, intensité du champ de pesanteur au lieu où se trouve la fusée, u, et m(t)
masse de la fusée à l'instant t.
2) Pour une intensité du champ de pesanteur constante, intégrer la précédente relation pour trouver V~ (t), la
vitesse de la fusée à l'instant t.
3) On prendra g = 10m.s−2. Calculer la vitesse maximale Vmax acquise par la fusée.
3.B.11 - Refrigérant
5/2
De l'air chaud (Pi = 6bar, Ti = 500K , de chaleur massique à pression constante ca = 1, 0kJ.kg .K .) est refroidi
de façon isobare jusqu'à la température Tf = 300K , dans un échangeur parfaitement calorifugé.
Le uide réfrigérant est constitué par de l'eau (de chaleur massique ce = 4, 18.kJ.kg−1 .K −1 ) qui entre à la température θe = 12◦ C et qui sort à θs . Le débit massique d'eau est De = 100g.s−1 et celui de l'air Da = 6, 5g.s−1 .
1) Calculer θs.
−1
−1
3.B.12 - Force sur une lance d'incendie
5/2
Un tuyau souple, de section S se termine par un embout dont la section terminale s = 1cm est très petite devant
2
S.
La pression dans le tuyau est P1 = 10bar et le jet sort dans l'atmosphère à la pression P0 = 1bar. L'embout fait
un angle droit avec la partie antérieure du tuyau.
La vitesse du jet sera supposée très grande devant la vitesse du uide dans le tuyau.
1) L'eau étant assimilée à un uide partait, calculer le débit massique Dm
2) Calculer Fy , la composante parallèle au jet de la force F~ exercée par la personne qui tient la lance.
3.B.13 - Tourniquet d'arrosage
5/2
Un tourniquet d'arrosage est constitué d'un tube vertical d'axe (Oz), et d'un tube horizontal constitué de deux
bras de longueur a, terminés par des embouts dont la section terminale est S , qui font un angle α avec la direction
orthoradiale.
Le tube horizontal peut tourner autour de l'axe xe (Oz). On néglige l'épaisseur des tubes, et on suppose les
écoulements unidimensionnels. Le moment d'inertie du tourniquet et de l'eau qu'il contient est J , et, lorsqu'il tourne
à la vitesse angulaire ω, il est soumis à un couple résistant constant de valeur absolue Γ. Le débit massique d'eau est
Dm .
1) Établir l'équation diérentielle en ω(t).
2) Calculer ωp, valeur de ω en régime permanent.
3) ω(t = 0) étant nul à l'instant initial, étudier le régime transitoire.
3.3
Planches d'oral
3.C.1 - Liquide en rotation
***
(CCP 2007)
Un récipient cylindrique vertical contenant un liquide, tourne autour de son axe à vitesse angulaire constante ω.
1) Déterminer l'équation de l'intersection de la méridienne du cylindre avec la surface du liquide.
2) Déterminer la hauteur de liquide au centre et sur les bords.
3.4
Travaux dirigés
3.D.1 - Etude de quelques écoulements plans
TD
On s'intéresse aux écoulements qui suivent :
1) Ecoulement uniforme : ~v = v0.~ux.
2) Ecoulement dans un dièdre
droit : ~v = k (−x.~ux + y.~uy ) pour x < 0 et y > 0.
D
3) Puits ou source : ~v = 2.π.r
~ur (dans les coordonnées cylindriques) où Dv est le débit volumique (Dv > 0, d'un
puits si Dv < 0).
4) Dipôle source-puits : superposition
d'un puits ponctuel de débit volumique Dv situé en P (− a2 , 0, 0) et une
a
source de même débit située en S(+ 2 , 0, 0) (et on se place en M , loin du puits et de la source).
5) Ecoulement
dans un évier : superposition d'un puits en O et un vortex de centre O, de sorte que ~v =
−D
C
~
u
+
~
u
∀
r
.
2.π.r r
2.π.r θ
6) Ecoulement
au voisinage d'une source ponctuelle proche d'un mur : superposition de deux sources ponctuelles
de même débit volumique : A(−a, 0, 0) et A0 (+a, 0, 0), symétrique de A par rapport au mur.
7) Ecoulement
autour d'un cylindre xe : superposition courant uniforme - dipôle, de sorte que ~v = v0 . cos θ. 1 − ar .~ur −
v0 . sin θ. 1 + ar .~uθ .
8) Ecoulement autour d'un cylindreen rotation
: superposition
autour d'un cylindre xe et d'un
h
écoulement
i
a
C
a
vortex, de sorte que ~v = v0 . cos θ. 1 − r .~ur + −v0 . sin θ. 1 + r + 2.π.r .~uθ .
Pour chacun de ces écoulements :
−→
• vérier que rot (~v ) = ~0 ;
• calculer le potentiel φ ;
v
v
2
2
2
2
2
2
2
2
•
•
•
•
en déduire la forme des lignes iso-potentielles ;
vérier que div (~v) = 0 ;
calculer la fonction courant ψ ;
en déduire la forme des lignes de courant.
Méthode:
Les écoulements permanents, plans, potentiels et incompressibles permettent de décrire ecacement un grand
nombre d'écoulements réels. On pourra les caractériser par :
• le champ de vitesse ~v ;
−−→
• le potentiel des vitesses φ tel que ~v = grad (φ) ;
−−→
−→
• la fonction courant ψ telle que ~v = rot (ψ.~uz ) = grad (ψ) ∧ ~uz .
La vitesse se déduit donc aisément du potentiel des vitesses φ ou de la fonction courant ψ.
D'autre part,
div (~v ) = 0 ⇒ ∆φ = 0
De même,
−→
rot (~v ) = ~0 ⇒ ∆ψ = 0
Ainsi, aussi bien φ que ψ obéissent à l'équation de Laplace.
3.D.2 - Exemples de bilans pour quelques systèmes ouverts
1) Déterminer l'eet mécanique du déplacement de uide dans les cas suivants :
1.a) Jet d'eau sur une plaque
TD
On s'intéresse à une plaque plane orthogonale à ~ux , immobile dans le référentiel du sol, sur laquelle arrive un jet
d'eau à la pression atmosphérique (de masse volumique µ, de vitesse ~v0 = v0 .~ux , de section S et donc de débit massique
Dm = µ.S.v0 ). Après contact avec la plaque, le jet est dévié d'un angle α, il garde la même section S , et la même
pression. On néglige tous phénomènes de viscosité.
1.b) Fusée
On s'intéresse à une fusée dont la masse à l'instant t est m(t), dont la vitesse est ~v = +v.~uz dans le référentiel
du sol (supposé galiléen), qui éjecte (vers l'arrière) un débit massique Dm de gaz avec une vitesse ~u = −u.~uz dans le
référentiel de la fusée.
1.c) Tourniquet hydraulique
On s'intéresse à un tourniquet qui peut tourner autour de son axe vertical Oz, de moment d'inertie J par rapport
à Oz, formé de deux bras de longueur a d'où est éjecté un débit total Dm d'eau de façon orthoradiale (vers l'arrière)
à travers une section S . La vitesse angulaire par rapport à Oz est ω.
1.d) Turbine
On s'intéresse à une turbine qui peut tourner autour de son axe Oz, de moment d'inertie J par rapport à Oz (en
comprenant l'eau qui est au contact de la turbine), avec une vitesse angulaire ω. Un débit d'eau Dm arrive avec une
vitesse ~ve = ve .~uθ à une distance a de l'axe Oz et ressort avec une vitesse ~vs = vs .~uθ à la même distance a de l'axe
Oz .
Méthode:
On s'intéresse à système ouvert de volume V délimité par une surface fermée Σ. Cette surface fermée est composée
de :
• la surface S délimitée par les bords de l'écoulement ;
• la surface Se à travers laquelle entre le uide ;
• la surface Ss à travers laquelle sort le uide.
Σ est xe dans le référentiel d'étude au cours du temps.
A la date t, un système fermé est composé du uide dans le volume V . Il coïncide alors avec le système ouvert
précédemment déni.
Plus tard, à la date t + dt, ce système fermé s'est déplacé (cf. gure ??) :
• à travers la surface Se est passée une masse δme de uide ;
• à travers la surface Ss est passée une masse δms de uide.
Soit une grandeur extensive dénie pour le système ouvert
ZZZ
G=
g.d3 m
V
où g est la grandeur intensive massique associée à G.
A l'instant t : le système fermé coïncident a comme valeur de G
Gf (t) = G(t)
A l'instant t + dt : le système fermé s'est déplacé. La grandeur G associée à celui-ci à la date t + dt est alors :
Gf (t + dt) = G(t + dt) + δms .gs − δme .ge
où ge (respectivement gs ) est la grandeur intensive associée à G sur la surface Se (respectivement Ss ).
Il faut en eet :
• retrancher la quantité de G qui est passée à travers la surface Se ;
• ajouter la quantité de G qui est passée à travers la surface Ss .
La variation temporelle de G pour le système fermé est :
DG
Gf (t + dt) − Gf (t)
dG δms
δme
=
=
+
gs −
ge
Dt
dt
dt
dt
dt
où
est la variation temporelle de G pour le système fermé,
est la variation temporelle de G pour le système ouvert.
•
On voit que
la variation
temporelle de G pour le système fermé fait apparaître
RRR
∂
3
• dG
=
g.d
m
,
la
variation temporelle explicite de G,
dt
∂t
V
δm
• les ux entrant ( dt ge ) et sortant ( δm
dt gs ) de G, dus au déplacement du système fermé.
On a ainsi relié les variations temporelles de G pour le système ouvert et pour le système fermé qui lui coïncide.
Il ne reste plus qu'à appliquer un théorème sur la variation de G concernant le système fermé.
•
DG
Dt
dG
dt
e
3.5
s
Exercices maple
3.E.1 - Ecoulement dans un dièdre droit
maple
On s'intéresse à un écoulement bidimensionnel (dans le plan xOy) d'un uide en régime stationnaire dans un dièdre
droit, dans l'espace x < 0 et y > 0. La vitesse dans le repère cartésien est :
~v = −k.x.~ux + k.y.~uy
L'instruction maple fieldplot donne une représentation d'un champ vectoriel bidimensionnel : le vecteur est
représenté en chacun des points d'une grille déterminée. Cela n'est pas exactement ce que l'on utilise en mécanique
des uides.
1) Ecrire des routines qui permettent de faire des représentations graphiques :
• une procédure qui permet de tracer une ligne de champ à l'instant t qui part de la position x0 ; y0 ;
• une procédure qui permet de tracer toute la trajectoire d'une particule de uide qui est partie à l'instant t0 de la
position x0 ; y0 ;
• une procédure qui permet de tracer une animation qui représente le trajet eectué jusqu'à une date t par une
particule de uide qui part à l'instant t0 de la position x0 ; y0 .
2) Tracer alors sur un même graphique quelques lignes de champ, l'animation correspondant à quelques particules
de uide ainsi que les trajectoires de celles-ci.
3.E.2 - Etude d'une détente dans une tuyère
maple
On s'intéresse à un écoulement unidimensionnel (suivant x) d'un gaz parfait en régime stationnaire dans un cylindre
de section variable, la tuyère. On supposera le fonctionnement réversible et les bords athermes : l'écoulement est
isentropique. On se placera dans le référentiel de la tuyère.
Les notations sont les suivantes :
S(x) est la section de la tuyère à la cote x, et r(x), son rayon ; P (x), la pression ; T (x), la température ; v(x), le
volume massique ; c(x) la vitesse du gaz.
Pour les applications numériques, on s'intéressera par exemple à l'air : on prendra M = 29g.ml−1 et γ = 1, 4.
Ecrire un programme Maple qui permet de résoudre l'exercice suivant :
1) Vérier que S (c) =
2
2
1 c −c0
2 c2
son
S0 .c0 .e
c
est bien solution de la formule d'Hugoniot :
dS
dc
=
S
c
c2
c2son
−1
2) A l'entrée de la tuyère (en x5 = 0), la surface est S0 = 1m2, la vitesse est c0 = 100m.s−1, la température est
T0 = 300K et la pression P0 = 5.10 P a. Calculer v0 , le débit massique à l'entrée et cson (on prendra T = T0 ).
3) On va supposer que la vitesse varie linéairement dans la tuyère : c = a.x + c0. On prendra par exemple
a = 1kHz .
Dénir dans le programme les fonctions :
• r(x) grâce à la symétrie de révolution de la tuyère ;
• v(x) grâce à la conservation du débit ;
• P (x) grâce à la loi de Laplace ;
• T (x) grâce à la loi des gaz parfaits ;
• et enn D(x), le débit massique.
4) A la sortie de la tuyère (dans l'atmosphère), la pression est Patm. Trouver numériquement pour quelle position
xf in cette sortie a lieu.
5) Tracer alors les graphes (pour x ∈ [0, xf in]) de c(x), v(x), P (x), T (x) et la forme de la tuyère. Vérier que le
débit se conserve bien.
Deuxième partie
Thermodynamique
53
Chapitre 4
Transformations thermodynamiques
4.1
Application directe du cours
4.A.1 - Le skieur
3/2
On considère un skieur de masse m = 80kg tout habillé.
1) Quelle est la pression exercée par le skieur sur la neige
1.a) P1 lorsqu'il a aux pieds des chaussures dont la semelle peut être assimilée à un rectangle de dimension
L1 = 33cm sur l1 = 8cm ?
1.b) P2 lorsqu'il a aux pieds des skis de dimension L2 = 1, 80m sur l2 = 8cm ?
4.A.2 - L'échelle Fahrenheit
3/2
L'échelle de température anglaise Fahrenheit est dénie par les deux températures :
• fusion de la glace θ1 = 0C ↔ τ1 = 32F ;
• ébullition de l'eau θ2 = 100C ↔ τ2 = 212F .
1) Exprimer les coecients a et b de la relation ane qui lie la température τ en Fahrenheit à la température T
en Kelvin : τ = a.T + b.
2) En déduire :
2.a) la température τ0 en Fahrenheit correspondant à T = 0K ;
2.b) la température θ3 en Celsius correspondant à τ3 = 100F .
4.A.3 - Vitesse des molécules dans l'air
3/2
1) Exprimer la vitesse quadratique moyenne vq de molécules d'un gaz parfait diatomique à la température T en
fonction de la masse molaire M .
2) En déduire la vitesse quadratique moyenne :
2.a) vq (O2) des molécules de dioxygène (de masse molaire M (O2) = 32g.mol−1) ;
2.b) vq (N2) des molécules de diazote (de masse molaire M (N2) = 28g.mol−1).
4.A.4 - Température d'un pneu
3/2
Un pneu sans chambre, de volume V supposé constant, est goné (d'air, assimilé à un gaz parfait) à la température
θ1 = 20C , sous la pression P1 = 2, 1bar. Après avoir roulé un certain temps, le pneu ache une pression P2 = 2, 3bar.
Quelle est alors sa température θ2 ?
1)
4.A.5 - Masse de l'air dans une pièce
3/2
Quelle est la masse d'air (considéré comme un gaz parfait constitué de de N2 , de masse molaire M1 = 28g.mol−1
et de 15 de O2 , de masse molaire M2 = 32g.mol−1 ) contenue dans une pièce parallélipipédique de dimension 5, 0m ×
3, 0m × 3, 0m à 20◦ C sous 1, 0atm ?
4
5
4.A.6 - Caractéristiques d'un gaz de krypton
Le krypton est un gaz monoatomique de masse molaire M = 83, 8g.mol qu'on considérera parfait.
−1
55
3/2
1) On le suppose à l'équilibre thermodynamique à la température T = 298, 15K et à la pression p = 1, 0bar.
1.a) Calculer nv , la densité volumique de particules.
1.b) Donner la vitesse quadratique moyenne vq de ses particules.
2) On augmente la pression de 10%. En déduire la variation relative de la vitesse quadratique moyenne.
4.A.7 - Énergie et vitesse dans un tube néon
3/2
Un tube de longueur L = 1, 0m et de section s = 80mm2 contient du néon (masse molaire MN e = 20g.mol−1 ),
sous une pression p = 1, 0kP a, à la température T = 300K .
1) Calculer la masse du néon contenu dans le tube, l'énergie interne et la vitesse
quadratique moyenne du gaz.
2) On ajoute dans le tube 0, 40mg d'hélium (masse molaire MHe = 4, 0g.mol−1). Quelles sont la pression partielle
de ce gaz et la vitesse quadratique moyenne de ses molécules ? Calculer la pression totale et l'énergie interne totale.
3) On diminue le volume de l'enceinte de 2, 0% de façon isotherme. Calculer les nouvelles valeurs de la pression,
de l'énergie interne et des vitesses quadratiques.
4.A.8 - Coecients thermoélastiques d'un gaz réel
3/2
On considère un gaz réel aux basses pressions obéissant à l'équation d'état P.Vm = R.T + b.P , où Vm est son
volume molaire, P sa pression, T sa tempéraure, et R et b deux constantes positives. Calculer les coecients :
1) α ;
2) β ;
3) χT .
4.A.9 - Baromètres
On prendra Patm = 1, 013.10 P a pour la pression atmosphérique et
pesanteur.
1) Quelle est la hauteur indiquée par un baromètre
1.a) à eau (de masse volumique µ1 = 1, 0kg/L) ?
1.b) à mercure (de masse volumique µ2 = 13, 6kg/L) ?
5
3/2
−2
g = 9, 81m.s
pour l'accélération de la
4.A.10 - Expérience de Pascal à la tour Saint Jacques
3/2
4.A.11 - Gazomètre
3/2
4.A.12 - Du gaz dans l'eau
3/2
4.A.13 - Denivellation dans un tube en U
3/2
Pascal a mesuré la pression atmosphérique en bas et en haut de la tour Saint Jacques de la boucherie, au Châtelet,
à Paris. Déterminer la diérence de pression ∆P attendue, en mmHg.
On prendra :
• pour la diérence d'altitude h = 52m ;
• pour la masse molaire de l'air : M = 29g.mol−1 ;
• pour la température T = 285K ;
• pour l'accélération de la pesanteur g = 9, 81m.s−1 ;
• pour la pression atmosphérique P0 = 760mmHg .
Un gazomètre est formé d'une cloche de diamètre d = 20m, de masse m, qui plonge dans une cuve d'eau surmontée
de gaz de ville.
Déterminer la masse m de la cloche pour que la surpression du gaz soit ∆P = 15mbar.
On prendra pour l'accélération de la pesanteur g = 9, 81m.s−1 .
On plonge un tuyau de gaz de ville dans un récipient d'eau et on note h = 9, 0cm, la profondeur maximale pour
laquelle on observe des bulles.
Déterminer la surpression ∆P du gaz de ville en mbar.
On prendra pour l'accélération de la pesanteur g = 9, 81m.s−1 et pour la masse volumique de l'eau µ = 1, 0kg/L.
On met un liquide masse volumique µ1 dans un tube en U de section s. On verse un volume V d'un autre liquide
de masse volumique µ2 < µ1 dans une des branches (numérotée 2).
1) Déterminer la dénivellation h entre les deux surfaces libres.
4.A.14 - Densitomètre
3/2
4.A.15 - Quentin joue dans son bain
3/2
4.A.16 - Forces de pression sur une paroi
3/2
4.A.17 - Chute d'eau
3/2
4.A.18 - Un bon bain chaud
3/2
4.A.19 - Chaleurs massiques
3/2
On met du mercure dans le fond d'un tube en U. On verse h1 = 20cm d'eau dans une des branches. Dans l'autre
branche, on verse une hauteur h2 = 25cm d'éthanol, de sorte que les niveaux du mercure dans les deux branches soient
dans un même plan horizontal.
1) Quelle est la densité d2 de l'éthanol ?
Quentin joue dans son bain avec un verre de forme cylindrique, de masse à vide m, de hauteur intérieure h, de
section intérieure Si et de section extérieure Se . Il remplit complètement ce verre avec de l'eau (de masse volumique
µ), puis ferme la surface libre avec la main et retourne ce verre dans son bain, en l'enfonçant suivant une hauteur h0 .
On prendra le champ de pesanteur ~g = −g~uz .
1) Quelle est la force appliquée par Quentin sur le verre pour le maintenir en équilibre ?
On s'intéresse à la paroi verticale d'un récipient, rempli d'un liquide de masse volumique µ et placé dans l'air.
On appellera h la hauteur de la paroi et a sa largeur. On négligera la variation de la pression atmosphérique avec
l'altitude.
1) Donner :
1.a) la résultante des forces de pression qui s'exercent sur la paroi ;
1.b) la cote du point d'application D de cette résultante.
On s'intéresse à un torrent de montagne.
1) Déterminer l'élévation de température ∆T produite par la descente de l'eau de la montagne sur une hauteur
h = 1500m, d'un lac à un autre lac. On négligera les échanges thermiques. On donne la capacité calorique de l'eau :
c = 4, 17J.K −1 .g −1 .
On veut préparer un bain de Vtot = 120L d'eau à θ0 = 35C en mélangeant un volume V1 d'eau chaude à θ1 = 72C
et un volume V2 d'eau froide à θ2 = 16C . On négligera les échanges thermiques avec l'atmosphère et la baignoire.
1) Déterminer V1
2) et V2.
On plonge une masse m = 1, 0kg d'un corps initialement à la température θi = 100C dans un calorimètre
comprenant une masse m = 1, 0kg d'eau initialement à la température θi0 = 20C . A l'équilibre, la température nale
est θf .
1) Sachant que la chaleur massique de l'eau est c0 = 4, 18kJ.K −1.kg−1, déterminer la chaleur massique :
1.a) c1 du fer (pour lequel la température nale est θf = 28C ) ?
1.b) c2 du plomb (pour lequel la température nale est θf = 22, 4C ) ?
1
2
4.A.20 - Trois travaux diérents
3/2
On considère n = 2, 00mol de gaz parfait, que l'on fait passer de façon quasistatique de l'état initial A(PA , VA , TA )
à l'état nal B(PB = 3.PA , VB , TB = TA = 300K) par trois chemins distincts.
1) Calculer dans chaque cas les travaux mis en jeu en fonction de n, R et TA et faire l'application numérique
pour :
1.a) chemin 1 : transformation isotherme ;
1.b) chemin 2 : transformation composée d'une isochore puis d'une isobare.
1.c) chemin 3 : transformation représentée par une droite en diagramme de Clapeyron (P, V ) ;
2) Représenter les trois chemins en diagramme de Clapeyron.
4.A.21 - Compressions d'un gaz parfait
3/2
On comprime n = 1, 0mol de dioxygène, assimilé à un gaz parfait diatomique depuis la température Ti = 300K et
la pression Pi = 1, 0.105 P a, jusqu'à la température Tf = 300K et la pression Pf = 5, 0.105 P a.
1) Calculer les volumes :
1.a) Vi initial,
1.b) et Vf nal.
2) Calculer travail et chaleur échangés par le gaz
2.a) lors d'une compression isotherme ;
2.b) lors d'une transformation isochore (de Pi à Pf ) suivie d'une transformation isobare (de Vi à Vf ).
2.c) lors d'une transformation isobare (de Vi à Vf ) suivie d'une transformation isochore (de Pi à Pf ).
4.A.22 - Variation d'entropie d'un gaz parfait
3/2
1) Exprimer (à une constante près) l'entropie S de n moles d'un gaz parfait en fonction de son coecient γ , de
sa pression P , et du volume V .
2) En déduire la variation d'entropie ∆S de n = 1, 0mol de gaz parfait de coecient γ = 1, 4 lorsqu'il passe de
l'état initial de pression P0 = 1, 0.105 P a et de volume V0 = 24L à l'état nal de pression P1 = 5, 0.105 P a en subissant :
2.a) une transformation adiabatique réversible ;
2.b) une transformation isochore ;
2.c) une transformation isotherme.
4.A.23 - Entropie de mélange de deux gaz
3/2
Deux récipients (A) et (B) calorifugés communiquent par un robinet. Initialement, les deux récipients sont à la
même température Ti et à la même pression Pi , et
• (A) contient n(N2 ) = 4, 0mol de diazote ;
• (B) contient n(O2 ) = 1, 0mol de dioxygène.
On considérera les gaz comme parfaits et on pose Vtot = VA + VB , où VA et VB sont respectivement les volumes de
(A) et de (B).
1) Quelles sont :
1.a) la température nale Tf ?
1.b) le volume VA en fonction de Vtot ?
1.c) le volume VB en fonction de Vtot ?
n.R
On rappelle que l'entropie d'un gaz parfait à la pression P qui occupe un volume V est S = γ−1
ln(P.V γ ) + cste.
2) Déterminer
2.a) la variation d'entropie ∆S(O2) pour le dioxygène ;
2.b) la variation d'entropie ∆S(N2) pour le diazote ;
2.c) l'entropie créée Screee.
4.A.24 - Entropie de mélange de deux liquides
3/2
4.A.25 - Cycle de Carnot
3/2
On mélange, à pression constante, une masse m1 = 0, 50kg de pétrole (de chaleur massique c = 2, 1J.K −1 .g−1 ), à
la température θ1 = 77C , avec une masse m2 = 2, 0kg de pétrole à la température θ2 = 17C .
1) Déterminer littéralement, puis numériquement, la température d'équilibre T en fonction de m1, m2, T1 et T2.
2) Puis faire un bilan d'entropie pour le système que constituent les deux corps en fonction de m1, m2, T1 et T2,
c et T . On fera aussi l'application numérique, pour :
2.a) l'entropie échangée Sech ;
2.b) la variation d'entropie ∆S ;
2.c) l'entropie créée Screee.
Un gaz parfait décrit un cycle de Carnot moteur réversible, caractérisé par les températures T1 (avec la source
chaude) et T2 (avec la source froide).
1) Diagramme entropique :
1.a) Quel est la forme du cycle dans le diagramme entropique ?
1.b) Dans quel sens est décrit le cycle dans le diagramme entropique ?
2) Etablir le rendement η du moteur thermique en fonction de T1 et T2.
4.A.26 - Cycle à trois temps
3/2
L'état initial d'une mole de gaz parfait est caractérisé par P0 = 2.10 P a, V0 = 14L. On fait subir successivement
à ce gaz les transformations réversibles suivantes :
• phase 1 : une détente isobare qui double son volume ;
• phase 2 : une compression isotherme qui le ramène à son volume initial ;
• phase 3 : un refroidissement isochore qui le ramène à l'état initial.
1) A quelle température s'eectue la compression isotherme ? En déduire la pression maximale atteinte.
2) Représenter le cycle dans le diagramme (P, V ).
3) Calculer, en fonction de P0, V0 et γ = 1, 4, les travaux et transferts thermiques échangés par le système au
cours de chacune des phases du cycle :
3.a) W1 et Q1 ;
3.b) W2 et Q2 ;
3.c) W3 et Q3.
4) Que vaut ∆U pour le cycle.
5
4.2
Entraînement
4.B.1 - Dissociation du brome
5/2
On s'intéresse au dibrome (molécule Br2 ), qu'on suppose être un gaz parfait. On donne la masse molaire MBr =
80g.mol−1 .
1) Quel est le volume V1 occupé par m = 1, 0g de brome à 60◦C sous la pression P = 1, 0atm.
2) Que serait le volume V2 à 1600◦C sous la même pression ?
3) L'expérience montre que ce volume est en fait égal à 1, 195L. Montrer que cela peut s'expliquer en considé-
rant qu'une certaine proportion des molécules s'est dissociée en atomes Br. Calculer le coecient d de dissociation
(proportion de molécules dissociées).
4.B.2 - Calculs de pressions partielles
5/2
4.B.3 - Gaz parfait dans un cylindre vertical
5/2
4.B.4 - Coecients thermoélastiques d'un gaz parfait
1) Dans le cas d'un gaz parfait, calculer les coecients :
1.a) α ;
1.b) β ;
1.c) χT . α
2) Que vaut β.χ ?
5/2
Trois récipients contiennent respectivement de l'hydrogène, de l'oxygène et de l'azote dans les conditions suivantes :
• H2 : 2, 15L, 250mmHg , 20◦ C ;
• O2 : 5, 50L, 250mmHg , 20◦ C ;
• N2 : 1, 40L, 760mmHg , 0◦ C .
On mélange ces gaz dans un même récipient de volume 18, 5L, à la température de 0◦ C ; on suppose le mélange idéal.
Calculer pour chaque gaz sa pression partielle.
Un cylindre vertical fermé aux deux bouts est séparé en deux compartiments égaux par un piston sans frottements,
de forme cylindrique, homogène ; sa masse par unité de surface est 136g/cm2 .
Les deux compartiments, de 0, 50m de hauteur, contiennent un gaz parfait à 0◦ C . La pression qui règne dans le
compartiment inférieur est 100cmHg.
1) On chaue le système à 100◦C . Quel est le déplacement du piston ?
2) Partant de l'état initial (0◦C ), au lieu de chauer, on retourne le cylindre bout pour bout, la température des
gaz étant maintenue constante. Quel est le déplacement du piston ?
T
4.B.5 - Coecients thermoélastiques du dioxyde de carbone
5/2
Le dioxyde de carbone obéit à l'équation d'état de Van Der Waals :
P+
a
Vm2
. (Vm − b) = R.T
où Vm est son volume molaire, P sa pression, T sa température, et enn a, b et R des constantes positives.
1) Déterminer, en fonction de T , Vm, a, b et R les coecients :
1.a) α
1.b) et β .
2) Etablir leurs expressions lorsque le volume tend vers l'inni.
4.B.6 - Détermination d'une équation d'état à partir des coecients thermoélastiques
5/2
On s'intéresse à un uide de température T et de pression P . Déterminer son équation d'état si :
1) α = T1 et β = T1 ;
2) α = T1 et β = P.V
a.T , a étant une constante ;
3.a.T
3) α = V et χT = Vb , a et b étant des constantes ;
a
b
4) α = a.T +b.P
et χT = P1 − a.T +b.P
, a et b étant des constantes que l'on déterminera par la condition : à
T = 300K et P = 1, 013bar, 1mol de uide occupe un volume de 20L.
2
4.B.7 - Détermination de l'équation d'état d'un gaz à partir de la diérentielle de sa pression
Déterminer l'équation d'état d'un gaz dont la diérentielle de la pression peut être mise sous la forme :
n.R.T
dP = −
V2
n étant la quantité de matière (en mol), T
2.V0
1+
V
n.R
.dV +
V
V0
1+
V
5/2
.dT
la température, P la pression, V le volume, V0 et R des constantes positives.
4.B.8 - Modélisation de Van der Waals de la vapeur d'eau
5/2
Le tableau 4.1 donne quelques caractéristiques thermodynamiques de la vapeur d'eau à la température θ = 500C
(Vm est le volume molaire et Um l'énergie interne molaire) pour diérentes valeurs de la pression P . On donne en
outre la constante des gaz parfaits R = 8, 314J.K −1 .mol−1 .
P (en bar)
Vm (en m3 .mol−1 )
Um (en kJ.mol−1 )
1
6, 43.10−2
56, 33
Tab.
10
6, 37.10−3
56, 23
20
3, 17.10−3
56, 08
40
1, 56.10−3
55, 77
70
8, 68.10−4
55, 47
100
5, 90.10−4
54, 78
4.1 Vapeur d'eau à la température θ = 500C
1) Justier sans calcul que la vapeur d'eau ne se comporte pas comme un gaz parfait.
2) On
se propose d'adopter le modèle de Van der Waals pour lequel on a : P + Va (Vm − b) = R.T et Um =
UGP − Va .
2.a) Calculer le coecient a en utilisant les énergies internes molaires des états à P = 1bar et à P = 100bars.
2.b) Calculer b en utilisant l'équation d'état à P = 100bars.
3) Validité du modèle :
3.a) Quelle valeur obtient-on alors pour Um à P = 40bars ?
3.b) Quelle température obtient-on alors en utilisant l'équation d'état avec P = 40bars et V = 1, 56.10−3m3.mol−1 ?
2
m
4.B.9 - Détermination de la masse volumique d'une sphère
5/2
Une sphère en verre de rayon R = 2, 0cm plonge dans le mercure (de masse volumique µ(Hg) = 13, 6.103 kg.m−3 ).
Son point le plus bas est à h = 1, 1cm de la surface du liquide.
1) Calculer la masse volumique µ du verre.
4.B.10 - Presse hydraulique
5/2
Une presse hydraulique est constituée d'un circuit hydraulique (le liquide est supposé incompressible) reliant deux
pistons A1 et A2 qui sont dans le même plan horizontal. A1 a une aire S1 = 10cm2 tandis que A2 a une aire
S2 = 1000cm2 .
On donne le champ de pesanteur g = 9, 81m.s−2 .
1) Quelle force F faut-il exercer sur A1 pour soulever une masse m = 1tonne posée sur A2 ?
4.B.11 - Pression au fond d'une fosse océanique
5/2
A sa surface libre de l'eau de mer a pour masse volumique µ0 = 1, 03.10 kg.m et pour pression P0 = 1, 013.10 P a.
On la supposera à l'équilibre mécanique dans le champ de pesanteur uniforme, de valeur g = 9, 81m.s−2 .
1) On suppose d'abord que l'eau de mer est incompressible
1.a) Quelle est la pression P1(z) à la profondeur z ?
1.b) En déduire la pression dans une fosse océanique à z = 10, 0km de profondeur.
2) On suppose maintenant que l'eau est compressible et isotherme, de coecient de compressibilité χT =
4, 5.10−10 P a−1 .
2.a) Déterminer la masse volumique µ(z) à la profondeur z en fonction de µ0, χT , g et z.
2.b) En déduire la pression P2(z) à la profondeur z en fonction de µ0, χT , g et z.
2.c) Application numérique : donner suivant ce nouveau calcul la valeur de la pression dans une fosse océanique
à z = 10, 0km de profondeur.
3
−3
4.B.12 - Mesure d'une diérence de pression dans une canalisation
5
5/2
On s'intéresse à un manomètre destiné à mesurer la diérence de pression de l'eau (de masse volumique µe =
et B par un tube en U qui contient de
1000kg.m−3 ) dans une canalisation entre deux points A et B . On raccorde A
l'eau en A et en B , et de l'huile (de masse volumique µh = 980kg.m−3 ).
On supposera les uides à l'équilibre mécanique dans le champ de pesanteur uniforme, de valeur g = 9, 81m.s−2 .
1) Le U est vertical, mais dans quel sens ?
2) Déterminer la diérence de pression ∆P entre A et B, sachant que le ménisque entre l'huile et l'eau se situe à
une altitude hA = 1, 578m en A, et à une altitude hB = 1, 653m en B .
4.B.13 - Mesure d'une diérence de pression entre deux canalisations
5/2
On s'intéresse à un manomètre destiné à mesurer la diérence de pression entre deux canalisations :
la première (à une altitude z1 = 1, 50m), contenant de l'eau de masse volumique µ1 = 1000kg.m−3 à la pression
P1 ,
• la seconde (à une altitude z2 = 0, 75m), contentant un liquide organique de masse volumique µ2 = 900kg.m−3 à la
pression P2 .
On raccorde les deux canalisations par un tube en U qui contient du mercure (de masse volumique µ0 = 13600kg.m−3 ).
On supposera que les uides sont à l'équilibre mécanique dans le champ de pesanteur uniforme, de valeur g =
9, 81m.s−2 .
1) Le U est vertical, mais dans quel sens ?
L'altitude du ménisque entre le mercure et l'eau est conventionnellement nulle, et celle du ménisque entre le mercure
et le liquide organique est h = 50cm.
2) Déterminer la diérence de pression ∆P = P2 − P1 entre les deux canalisations.
•
4.B.14 - Masse de l'atmosphère
5/2
1) Généralités sur l'atmosphère isotherme
1.a) Exprimer la masse mtot contenue dans un volume V en fonction de la masse volumique µ dans le repère
sphérique.
1.b) Rappeler l'expression de la masse volumique µ d'un gaz parfait en fonction de la pression P , de sa masse
molaire M et de la constante des gaz parfaits R.
1.c) En supposant l'atmosphère isotherme (à T ), exprimer la pression dans l'atmosphère en fonction de
l'altitude P (z).
2) On suppose
l'atmosphère isotherme, à T = 300K , et on la considère comme un gaz parfait de masse molaire
−1
5
. On donne le rayon terrestre RT = 6370km et la pression au niveau du sol P0 = 1, 0.10 P a. Enn, on
considérera l'intensité du champ de pesanteur |~g| comme uniforme.
M = 29g.mol
Quelle est la masse de l'atmosphère terrestre ?
4.B.15 - Ballon atmosphérique
5/2
Le modèle de l'atmosphère à gradient thermique constant (si la température est mise sous la forme : Tair =
T0 .(1 − a.z) avec a = 2, 26.10−5 m−1 ) permet d'établir qu'entre 0 et 11000m d'altitude la pression atmosphérique varie
en fonction de l'altitude z, suivant la relation : Pair = P0 .(1 − a.z)α avec α = 5, 25 et P0 = 1013hP a. A l'altitude
z = 0, la masse volumique de l'air est µ0 = 1, 225kg.m−3 .
Un ballon sonde goné au dihydrogène est assimilé à une sphère de diamètre D = 4, 0m. La masse totale de
l'enveloppe (non gonée), de la nacelle est mb = 5, 0kg et cet ensemble a un volume négligeable devant celui de la
sphère. La masse des appareils embarqués est ma .
L'hydrogène est constamment en équilibre thermique avec l'air atmosphérique. A l'altitude z = 0, la masse volumique de l'hydrogène est µ00 = 0, 094kg.m−3 et sa pression de gonage est P00 = 1127hP a.
Exprimer la masse volumique µair de l'air en fonction de l'altitude z.
1)
2) Dans le ballon :
2.a) Exprimer la pression intérieure Pint(z) qui s'exerce sur l'enveloppe du ballon à l'altitude z en fonction de
P00 , a et z .
2.b) En déduire la masse volumique µint de l'hydrogène à l'altitude z en fonction de µ00, a et z.
3) Etude mécanique :
3.a) Ecrire la résultante des forces exercées sur le ballon.
3.b) En déduire la masse maximale ma (0) des appareils que le ballon peut élever du sol,
3.c) puis la masse maximale ma (z1) des appareils que le ballon peut élever jusqu'à l'altitude z1 = 11000m.
4.B.16 - Atmosphère polytropique
5/2
max
max
On considère l'atmosphère comme un gaz parfait dans le champ de pesanteur ~g = −g.~uz , de masse molaire M , qui
suit une loi polytropique, c'est à dire que la température à l'altitude z est : T (z) = T0 . − a.z, où a > 0.
1) Calculer la pression à l'altitude z : P (z) en fonction de a, M , P0 et T0.
4.B.17 - Atmosphère adiabatique
5/2
On considère l'atmosphère comme un gaz parfait dans le champ de pesanteur ~g = −g.~uz , de masse molaire M , qui
n'échange pas de chaleur et qui évolue de façon réversible.
1) Calculer la pression à l'altitude z : P (z) en fonction de γ , M et P0.
4.B.18 - Chaleur échangée par un corps qui chute
5/2
On lâche sans vitesse initiale dans le champ de pesanteur uniforme (de valeur g = 9, 81m.s ) un corps solide
assimilé à un point matériel, de masse m = 5, 0kg. A la n de la chute (d'une hauteur de h = 2, 0m), sa vitesse est
vf = 9, 0m.s−1 . Le travail des forces de frottement est W1 = −50J . On suppose que la température ainsi que le volume
du corps restent constante.
1) En déduire la variation d'énergie interne ∆U .
2) Déterminer la variation d'énergie cinétique ∆Ec.
3) Calculer les autres travaux des forces W2.
4) Conclure en déterminant la chaleur Q échangée par ce corps en joules et en calories.
−2
4.B.19 - Energie interne d'un gaz parfait
5/2
4.B.20 - Etirement d'un ressort
5/2
On assimilera les gaz suivants à des gaz parfaits.
1) Déterminer l'énergie interne U à 0◦C de m = 1, 0kg d'hélium (de masse molaire M (He) = 4, 0g.mol−1).
2) De même, déterminer l'énergie interne de'un volume V = 1, 0L d'air (composé de 20% de O2 et de 80% de N2)
à la pression P = 1, 0bar.
On considère un ressort parfaitement élastique de constante de raideur k. Initialement, sa température est Ti et
sa longueur est l0 , la longueur à vide. On va considérer deux transformations qui l'améneront au même état nal, de
longueur lf = l0 + ∆l, et de température Tf = Ti .
1) Lors de la transformation 1, on allonge progressivement le ressort (de façon réversible), et de façon adiabatique.
1.a) Déterminer la variation d'énergie interne ∆U .
1.b) En déduire le travail W1 de l'opérateur.
2) Lors de la transformation 2, on allonge brutalement le ressort, avec une force constante F2.
2.a) Quelle doit être cette force F2 ?
2.b) Calculer le travail W2 de l'opérateur.
2.c) Quelle est la variation d'énergie interne lors de cette transformation ?
2.d) En déduire la chaleur échangée Q2.
4.B.21 - Variation d'entropie d'un solide chaué ou refroidi
5/2
4.B.22 - Bilan d'entropie pour un solide métallique chaué
5/2
4.B.23 - Bilan d'entropie pour une résistance électrique
5/2
4.B.24 - Interprétation statistique de l'entropie dans le cas d'un système à deux niveaux
5/2
Un solide de capacité thermique C , initialement à la température Ti , est mis en contact thermique avec une source
de chaleur de température invariable Text .
1) Exprimer pour la transformation du solide :
1.a) l'entropie échangée Sech ;
1.b) la variation d'entropie ∆S ;
1.c) l'entropie créée Screee.
2) Vérier le signe de l'entropie créée Screee si la température initiale du solide est très proche de celle de la
source : Text = Ti .(1 + ε) avec ε 1.
On s'intéresse à n = 1, 0mol d'un métal solide de capacité thermique molaire égale à 3.R. On négligera la variation
de volume du solide.
1) On place le solide initialement à la température ambiante Ta = 300K dans de l'eau bouillante (à la température
Te = 373K ). Eectuer le bilan entropique : on déterminera pour le solide
1.a) la variation d'entropie ∆S ;
1.b) l'entropie échangée Sech ;
1.c) l'entropie créée Screee.
2) On sort maintenant le solide de l'eau bouillante, et on le laisse se refroidir au contact de l'air ambiant à
Ta = 300K . Eectuer le bilan entropique : on déterminera pour le solide
2.a) la variation d'entropie ∆S ;
2.b) l'entropie échangée Sech ;
2.c) l'entropie créée Screee.
3) Le second principe est-il vérié lors des deux transformations ?
Un courant électrique de I = 1, 0A circule dans un conducteur ohmique, de résistance R = 30Ω pendant ∆T = 100
qui plonge dans de l'eau bouillante (à la température T0 = 373K ).
La température du résistor passe de la valeur initiale Ti = 373K à la valeur nale Tf = 400K . La capacité
thermique du résistor est de C = 45J.K −1 .
1) Eectuer le bilan entropique : on déterminera pour le résistor
1.a) la variation d'entropie ∆S ;
1.b) l'entropie échangée Sech ;
1.c) l'entropie créée Screee.
Soit un système constitué de N particules en équilibre à la température T et dont chacune peut avoir deux valeurs
d'énergie E1 ou E2 , avec E2 > E1 (système à deux niveaux). Soit N1 le nombre de particules d'énergie E1 et N2 le
nombre de particules d'énergie E2 .
Nous supposons que la répartition sur les niveaux d'énergie suit la loi statistique de Boltzmann : NN = −e− .
1) Exprimer l'énergie interne U en fonction de N1, N2, E1 et E2 et sa diérentielle dU en fonction de dN1 et
∆E = E2 − E1 .
2) Exprimer l'entropie du système S en fonction de kB , N et N1 en admettant l'expression de la formule de
Stirling pour n grand : ln(n!) ≈ n. ln n. Exprimer alors la diérentielle de l'entropie dS en fonction de ∆E , dN1 et
T.
3) Montrer que l'on retrouve l'identité thermodynamique.
2
1
∆E
kB .T
4.B.25 - Expression de l'équation d'état à partir de l'énergie interne et de l'entropie
5/2
On considère n moles d'un gaz dont l'énergie interne U et l'entropie S s'expriment en fonction de la température
et du volume V sous la forme :
T
2
U (T, V ) = U0 + n.C0 .T − n.R.b TV
S (T, V ) = S0 + n.C0 . ln T + nR ln V − 2.n.R.b VT
où C0 , b, U0 et S0 sont des constantes.
1) Exprimer la pression P du gaz en fonction de dérivées partielles de U et de S en fonction de V , à T constant.
2) En déduire P (T, V ) en fonction de b.
3) Retrouver le cas des gaz parfaits, et discuter de U (T, V ).
4.B.26 - Cycle de Brayton
P1
5/2
Un gaz parfait décrit un cycle de Brayton moteur réversible, caractérisé par deux isobares (de pressions respectives
et P2 avec P1 < P2 ) alternées avec deux adiabatiques.
1) Diagramme de Clapeyron :
1.a) Quel est la forme du cycle dans le diagramme de Clapeyron ?
1.b) Dans quel sens est décrit le cycle dans le diagramme de Clapeyron ?
2) Etablir le rendement η du moteur thermique en fonction de γ , P1 et P2.
4.B.27 - Cycle de Stirling
5/2
Un cycle de Stirling est formé de deux isothermes (aux températures T1 et T2 < T1 ) et de deux isochores (aux
volumes V1 et V2 > V1 ) alternées. Le cycle est supposé réversible ; il est décrit dans le sens moteur par un gaz parfait
caractérisé par son γ .
1) En fonction des températures T1 et T2, du taux de compression a = VV et de n, R et γ , établir les expressions :
1.a) de la quantité de chaleur Q1 reçue par le système au cours d'un cycle moteur réversible ;
1.b) de la quantité de chaleur Q2 cédée par le système au cours d'un cycle moteur réversible ;
1.c) du rendement thermodynamique η de ce cycle.
2) Comparaison avec le cycle de Carnot :
2.a) Quelle est l'expression du rendement du cycle de Carnot réversible η0 correspondant (c'est à dire utilisant
des sources dont les températures sont égales aux températures extrêmes précédentes) ?
2.b) Comparer les deux rendements et montrer que le sens de l'inégalité est indépendant des valeurs numériques
des paramètres.
2
1
4.B.28 - Moteur et pompe à chaleur utilisés pour un chaue-eau
5/2
4.B.29 - Climatiseur
5/2
Pour maintenir la température d'un chaue-eau à Tc = 333K on utilise les deux sources de chaleurs qui se trouvent
à proximité de l'habitation : l'air extérieur à Ta = 310K et l'eau d'une rivière à Tr = 285K .
Un moteur ditherme réversible fonctionnant entre l'air extérieur et la rivière, fournit le travail nécessaire à une
pompe à chaleur réversible ditherme fonctionnant entre le chaue-eau et la rivière.
1) Exprimer le rendement ηm du moteur en fonction de Ta, Tc et Tr .
2) Exprimer de même le rendement ηpac de la pompe à chaleur.
3) Déterminer le rendement η du dispositif global, déni comme le rapport de la chaleur donnée au chaue-eau à
la chaleur prélevée à l'air.
Un local, de capacité thermique à pression constante Cp = 4.10 kJ.K , est initialement à la température de l'air
extérieur Text = 305K . Un climatiseur, qui fonctionne de façon cyclique réversible ditherme (entre l'air extérieur et le
local), ramène la température du local à Tf = 293K en une heure.
1) Quel est le rendement η de ce climatiseur si le local est à la température T ?
2) Exprimer la chaleur totale Ql échangée par le climatiseur avec le local pendant la transformation.
3) Exprimer le travail total W échangé par le climatiseur pendant la transformation.
4) Quelle puissance électrique moyenne < P > a dû recevoir ce climatiseur ?
3
−1
4.3
Planches d'oral
4.C.1 - Un cylindre avec deux compartiments
***
(Centrale 2007)
L'une des extrémités d'un cylindre est fermée par une paroi xe et l'autre par un piston mobile de masse négligeable
qui peut glisser sans frottements sur la paroi. On exerce une pression P0 constante sur le piston. Le cylindre a deux
compartiments A et B séparés par une paroi xe munie d'une valve. Les parois et le piston sont supposés athermes et
de capacité calorique négligeable. Initialement, la valve est fermée, le compartiment A a un volume VA et contient n
moles d'un gaz parfait tandis que le compartiment B , de volume VB est vide. On ouvre la valve.
1) Montrer que, selon que VB est supérieur ou inférieur à un volume VL, on a deuxc types de solutions.
2) Si VB < VL, calculer P1, V1, T1 en fonction des données de l'énoncé et de γ = c .
3) Calculer VL en fonction de VA et de γ .
4) Dans le cas où VB > VL, calculer P2, V2, T2.
p
v
4.C.2 - Expérience de Clément et Desormes
***
(Mines-Pont 2007)
Un récipient de volume V0 , dont les parois transmettent faiblement la chaleur, contient un gaz à pression P1
légèrement supérieure à la pression extérieure P0 , à la température T0 . Il est fermé par un robinet et un tube en U
contenant un liquide de masse volumique µ. Le robinet est initialement fermé et la dénivellation du liquide vaut h.
On ouvre le robinet, le volume passe à V2 . La dénivellation du liquide devient presque instantanément nulle et on
note T2 la température du gaz dans l'enceinte juste après ouverture. On referme le robinet : la quantité de matière
diminue puisqu'on reprend le volume V0 .
Après un certain temps, la dénivellation atteint un niveau h0 .
1) Décrire qualitativement
l'évolution du système, notamment les variations de température.
2) Donner TT en fonction de P0, µ, g, h et γ .
3) Donner TT en fonction de P0, µ, g, h0.
4) En déduire γ en fonction de h et h0.
5) Quel est l'intérêt de ce dispositif ?
2
0
2
0
4.C.3 - Variation d'entropie d'une barre
***
(CCP 2007)
Une barre homogène de masse volumique ρ, de capacité calorique massique Cp , de section S de longueur l, est
en contact à l'une de ses extrémités avec une source à température T1 , et à son autre extrémité avec une source à
température T2 . On réalise l'état (i) en atteignant un régime stationnaire. On réalise l'état (f ) en atteignant un régime
permanent pour le système calorifugé et évoluant à pression P constante.
1) Calculer ∆S de (i) à (f ).
4.4
Travaux dirigés
4.D.1 - Bilans d'énergie et d'entropie pour un gaz parfait
TD
Dans tous les cas de gure, on s'intéresse à un gaz parfait. Faire un bilan d'énergie et d'entropie pour le gaz dans
les trois transformations qui suivent :
1. Transformation n1
Le gaz parfait est initialement à la pression Patm , dans un cylindre fermé par un piston horizontal, de masse
négligeable, de section S , on supposera que l'atmosphère est un bon thermostat. Une masse m tombe brutalement
sur le piston.
2. Transformation n2
On suppose maintenant que le système repart du même état initial et que l'on verse sur le piston la même masse
m, mais de sable, petit à petit.
3. Détente de Joule - Gay Lussac
Soit maintenant une enceinte rigide et athermane séparée en deux compartiments de volumes V1 et V2 . Le
gaz parfait est initialement dans V1 , V2 étant vide. Pour les applications, on supposera : V1 = V2 = V0 . La
transformation débute lorsqu'on casse la paroi séparant V1 et V2 .
Méthode:
•
•
Comment faire un bilan d'énergie ?
Soit une transformation nie τ d'un système thermodynamique. Faire un bilan d'énergie, c'est donner ∆U , W et
Q. Voici une méthode qui fonctionne très souvent.
• Travail :
R
pour un uide, W = − Pimp .dV .
Attention : Pimp = P uniquement dans le cas réversible !
• Si les parois sont athermes :
alors l'évolution est adiabatique ⇒ Q = 0, ce qui permet de déduire ∆U = W + Q.
• Si les parois sont diathermes avec un thermostat :
alors l'évolution est isotherme ⇒ T = cste, ce qui permet de connaître ∆U (par exemple, pour un gaz parfait,
∆U = 0), et d'en déduire Q = ∆U − W .
Comment faire un bilan d'entropie ?
Soit une transformation nie τ d'un système thermodynamique. Faire un bilan d'entropie, c'est donner ∆S , Screee
et Sech . Voici une méthode qui fonctionne quasiment toujours.
• Transformation réversible imaginaire :
0
0
on imagine souvent une
R δQtransformation τ réversible qui a mêmes états initial et nal que τ . Ainsi : Screee = 0,
0
Timp = T ⇒ Sech =
T . Avec : T.dS = CV .dT + l.dV par exemple.
∆S = ∆S 0 , car S est une fonction d'état.
• Entropie échangée :
R
Sech = TδQ , les données du problème doivent permettre d'en faire un calcul.
• Entropie créée :
∆S = Screee + Sech permet d'en déduire Screee .
Attention : Screee ≥ 0 !
rev
imp
4.D.2 - Moteurs à combustion interne
TD
On s'intéresse à un gaz parfait (dont on connaît le γ = ) qui suit un cycle réversible.
Tracer le cycle dans les coordonnées de Clapeyron (P = f (V )) et calculer le rendement η du moteur, dans les cas
suivants :
1. Moteur à explosion (cycle Beau de Rochas)
déni par les transformations suivantes :
• A → B : compression adiabatique ;
• B → C : combustion à volume constant (explosion) ;
• C → D : détente adiabatique ;
• D → A : ouverture de la soupape (à volume constant).
2. Moteur Diesel
déni par les transformations suivantes :
• A → B : compression adiabatique de l'air seul ;
• B → C : inammation par injection de gazole (à pression constante) ;
• C → D : détente adiabatique ;
• D → A : ouverture de la soupape (à volume constant).
Méthode:
cp
cv
•
•
Etats thermodynamiques :
Dénir parfaitement chaque état thermodynamique intermédiaire (pression, température, volume).
Transformations :
Calculer pour chaque phase (entre deux états) le travail et la chaleur échangés par le gaz parfait. S'intéresser en
particulier aux signes de ces grandeurs.
Attention : on doit vérier à la n le premier principe sur un cycle :
X
•
•
(W + Q) = 0
Diagramme de Clapeyron :
Tracer le diagramme.
Attention : un cycle moteur est parcouru dans le sens inverse du sens trigonométrique.
Rendement du moteur :
η=
−W
Qcombustion
Attention : η ∈ ]0; 1[.
4.5
Exercices maple
4.E.1 - Etude des propriétés cinétiques des gaz parfaits
1) Etude théorique : démonstrations formelles.
maple
La probabilité pour que la projection de la vitesse de la particule soit vx à dvx près est : pp (vx ) .dvx = A.e−B.v
+∞
1.a) Calculer A pour que la gaussienne pp(vx) soit normée : R pp (vx) .dvx = 1.
2
x
.dvx .
−∞
1.b) Calculer la moyenne de la projection des vitesses selon x : hvxi =
+∞
R
−∞
vx .pp (vx ) .dvx ,
1.c) Calculer la largeur de la distribution de la projection des vitesses : vxq
or
s
p
= hvx2 i =

hvx i
h~v i =  hvy i .
hvz i
+∞
R
−∞

vx2 .pp (vx ) .dvx .
On pose la probabilité de la norme de la vitesse : pn (v) .dv = 4.π.A3 .v2 .e−B.v .dv.
+∞
1.d) Vérier que la densité de probabilité pn(v) (maxwellienne) est normée : R pn (v) .dv = 1.
0
1.e) Déterminer la vitesse la plus probable, telle que pn(v) soit maximale : vpp.
+∞
1.f) Puis déterminer la moyenne de la norme de la vitesse : vm = hvi = R v.pn (v) .dv.
2
1.g) Déterminer enn la vitesse quadratique moyenne :
1.h) En déduire les valeurs numériques des rapports vv et vv .
p
vq = hv 2 i =
m
q
pp
pp
s0
+∞
R
0
v 2 .pn (v) .dv .
2) Etude numérique de la distribution gaussienne de la distributionqdes projections des vitesses.
M
.e−
à T = 300K pour le dihydro2.a) Tracer sur un même graphique les distributions pp (vx) = 2.π.R.T
2
M.vx
2.R.T
gène (M (H2 ) = 2, 0g.mol−1 ), le dioxygène (M (O2 ) = 32, 0g.mol−1 ) et l'hélium (M (He) = 4, 0g.mol−1 ).
2.b) Tracer la distribution pp(vx) en trois dimensions, en fonction de vx et de la température pour l'air
(M (air) = 29, 0g.mol−1 ).
3) Etude numérique de la distribution maxwellienne de la distribution de la norme de la vitesse.
3/2 2 −
M
3.a) Tracer sur un même −1graphique les distributions pn (v) = 4.π−12.π.R.T
.v .e
à T = 300K pour le
dihydrogène (M (H2 ) = 2, 0g.mol ), le dioxygène (M (O2 ) = 32, 0g.mol ) et l'hélium (M (He) = 4, 0g.mol−1 ).
3.b) Evaluer la vitesse moyenne vm et la vitesse quadratique moyenne vq de l'air (M (air) = 29, 0g.mol−1) à
T = 300K .
2
M.vx
2.R.T
3.c) Tracer la distribution pn(v) en trois dimensions, en fonction de v et de la température pour l'air.
4.E.2 - Etude statistique de la détente de Joule - Gay Lussac
maple
On s'intéresse à un gaz (parfait) dans une enceinte rigide et athermane. Cette enceinte est séparée en deux compartiments de volumes V1 et V2 . Pour simplier, on supposera : V1 = V2 = V . Le gaz est composé de N molécules
(avec N 1 dans la réalité). Il y a N1 molécule dans V1 (et bien sûr N2 = N − N1 dans V2 ).
On caractériste un microétat par la distribution des molécules dans les deux volumes, et un macroétat par la
donnée de N1 .
Le gaz est initialement dans V1 , V2 étant vide.
Toutes les molécules sont dans le compartiment 1 : il n'y a qu'une distribution possible (un seul microétat). Il n'y
a donc aussi qu'un état thermodynamique (macroétat) possible : N1 = N .
Il n'y a aucun manque d'information dans cet état, car on sait où sont toutes les molécules. On peut dire que
l'entropie du système est initialement nulle.
La transformation débute lorsqu'on casse la paroi séparant V1 et V2 . Les molécules (numérotons les de 1 à N , même
si elles sont indiscernables) se répartissent dans les deux volumes V1 et V2 .
A l'état nal, le nombre total de microétats possibles est 2N : c'est le nombre de façons de répartir N molécules
dans deux récipients. Le nombre de microétats correspondant au macroétat N1 est Ω(N1 ) = CNN : c'est le nombre
de façons de répartir N molécules dans deux récipients, tels qu'il y en ait N1 dans l'un. Ainsi, la probabilité d'un
macroétat N1 est p (N1 ) = C2 .
1) Ecrire un programme qui permet de tracer Ω(N1) pour N1 ∈ [1; N ], et tracer cette courbe pour N = 3, 10, 25,
100, 1000.
1
N1
N
N
Chapitre 5
Thermodynamique hors équilibre
5.1
Application directe du cours
5.A.1 - Équilibre de deux gaz
3/2
5.A.2 - Variétés allotropiques du soufre
3/2
Un cylindre horizontal, à parois diathermanes et indéformables, est séparé en deux compartiments par une paroi
mobile sans frottements. Le premier compartiment contient un gaz (1), occupant un volume V1 , le deuxième compartiment contient un gaz (2), occupant un volume V2 . Ces deux gaz sont en équilibre thermique à la température
T = Text .
1) Montrer dans ces conditions que l'établissement de l'équilibre thermodynamique entraîne nécessairement l'égalité des pressions dans les deux compartiments.
Le soufre existe à l'état solide sous deux variétés allotropiques (notées α et β ). Dans les conditions standard, la
diérence d'entropie molaire est Sm − Sm = 7, 87J.K −1 .mol−1 et la diérence de volume molaire Vm − Vm =
0, 8cm3 .mol−1 (toutes ces grandeurs seront supposées indépendantes de la température T et de la pression P ).
1) Donner pour un corps pur, l'expression de la variation innitésimale dµ du potentiel chimique, lorsque la
pression varie de dP et la température de dT .
La température de transition est de 95, 5◦ C dans les conditions standard.
2) Quelle est donc l'espèce stable à 20◦ dans les conditions standard ?
3) Calculer la variation ∆T de la température de transition lorsque la pression s'accroît de ∆P = 1, 0bar.
β
α
β
α
5.A.3 - Mesure expérimentale de l'enthalpie massique de fusion de la glace
3/2
5.A.4 - Transformation de glace en eau
3/2
Dans un calorimètre de valeur en eau mc = 20, 0g contenant une masse ml = 200g d'eau liquide (de chaleur
massique cl = 4, 18J.K −1 .g−1 ) à la température ambiante θ1 = 25, 0◦ C , on ajoute un glaçon de masse mg = 10, 0g
(de chaleur massique cg = 2, 10J.g−1 .K −1 ) à la température θ2 = −5, 0◦ C .
A l'équilibre thermique, la température est θf = 20, 4◦ C . On néglige les pertes du calorimètre.
1) Calculer l'enthalpie massique de fusion lf de la glace.
En fait, la chaleur massique de fusion de la glace à T0 = 273, 15K est lf = 335kJ.kg−1 .
2) Proposer une explication.
On chaue (à la pression atmosphérique) une masse m = 100g de glace initialement à la température Ti = −18◦ ,
pour la transformer en eau liquide à la température Tf = +25◦ .
On donne :
• la capacité thermique massique de la glace cg = 2, 1kJ.K −1 .kg −1 ;
• la capacité thermique massique de l'eau liquide cl = 4, 18kJ.K −1 .kg −1 ;
• la chaleur massique de fusion lf = 335kJ.kg −1 de la glace à T0 = 273, 15K .
1) Calculer la variations d'enthalpie ∆H lors de cette transformation.
2) Calculer la variations d'entropie ∆S lors de cette transformation.
69
5.A.5 - Pression de vapeur saturante de l'eau
3/2
Pour l'eau la formule de Duperray Psat = P0 .
où P0 = 1, 0atm et θ est la température en C donne une
bonne approximation de la pression de vapeur saturante.
1) Justier la valeur de P0.
2) Tracer la courbe Psat = f (θ). Sur le graphique on distinguera les zones de stabilité de l'eau sous formes liquide
et vapeur.
3) Application :
3.a) A quelle température observe-t-on l'ébullition de l'eau sous une pression de P = 0, 50atm ?
3.b) A quelle pression observe-t-on l'ébullition de l'eau à une température de θ = 50◦ ?
θ 4
100
◦
5.A.6 - Refroidissement d'un composant électronique
3/2
Un composant électronique de conductivité thermique κ = 4, 0.10 W.m .K a deux faces 1 et 2 séparées par
l'épaisseur d = 2, 0cm. Un ventillateur refroidit la surface 1 grâce à un courant d'air à la température θa = 20◦ C tandis
que l'autre face (2) est maintenue (du fait de son utilisation) à la température θ2 = 50◦ C . En régime permanent, la
température de 1 doit avoir la valeur θ1 = 30◦ C .
1) Calculer quelle doit être la valeur du coecient h déni dans la loi de Newton.
2) Sur quel paramètre peut-on jouer simplement pour obtenir cette valeur ?
−2
5.A.7 - Etude d'un double-vitrage
−1
−1
3/2
On s'intéresse à une baie vitrée de surface S = 4, 0m2 qui délimite un intérieur où règne une température Ti = 20C
d'un extérieur où règne une température Te = 5C . On suppose que les fuites thermiques n'ont lieu que par conduction,
à travers cette baie vitrée.
1) La baie vitrée est constituée d'un verre (de conductivité thermique κ = 1, 2W.m−1.K −1) d'épaisseur e =
3, 0mm.
1.a) Calculer la résistance thermique Rth présentée par la baie vitrée.
1.b) En déduire la puissance thermique Pth perdue.
2) La baie vitrée est maintenant un double-vitrage, constitué d'une épaisseur e = 3, 0mm d'air de conductivité thermique κ0 = 26mW.m−1 .K −1 compris entre deux verres (de conductivité thermique κ = 1, 2W.m−1 .K −1 )
d'épaisseur e = 3, 0mm.
2.a) Calculer la nouvelle résistance thermique Rth0 présentée par la baie vitrée.
2.b) En déduire la puissance thermique Pth0 perdue.
5.A.8 - Pertes thermiques à travers un pan de mur
3/2
On s'intéresse à un pan de muraille de surface totale St = 7, 5m composé d'un mur de brique d'épaisseur eb = 40cm,
de conductivité thermique κb = 0, 70W.m−1 .K −1 et d'une fenêtre de surface Sf = 0, 5m2 en verre κv = 1, 2W.m−1 .K −1
d'épaisseur ev = 3mm qui délimite un intérieur où règne une température Ti = 20C d'un extérieur où règne une
température Te = 5C . On suppose que les fuites thermiques n'ont lieu que par conduction, à travers cette muraille.
1) Calculer la résistance thermique :
1.a) Rv présentée par la fenêtre de verre ;
1.b) Rb présentée par le mur de brique ;
1.c) Rt présentée par le mur en totalité.
2) En déduire la puissance thermique Pth perdue.
2
5.A.9 - La sensation de chaud ou de froid
3/2
Tout l'exercice est à une dimension : x et les transferts thermiques sont purement conductifs. On s'intéresse à deux
cylindres (1 en x ∈ [−L, 0] et 2 en x ∈ [0, +L]), de mêmes longueurs L, de masses volumiques respectives µ1 et µ2 , de
capacités caloriques massiques respectives c1 et c2 , de conductivités thermiques respectives κ1 et κ2 , thermostatés à
leurs extrémités (T (−L, t) = T1 et T (+L, t) = T2 ), en contact en x = 0.
1) Thermodynamique :
1.a) Rappeler l'équation de diusion thermique.
1.b) Donner l'expression de la température en régime permanent. Exprimer en particulier T0, la température
en x = 0.
2) Application à la sensation de chaud et de froid :
On suppose que le cylindre 2 est une main, et T2 = 37◦ C . L'autre cylindre est un objet touché par la main. On
imagine que la sensation de chaud ou de froid ressentie par la main est reliée à la température au point de contact
x = 0.
2.a) Discuter cette modélisation.
2.b) Contact avec du bois : κ1 κ2. Ce bout de bois semble-t-il chaud ou froid, si le bout de bois est à
T1 = 20◦ C ? Et si T1 = 60◦ C ?
2.c) Contact avec un métal : mêmes questions, mais cette fois, κ1 κ2.
5.A.10 - Durée d'un régime transitoire
3/2
1) Calculer l'ordre de grandeur ∆t de la durée d'établissement du régime permanent pour une tige d'acier ho-
mogène, de longueur L, de section droite circulaire de rayon a, de masse m, de capacité thermique massique c, de
conductivité thermique κ lors d'une diusion thermique.
2) Applications numériques :
2.a) a = 1, 0cm, m = 1, 24kg, c = 0, 46kJ.kg−1.K −1, L = 0, 50m et κ = 82W.m−1.K −1.
2.b) même matériau de longueur double.
5.A.11 - Isolant
3/2
Une couche d'isolant d'épaisseur d = 10cm et de conductivité thermique κ = 40mW.m .K a une face (repérée
par x = 0) maintenue à la température θ1 = 100◦ C . L'autre face (repérée par x = d) est refroidie par convection par
un courant d'air à θa = 25◦ C qui doit maintenir sa température à la valeur θ2 = 30◦ C (en régime permanent).
1) Calculer quelle doit être la valeur du coecient h déni dans la loi de Newton.
2) Quel paramètre peut-on adapter simplement pour obtenir cette valeur ?
−1
−1
5.A.12 - Diusion d'un pic de température
3/2
Soit une tige isolée et homogène, de section S constante, et susamment longue pour que le problème des conditions
aux limites ne se pose pas. À l'instant initial, la répartition température est une fonction gaussienne de x :
2
−
T (x, t = 0) = T0 + θ.e
x
l0
1) Vérier que T (x, t) = T0 + r θ +1 .e−
est solution de l'équation de diusion.
2) Etudier T (x, t) à t xé :
2.a) Que vaut son maximum Tmax(t) ?
2.b) Possède-t-elle des propriétés de parité ?
2.c) Donner l'allure de T (x, t).
x2
4.D.t+l2
0
4.D.t
l2
0
On dénit la largeur l(t) à l'instant t du pic de température par la largeur de l'ensemble des positions x telles que
T
(t)−T
.
e
3) Dénir et calculer
l(t), la largeur à l'instant t du pic de température.
T (x, t) − T0 >
max
0
5.A.13 - Séparation isotopique
3/2
L'uranium naturel contient une faible proportion (0, 72%) de l'isotope 235, qui seul intéresse l'industrie nucléaire, le
reste étant de l'isotope 238. Il convient donc d'enrichir le minerai naturel en 235 U . On commence pour cela à préparer
l'hexauorure U F6 , gazeux.
La diusion est d'autant plus rapide que les molécules sont plus légères (loi de Graham) : le coecient de diusion
dépend de la masse molaire M en √1M .
On arrive à une séparation acceptable moyennant de très nombreux passages successifs du mélange gazeux à travers
des cloisons poreuses.
1) Calculer le−1rapport r des vitesses de diusion de 235U F6 et 238U F6, connaissant la masse molaire du uor :
M (F ) = 19g.mol .
5.A.14 - Temps de diusion du CO2 dans une pièce
3/2
On donne le coecient de diusion du dioxyde de carbone dans l'air : D = 0, 14.10 m .s .
1) Calculer l'ordre de grandeur de la durée t que mettrait du dioxyde de carbone à diuser dans une salle dont le
volume vaut V = 50m3 .
−4
2
−1
5.2
Entraînement
5.B.1 - Évolution monotherme isochore d'un liquide
5/2
Soit un récipient de volume constant complètement rempli d'une masse d'eau m = 100g portée, dans une étuve,
à la température T1 = 353K . On la place à température ambiante, T0 = 293K . La chaleur massique de l'eau c =
4, 18kJ.K −1 .kg −1 peut être considérée comme constante.
1) Dénir les caractéristiques∗ de la transformation et donner l'étal nal du système.
2) Calculer la variation de F au cours de la transformation. Conclure.
3) Tracer la fonction F ∗(T ) pour T ∈ [T0; T1]. Interpréter la courbe.
5.B.2 - Évolution lors de la fusion d'un glaçon
5/2
Un glaçon, de masse m = 20g, initialement à la température θi = −20 C , est placé dans l'air ambiant (à la
température θa = 20◦ C , à la pression Pa = 1, 0bar).
La chaleur massique de l'eau liquide est cl = 4, 18kJ.K −1 .kg−1 , celle de l'eau solide est cs = 2, 1kJ.K −1 .kg−1 , et
l'enthalpie de fusion de l'eau à 273K et lf = 335kJ.kg−1 . Les volumes massiques de l'eau liquide vl et de l'eau solide
vs sont constants sur l'intervalle de température considéré.
1) Montrer que le potentiel thermodynamique G∗ permet de prévoir l'évolution de ce système couplé avec le milieu
extérieur. Étudier successivement :
1.a) l'évolution de l'eau solide,
1.b) le changement d'état
1.c) et l'évolution de l'eau liquide.
2) Calculer la variation de G∗ au cours de la transformation de l'eau.
◦
5.B.3 - Température dans un igloo
5/2
5.B.4 - Transfert par conduction et (ir)réversibilité
5/2
5.B.5 - Etude d'une cave enterrée
5/2
On assimile un igloo à une demi sphère de rayon R = 1, 5m et d'épaisseur e = 20cm R, en glace (dont
la conductivité thermique est κ = 50mW.K −1 .m−1 ). Un être humain dans l'igloo dégage une puissance thermique
Pth = 75W . Seule la conduction thermique sera prise en compte.
1) Quelle est la température
à l'intérieur Tint si la température extérieure est :
1.a) Text = −5◦ ◦?
1.b) Text = −10◦ ?
1.c) Text = −15 ◦ ?
1.d) Text = −20 ?
An de modéliser un échangeur thermique, on considère une barre de section S et de longueur L, de conductivité
thermique κ (on négligera les autres modes de transfert thermique) qui a, en régime permanent, ses deux extrémités
aux températures T1 (en x1 ) et T2 (en x2 > x1 ).
1) Exprimer le ux thermique φ qui se propage suivant ~ux.
2) Faire un bilan d'entropie pendant dt : donner
2.a) la variation d'entropie dS ;
2.b) l'entropie échangée δSe ;
2.c) l'entropie créée δSc.
3) Interprétation :
3.a) Le précédent résultat est-il conforme au second principe ?
3.b) Comment faire pour rendre le processus réversible ? Qu'est-ce que cela impose pour φ ?
3.c) Montrer que, pour minimiser les irréversibilités tout en conservant un ux non nul, il faut que T1 − T2 =
δT T1 .
On modélise la terre entre le sol et le plafond d'une cave enterrée par un milieu solide homogène de masse volumique
de conduction thermique κ et de capacité calorique massique c.
Toutes les variables ne dépendent que du temps t et de z la profondeur.
∂ T
1) Ré-écrire l'équation de diusion thermique
sous la forme : ∂T
∂t = D. ∂z . Que vaut D ? Application numérique
−3
−1
−1
dans le cas de la pierre calcaire : µ = 2320kg.m , c = 810J.K .kg κ = 2, 2W.m−1 .K −1 .
µ,
2
2
On s'intéresse à des solutions de type : Tω .ej(ω.t−k.z) où Tω et ω sont des réels positifs.
2) Trouver la relation de dispersion,
c'est à dire une équation du type : ω = f (k).
3) Montrer que T (z, t) = T2.πω .e− cos [ω. (t − ∆t)]. On exprimera numériquement pour une épaisseur z = 1, 0m
et une uctuation diurne (ω = 24h ) :
3.a) ∆t ;
3.b) ∆z −;
3.c) et e . Conclusion.
z
∆z
z
∆z
5.B.6 - Conduction thermique entre deux sphères concentriques
5/2
5.B.7 - Absorption de neutrons par le bore
5/2
On considère un matériau homogène compris entre deux sphères concentriques de centre O, de rayons a et b (a < b),
de conductivité thermique κ, de capacité thermique massique c et de masse volumique µ. Les parois sphériques de ce
matériau sont maintenues aux températures T1 (pour r = a) et T2 (pour r = b) et on suppose T1 > T2 .
1) Écrire l'équation aux dérivées partielles que vérie la température T en un point M , à l'instant t.
2) Déterminer, en régime permanent :
2.a) la température T (r) en tout point M du matériau ;
2.b) la puissance thermique Pt transférée entre les deux sphères de rayons a et b ;
2.c) la résistance thermique Rt, de ce conducteur.
On considère une assemblée de neutrons dans un milieu leur faisant subir de nombreux chocs, qui leur communiquent
une vitesse d'agitation moyenne constante v. On appellera n(x, y, z, t) le nombre de neutrons par unité de volume.
1) Rappeler la loi de Fick qui donne le vecteur densité de courant de neutrons ~jn, dont le ux à travers une surface
quelconque est égal au nombre de neutrons traversant cette surface par unité de temps.
Le milieu absorbe les neutrons et on supposera que chaque neutron parcourt une distance λa jusqu'à son absorption.
2) Relier le nombre A de réactions d'absorption par seconde et par unité de volume à n, v et λa.
3) Etablir l'équation aux dérivées partielles vériées par n.
On se place dans un milieu semi-inni situé dans le demi-espace correspondant aux valeurs positives de x (un mur).
Il est limité en x = 0 par une source plane délivrant N0 neutrons par unité de surface et par seconde.
4) Calculer la densité de neutrons n(x) en régime permanent.
5) Déterminer l'épaisseur L du mur pour diminuer la densité de neutrons d'un facteur 1000.
5.3
Planches d'oral
5.C.1 - Des cochons sur la banquise
***
5.C.2 - Hélium dans un cryostat
***
(Centrale 2007)
Les trois petits cochons sont poursuivis par le grand méchant loup sur la banquise et se réfugient dans un igloo
hémisphérique de rayon intérieur R = 1m et d'épaisseur e = 1m ; la seule chance pour le loup est de souer sur
l'igloo. La température extérieure est Te = −5C . On donne la conductivité thermique massique λ = 2, 1W.m−1 .K −1 ,
la capacité thermique c = 2.06kJ.kg−1 .K −1 et la masse volumique ρ = 917kg.m−3 de la glace. Chaque petit cochon
dissipe une puissance P = 80W . Le coecient de couplage conducto-convcctif est hi = 5W.m−2 K −1 à l'intérieur,
hs = 100W.m−2 K −1 à l'extérieur, quand le loup soue, et he = 10W.m−2 K −1 quand il ne soue pas.
1) Calculer la résistance thermique diusive de l'igloo.
2) Le loup soue : calculer la température à l'intérieur de l'igloo et la température sur la paroi intérieure.
3) Le loup, épuisé, s'arrête de souer : la glace fond-elle ? Si oui, de quel côté et de quelle épaisseur ?
(Centrale 2007)
On s'intéresse à un cryostat représenté sur la gure 5.1 dans lequel se trouve de l'hélium liquide à la température
THe = 70K , de chaleur latente massique de vaporisation LHe . Hypothèses : le manchon ne met pas en cause la symétrie
sphérique du système, e est nul, la température de l'air extérieur est Text , les échanges à la surface extérieure se font
uniquement par convection (on se donne la conductivité thermique λ du polystyrène et le coecient de Newton h).
1) Calculer la température en r = R. En déduire T (R + e0).
2) Donner la masse d'hélium ∆m vaporisée pendant une durée ∆t.
Fig.
5.4
5.1 Cryostat
Travaux dirigés
5.D.1 - Etude des transformations de l'eau à la pression atmosphérique
TD
On se place dans l'atmosphère : la pression est xée à P = P0 = 1, 000atm. La température T , elle, peut varier.
On va étudier les transformations physiques de l'eau. Celle-ci peut se trouver sous la forme liquide (H2 OL ), glace
(H2 OS ), ou vapeur (H2 OV ).
On donne les enthalpies et entropies massiques des diérents états de l'eau à la pression P0 , que l'on considérera
indépendants de la température (cf. tableau 5.1).
H2 O
h (en J.kg −1 )
◦
s (en J.K −1 .kg −1 )
◦
Tab.
1.
2.
solide
liquide
7
−1.623.10
2, 66.103
vapeur
7
−1, 59.10
3, 88.103
−1, 344.107
1, 05.104
5.1 Grandeurs thermodynamiques massiques relatives à l'eau
H2 Os = H2 OL
Montrer qu'il existe une température limite Tf qui délimite les domaines d'existence de la glace et de l'eau
liquide. Application numérique : que vaut Tf ?
H2 OL = H2 OV
On supposera que la vapeur d'eau est un gaz parfait à la pression pv (et pas nécessairement à P0 ).
(a) Montrer qu'il existe une température limite Tv au delà de laquelle toute l'eau liquide se vaporise (elle
"bout"). Application numérique : que vaut Tv ?
(b) Montrer aussi qu'en deçà de Tv un équilibre thermodynamique est possible entre l'eau liquide et sa vapeur
à une pression Psat (dite "pression de vapeur saturante"). Exprimer Psat en fonction de T et des constantes
de l'énoncé. On donne la formule semi-empirique de Dupré : Ln [Psat (T )] = α − Tβ − γ.Ln (T ). La formule
trouvée précédemment coïncide-t-elle ?
3. Evaporation de l'eau
Supposons que T < TV . On dénit le degré d'humidité de l'air par θ = Pp , qui est typiquement de l'ordre de
50% à 75%.
(a) Expliquer pourquoi l'eau liquide s'évapore.
(b) Quelle est la diérence fondamentale entre l'évaporation et l'ébullition ?
v
sat
(c) Pourquoi les facteurs suivants favorisent l'évaporation d'un linge : l'étendage, le vent et le soleil.
(d) Expliquer aussi pourquoi l'on peut "attraper froid" si l'on a transpiré.
4. Condensation de l'eau
(a) Expliquer pourquoi lorsque l'on pénètre dans une voiture en hiver les vitres se couvrent de buée.
(b) Expliquer aussi le phénomène de la rosée du matin.
(c) Que vous inspirent les vers de Rimbaud :
Mes étoiles au ciel avaient un doux frou-frou
Et je les écoutais, assis au bord des routes,
Ces bons soirs de septembre, où je sentais des gouttes
De rosée à mon front, comme un vin de vigueur ?
Méthode:
•
Fusion de la glace
Tracer l'enthalpie libre massique g◦ des deux états de l'eau qui nous intéressent, à la pression P0 , en fonction de la
température.
• H2 OL = H2 OV
•
Il faut d'abord montrer que l'enthalpie libre massique de la vapeur d'eau est :
R.T
gv (pv , T ) = gv (P0 , T ) +
.Ln
M
•
pv
P0
où gv (P0 , T ) = g◦ (T ).
Ensuite on compare les potentiels massiques :

 gv (pv , T ) < gL (T ) ⇒ H2 OL → H2 OV
gv (pv , T ) > gL (T ) ⇒ H2 OL ← H2 OV

gv (pv , T ) = gL (T ) ⇒ H2 OL
H2 OV
•
•
Evaporation de l'eau : T < TV , et on est hors équilibre : H2 OL → H2 OV , vers l'équilibre.
Condensation de l'eau : T < TV , et on est hors équilibre : H2 OL ← H2 OV , vers l'équilibre.
5.D.2 - Conditions aux limites et équation de diusion
TD
On s'intéresse à deux cylindres (1 en x ∈ [−L1 , 0] et 2 en x ∈ [0, +L2 ]), de longueurs respectives L1 et L2 , de
même section S , de masse volumiques respectives µ1 et µ2 , de capacités caloriques massiques respectives c1 et c2 , de
conductivités thermiques respectives κ1 et κ2 .
Donner l'expression de la température en régime permanent dans les cas suivants :
1. Les extrémités des deux cylindres sont en contact avec des thermostats de températures respectives T1 et T2 .
2. L'extrémité du cylindre 1 est en contact avec un thermostat de température T1 et l'extrémité du cylindre 2 est
atherme.
3. Les extrémités des deux cylindres sont athermes.
Méthode:
•
Extrémité isolée
Si la tige (de conductivité thermique κ, d'axe ~ux ) a une extrémité isolée thermiquement en x0 , le ux thermique
y est nul :
φ (x0 ) = 0 ⇒
∂T
∂x
=0
x0
•
Contact avec un thermostat
Si la tige (de conductivité thermique κ, d'axe ~ux ) a une extrémité (en x0 ) en contact avec un uide à la température
T0 , la projection suivant ~ux de la densité de ux thermique suit la loi de Newton :
jthx (x0 , t) = −κ
•
∂T
∂x
= h. (T (x0 , t) − T0 )
x0
où h est un coecient qui s'exprime en W.m−2 .K −1
Contact entre deux tiges solides
Au point de contact thermique (en x0 ) de deux tiges de même axe ~ux , de conductivités thermiques respectives κ1
et κ2 , la température est unique :
T1 (x0 , t) = T2 (x0 , t)
et le ux thermique se conserve :
φ1 (x0 , t) = φ2 (x0 , t) ⇒ κ1
5.5
∂T1
∂x
= κ2
x0
∂T2
∂x
x0
Exercices maple
5.E.1 - Des isothermes de Van der Waals à ceux d'Andrews
maple
Ecrire un programme qui permet de vérier les calculs suivants :
1) Calcul formel :
1.a) Equation de Van der Waals :
On rappelle qu'un uide réel suit assez bien l'équation de Van der Waals : p + va (v − b) = R.T , où p est la
pression, T , la température absolue et v = Vn , le volume molaire.
Réexprimer l'équation de Van der Waals en fonction de n, la quantité de matière (exprimée en moles) et V , le
volume total, plutôt que v, le volume molaire.
Donner la pression en fonction des autres variables.
Montrer que V = n.b est le volume incompressible du uide.
Montrer encore que, pour les grands volumes (V → +∞), on retrouve au premier ordre l'équation des gaz parfaits
p.V = n.R.T .
1.b) Coordonnées du point critique :
Le point critique est le seul point d'inexion parmi les courbes isothermes de Van der Waals dans le diagramme
de Clapeyron (P = f (V )).
8.a
Montrer que les coordonnées du point critique sont : PC = 27.ba , VC = 3.n.b et TC = 27.R.b
.
1.c) Loi des états correspondants :
On va dénir des nouvelles variables sans unités : la pression réduite Pr = Pp , le volume réduit Vr = VV et la
température réduite Tr = TT .
Donner l'expression de Pr en fonction de Vr et Tr , et montrer qu'elle est la même quel que soit le gaz. On a alors
une loi universelle :
2
2
2
C
C
C
Pr =
8.Tr .Vr + 3 − 9.Vr
Vr2 (3.Vr − 1)
Montrer que Vr > 31 .
2) Calcul numérique :
Le long d'isothermes de Van der Waals, la pression peut parfois être négative, et certaines portions de courbes
∂P
(pour Tr < 1) sont croissantes ( ∂V
> 0), ce qui est absurde.
T
En fait, il faut remplacer l'isotherme de Van der Waals par une nouvelle isotherme (celle d'Andrews) qui présente
un palier (Pr = Psat ) entre deux valeurs du volume réduit (Vliq et Vvap ), tels que l'on doit vérier la condition de
VR
VR
Maxwell : Pr .dVr = Psat .dVr .
V
V
Ce palier est dû à la coexistence du liquide et de la vapeur lors de la transition de phase à la pression de vapeur
saturante Psat (T ).
2.a) Ecrire un certain nombre de routines :
vap
vap
liq
liq
Fig.
5.2 Construction de Maxwell pour passer de l'isotherme de Van Der Waals à celle d'Andrew
une expression (P r) et une fonction (P (V, T )) qui suivent l'équation de Van der Waals pour les grandeurs réduites :
la pression réduite Pr = Pp , le volume réduit Vr = VV et la température réduite Tr = TT ;
• une routine qui permet de tracer (en rouge si Tr < 1, en bleu sinon) une isotherme de Van der Waals dans le
diagramme de Claperon réduit (Pr = f (Vr )) : vdw(T ) avec T , la température réduite ;
• un module (maxwell(Pessai )) qui permet de calculer la diérence des intégrales entre un palier à la pression Pessai
et une isotherme de Van der Waals ;
• une routine (palier(T )) qui permet de calculer, pour une isotherme de Van der Waals : les coordonnées des points
B (minimum) et C (maximum), et aussi le palier à la pression de vapeur saturante (Psat ), en tant que solution de
maxwell(Psat ) = 0, les limites de ce palier (liquide en H et vapeur en J ), enn qui calcule le graphique andrews(T ).
Il n'y a plus qu'à appeler andrews(T ) pour faire apparaître l'isotherme d'Andrews (en noir) à l'écran.
2.b) 4) Tracé des isothermes de Van der Waals et de celles d'Andrews :
Tracer quelques isothermes de Van der Waals autour de Tc . Vérier qu'il y a des problèmes si Tr < 1.
2.c) Tracé des isothermes d'Andrews :
Utiliser ces procédures pour diverses températures réduites (inférieures à 1) et tracer les isothermes d'Andrews.
Les comparer aux isotherme de Van der Waals.
•
C
C
C
5.E.2 - Diusion à partir d'une introduction ponctuelle
maple
On introduit à t = 0 de la matière en x = 0 : la densité n y est alors plus élevée.
Tout le problème est à une dimension : x. Pour toutes les applications numériques, on prendra D = 5, 2.10−10 m2 .s−1 .
Nous allons étudier la solution mathématique de ce problème. Pour ce faire, on pose une fonction gaussienne :
−
e
.
On dénit la densité en utilisant une telle gaussienne normée : n(x, t > 0) = n0 . √e 4.π.D.t . Nous supposerons que les
conditions initiales sont vériées.
1) Montrer que la quantité de matière se conserve.
2) Vérier que la fonction précédemment dénie vérie l'équation de diusion : ∂n∂t = d. ∂∂xn .
3) Tracer :
3.a) l'allure de la densité en fonction de x, pour plusieurs temps écoulés depuis t = 0 ;
3.b) une animation représentant la densité en fonction de x, qui varie avec t, le temps.
3.c) l'allure de la densité en trois dimensions en fonction de x, et de t, le temps.
x2
4.D.t
−
x2
4.D.t
2
2
5.E.3 - Choc thermique en marche
maple
On s'intéresse à deux barres solides identiques, indénies, numérotées 1 et 2. Initialement, les températures des
deux barres sont homogènes, mais diérentes l'une de l'autre : T1 et T2 avec T2 > T1 . A la date t = 0, les barres sont
mises en contact en x = 0.
Tout le problème est à une dimension : x, et les transferts thermiques sont purement conductifs. Pour toutes les
κ
= 11.10−5 m2 .s−1 (c'est le cas pour le cuivre).
applications numériques, on prendra a = µ.c
√ x
4.a.t
On pose la fonction : f (x, t) =
e−u .du (c'est l'intégrale d'une gaussienne).
0
√2 f (x, t) vérie les
+ T −T
1) Etudier en particulier f (x, t = 0). Montrer en particulier que T (x, t) = T +T
2
2
π
conditions initiales.
2) Vérier que la fonction précédemment dénie vérie l'équation de diusion de la chaleur : ∂T∂t = a. ∂∂xT .
3) Tracer :
3.a) l'allure de la température en fonction de x, la position dans la barre, pour plusieurs temps écoulés depuis
le contact thermique ;
3.b) une animation représentant la température en fonction de x, qui varie avec t, le temps.
3.c) l'allure de la température en trois dimensions en fonction de x, la position dans la barre, et de t, le temps.
R
2
1
2
2
1
2
2
Troisième partie
Electromagnétisme
79
Chapitre 6
Lois générales de l'électromagnétisme
6.1
Application directe du cours
6.A.1 - Nuage électronique
3/2
On modélise l'électron d'un atome d'hydrogène centré en O par une densité volumique de charge
r
ρ(r, θ, ϕ) = C.e− a0
où a0 = 50pm.
Déterminer C . Application numérique.
6.A.2 - Noyau radioactif β −
On considère une source (très petite, en O, centre d'un repère sphérique), de césium 137 radioactif β :
3/2
−
137
55 Cs
∗
→0−1 e− +137
56 Ba
Son activité (nombre de désintégration par seconde) est A = 0, 185M Bq.
1) Quelle est l'intensité I qui traverse une sphère de centre O ? Application numérique.
2) Exprimer dans le repère sphérique la densité volumique de courant ~j . Que vaut numériquement
de la source ?
~j
à r = 10cm
6.A.3 - Feuille d'aluminium chargée
3/2
6.A.4 - Fil électrique
3/2
6.A.5 - Conduction électrique dans un ruban d'aluminium
3/2
6.A.6 - Conservation de la charge et équations de Maxwell
3/2
6.A.7 - Des "charges" magnétiques
1) Par analogie avec l'équation de Maxwell Gauss,
3/2
Soit une feuille d'aluminium de format A4 (21cm sur 29, 7cm) à laquelle on a arraché 1000 électrons.
1) Quelle est la charge surfacique σ portée par la feuille d'aluminium ? Application numérique.
Soit un l électrique en cuivre, cylindrique, de rayon R0 = 3, 0mm dans lequel circule un courant électrique
homogène d'intensité I = 10A, vers les z négatifs dans le repère cylindrique associé au l.
1) Exprimer dans ce repère la densité volumique de courant ~j . Que vaut numériquement ~j ?
Soit un ruban de papier d'aluminium de largeur L0 = 1, 0cm (suivant la direction y d'un repère cartésien) dans
lequel circule un courant électrique homogène d'intensité I = 10mA vers les x positifs.
1) Exprimer dans ce repère la densité surfacique de courant ~js. Que vaut numériquement ~js ?
Démontrer l'équation de conservation locale de la charge en utilisant uniquement les équations de Maxwell.
81
1.a) dénir une densité de "charge" magnétique ρm ;
1.b) montrer que ρm = 0.
6.A.8 - Un champ magnétique radial
1) Un champ radial (Cr~er ) peut-il être un champ magnétique B~ :
1.a) en cylindrique ?
1.b) en sphérique ?
6.A.9 - Un champ électrique orthoradial
1) Est-ce qu'un champ orthoradial (Cθ~eθ en cylindrique) peut être un champ électrique E~ :
1.a) en régime permanent ?
1.b) en régime non permanent ?
6.A.10 - Courants électriques et courants de déplacement
On se place dans un milieu ohmique de conductivitéγ (~j = γ.E~ ), en régime sinusoïdal forcé de fréquence ν .
1) Montrer que ~j > ~jd pour peu que ν < νmax. Exprimer νmax en fonction de ε0 = 8,8 .10−12SI et γ .
2) Application numérique :
2.a) dans le cas du cuivre (γ = 5, 8.10−97S.m−1
);
2.b) dans le cas de l'eau (γ = 1, 0.10 S.m−1).
3/2
3/2
3/2
6.A.11 - Potentiel vecteur dans le cas d'un champ magnétique homogène
3/2
1) Montrer que 12 B~ ∧ ~r est un bon potentiel vecteur.
2) Ce potentiel vecteur vérie-t-il la jauge de Coulomb ?
6.A.12 - Potentiel scalaire créé par une charge ponctuelle
3/2
Soit un champ magnétique homogène
O.
~ = B0 .~uz .
B
Une charge ponctuelle q en O crée un potentiel scalaire V (M ) =
q
4.π.ε0 .r
exprimé dans le repère sphérique de centre
1) Ce potentiel vérie-t-il bien l'équation de Poisson ?
~
2) En déduire le champ électrique E(M
) créé en M .
6.A.13 - Champ électrique créé par une charge ponctuelle
3/2
6.A.14 - Champ électrique au voisinage d'un conducteur parfait
3/2
6.A.15 - Champ magnétique au voisinage d'un conducteur parfait
3/2
6.A.16 - Cyclotron de Lawrence
3/2
On s'intéresse à une charge ponctuelle q en O. On se place dans le repère sphérique de centre O.
~
1) Calculer le champ électrique E(M
) créé en M en utilisant :
1.a) la formule des potentiels retardés ;
1.b) le théorème de Gauss.
On considère un conducteur parfait (milieu 1) dans le demi-espace z < 0, dans lequel le champ électrique est nul. A
l'interface qui délimite le conducteur du vide (dans l'autre demi espace z > 0), existe une charge surfacique σ = σ0 .
1) Que vaut le champ électrique au voisinage du conducteur, en z = O+ ?
On considère un conducteur parfait (milieu 1) dans le demi-espace z < 0, dans lequel le champ magnétique est
nul. A l'interface qui délimite le conducteur du vide (dans l'autre demi espace z > 0), circule un courant surfacique
~js = j0 .~uy .
1) Que vaut le champ magnétique au voisinage du conducteur, en z = O+ ?
Le premier cyclotron fut construit en 1932 par Lawrence à Berkeley (Californie). L'appareil avait un rayon R = 14cm
et communiquait à des protons (de charge e = 1, 6.10−19 C et de masse m = 1, 67.10−27 kg) une énergie cinétique
Ec = 1, 2M eV . La diérence de potentiel était ∆V = 4000V au moment du passage du faisceau entre les dees.
1) Quelles étaient :
1.a) la vitesse maximum des protons ?
1.b) la tension accélératrice qu'il aurait fallu utiliser pour leur communiquer cette vitesse ?
1.c) la fréquence du champ accélérateur ?
1.d) le nombre de tours décrits par les protons ?
1.e) le champ magnétique ?
6.A.17 - Expérience de J.J.Thomson (1897)
3/2
1) Un faisceau d'électrons homocinétiques de vitesse ~v = v0.~uz est détecté sur un écran (plan xOy) en O. Il
transite dans une zone Z qui a une taille a le long de l'axe Oz, petite devant la distance D entre l'écran et Z .
1.a) Déterminer le temps ∆t pendant lequel le faisceau transite dans Z .
2) On dévie ce faisceau d'électrons à l'aide d'un champ électrique E~ = −E0.~uy règnant dans Z , uniforme et
indépendant du temps, et on mesure la déviation y du spot sur l'écran.
2.a) Déterminer la projection de la vitesse ∆vy suivant ~uy des électrons au sortir de Z , en fonction de y, D et
v0 .
2.b) De même, déterminer ∆vy en fonction de me , E0 et ∆t.
3) Enn, on établit en plus dans Z un champ magnétique B~ = B0.~ux, uniforme et indépendant du temps. On
règle la valeur de B0 de manière à ce que le spot soit ramené en O.
3.a) Exprimer alors l'expression de B0 en fonction dee E0 et v0.
3.b) En déduire l'expression de la charge massique m de l'électron en fonction des grandeurs intervenant dans
l'expérience : y, a, D, B0 et E0 .
6.A.18 - Spectrographe de Bainbridge
3/2
6.A.19 - Bilan d'énergie dans un conducteur cylindrique
3/2
Dans le spectrographe de Bainbridge, les ions de masse m et de charge q sortant d'un ioniseur sont préalablement
accélérés sous une tension de valeur absolue U = 10kV qui leur impose une vitesse ~v = v0 .~uz .
1) Déterminer la vitesse v0 du cercle décrit par un ion.
Ils pénètrent ensuite en O dans une zone (z > 0) où règne un champ magnétique B~ = B0 .~uy uniforme et indépendant
du temps (B0 = 0, 10T )
2) Déterminer le rayon R du cercle décrit par un ion.
3) Deux isotopes viennent impressionner une plaque photographique dans le plan xOy.
3.a) Déterminer la distance x séparant les traces
laissées par sur la plaque.
3.b) Application numérique pour les isotopes 39K + et 41K +.
Un l conducteur cylindrique, de rayon a, de conductivité γ , de longueur L, est parcouru par un courant de densité
uniforme ~j = j0 .~uz parallèle à son axe.
1) Loi d'Ohm :
1.a) Déterminer l'intensité I qui circule dans le sens des z croissants en fonction de j0, aL et L.
1.b) En déduire la puissance électrique Pe échangée par ce résistor de résistance R = γ.π.a
.
2) Eet Joule :
2.a) Déterminer le champ électrique dans le conducteur.
2.b) En déduire la puissance cédée à la matière Pd de ce vecteur à travers la surface de l. Commenter.
2
6.A.20 - Bilan d'énergie dans un condensateur plan
3/2
Un condensateur plan, composé par deux disques conducteurs de rayon a, d'axe O~uz éloignés de e portant une
charge ±Q a une capacité ε .π.a
.
e
1) Etude électrocinétique : déterminer l'énergie Ec du condensateur.
2) Etude électromagnétique :
2.a) Déterminer le champ électrique dans l'espace entre les conducteurs.
2.b) En déduire l'énergie électrique Ee stockée dans l'espace entre les armatures. Commenter.
0
2
6.A.21 - Bilan d'énergie dans un solénoïde cylindrique
3/2
Un solénoïde cylindrique de rayon a, d'axe O~uz , de longueur h, formé de n spires par unité de longueur, a une
inductance L = µ0 .n2 .π.a2 .h. Dans ce solénoïde règne un champ magnétique B~ = µ0 .n.I.~uz .
1) Etude électrocinétique : déterminer l'énergie Eb de cette bobine.
2) Etude électromagnétique : déterminer l'énergie magnétique Em stockée dans le solénoïde. Commenter.
6.A.22 - Force exercée par un champ magnétique uniforme sur une spire circulaire
3/2
Soit un repère cartésien Oxyz, et un vecteur ~u0 dans le plan (xOy), et on pose l'angle α = (~u0 , ~ux ).
Il règne dans l'espace un champ magnétique B~ = B.~u0 uniforme et stationnaire.
Soit une spire circulaire de centre O, de rayon R, dans le plan xOz parcourue par un courant I dans le sens
trigonométrique déni par le vecteur ~ux .
1) On calculera, pour l'action exercée par le champ magnétique sur la spire :
1.a) la résultante des forces F~ ,
1.b) le moment en O M~ O .
6.2
Entraînement
6.B.1 - Vitesse des électrons dans le cuivre
5/2
Le cuivre a pour masse molaire M = 63, 54g.mol , et pour masse volumique µ = 8, 9.kg/L. On donne le nombre
d'Avogadro : NA = 6, 02.1023 mol−1 et la charge fondamentale : e = 1, 6.10−19 C .
1) Calculer la densité volumique n des atomes de cuivre.
2) En admettant que chaque atome de cuivre libère un électron assurant la conduction, calculer la vitesse moyenne
hvi de ces électrons libres correspondant à un courant I = 0, 50A circulant dans un l de section droite de rayon
a = 1, 0cm.
−1
6.B.2 - Symétries d'une sphère chargée surfaciquement
5/2
6.B.3 - Symétries d'une spire circulaire
5/2
6.B.4 - Symétries d'un ensemble de deux ls parallèles
5/2
Soit une sphère de centre O, portant une répartition surfacique de charges σ.
1) Déterminer les symétries de cette répartition de charges :
1.a) invariances ;
1.b) plans de symétrie ;
1.c) plans d'antisymétrie.
Soit une spire circulaire de centre O, d'axe (Oz), parcourue par un courant d'intensité I .
1) Déterminer les symétries de cette répartition de courants :
1.a) invariances ;
1.b) plans de symétrie ;
1.c) plans d'antisymétrie.
Soit deux ls innis, sans épaisseur, parallèles à l'axe (Oz), passant respectivement par les points O1 = (0, −a, 0)
(dans un repère cartésien de centre O) et O2 = (0, +a, 0) dans lesquels circulent respectivement des courants I1 et I2 ,
orientés conventionnellement vers les z croissants.
Dénir les symétries et invariances de cette distribution dans les trois cas suivants :
1) I1 et I2 quelconques ;
2) I1 = I2 = I ;
3) I1 = +I et I2 = −I .
6.B.5 - Courant évanescent
par ~j = j0 .e− hz .~ex ,
5/2
Supposons que dans un demi-espace z > 0, la densité volumique de courants soit donnée
où h
est une constante.
1) Intensité élémentaire :
1.a) Quelle est l'intensité élémentaire dI (z1, z2) qui traverse la surface élémentaire orientée dans le sens des x
croissants, pour y ∈ [0; dy] et z ∈ [z1 ; z2 ] ?
1.b) Calculer dI (0, z)
1.c) En déduire dI (0, ∞).
1.d) Pour quelle valeur z0 de z a-t-on dI (0, z0) = 0, 90.dI (0, ∞) ? Commenter ce résultat.
2) Densité surfacique de courant :
2.a) Dans quelle limite est on confronté à une densité surfacique de courant ~js ?
2.b) Exprimer alors ~js.
6.B.6 - Distribution volumique de charge dans l'atome d'hydrogène
5/2
Dans la théorie quantique, l'électron de l'atome d'hydrogène n'est pas localisé : il s'agit d'un nuage électronique.
Ainsi, si l'on exclu le proton (en O, centre de l'atome), la distribution volumique de charge dans l'atome d'hydrogène
est à symétrie sphérique et ne dépend que de la distance r à O : peut
2.r
ρ (r) = C.e− a0
où a0 = 52, 9pm est le rayon de Bohr.
1) Quelle est la probabilité p1(r, θ, ϕ) de trouver l'électron en M (r, θ, ϕ) ?
2) Quelle est la probabilité p2(r) de trouver l'électron à une distance r de O ?
3) A quelle distance rmax a-t-on le plus de chance de trouver l'électron ?
4) Calculer la constante C . Application numérique
6.B.7 - Equations de Maxwell et conservation de la charge
1) Rappeler les équations de Maxwell.
2) Montrer qu'elles impliquent l'équation locale de conservation de la charge.
6.B.8 - Comparaison entre courants électriques et courants de déplacement
5/2
5/2
6.B.9 - Source radioactive ponctuelle
5/2
6.B.10 - Mesure expérimentale de me
5/2
6.B.11 - Focalisation électrique d'un faisceau homocinétique d'électrons
5/2
On considère un milieu de conductivité γ pour lequel le courant de conduction ~j est lié à E~ par ~j = γ.E~ . On appelle
courant de déplacement ~jd = ε0 . ∂∂tE~ .
On se place en régime sinusoïdal de pulsation ω.
1) Exprimer le rapport
α des amplitudes du courant de conduction sur le courant de déplacement.
2) Pour ω = 2.π.106rad.s−1, exprimer
numériquement ce rapport, dans les diérents cas suivants :
−1
2.a) pour le cuivre (γ = 6, 0.107Ω−4
.m−1 ) ;
2.b) pour un sol argileux (−6
γ ≈ 10 Ω−1 .m−1 ) ;
2.c) pour du verre (γ ≈ 10 Ω−1.m−1).
Un corps radioactif ponctuel au point O (centre d'un repère sphérique) se désintègre de façon isotrope en émettant
des particules chargées. Sa charge à l'instant t est notée Q(t).
1) Que vaut le vecteur densité de courant ~j ?
2) En déduire le champ magnétique B~ .
3) Que vaut le champ électrique E~ ?
4) A partir de l'équation de Maxwell Ampère, retrouver ~j .
Des électrons (de masse m et de charge −e) préalablement accélérés par une diérence de potentiel u = 2, 5kV ,
décrivent dans une ampoule où règne un vide poussé une trajectoire circulaire de rayon R = 3, 3cm. Le champ
magnétique créé par les bobines de Helmoltz, est quasi uniforme et sa valeur numérique égale à B = 5, 1mT .
1) Exprimer la vitesse v0 des électrons en fonction de m, e et u.
2) Relier le rayon R de la etrajectoire des électrons à v0, m, e et B.
3) En déduire le rapport m en fonction de u, R−19et B.
4) Comparer à la valeur théorique : e = 1, 6.10 C et m = 9, 1.10−31kg.
Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par une fente
~ = E.~ey . Ce faisceau, dans le plan
supposée très ne dans la région
y > 0 où règne un champ électrique uniforme E
(xOy) fait un angle α ∈ 0; π2 avec ~ex .
1) Déterminer l'équation paramétrique du mouvement :
1.a) x(t) ;
1.b) y(t).
2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0. ∆α
Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈ α0 − 2 ; α0 + ∆α
2 ).
3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S .
6.B.12 - Focalisation magnétique d'un faisceau homocinétique d'électrons
5/2
6.B.13 - Moment des forces de Laplace sur une tige conductrice
5/2
Un faisceau homocinétique d'électrons (de masse m et de charge −e) de vitesse v0 pénètre en O par une fente
supposée très ne dans la région y > 0 où règne un champ magnétique uniforme B~ = −B.~ez . Ce faisceau, dans le plan
(xOy) fait un angle α ∈ ]0; π[ avec ~ex .
1) Déterminer les caractéristiques de la trajectoire circulaire du mouvement :
1.a) son rayon R ;
1.b) la position de son centre C .
2) Déterminer l'abscisse xs de la position de sortie S des électrons de la région y > 0. ∆α
Le faisceau incident présente maintenant une faible dispersion angulaire ∆α (α ∈ α0 − 2 ; α0 + ∆α
2 ).
3) Déterminer α0 pour que tous les électrons soient récupérés en S .
Une tige conductrice homogène OA de longueur d = 10cm, de masse m = 50g est xée en O dans le référentiel
R du sol (supposé galiléen). Elle peut tourner parfaitement dans un plan vertical (xOy), autour d'un axe horizontal
(Oz). Son extrémité mobile A aeure dans une cuve à mercure, ce qui permet le passage d'un courant stationnaire
~ = B.~uz uniforme et stationnaire avec B = 100mT (on
I = 1, 0A. On applique un champ magnétique extérieur B
négligera le champ magnétique propre du circuit électrique).
1) Exprimer le moment M~ O en O des forces de Laplace appliquées à OA :
1.a) si I est orientée vers le bas ;
1.b) si I est orientée vers le haut.
~ .
L'accélération de la pesanteur est ~g = −g.~uy avec g = 9, 81m.s−2 . On pose θ = (−~uy , OA)
0
~
2) Exprimer le moment MO en O du poids de OA en fonction de θ.
3) Déterminer la position d'équilibre θeq de la tige (en faisant une application numérique) :
3.a) si I est orientée vers le bas ;
3.b) si I est orientée vers le haut.
6.B.14 - Roue de Barlow
5/2
6.B.15 - Cadre carré dans un champ magnétique
5/2
On s'intéresse à un disque conducteur de rayon r0 , d'épaisseur e qui peut tourner autour de son axe (Oz) dans le
référentiel R du sol (supposé galiléen).
Un contact glissant sur l'axe (en O) et un autre sur la périphérie obtenu à l'aide d'une cuve à mercure, permettent
de faire circuler un courant I dans le conducteur (orienté de O vers la périphérie).
On impose un champ magnétique extérieur uniforme et stationnaire B~ ext = Bext .~uz (on négligera le champ magnétique propre du circuit électrique).
1) Intensité I :
1.a) Donner l'expression de l'intensité I à travers un cercle de rayon r < r0 grâce à une double intégrale de la
densité de courant volumique ~j .
1.b) En déduire I en fonction d'une simple intégrale de la densité de courant volumique ~j sur θ.
2) Moment M~ O en O des forces de Laplace appliquées à la roue :
2.a) Exprimer M~ O sous forme d'une triple intégrale.
2.b) Calculer M~ O en fonction de Bext, I et r0.
2.c) M~ O est-il indépendant de la topographie des lignes de courant ?
Un cadre carré vertical, indéformable, de centre O, de côté d constitué de N spires parcourues par un courant
stationnaire I , peut tourner autour d'un axe vertical (Oz) parallèle à deux de ses côtés dans le référentiel R du sol
(supposé galiléen).
On applique un champ magnétique extérieur B~ = B.~ux uniforme et stationnaire (on négligera le champ magnétique
propre du circuit électrique).
On repère le plan du cadre par l'angle θ que fait sa normale ~n (dont le sens est donné par l'orientation électrique
des ls) avec ~ux : θ = (~n, ~ux ).
1) Exprimer le moment M~ O en O des forces de Laplace appliquées au cadre :
1.a) en utilisant l'expression de la force de Laplace ;
1.b) en utilisant l'expression du travail de la force de Laplace ;
1.c) en utilisant l'expression du dipôle magnétostatique.
6.B.16 - Balance de Cotton
5/2
La balance de Cotton permettait de mesurer un champ magnétique uniforme et stationnaire. Elle est constituée
d'un éau de deux bras accroché en un point O où il peut librement tourner.
Au bout du premier bras OA (de longueur R1 = 10cm) est suspendu un plateau sur lequel est posée une masse
marquée m. L'accélération de la pesanteur est ~g = −g.~uy avec g = 9, 81m.s−2 .
Au bout du second bras OB (de longueur R2 = 30cm) se trouve un l électrique rectiligne M N//OA de longueur
~ uniforme est stationnaire
d = 2, 0cm R2 parcouru par un courant I = 1, 0A plongé dans un champ magnétique B
qui lui est perpendiculaire.
1) Calculer numériquement B à l'équilibre (m = 2, 0g).
2) Quelle est la sensibilité de la mesure lorsque les dimensions, m et I sont connues avec une précision relative de
1% et g avec une précision de 0, 01% ?
6.3
Planches d'oral
6.C.1 - Cylindre conducteur
***
6.C.2 - Particule traversant une zone chargée
***
(Centrale 2007)
Un cylindre de hauteur h et de rayon a orienté suivant (Oz) a des conductivités électrique γ et thermique κ, et
baigne dans un milieu à la température T0 . Il est parcouru par une densité de courant ~j = j0 ar ~uz .
1) En régime stationnaire, en supposant que T ne dépend que de r, déterminer T (r) dans le cylindre.
2) Connaissant a, h, j0 et T0, calculer l'intensité I dans le cylindre et la température au centre. Commenter.
(Mines-Pont 2007)
On considère la répartition de charges (de densité de charges ρ) :
• ρ = 0 pour x < −a ;
pour x ∈ [−a, a] ;
• ρ = ρ0 . sin π.x
a
• ρ = 0 pour x > a.
On envoie une particule (de masse m et de charge q) avec une vitesse initiale selon l'axe des x.
1) A quelle condition la particule traverse-t-elle la zone chargée ?
6.4
Travaux dirigés
6.D.1 - Introduction à l'analyse vectorielle
1) Quelques formules utiles :
~ (r) = ~ur et rot
~ (~r) = ~0.
1.a) Montrer que grad
1.b) Montrer que div (~r) = 3 en sphérique et en cylindrique et div (r.~ur ) = 2 en cylindrique.
1.c) En utilisant f.K~ où K~ est un vecteur uniforme, démontrer la formule de Kelvin :
I
f.d~l =
ZZ
~ (f )
~ ∧ grad
d2 S
1.d) D'une façon analogue, démontrer la formule du gradient :
ZZ
f.d~2 Σ =
ZZZ
~ (f ) .d3 τ
grad
TD
1.e) Démontrer
ZZ
~ ∧A
~=
d2 S
ZZZ
~ .d3 τ
~ A
rot
2) Exprimer dans le repère cartésien :
~ (f ) ;
2.a) grad
~
2.b) rot A~ ;
2.c) div A~ ;
2.d) ∆f .
3) Mêmes questions dans le repère cylindrique :
4) Mêmes questions dans le repère sphérique :
5) Applications :
~ . Montrer que A
~ = 1B
~ ∧ ~r convient. Est-ce la seule solution de cette
~ A
5.a) Soit un champ uniforme B~ = rot
2
équation diérentielle ?
5.b) En déduire que le vecteur surface S~ = RR d2S~ peut se réécrire : S~ = H ~r∧d2 ~l.
S
5.c) Montrer que le long d'un tube de champ d'un vecteur à divergence nulle le ux se conserve.
Méthode:
Opérateur nabla : ∇~ = ~ux. ∂x∂ + ~uy . ∂y∂ + ~uz . ∂z∂ en coordonnées cartésiennes seulement ! ! !
Gradient :
~ (f ) .dl
~
Diérentielle d'un champ scalaire f : df = grad
~
~
Expression avec l'opérateur nabla : grad (f ) = ∇f .
Expression dans un repère quelconque (cf. tableau 6.1) :

~ (f ) = 
grad

1 ∂f
µ1 . ∂s1
1 ∂f
µ2 . ∂s2
1 ∂f
µ3 . ∂s3



Interprétation : le gradient
de f est orthogonal aux surfaces iso-f , il va vers les f croissants.
R
~ (f ) dl
~ = f (b) − f (a).
Expression Hintégrale : ab grad
~
~
Propriété : grad (f ) dl = 0.
Rotationnel :
~ =∇
~ ∧A
~.
~ A
Expression avec l'opérateur nabla : rot
Expression dans un repère quelconque (cf. tableau 6.1) :


~ =
~ A
rot


h
∂(µ3 .A3 )
h ∂s2
∂(µ1 .A1 )
1
µ3 .µ1 h
∂s3
∂(µ2 .A2 )
1
µ1 .µ2
∂s1
1
µ2 .µ3
−
−
−
i 
∂(µ2 .A2 )
∂s3
i
∂(µ3 .A3 )
∂s1
i
∂(µ1 .A1 )
∂s2




Interprétation : les lignes
de champ
autour de leur rotationnel.
tournent
H
RR
~ ~l = r~ot A
~ .d2 S
~.
Formule de Stokes : A.d
~
~ ∧ (∇f
~ ) = 0. Le rotationnel d'un gradient est nul.
~ grad(f
Propriété : rot
) =∇
Divergence :
~ A
~.
Expression avec l'opérateur nabla : div A~ = ∇.
Expression dans un repère quelconque (cf. tableau 6.1) :
~ =
div A
1
µ1 .µ2 .µ3
∂ (µ2 .µ3 .A1 ) ∂ (µ3 .µ1 .A2 ) ∂ (µ1 .µ2 .A3 )
+
+
∂s1
∂s2
∂s3
~ d~2 S =
~ .d3 τ .
Formule d'Ostrogradsky : A.
div A
~
~ ∇
~ ∧ A)
~ = 0. La divergence d'un rotationnel est nulle.
~ A
Propriété : div rot
= ∇.(
Le long d'un tube de champ d'un vecteur à divergence nulle le ux se conserve.
RR
RRR
Laplacien scalaire :
~
Expression avec l'opérateur nabla : ∆f = ∇2 f = div [gr~ad (f )] = ∇.
Expression dans un repère quelconque (cf. tableau 6.1) :
∆f =
~
∇f
∂
µ2 .µ3 ∂f
∂
µ3 .µ1 ∂f
∂
µ1 .µ2 ∂f
1
.
+
.
+
.
µ1 .µ2 .µ3 ∂s1
µ1 ∂s1
∂s2
µ2 ∂s2
∂s3
µ3 ∂s3
Laplacien vectoriel :
Expression avec le laplacien scalaire
Expression avec l'opérateur nabla :
Coordonnées
cartésiennes
cylindriques
sphériques


∆Ax
~ =  ∆Ay 
∆A
∆Az
~ = ∇.
~ ∇.
~ A
~ −∇
~ ∧ ∇
~ ∧A
~
∆A
~u1
~ux
~ur
~ur
~u2
~uy
~uθ
~uθ
~u3
~uz
~uz
~uϕ
Tab.
s1
x
r
r
s2
y
θ
θ
6.1 Repères
s3
z
z
ϕ
µ1
1
1
1
µ2
µ3
r
r
r. sin θ
1
1
1
Formulaire d'analyse vectorielle :
Formules locales :
~ A
~+B
~ =∇
~A
~+∇
~B
~
∇
~ (U + V ) = ∇U
~ + ∇V
~
∇
~ ∧ A
~+B
~ =∇
~ ∧A
~+∇
~ ∧B
~
~ ∧ ∇U
~
∇
∇
= ~0
~ ∇
~ ∧A
~ =0
~ ∇U
~
∇.
∇.
= ∇2 U
~ ∧ ∇
~ ∧A
~ = ∇.
~ ∇.
~ A
~ − ∇2 .A
~
∇
~ (U.V ) = ∇U
~
~
~ U.A
~ = ∇U
~
~ + U. ∇
~A
~
∇
.V + U. ∇V
∇
.A
~ ∧ U.A
~ = ∇U
~
~ + U. ∇
~ ∧A
~
∇
∧A
~ A
~∧B
~ = ∇
~ ∧A
~ .B
~ − A.
~ ∇
~ ∧B
~
~ ∧ A
~∧B
~ = ∇.
~ B
~ .A
~ − ∇.
~ A
~ .B
~ + B.
~ ∇
~ .A
~ − A.
~∇
~ .B
~
∇.
∇
~ A.
~B
~ =A
~∧ ∇
~ ∧B
~ +B
~∧ ∇
~ ∧A
~ + A.
~∇
~ .B
~ + B.
~ ∇
~ .A
~
∇.
Formules intégralesH : RR
~
Formule de Kelvin : f.dl~ = d~2 S∧ grad
(f )
H
RR
~ = rot
~ dl
~ .d~2 S
~ A
Formule de Stokes : A.
RR
RRR
~ (f ) .d3 τ
Formule du gradient : f.d~2 S = grad
RR
RRR
~ d~2 S =
~ .d3 τ
Formule d'Ostrogradsky : A.
div A
RR ~
RRR
~ .d3 τ
~ A
Formule du rotationnel : d2 S ∧ A~ = rot
Expression des opérateurs vectoriels dans un repère quelconque (cf. tableau 6.2) :

~ (f ) = 
grad



~ =
~ A
rot


1 ∂f
µ1 . ∂s1
1 ∂f
µ2 . ∂s2
1 ∂f
µ3 . ∂s3
h
∂(µ3 .A3 )
h ∂s2
∂(µ1 .A1 )
1
µ3 .µ1 h
∂s3
∂(µ2 .A2 )
1
µ1 .µ2
∂s1
1
µ2 .µ3
−
−
−



i 
∂(µ2 .A2 )
∂s3
i
∂(µ3 .A3 )
∂s1
i
∂(µ1 .A1 )
∂s2




∂ (µ2 .µ3 .A1 ) ∂ (µ3 .µ1 .A2 ) ∂ (µ1 .µ2 .A3 )
1
+
+
µ1 .µ2 .µ3
∂s1
∂s2
∂s3
1
∂
µ2 .µ3 ∂f
∂
µ3 .µ1 ∂f
∂
µ1 .µ2 ∂f
∆f =
.
+
.
+
.
µ1 .µ2 .µ3 ∂s1
µ1 ∂s1
∂s2
µ2 ∂s2
∂s3
µ3 ∂s3
~ =
div A
Coordonnées
cartésiennes
cylindriques
sphériques
~u1
~ux
~ur
~ur
~u2
~uy
~uθ
~uθ
~u3
~uz
~uz
~uϕ
Tab.
s1
x
r
r
s2
y
θ
θ
s3
z
z
ϕ
µ1
1
1
1
µ2
µ3
r
r
r. sin θ
1
1
1
6.2 Repères
6.D.2 - Etude des symétries d'une distribution
TD
1. Rechercher les symétries d'une distribution cylindrique innie d'axe (Oz), de rayon R :
(a) de charge (le cylindre est uniformément chargé) ;
(b) de courants (~j//~uz , uniforme dans le cylindre).
2. En déduire les symétries (en statique) :
(a) de V et E~ ;
(b) de A~ et B~ .
Méthode:
Choix du repère
L'étude des symétries demande un choix judicieux du repère.
~
• ρ, V et E
• Invariances
• Il faut déterminer les invariances de la distribution volumique de charge ρ.
• On déduit du principe de Curie que le potentiel et le champ électrostatique ont (au moins) les mêmes
invariances.
• Plans de symétrie
• Il faut ensuite déterminer les plans de symétrie P et d'antisymétrie P 0 de ρ.
• Le potentiel scalaire V sera symétrique par rapport aux plans de symétrie P , et antisymétrique par rapport
aux plans d'antisymétrie P 0 .
~ est un vrai vecteur) appartient aux plans de symétrie P , et est orthogonal aux
• Le champ électrostatique (E
0
plans d'antisymétrie P .
~
~
~
• j , A et B
• Invariances :
• Il faut déterminer les invariances de la distribution volumique de courant ~j .
~ et le champ magnétostatique (B
~ ) ont (au moins)
• On déduit du principe de Curie que le potentiel vecteur A
les invariances de la distribution volumique de courant ~j .
• Plans de symétrie :
• Il faut ensuite déterminer les plans de symétrie P et d'antisymétrie P 0 de la distribution ~j .
~ est un vrai vecteur, il appartient donc aux plans de symétrie P , et est orthogonal aux plans d'antisymétrie
• A
P 0.
~ est un pseudo vecteur, il est donc orthogonal aux plans de symétrie P , et appartient aux plans d'antisy• B
métrie P 0 .
•
6.D.3 - Mouvement d'une particule chargée dans un champ électromagnétique homogène et stationnaire TD
On considère une particule chargée (de charge q, de masse m), ponctuelle, initialement en O (origine du repère
avec la vitesse initiale ~v0 = v0x .~ux + v0y .~uy .
Déterminer sa trajectoire si elle est soumise à :
1. un champ électrique homogène et permanent E~ = E0 .~uy ;
2. un champ magnétique homogène et permanent B~ = B0 .~ux ;
3. un champ électromagnétique homogène et permanent E~ = E0 .~uy et B~ = B0 .~ux .
(O, x, y, z))
Méthode:
On négligera quasiment toujours les autres forces (pesanteur,...) devant la force de Lorentz. Le principe fondamental
de la dynamique s'écrit :
m
d~v
~ + q.~v ∧ B
~
= q.E
dt
•
•
•
Champ électrique seul
Les projections sont indépendantes et on se ramène à un problème équivalent mathématiquement à celui de la
chute libre. La trajectoire est une parabole.
Champ magnétique seul
• Invariants
Il est tout à fait bien venu de déterminer préalablement les invariants :
• la norme de la vitesse,
• la projection de la vitesse parallèle au champ magnétique,
• la vitesse orthogonale au champ magnétique.
• Mouvement parallèle : le mouvement suivant l'axe du champ magnétique est donc uniforme.
• Mouvement perpendiculaire : pour déterminer le mouvement orthogonal au champ magnétique, il convient
d'éviter les coordonnées cartésiennes (les projections sont couplées, et il faut alors diagonaliser une matrice, ce
qui n'est pas élégant). Le repère de Frenet est beaucoup plus adapté, d'autant que la vitesse orthogonale est
constante. On démontre alors aisément que le mouvement perpendiculaire est circulaire.
• Mouvement : le mouvement total est donc un mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique.
Champ électrique et magnétique
Changement de référentiel : il faut changer de référentiel R et se ramener à un référentiel R0 où le champ électrique
est nul, grâce aux formules de changement de référentiel pour le champ électromagnétique.
• Dans R0 : mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, comme démontré précédement.
• Dans R : mouvement hélicoïdal, d'axe parallèle au champ magnétique, conjugué à une vitesse de dérive (la
vitesse d'entraînement de R dans R0 ).
6.5
Exercices maple
Chapitre 7
Electrostatique
7.1
Application directe du cours
7.A.1 - Symétries de distributions de charge
3/2
1) Déterminer les symétries des distributions de charges suivantes :
1.a) demi-cerceau chargé uniformément, d'axe Oz, dans le plan xOy, dans la partie x < 0.
1.b) cylindre chargé uniformément, d'axe Oz, avec une cavité cylindrique vide, d'axe O0z, avec OO0 sur l'axe
Ox.
7.A.2 - Quatre charges ponctuelles
3/2
7.A.3 - Cas d'un champ connu
3/2
Soit quatre charges ponctuelles disposées au sommet d'un carré d'axes Ox et Oy, de centre O dont la longueur de
la diagonale est 2a .
~ dans les cas où les charges sont les suivantes :
1) Calculer le potentiel en O ainsi
E
que le champ
a
a
a
a
1.a) q − √2 , + √2 = +e, q + √2 , + √2 = +e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = +e.
1.b) q − √a2 , + √a2 = −e, q + √a2 , + √a2 = +e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = −e.
1.c) q − √a2 , + √a2 = +e, q + √a2 , + √a2 = −e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = −e.
1.d) q − √a2 , + √a2 = +e, q + √a2 , + √a2 = +e, q − √a2 , − √a2 = +e et q + √a2 , − √a2 = −e.
Soit le champ
(avec a > 0).
1) Montrer qu'il s'agit d'un champ électrostatique.
2) Déterminer le potentiel électrostatique.
3) Donner les équations des lignes équipotentielles dans le plan xOy.
~ = a.y.~ux + a.x.~uy
E
7.A.4 - Deux condensateurs en série
3/2
7.A.5 - Moment dipolaire de l'eau
3/2
Un générateur parfait impose une diérence de potentiel U = 12V aux bornes de deux condensateurs en série, de
capacités respectives C1 = 10µF et C2 = 80µF .
1) Calculer les tensions respectives aux bornes des deux condensateurs :
1.a) u1 ;
1.b) et u2.
2) Calculer les énergies stockées respectivement dans les deux condensateurs :
2.a) E1 ;
2.b) et E2.
Dans la molécule d'eau H2 O, la distance O − H est a = 97pm et l'angle que font entre elles les deux liaisons O − H
vaut θ = 104, 30◦ . D'autre part, l'oxygène étant plus électronégatif que l'hydrogène, on suppose que chaque H porte
une charge + 3e , où e = 1, 6.10−19 C est la charge électronique fondamentale.
93
1) Exprimer le moment dipolaire p0 de la molécule d'eau
1.a) dans les unités du système international ;
1.b) en debye.
7.2
Entraînement
7.B.1 - Disque chargé
5/2
7.B.2 - Champ électrostatique créé par un cerceau linéiquement chargé
5/2
7.B.3 - Champ électrostatique créé par un l inni linéiquement chargé
5/2
7.B.4 - Champ électrostatique créé par une demi-sphère surfaciquement chargée
5/2
On s'intéresse à un disque d'axe Oz, de centre O, de rayon R portant la charge surfacique σ = cte, en un point M
de l'axe Oz, d'abcisse z > 0.
0.c) Calculer le champ électrostatique.
0.d) Calculer le potentiel électrostatique.
On considère une distribution linéique de charge, de densité λ, uniforme sur le cercle de centre O, d'axe Oz, de
rayon R.
1) Déterminer les symétries de cette répartition de charge :
1.a) invariances ;
1.b) plans de symétrie ;
1.c) plans d'antisymétrie.
2) En déduire les symétries de E~ :
2.a) sur l'axe (Oz) ;
2.b) sur l'axe (Oz), en z = 0.
3) Calculer le champ électrostatique créé en un point M de l'axe Oz, de coordonnée z.
On considère une distribution linéique de charge innie de densité λ sur l'axe Oz.
1) Etudier les symétries :
1.a) invariances de cette répartition de charge ;
1.b) plans de symétrie et d'antisymétrie de cette répartition de charge ;
1.c) en déduire les symétries de E~ .
2) Calculer le champ électrostatique créé en un point M à la distance r de l'axe Oz.
3) Potentiel électrostatique :
3.a) En déduire le potentiel électrostatique créé en un point M à la distance r de l'axe Oz.
3.b) Peut-on prendre V = 0 à l'inni ?
O,
On considère une distribution surfacique de charge uniforme σ sur une demi-sphère (dans l'espace z > 0) de centre
de rayon R.
1) Déterminer les symétries de cette répartition de charge :
1.a) invariances ;
1.b) plans de symétrie ;
1.c) plans d'antisymétrie.
2) Champ électrostatique :
2.a) En déduire les symétries de E~ en O.
2.b) Calculer le champ électrostatique créé en O.
7.B.5 - Champ et potentiels électrostatiques d'un noyau atomique
On assimile le noyau d'un atome à une sphère uniformément chargée, de centre O, de rayon R, de charge Q.
1) Généralités :
1.a) Établir l'expression du champ électrostatique E~ produit par le noyau en un point quelconque M .
1.b) En déduire le potentiel V en un point quelconque, en choisissant V = 0 à l'inni.
2) Application :
5/2
On considère un noyau de baryum : Z = 56 et R = 6, 3f m. On donne la charge électronique e = 1, 6.10−19 C et la
permittivité du vide ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 . Que vaut le champ
2.a) au voisinage du noyau : r = 2R ?
2.b) à la périphérie de l'atome : r = 1, 0.10−10m ?
7.B.6 - Capacité d'un condensateur dièdrique
5/2
1) Rappeler la capacité C0 d'un condensateur formé de deux plans parallèles parfaitement conducteurs éloignés
de e, de surface S .
2) On considère maintenant dans un repère cylindrique d'axe Oz un dièdre (d'axe Oz) formé de deux plans
parfaitement conducteurs dénis par r ∈ [R1 ; R2 ], z ∈ [0; h], qui font un angle θ petit entre eux.
2.a) En réutilisant le résultat de la question précédente, trouver la capacité C(θ) de ce condensateur dièdrique.
2.b) Dans quel cas limite peut-on retrouver C0 ?
7.B.7 - Répulsion de deux hémisphères chargés
5/2
On charge une sphère parfaitement conductrice, de rayon R, avec une charge Q.
1) Exprimer la charge surfacique σ portée par la sphère.
2) On divise la sphère en deux hémisphères suivant un plan diamétral.
2.a) Exprimer la pression électrostatique Pe en un point d'un hémisphère ;
2.b) En déduire la force totale de répulsion entre les hémisphères.
7.B.8 - Energies électrostatiques de l'atome d'hydrogène considéré comme un doublet
5/2
On modélise l'atome d'hydrogène comme un doublet formé d'un proton (chargé +e = 1, 6.10 C ) et d'un électron
(chargé −e, placé à la distance a = 0, 10nm du noyau). On donne ε0 = 8, 85.10−12 F.m−1 .
1) Calculer Wpropre, l'énergie électrostatique propre de ce doublet :
1.a) dans les unités du système international ;
1.b) en eV .
1.c) Cela vous rappelle-t-il quelque chose ?
On place l'atome dans un champ électrique extérieur de valeur le champ de claquage de l'air : Eext = 3.106 V.cm−1 .
On suppose que la distance entre le noyau et l'électron est quasi invariante.
2) Calculer Wext, l'énergie électrostatique d'intéraction de ce doublet avec le champ extérieur :
2.a) dans les unités du système international ;
2.b) en eV .
3) Comparer Wext et Wpropre.
−19
7.B.9 - Distribution dipolaire surfacique
5/2
7.B.10 - Intéraction de deux dipoles électrostatiques à distance constante
5/2
On se place dans le repère sphérique de centre O, d'axe polaire ~uz (à partir duquel on compte l'angle θ).
On considère une distribution surfacique de charge, de densitéσ = σ0 . cos(θ), sur une sphère de centre O et de
rayon R, où σ0 est une constante.
1) Charge totale :
1.a) Calculer la charge totale Q de la distribution.
1.b) Pourquoi peut-on alors s'intéresser au moment dipolaire p~ de cette distribution ?
2) Moment dipolaire :
2.a) Exprimer p~ grâce à des intégrales.
2.b) Calculer p~ en fonction de R et σ0.
2.c) La direction de p~ était-elle prévisible ?
On étudie deux dipôles électrostatiques de moments dipolaires respectifs p~1 et p~2 . Le premier est xe en O, centre
d'un repère sphérique d'axe polaire (O, ~uz ), parallèle à son moment dipolaire : p~1 = p1 .~uz .
Le second dipole est placé en r = cste, θ xé, et ϕ = 0. On repère son moment dipolaire par l'angle α = (~uz , p~2 ),
qui peut varier.
1) Exprimer l'énergie potentielle Ep(α) d'intéraction du second dipole avec le champ électrostatique créé par le
premier dipole.
2) Que doit vérier tan(θ − α) à l'équilibre stable ?
3) Application : que vaut α si
3.a)
3.b)
3.c)
3.d)
7.3
θ = 0;
θ = π4 ;
θ = π2 ;
θ = π.
Planches d'oral
7.C.1 - Sphère chargée uniformément
***
7.C.2 - Un tunnel pour traverser la Terre
***
(Centrale 2007)
Une sphère centrée sur O de rayon R est uniformément chargée de charge Q.
1) Calculer :
1.a) le champ électrique E~
1.b) et le potentiel V
en tout point de l'espace.
1.c) Calculer l'énergie électrostatique de la sphère.
(CCP 2007)
On considère la Terre comme une boule homogène de rayon R. On creuse un tunnel AB (cf. gure 7.1). On lâche
7.1 Un tunnel dans la Terre
un point matériel M de masse m en A. Il se déplace sans frottement.
1) Donner une expression du temps T mis par M pour aller de A en B, à partir d'une forme intégrale si la Terre
est immobile dans
le référentiel géocentrique.
R
θ
.dθ
= π2 ∀θmax , la masse de la Terre MT = 5, 97.1024 kg , son rayon RT = 6378km
On donne θ0 cos θ√cos
cos θ−cos θ
−11
et G = 6, 67.10 SI .
2) Calculer numériquement T .
Fig.
max
max
7.4
2
2
max
Travaux dirigés
7.D.1 - Analogie entre gravitation et électrostatique
TD
On donne la constante de gravitation : G = 6, 67.10 S.I., la valeur du champ de pesanteur à la surface de la
Terre : g = 9, 81S.I., la masse volumique de l'eau : µ0 = 1, 00kg.L−1 , la masse de la Terre : MT = 5, 98.1024 kg, et son
rayon : RT = 6, 36.103 km.
1. Astre ponctuel
On considère un astre (la Terre par exemple), qu'on assimile à un point matériel en O, de masse MT .
(a) Donner les unités de G et de g.
(b) Exprimer g en fonction de G et des constantes de l'énoncé.
−11
2. Astre homogène
On suppose que la masse volumique de la Terre est une constante (µT ).
(a) Calculer la densité moyenne de la Terre, dT .
(b) La comparer à celle de la terre (celle du jardin, les roches, etc...) : dt = 2, 3. En conclure que la Terre n'est
pas homogène.
3. Astre à symétrie sphérique
On assimile donc la Terre à une sphère de rayon R et de centre O, dont la masse volumique est à symétrie
sphérique : µ ne dépend que de r.
(a) Grâce aux symétries de µ, déduire la forme qualitative du champ gravitationnel A~ créé par l'astre.
(b) Appliquer le théorème de Gauss pour connaître quantitativement A~ .
(c) Montrer que, hors de l'astre (en particulier à sa surface), tout se passe comme si l'astre était ponctuel.
Méthode:
Analogie entre électrostatique et gravitation.
On peut faire une analogie formelle entre le champ électrique créé par une charge ponctuelle et l'attraction créée
par une masse ponctuelle (cf. tableau 7.1).
•
Electrostatique
charge q
charge volumique ρ
force F~ = q.E~
champ électrostatique E~
q .q
force F~ = 4.π.ε.r
~ur
1
constante 4.π.ε
1
2
2
Tab.
Gravitation
masse m
masse volumique µ
force F~ = m.A~
champ gravitationnel A~
force F~ = −G m r.m ~ur
constante −G
1
2
2
7.1 Analogie entre électrostatique et gravitation
Théorème de Gauss pour le champ d'attraction gravitationnel.
Grâce à cette analogie, on peut énoncer la loi locale que vérie le champ d'attraction gravitationnel :
•
~ = −4.π.G.µ
div A
En intégrant ceci, on obtient un théorème de Gauss pour le champ d'attraction gravitationnel :
ZZ
~ d~2 Σ = −4.π.G.Mint
A.
où Mint est la masse intérieure au volume V délimité par la surface fermée Σ.
7.D.2 - Détermination de champs électrostatiques et de capacités
TD
Déterminer les capacités :
1. d'un condensateur plan (formé de deux plans métalliques de surface S en regard, et éloignés de e) ;
2. d'un condensateur cylindrique (formé de deux cylindres métalliques coaxiaux de longueur l en regard, et de
rayons respectifs a et b > a) ;
3. d'un condensateur sphérique (formé de deux sphères métalliques de même centre, et de rayons respectifs R1 et
R2 > R1 ).
Méthode:
V2 ,
Pour déterminer une capacité C , il faut supposer le condensateur chargé : les armatures sont aux potentiels V1 et
et portent les charges Q1 et Q2 = −Q1 .
•
Détermination du champ électrostatique E~
Avant toute chose, il faut déterminer le champ électrostatique E~ à partir de la distribution des charges. Pour ce
faire, on peut :
• Utiliser la formule des potentiels retardés
En électrostatique, la solution de l'équation de Poisson pour le potentiel est :
1
V (M ) =
.
4.π.ε0
ZZZ
ρ(P ) 3
d τ
P ∈D P M
On en déduit ensuite le champ électrostatique grâce à :
~
~ = −gradV
E
Attention : les opérateurs vectoriels opèrent une dérivation par rapport à la position du point M !
Il vaut mieux, tant qu'à faire, utiliser directement l'expression du champ électrostatique :
~
E(M
)=
•
ZZZ
1
.
4.π.ε0
P ∈D
Quoi qu'il en soit, cette méthode ne doit être utilisée qu'en dernier recours : elle donne lieu à beaucoup de
calculs ! De plus, elle n'est valable que pour les distributions de charges d'extension nie.
Utiliser le théorème de Gauss
Pour les distributions de charges qui présentent de nombreuses symétries, nous allons voir, point par point la
méthode à employer.
• Il faut d'abord déterminer les invariances de la distribution volumique de charge ρ. pour cela, il faut choisir un
bon repère. On déduit du principe de Curie que le champ électrostatique a (au moins) les mêmes invariances.
• Il faut ensuite déterminer les plans de symétrie P et d'antisymétrie P 0 de ρ. Le potentiel scalaire V sera
symétrique par rapport aux plans de symétrie P , et antisymétrique par rapport aux plans d'antisymétrie
~ est un vrai vecteur) appartient aux plans de symétrie P , et est orthogonal
P 0 . Le champ électrostatique (E
0
aux plans d'antisymétrie P . Ainsi, si P est un plan de symétrie pour ρ, alors E~ ∈ P et V est symétrique
0
~
par rapport à P . Si P 0 est un plan d'antisymétrie pour ρ, alors : E⊥P
et V est antisymétrique par rapport
0
àP.
• On choisit ensuite une surface fermée Σ qui vérie les symétries du problème, pour appliquer le théorème
de Gauss :
ZZ
~ d~2 Σ = Qint
E.
0
~ =
φ(E)
•
ρ(P ).P~M 3
d τ
PM3
Détermination de la capacité du condensateur
Une fois que l'on a le champ électrostatique E~ (et parfois aussi le potentiel V ), il existe deux méthodes pour en
déduire la capacité d'un condensateur :
• Utilisation de la relation tension-charge
La circulation du champ électrostatique d'une armature à l'autre donne :
Z
V1 − V2 =
1
Z
dV = −
2
V1 − V2 =
Utilisation de l'énergie d'un condensateur
Le condensateur a une énergie électromagnétique :
WC =
~
~ dl
E.
2
On peut ensuite en déduire la capacité par la relation :
•
1
Q1
C
Q21
2.C
Cette énergie est celle qui existe dans le champ électromagnétique dans le volume V entre les armatures :
ZZZ
WC =
M ∈V
•
ε0 .E(M )2 3
.d τ
2
Vérications
Attention : C (en F ) est toujours positive, et ne dépend que des caractéristiques géométriques du condensateur.
7.5
Exercices maple
7.E.1 - Potentiel électrostatique créé par un dipôle électrostatique
maple
On s'intéresse à un doublet électrostatique formé de deux charges q = ±e = ±1, 6.10−19 C , éloignées de a = 10−10 m
dans le plan yOz.
1) Calculer :
1.a) V1 le potentiel créé par la première charge ;
1.b) V2 le potentiel créé par la seconde charge ;
1.c) V le potentiel créé par le doublet.
2) Tracer pour le doublet :
2.a) quelques courbes isopotentielles dans le plan yOz ;
2.b) le potentiel en fonction de y et z (en trois dimensions).
Chapitre 8
Magnétostatique
8.1
Application directe du cours
8.A.1 - Champ magnétique créé dans un cylindre creux conducteur
3/2
8.A.2 - Force exercée par un champ magnétique uniforme sur un dipôle
3/2
8.A.3 - Force exercée par un l sur un dipôle magnétique
3/2
8.A.4 - Mesure du moment dipolaire magnétique d'un aimant
3/2
On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).
On considère d'abord un cylindre conducteur de rayon R0 , d'axe Oz et supposé inni, parcouru par un courant
volumique uniforme : ~j = J.~ez .
1) Déterminer le champ magnétique B~ 0 à l'intérieur de ce cylindre.
On considère maintenant un cylindre conducteur de rayon R1 , d'axe Oz et supposé inni, dans lequel on a creusé
une cavité cylindrique d'axe parallèle à (Oz), de rayon R2 < R1 . Le cylindre creux est parcouru par un courant
volumique uniforme : ~j = J.~ez .
2) Calculer le champ magnétique B~ dans la cavité.
Soit un repère cartésien Oxyz, et un vecteur ~u0 dans le plan (xOy), et on pose l'angle α = (~u0 , ~ux ).
Il règne dans l'espace un champ magnétique B~ = B.~u0 uniforme et stationnaire.
Soit une spire circulaire de centre O, de rayon R, dans le plan xOz parcourue par un courant I dans le sens
trigonométrique déni par le vecteur ~ux .
1) Quel est le moment dipolaire m~ du dipôle magnétique associé à cette spire ?
2) On calculera, pour l'action exercée par le champ magnétique sur la spire :
2.a) l'énergie potentielle Ep ;
2.b) le moment en O M~ O ;
2.c) la résultante des forces F~ .
Soit un l inni rectiligne parcouru par un courant I , suivant l'axe Oz. On se placera dans le système de coordonnées
cylindrique de même axe.
1) Calculer le champ magnétique B~ créé par le l.
2) Soit un dipôle magnétique de moment m~ selon ~uθ et distant d'une distance r du l.
2.a) Calculer l'énergie potentielle d'intéraction entre le l et le dipôle.
2.b) En déduire la force exercée par le l sur le dipôle.
On se place dans un repère cartésien (Oxyz), (Oz) étant vertical.
Une boussole (assimilée à une aiguille aimantée mobile sans frottements autour de (Oz)) est placée en O et s'oriente
parallèlement au champ magnétique terrestre B~ t = Bt .~ux (où Bt = 20µT ).
On approche de cette boussole un petit aimant, en le gardant parallèle à la direction Est-Ouest (Oy).
Cet aimant est assimilé à un dipôle magnétique, de moment magnétique m
~ = m.~uy , de norme m que l'on va
déterminer.
101
1) Déterminer l'angle α que fait la boussole avec (Ox), en fonction de m et de r, la distance de l'aimant à la
boussole.
Pour r = 1, 2m, α = 45◦ . On donne µ0 = 4.π.10−7 H.m−1 .
2) En déduire m.
8.2
Entraînement
8.B.1 - Expérience de Rowland
5/2
On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).
Un disque isolant, d'épaisseur négligeable, de rayon R, chargé uniformément avec une charge surfacique σ tourne
autour de son axe avec une vitesse angulaire constante ω.
1) Donner l'expression du courant surfacique ~js.
On rappelle que le champ magnétique créé par une spire de courant circulaire de rayon r et d'axe (Oz) est, en un
point M de l'axe Oz d'altitude z :
2
−3
~ 0 (M ) = µ0 .I.r . r2 + z 2 2 ~uz
B
2
2) Calculer le champ magnétique B~ en un point M de l'axe Oz d'altitude z.
8.B.2 - Champ magnétique créé au centre d'une sphère chargée surfaciquement qui tourne
5/2
8.B.3 - Champ magnétique créé au centre d'une sphère chargée volumiquement qui tourne
5/2
8.B.4 - Mesure de la composante horizontale du champ magnétique terrestre
5/2
8.B.5 - Eet Hall dans une plaquette semiconductrice d'arséniure d'indium
5/2
Une modélisation simpliste du "spin" de l'électron est donnée par une sphère, de centre O et de rayon R, portant
une charge surfacique σ homogène, qui tourne autour de l'un de ses diamètre (Oz) à la vitesse angulaire uniforme ω.
1) Exprimer le courant dI créé par la spire virtuelle repérée par la distance R à O et par l'angle θ (à dθ près) par
rapport à (Oz).
2) En déduire le champ magnétique crée en O par la rotation de la sphère.
Une modélisation simpliste du "spin" de l'électron est donnée par une sphère, de centre O et de rayon R, portant
une charge volumique ρ homogène, qui tourne autour de l'un de ses diamètre (Oz) à la vitesse angulaire uniforme ω.
1) Exprimer le courant dI créé par la spire circulaire virtuelle repérée par la distance r (à dr près) à O et par
l'angle θ (à dθ près) par rapport à (Oz).
2) En déduire le champ magnétique crée en O par la rotation de la sphère.
On se place dans un repère cartésien (Oxyz), (Oz) étant vertical.
Une boussole (assimilée à une aiguille aimantée mobile sans frottements autour de (Oz)) est placée en O et s'oriente
parallèlement à la composante horizontale du champ magnétique terrestre B~ t = Bt .~ux (on cherche à déterminer Bt ).
On place cette boussole au centre de bobines de Helmoltz assimilées à deux spires circulaires parcourues par le
même courant I , d'axe parallèle à la direction Est-Ouest (Oy), de rayon R = 10cm, disposées dans les plans y = + R2
et y = − R2 .
1) Exprimer le champ magnétique BH créé par les bobines de Helmoltz en O.
2) Déterminer l'angle ◦α que fait la boussole avec
(Ox), en fonction de I .
Pour I = 2, 2A, α = 45 . On donne µ0 = 4.π.10−7 H.m−1 .
3) En déduire Bt.
Une sonde de Hall, à arséniure d'indium (InAs), d'épaisseur b = 1, 0mm suivant (Oz) et a suivant (Oy) est
parcourue par un courant I = 15mA suivant (Ox). On suppose que la conduction est assurée par des électrons libres
de charge −e = −1, 6.1019 C , de densité ne .
1) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de I , a, b, ne et e.
Plongée dans un champ magnétique B = 66mT suivant (Oz), la plaquette présente une tension de Hall UH =
1, 0mV suivant (Oy).
2) Exprimer la vitesse v des porteurs de charge en fonction de UH , a, et B.
3) En déduire le nombre de porteurs de charge ne par unité de volume dans le matériau. Application numérique.
8.B.6 - Eet Hall dans une plaquette conductrice de cuivre
5/2
Une plaquette de cuivre d'épaisseur b = 0, 5mm suivant (Oz) et a = 1, 5cm suivant (Oy) est parcouru, selon (Ox),
par un courant I = 60A.
On suppose que la conduction est assurée par des électrons libres de charge −e = −1, 6.1019 C , de densité ne et on
donne la conductivité : γ = 58.106 S.m−1 et la constante de Hall du cuivre : AH = n 1.e = −5, 3.10−11 m3 .C −1 .
1) Exprimer le champ électrique Ex assurant la conduction.
La plaquette de cuivre est maintenant soumise à l'action d'un champ magnétique B~ = B.~ez avec B = 2, 5T .
2) Calculer le champ de Hall Ey .
3) Quel est l'angle θ (qu'on exprimera en degré, minute et secondes) que fait le champ électrique total E~ tot avec
la direction (Ox) ?
e
8.B.7 - Intéraction de deux dipoles magnétiques à distance constante
5/2
On étudie deux dipôles magnétiques de moments dipolaires respectifs m
~ 1 et m
~ 2 . Le premier est xe en O, centre
d'un repère sphérique d'axe polaire (O, ~uz ), parallèle à son moment dipolaire : m
~ 1 = m1 .~uz .
Le second dipole est placé en r = cste, θ xé, et ϕ = 0. On repère son moment dipolaire par l'angle α = (~uz , m
~ 2 ),
qui peut varier.
1) Exprimer l'énergie potentielle Ep(α) d'intéraction du second dipole avec le champ magnétique créé par le
premier dipole.
2) Que doit vérier tan(θ − α) à l'équilibre stable ?
3) Application : que vaut α si
3.a) θ = 0π;
3.b) θ = ;
3.c) θ = π2.
8.B.8 - Monopôles et dipôles magnétiques
5/2
1) Démontrer l'équation locale de conservation de la charge.
2) Justier (par une analogie avec l'électrostatique par exemple) le nom de monopôle magnétique donné à
l'expression :
~ =
C
ZZZ
~j.d3 τ
3) En exprimant div x.~j , montrer que C~ = ~0.
4) Application : servez vous du fait que les monopôles magnétiques n'existent pas pour démontrer que l'expression
générale d'un moment dipolaire magnétique
1
m
~ =
2
ZZZ
~ ∧ ~j.d3 τ
OM
ne dépend pas du repère choisi.
8.B.9 - Modèle classique du spin de l'électron
1) Modélisation de l'électron :
5/2
Une modélisation simpliste du "spin" de l'électron est donnée par une sphère, de centre O et de rayon R, portant
une charge volumique ρ homogène, qui tourne autour de l'un de ses diamètre (Oz) à la vitesse angulaire uniforme ω.
1.a) Exprimer le courant dI créé par la spire circulaire virtuelle repérée par la distance r (à dr près) à O et
par l'angle θ (à dθ près) par rapport à (Oz).
1.b) Quel est le moment dipolaire magnétique élémentaire dm~ associé à cette spire, en fonction de ρ, ω, r et
θ?
1.c) En déduire le moment dipolaire magnétique total m~ de l'électron en fonction de e (la charge de l'électron),
R et ω .
2) Discussion de la modélisation :
On admet que la valeur du moment dipolaire magnétique est celui du magnéton de Bohr
m = µB = 9, 27.10−24 A.m2
et que le rayon de la sphère doit être R = 2, 8f m.
2.a) Que vaut la vitesse angulaire ω ?
2.b) En déduire la vitesse maximale vmax d'un point de la sphère.
2.c) Que faut-il conclure d'un tel résultat ?
8.B.10 - Inclinaison du champ magnétique terrestre en fonction de la latitude
5/2
8.B.11 - Valeur du moment dipolaire magnétique terrestre
5/2
La Terre de centre O et de rayon RT , d'axe polaire (O, ~uz ) orienté du pôle Nord vers le pôle Sud, est supposée
contenir en son centre un dipole magnétique de moment dipolaire : m
~ = m.~uz .
On repère un point M du globe terrestre par r = RT , θ xé, et ϕ quelconque. En M , le champ magnétique terrestre
~ t fait un angle I avec l'horizontale (l'inclinaison I est négative si B
~ t est vers le sol) .
B
1) Exprimer tan(I) en fonction de θ.
2) Exprimer la latitude λ comptée depuis l'équateur (positivement dans l'hémisphère nord, et négativement dans
l'hémisphère sud), en fonction de θ.
tan α±tan β
On donne tan (α ± β) = 1∓tan
α. tan β .
3) En déduire tan(I) en fonction de λ.
4) Application : que vaut l'inclinaison à Paris (λ = 49◦),
La Terre de centre O et de rayon RT , d'axe polaire (O, ~uz ) orienté du pôle Nord vers le pôle Sud, est supposée
contenir en son centre un dipole magnétique de moment dipolaire : m
~ = m.~uz .
On repère un point M du globe terrestre par r = RT = 6371km, θ xé, et ϕ quelconque.
1) Exprimer la latitude λ comptée depuis l'équateur (positivement dans l'hémisphère nord, et négativement dans
l'hémisphère sud), en fonction de θ.
A Paris (λ = 49◦ ), le champ magnétique terrestre B~ t est vers le sol : il fait un angle I = −65◦ avec l'horizontale
et sa composante horizontale est Bh = 20µT .
2) Exprimer :
2.a) la composante verticale Bv du champ magnétique terrestre ;
2.b) la norme Bt du champ magnétique terrestre.
3) Déduire la valeur du moment dipolaire magnétique terrestre m.
8.3
Planches d'oral
8.C.1 - Cadre conducteur au voisinage d'un l électrique
***
On se place dans un repère (O, ~ux , ~uy , ~uz ), ~uy étant vertical, orienté vers le bas.
On tire sur un cadre rectangulaire de côté a suivant Oy et b suivant Ox, rigide, de résistance R, de sorte qu'il se
déplace à vitesse constante ~v = v.~ux au voisinage d'un l inniment long parcouru par un courant constant I dans la
direction ~uy (cf. gure 8.1).
Fig.
8.1 Cadre conducteur au voisinage d'un l électrique
1) Déterminer la puissance P que doit fournir l'opérateur pour assurer le mouvement.
8.C.2 - Roue de Barlow 1
***
(CCP 2007)
On s'intéresse à une roue conductrice cylindrique d'axe Oz, d'épaisseur e, de rayon R plongée dans un champ
magnétique B~ = B0 .~uz . Un courant I est amené en O et sort en M , contact ponctuel à l'extérieur de la roue.
1) Trouver une expression de I en fonction d'une intégrale de la densité de courant.
2) Calculer le moment de la force par rapport à l'axe de rotation.
3) Calculer la puissance fournie par le moteur sachant que la roue eectue n tours par seconde.
8.C.3 - Roue de Barlow 2
***
(CCP 2007)
La roue métallique représentée gure 8.2 pleine homogène (de masse m) est libre de tourner autour de ~ez . On la
modélise par le rayon OA de résistance R, en considérant que ce rayon tourne à la vitesse θ̇.
Fig.
8.2 Roue de Barlow
1) Déterminer le mouvement de la roue.
8.4
Travaux dirigés
8.D.1 - Détermination de champs magnétostatiques
TD
On va déterminer le champ magnétique créé par plusieurs distributions de courant.
1. Fil rectiligne inni
Un l rectiligne, inni, cylindrique d'axe (Oz) et de rayon R, est parcouru par un courant (réparti de façon
homogène) I . Déterminer le champ magnétique créé partout dans l'espace.
2. Spire de courant
Soit une spire circulaire, de rayon R, de centre O, d'axe Oz, parcourue par un courant I (cf. gure 8.3). Déterminer
le champ magnétique qui règne en un point M de l'axe de la spire, en fonction de z, l'abscisse du point M sur
l'axe. Obtenir l'expression en fonction de α, l'angle sous lequel le point M voit la spire (cf. gure 8.3).
3. Bobines de Helmoltz
On dispose dans les plans z = + R2 et z = − R2 deux spires circulaires de rayon R parcourues par le même courant
I , dans le même sens : ces spires identiques ont le même axe (Oz) et sont éloignées de R. Déterminer le champ
magnétique BC qui règne au centre du dispositif.
4. Solénoïde
(a) Solénoïde ni
Soit un solénoïde circulaire, de rayon R, de longueur L suivant son axe Oz, parcouru par un courant I (cf.
gure 8.4). Le nombre de spire le constituant par unité de longueur est n. Montrer que le champ magnétique
qui règne en un point M de l'axe peut se mettre sous la forme : B (M ) = µ .n.I
2 . (cos α1 − cos α2 ) où α1 et
α2 sont les angles sous lesquels le point M voit les extrémités du solénoïde.
(b) Solénoïde inni
On considère maintenant que ce solénoïde est inni. Déterminer le champ magnétique en un point quelconque de l'espace.
5. Tore
On considère enn un tore à section circulaire (de rayon a), d'axe Oz, de rayon R (cf. gure 8.5), sur lequel
sont enroulées N spires jointives parcourues par un courant I . Déterminer le champ magnétique qui règne en un
point M quelconque de l'espace.
0
Méthode:
Il existe plusieurs méthodes pour déterminer le champ magnétostatique.
Fig.
Fig.
Fig.
8.3 Spire
8.4 Solénoïde circulaire
8.5 Tore à section circulaire
•
Utilisation du théorème d'Ampère
Pour les distributions de courants ~j qui présentent de nombreuses symétries, nous allons voir la méthode à employer.
• Etude des invariances
On déduit du principe de Curie que le champ magnétostatique B~ a (au moins) les invariances de la distribution
volumique de courant de courants ~j . L'étude des invariances demande un choix judicieux du repère.
• Etude des plans de symétrie et d'antisymétrie
Il faut ensuite déterminer les plans de symétrie P et d'antisymétrie P 0 de la distribution ~j . Les vrais vecteurs (A~ )
appartiennent aux plans de symétrie P , et sont orthogonaux aux plans d'antisymétrie P 0 . Les pseudo vecteurs
(B~ ) sont orthogonaux aux plans de symétrie P , et appartiennent aux plans d'antisymétrie P 0 . Ainsi, si P est
~
un plan de symétrie pour la distribution de courants ~j , alors B⊥P
et A~ ∈ P . Si P 0 est un plan d'antisymétrie
0
~
pour la distribution de courants ~j , alors B~ ∈ P 0 et A⊥P
.
• Application du théorème d'Ampère
Il faut choisir un contour fermé orienté C qui vérie les symétries du problème.
I
~ = µ0 .Iint
~ dl
B.
C
où Iint est l'intensité électrique qui passe à travers une surface S qui s'appuie sur le contour fermé orienté C et
qui est orientée par lui :
ZZ
~j.d~2 S
Iint =
S
•
Utilisation de la formule de Biot et Savart
Un circuit C fermé orienté parcouru par un courant I crée un champ magnétique :
µ0 .I
~
.
B(M
)=
4.π
•
~
~ ) ∧ PM
dl(P
PM3
I
P ∈C
!
Cette méthode donne lieu à des calculs parfois longs et diciles. De plus, elle n'est valable que pour les distributions
de courants d'extension nie.
Utilisation de la formule des potentiels retardés
La solution de l'équation de Poisson pour une distribution de courants d'extension nie D en magnétostatique est :
µ0
~
A(M
)=
.
4.π
Notons que A~ vérie la jauge de Coulomb :
~j(P ) 3
d τ
P ∈D P M
ZZZ
~=0
div A
On en déduit ensuite le champ magnétostatique grâce à la relation locale (attention : les opérateurs vectoriels
opèrent une dérivation par rapport à la position du point M !) :
~ = rot
~
~ A
B
ou bien par l'équivalent intégré :
I
ZZ
~
2
~
~
~
~ dl
φ B =
B.d S =
A.
S
•
C
(S est une surface qui s'appuie sur le contour fermé orienté C , et qui est orientée par lui).
Cette méthode ne doit être utilisée qu'en dernier recours : elle donne lieu à beaucoup de calculs ! De plus, elle n'est
valable que pour les distributions de courants d'extension nie. Enn, la formule de Biot et Savart est plus rapide :
elle ne demande pas le dernier stade d'intégration.
Utilisation de la discontinuité à une interface
Dans certains cas, on peut s'aider (ou vérier les calculs) grâce aux relations de discontinuité du champ magnétique
au passage d'une nappe surfacique de courant.
Soit une distribution surfacique de courants ~jS qui délimite deux zones (1 et 2). ~n1→2 est un vecteur unitaire
normal à cette surface, orienté de 1 vers 2. Au voisinage de la nappe de courant, le champ magnétique subit une
discontinuité. Il vaut B~ 1 du coté 1 et B~ 2 du coté 2, avec :
~2 − B
~ 1 = µ0 .~jS ∧ ~n1→2
B
Il y a donc continuité de la composante normale du champ magnétique au passage de la nappe de courant :
~ 2N = B
~ 1N
B
mais il y a discontinuité de la composante tangentielle du champ magnétique au passage de la nappe de courant :
~ 2T − B
~ 1T = µ0 .~jS ∧ ~n1→2
B
8.5
Exercices maple
Chapitre 9
Régimes quasi-stationnaires (ARQS)
9.1
Application directe du cours
9.A.1 - Cadre tournant dans un champ magnétique homogène et permanent
3/2
9.A.2 - Cadre xe dans un champ magnétique homogène et variable
3/2
9.A.3 - Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs parallèles
3/2
9.A.4 - Inductance mutuelle d'un l rectiligne et d'un cadre rectangulaire
3/2
Soit un champ magnétique homogène et permanent B~ = B0 .~uz .
On s'intéresse à un cadre conducteur rectangulaire ABCD. Les longueurs de ses côtés sont a suivant AD et BC
et b suivant AB et CD. Ce cadre tourne autour de l'axe AD = (Ox). On repère sa rotation par l'angle θ = (~uz , AB).
1) Calculer la f.e.m. induite dans le cadre en utilisant :
1.a) la loi de Faraday ;
1.b) la circulation du champ électromoteur.
Soit un champ magnétique homogène et variable B~ = B0 cos (ω.t) .~uz .
On s'intéresse à un cadre conducteur rectangulaire ABCD dans le plan (xOy). Les longueurs de ses côtés sont a
suivant AD et BC et b suivant AB et CD.
1) Calculer la f.e.m. induite dans le cadre en utilisant :
1.a) la loi de Faraday ;
1.b) la circulation du champ électromoteur.
On se place dans un repère cartésien orthogonal direct (O, ~ux , ~uy , ~uz ), avec ~uz vers le haut.
Deux tiges conductrices AB et A0 B 0 sont placées parallèlement (AB//A0 B 0 //(Ox)) dans un plan horizontal ; elles
sont distantes de AA0 = 15cm.
On déplace une barre conductrice CC 0 qui reste parallèle à (Oy) à la vitesse ~v = v0 .~ux , avec v0 = 50cm.s−1 .
Le tout est plongé dans un champ magnétique vertical, uniforme et constant B~ = Ba .~uz , avec Ba = 0, 10T .
1) Quelle est la f.e.m e qui apparaît entre A et A0 ?
Entre A et A0 se trouve un conducteur ohmique, de résistance R = 1, 0kΩ (la résistance des tiges étant négligeable).
2) Quelle est la puissance P dissipée par ce résistor ?
On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).
On considère un l rectiligne quasi inni d'axe (Oz), d'épaisseur quasi nulle, dans lequel circule un courant I vers
les z positifs.
1) Calculer le champ magnétique B~ créé par ce l.
Un cadre métallique rectangulaire de N spires est dans un plan contenant (Oz), déni par une hauteur h parallèlement à (Oz), de côtés à des distance r1 et r2 de l'axe (Oz).
2) Déterminer l'inductance mutuelle M des deux cicuits.
109
9.A.5 - Auto-induction dans un solénoïde
N
3/2
On considère un solénoïde cylindrique, d'axe Oz, de longueur l (mais supposé quasi-inni), de rayon R, comportant
tours de l.
On suppose que circule un courant i(t) variable dans la bobine.
1) Quel est le champ magnétique créé par le courant i à travers la bobine ?
2) Utilisation du ux :
2.a) Quel est le ux Φ du champ magnétique à travers la bobine ?
2.b) En déduire la self L de la bobine.
3) Utilisation de l'énergie :
3.a) Quel est l'énergie magnétique Em dans la bobine ?
3.b) En déduire la self L de la bobine.
9.A.6 - Transformateur abaisseur de tension
3/2
On s'intéresse à un transformateur supposé parfait qui comporte N1 spires au primaire, et N2 spires au secondaire.
Au primaire, on impose une tension sinusoïdale de valeur ecace U1 = 25, 0kV , et on récupère une tension
sinusoïdale d'amplitude U2 = 3, 32kV .
1) En déduire le rapport du nombre de spires NN du transformateur.
On met à la sortie de ce transformateur un transformateur identique.
2) Quelle est la tension ecace U3 à la sortie de cette association ?
1
2
9.2
Entraînement
9.B.1 - Bobine plongée dans un champ magnétique variable inhomogène
On se place dans un repère cylindrique d'axe Oz.
Une bobine constituée de N spires circulaires, de rayon R, d'axe
variable inhomogène
Oz ,
5/2
est plongée dans un champ magnétique
~ = B0 . cos π.r . cos (ω.t) ~ez
B
2.R
magnétique Φ(t) à travers la bobine.
1) Calculer le ux du champ
2) En déduire la f.e.m e(t) induite.
9.B.2 - Déplacement d'une barre conductrice sur deux rails conducteurs concourants
5/2
9.B.3 - Courants de Foucault dans un cylindre conducteur
5/2
On se place dans un repère cartésien orthogonal direct (O, ~ux , ~uy , ~uz ), avec ~uz vers le haut.
0
Deux tiges conductrices
OAet OA sont
placées dans un plan horizontal ; elles ont pour médiatrice l'axe (Ox) et
0
~
~
font un angle α = OA, ~ux = ~ux , OA avec lui.
On déplace une barre conductrice parallèlement à (Oy) à la vitesse ~v = v0 .~ux , avec v0 > 0. Cette barre est en
contact avec la tige OA (respectivement OA0 ) en B (respectivement en B 0 ). A t = 0, B = B 0 = O.
1) Exprimer, à l'instant t, en fonction de α et v0 :
1.a) la circonférence C(t) du circuit ;
1.b) l'aire S(t) du circuit.
Les conducteurs composant le circuit ont une résistance linéïque Rl . Le tout est plongé dans un champ magnétique
vertical, uniforme et constant B~ = Ba .~uz , avec Ba > 0.
2) Exprimer, en fonction de Ba, v0, Rl et de α :
2.a) la valeur absolue de la f.e.m |e(t)| qui apparaît dans le circuit ;
2.b) la valeur absolue de l'intensité |i(t)| qui circule dans le circuit.
On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).
Un conducteur cylindrique en cuivre (de conductivité γ = 58.106 S.m−1 ), d'axe (Oz), de rayon R = 20cm et de
longueur L = 50cm est placé dans un champ magnétique homogène mais variable
~ = B0 . cos (ω.t) .~uz
B
où B0 = 1, 0T et ω = 2.π.ν , avec ν = 50Hz.
1) Donner l'expression des courants de Foucault ~j induits dans le conducteur.
2) En déduire la puissance moyenne hP i dissipée par eet Joule dans le cylindre.
9.B.4 - Cylindre conducteur creux en rotation dans un champ magnétique
5/2
Soit un conducteur métallique (de conductivité γ = 58.10 S.m ), cylindrique d'axe (Oz), de rayon R = 15, 0cm,
creux (d'épaisseure = 1, 0mm R).
On fait tourner ce cylindre autour de son axe, à la vitesse angulaire ω = 10rad.s−1 dans un champ magnétique
~ = Ba .~uz avec Ba = 10mT .
B
1) Quelle est la f.e.m e qui apparait entre les faces intérieure et extérieure du cylindre ? Application numérique.
A.N : B = 0, 1T ; R = 5cm ; a = 1mm et le cylindre eectue 240 tours par minute.
6
−1
9.B.5 - Induction d'un solénoïde dans un autre
5/2
9.B.6 - Inductance propre d'un tore à section circulaire
5/2
9.B.7 - Inductance propre d'une ligne bilaire
5/2
On considère deux solénoïdes cylindriques, de même axe Oz, de même longueur L (mais supposés quasi-innis). La
première bobine, de rayon R1 , comportant N1 tours de l, est dans la seconde bobine, de rayon R2 > R1 , comportant
N2 tours de l.
1) On suppose que circule un courant i1(t) variable dans la première bobine. Quelle est la f.é.m. d'induction e2(t)
qui apparaît aux bornes de la seconde bobine (qui reste en circuit ouvert) ?
2) On suppose maintenant que circule un courant i2(t) variable dans la seconde bobine. Quelle est la f.é.m.
d'induction e1 (t) qui apparaît aux bornes de la première bobine (qui reste en circuit ouvert) ?
3) En déduire le coecient d'auto-inductance mutuelle M .
On se place dans un repère cylindrique d'axe (Oz).
On considère un tore d'axe (Oz), de rayon R, composé de N spires de section circulaire, de rayon a R.
1) Calculer le champ magnétique B~ dans le tore si y circule un courant I .
2) En déduire l'inductance propre L de ce tore
2.a) grâce au calcul du ux Φ ;
2.b) grâce au calcul de l'énergie magnétique Em.
On se place dans un repère cartésien (Oxyz).
Un l électrique habituel est constitué de deux ls f et f 0 dans lesquels circulent des courants opposés : c'est une
"ligne bilaire".
Supposons que f et f 0 sont deux cylindres de rayon a, d'axes parallèles à (Oz), situés dans le plan (xOz) et distants
de D > a :
uz ;
• dans f , d'abscisse x = D
a circule +I dans la direction de ~
D
0
• dans f , d'abscisse x = − a circule −I dans la direction de ~uz .
~ ∈ − D + a; D − a , y = 0, z) en un point du plan (xOz) compris entre les
1) Quel est le champ magnétique B(x
2
2
deux ls ?
2) Calculer le ux Φ de ce champ à travers la surface rectangulaire du plan (xOz) dénie par deux tronçons de
ls de longueur l0 .
3) En déduire l'inductance propre linéïque Ll de la ligne bilaire.
9.3
Planches d'oral
9.C.1 - Barres en rotation dans un champ magnétique
***
(Mines-Pont 2007)
Deux barres conductrices homogènes identiques en rotation autour d'un axe horizontal ∆ ont un moment d'inertie
J autour de cet axe. A l'autre extrémité, elles se déplacent dans des glissières reliées par un l de résistance R. Le
système est plongé dans un champ magnétique B~ parallèle à ∆. On néglige tout frottement.
On appelle ϕ1 et ϕ2 les angles que font les barres 1 et 2 avec la verticale.
1) Déterminer :
1.a) l'équation électrique qui donne le courant i circulant dans le circuit en fonction de ϕ1 et ϕ2 ;
1.b) les équations mécaniques qui donnent l'évolution de ϕ1 et ϕ2 en fonction de i.
9.C.2 - Circuit à condensateur, inductances et mutuelle
(Mines-Pont 2007)
Fig.
L1
***
9.1 Circuit à condensateur, inductances et mutuelle
1) Étudier l'évolution du circuit de la gure 9.1 où les inductances pures ont pour inductances propres respectives
et L2 et pour inductance mutuelle M , sachant que la charge initiale est Q0 et qu'il n'y a aucun courant initial.
9.4
Travaux dirigés
9.D.1 - Détermination d'inductances
TD
Déterminer les inductances :
1. d'une bobine cylindrique de longueur l et de rayon R (sans épaisseur), formée de n ls par unité de longueur ;
2. d'un câble coaxial constitué de trois cylindres de longueur l0 de même axe (Oz) : l'âme, conducteur électrique
de rayon a, la gaine, isolant (r ∈ ]a; b[ ; on admettra que la présence de l'isolant a la perméabilité µ0 , du vide :
µr = 1), la masse, conducteur électrique (pour r ∈ ]b; c[).
Méthode:
•
•
Détermination du champ magnétique
Pour déterminer l'inductance L, il faut préalablement connaître le champ magnétique B~ que crée le dispositif. Pour
ce faire, on se reportera à la partie magnétostatique.
Déduction de l'inductance
Ensuite, il y a deux méthodes.
• Utilisation du ux magnétique
Le ux du champ magnétique B~ à travers la surface S qui s'appuie sur le contour fermé orienté C et qui est
orientée par lui est :
ZZ
~ d~2 S = L.i
B.
φ=
S
•
Utilisation de l'énergie
La bobine d'inductance L, parcourue par un courant i a une énergie électromagnétique :
WB =
1 2
L.i
2
Cette énergie est celle qui existe dans le champ électromagnétique :
ZZZ
WB =
•
B2 3
.d τ
2.µ0
Vérications
L'inductance L (en henry H ) est toujours positive, et ne dépend que des caractéristiques géométriques de la bobine
(pas des conventions d'orientation).
9.5
Exercices maple
Chapitre 10
Electricité
10.1
Application directe du cours
10.A.1 - Résistance équivalente
1) Déterminer la résistance équivalente entre les points A et D du circuit de la gure 10.1.
Fig.
3/2
10.1 Dipôle de résistance inconnue
10.A.2 - Point de fonctionnement d'un électrolyseur
3/2
On s'intéresse à
un générateur de fem Eg = 4, 0V , et de résistance interne Rg = 20Ω ;
un électrolyseur de tension seuil Es = 1, 2V , et de résistance interne Ri = 8, 0Ω.
1) Tracer sur un même graphique les caractéristiques i = f (u) de cette pile en convention générateur et de cet
électrolyseur en convention récepteur.
On branche cet électrolyseur sur ce générateur.
2) Déterminer le point de fonctionnement (i0, u0).
•
•
10.A.3 - Redressement simple
3/2
10.A.4 - Puissance consommée par une installation électrique
3/2
Une tension u(t) = Um cos (ω.t) est appliquée aux bornes d'un dipôle série formé d'une diode à jonction idéale et
d'un résistor de résistance R.
1) Déterminer la tension v(t) aux bornes du résistor.
2) Calculer la valeur moyenne temporelle Vm de v(t).
3) Calculer la valeur ecace Vef f de v(t).
Une installation électrique de type inductif (composée de lampes à laments, radiateurs, transformateurs, moteurs)
est alimentée sous une tension ecace Uef f = 220V . Elle consomme une puissance P = 12kW . La fréquence est
f = 50Hz et l'intensité ecace Ief f = 80A.
115
1) Calculer la résistance R et l'inductance propre L qui, placées en série avec la même alimentation, seraient
équivalentes à cette installation.
2) Calculer la capacité C à placer en parallèle sur l'installation pour relever le facteur de puissance à 0, 9.
10.A.5 - Intensités circulant dans deux branches en régime sinusoïdal forcé
3/2
On s'intéresse à un circuit électrique en régime sinusoïdal forcé où un générateur de tension parfait de la forme
alimente en parallèle deux branches :
la première (dans laquelle circule un courant i1 (t) = I1 . cos(ω.t + ϕ1 )) comporte en série une self d'inductance L,
un condensateur de capacité C , et un résistor de résistance R ;
la seconde (dans laquelle circule un courant i2 (t) = I2 . cos(ω.t + ϕ2 )) comporte en série seulement une self d'inductance L, et une résistance R.
1) Déterminer parfaitement les courants. En particulier, on exprimera :
1.a) I1 ;
1.b) I2 ;
1.c) tan(ϕ1) ;
1.d) tan(ϕ2).
u(t) = em . cos(ω.t)
•
•
10.A.6 - Comparateur
On s'intéresse au montage de la gure 10.2. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.
Fig.
10.2 Comparateur simple
1) Exprimer Vs en fonction de Ve, Vref étant xé.
2) Quelle est la forme de Vs si Ve est sinusoïdal, Vref étant nul ?
10.A.7 - Amplicateur inverseur
On s'intéresse au montage de la gure 10.3. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.
Fig.
1) Exprimer Vs en fonction de Ve.
3/2
10.3 Amplicateur inverseur
3/2
10.A.8 - Amplicateur non inverseur
On s'intéresse au montage de la gure 10.4. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.
Fig.
10.4 Amplicateur non inverseur
1) Exprimer Vs en fonction de Ve.
10.A.9 - Dispositif pour tracer à l'oscillo la caractéristique d'un dipôle
On s'intéresse au montage de la gure 10.5. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.
Fig.
3/2
3/2
10.5 Dispositif pour tracer à l'oscillo la caractéristique d'un dipôle
10.6 Dispositif pour tracer à l'oscillo la caractéristique d'un dipôle
1) Que visualise-t-on sur :
1.a) la voie X de l'oscillo ?
1.b) la voie Y de l'oscillo ?
2) Que doit vérier le générateur pour que ce montage fonctionne ?
Une alternative, lorsque la précédente condition n'est pas vériée, consiste à s'intéresser au montage de la gure
10.6. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.
3) Que visualise-t-on sur :
3.a) la voie X de l'oscillo ?
3.b) la voie Y de l'oscillo ?
Fig.
10.A.10 - Fonction de transfert d'un ltre
On pose x = R.C.ω.
1) Exprimer la fonction de transfert H̃ du ltre de la gure 10.7 en fonction de x.
2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.
3/2
Fig.
10.2
10.7 Filtre inconnu
Entraînement
10.B.1 - Courant en présence d'une diode
5/2
10.B.2 - Associations de diodes identiques
5/2
10.B.3 - Adaptation d'impédance en continu
5/2
10.B.4 - Détermination d'une tension inconnue
5/2
Un générateur parfait de tension E est branché en série avec un résistor de résistance R et une diode (branchée
dans le sens passant par rapport au générateur).
1) Calculer le courant I dans le circuit si :
1.a) la diode est supposée parfaite ;
1.b) la diode a une résistance dynamique égale à rd sans tension seuil ;
1.c) la diode a une tension seuil us sans résistance dynamique ;
1.d) la diode a une tension seuil us et une résistance dynamique égale à rd.
On s'intéresse à une diode de tension seuil us et de résistance dynamique rd .
1) Tracer la caractéristique i = f (u) d'une telle diode, en convention récepteur.
On associe de diérentes manières des diodes toutes identiques à celle étudiée précédemment.
2) Déterminer la tension seuil u0s et la résistance dynamique rd0 des associations :
2.a) de deux diodes en série ;
2.b) de deux diodes en parallèle.
On considère un générateur de tension parfait Eg en série avec une résistance Rg , qui alimente une résistance
chauante R.
1) On note P (R), la puissance dissipée dans la résistance chauante en fonction de R.
1.a) Exprimer P (R) en fonction de Eg , Rg et R.
1.b) Tracer le graphe de P (R).
2) Optimisation ("adaptation d'impédance") :
2.a) Pour quelle valeur de R, la puissance dissipée P (R) est-elle maximale ?
2.b) Que vaut alors Pmax, le maximum de cette puissance ?
On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.8.
Fig.
10.8 Circuit électrique
1) Déterminer la tension u.
10.B.5 - Détermination d'une intensité inconnue
On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.9.
Fig.
10.9 Circuit électrique
1) Déterminer l'intensité i.
10.B.6 - Détermination d'une intensité inconnue
On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.10.
Fig.
5/2
10.10 Circuit électrique
1) Déterminer l'intensité i.
10.B.7 - Détermination d'une intensité inconnue
On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.11.
Fig.
5/2
5/2
10.11 Circuit électrique
1) Déterminer l'intensité i.
10.B.8 - Détermination d'une tension inconnue
On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.12.
1) Déterminer la tension u.
R0 = 5, 0Ω, R1 = 10Ω, R2 = 15Ω, e = 5, 0V et η = 0, 20A.
2) Application numérique.
5/2
Fig.
10.12 Circuit électrique
10.B.9 - Détermination d'une résistance an d'atteindre une tension idoine
On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.13.
Fig.
10.13 Circuit électrique
1) Déterminer la résistance Rx pour que la tension u soit u = U0.
R1 = 4, 0Ω, R2 = 2, 0Ω, e = 10V et η = 1, 0A.
2) Application numérique si on veut u = U0 = 2, 0V .
10.B.10 - Détermination d'une intensité et d'une puissance dissipée
On s'intéresse au circuit électrique représenté sur la gure 10.14.
Fig.
R = 1, 00kΩ, e1 = 6, 00V
5/2
5/2
10.14 Circuit électrique
et e2 = 12, 0V .
1) Déterminer l'intensité i. Application numérique.
2) Déterminer la puissance totale Ptot dissipée par eet Joule. Application numérique.
10.B.11 - Méthode des trois voltmètres
5/2
On se propose de déterminer la puissance P dissipée dans une impédance Z quelconque. Pour cela, on considère le
montage de la gure 10.15 (méthode dite des trois voltmètres) : r est une résistance, les trois voltmètres mesurent en
AC les tensions ecaces U1 , U2 et U3 .
Fig.
10.15 Méthode des trois voltmètres
1) Exprimer la puissance P en fonction de r, U1, U2 et U3.
10.B.12 - Circuit RLC série
•
•
•
•
5/2
On s'intéresse à un circuit électrique en régime sinusoïdal forcé où sont placés en série :
un générateur de tension parfait de la forme u = em . cos(ω.t),
une self d'inductance L (aux bornes de laquelle la tension est uL = uL . cos(ω.t + ϕL )),
un condensateur de capacité C (aux bornes duquel la tension est uC = uC . cos(ω.t + ϕC )),
et une résistance R (aux bornes de laquelle la tension est uR = uR . cos(ω.t + ϕR )).
1
On pose ω0 = √L.C
.
1) Déterminer uC .
2) Déterminer uL
3) Déterminer tan ϕC .
m
m
m
m
m
10.B.13 - Circuit RLC parallèle (ou "bouchon")
•
•
•
•
5/2
On s'intéresse à un circuit électrique en régime sinusoïdal forcé où sont placés en parallèle :
un générateur de courant parfait de la forme i = Im . cos(ω.t),
une self d'inductance L,
un condensateur de capacité C ,
et une résistance R.
La tension aux bornes de ces dipôles est u = Um . cos(ω.t + ϕ).
1) Déterminer Um (l'amplitude de u) en fonction de ω.
2) Pour quelle pulsation ω0 Um passe-t-elle par un maximum ?
3) Déterminer VM AX = Um(ω = ω0) cette valeur maximale.
On note ω1 et ω2 (ω2 > ω1 ) les deux pulsations pour lesquelles Um = V √2 . Le facteur de qualité est Q = ω ω−ω .
4) Exprimer Q en fonction de R, L et C .
M AX
0
2
10.B.14 - Adaptation d'impedance en régime sinusoïdal forcé
1
5/2
Un générateur de tension sinusoïdale, de pulsation ω, a une f.e.m d'amplitude E , et une impédance interne Z̃i =
Il alimente une impédance externe Z̃e = Re + j.Xe .
1) Exprimer la puissance moyenne Pm consommée par Z̃e en fonction de E , Ri, Re, Xi et Xe.
2) Déterminer les conditions à satisfaire sur Z̃i pour que Pm soit maximale.
3) Que vaut alors Pm ?
Ri + j.Xi .
10.B.15 - Fonction de transfert d'un ltre
On pose x = R.C.ω.
1) Exprimer la fonction de transfert H̃ du ltre de la gure 10.16 en fonction de x.
2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.
3) Quel est son intérêt ?
5/2
Fig.
10.16 Filtre inconnu
10.B.16 - Fonction de transfert d'un ltre
On pose x = R.C.ω.
5/2
10.17 Filtre inconnu
1) Exprimer la fonction de transfert H̃ du ltre de la gure 10.17 en fonction de x.
2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.
Fig.
10.B.17 - Fonction de transfert d'une association de deux ltres C − R
On pose x = R.C.ω.
Fig.
5/2
10.18 Association de deux ltres C − R
1) Exprimer la fonction de transfert H̃ du ltre de la gure 10.18 en fonction de x.
2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.
3) Quel est son intérêt ?
10.B.18 - Fonction de transfert d'une association de trois ltres C − R
On pose x = R.C.ω.
1) Exprimer la fonction de transfert H̃ du ltre de la gure 10.19 en fonction de x.
2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.
3) Quel est son intérêt ?
10.B.19 - Filtre de Wien
1) Exprimer la fonction de transfert H̃ du ltre de la gure 10.20 en fonction de x = R.C.ω.
2) Tracer le diagramme de Bode du ltre.
3) Quel est son intérêt ?
10.B.20 - Comparateur à hystérésis
On s'intéresse au montage de la gure 10.21. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.
5/2
5/2
5/2
Fig.
10.19 Association de trois ltres C − R
Fig.
Fig.
10.20 Filtre de Wien
10.21 Comparateur à hystérésis
1) Exprimer Vs en fonction de Ve.
2) Tracer la courbe Vs = f (Ve).
10.B.21 - Résistance négative
On s'intéresse au montage de la gure 10.22. On supposera que l'amplicateur opérationnel est idéal.
Fig.
5/2
10.22 Résistance négative
1) Déterminer le rapport ui .
10.B.22 - Diode sans seuil
5/2
1) Montrer que le dipôle contenant un ampli-op de la gure 10.23 est bien équivalent à une diode sans seuil.
Fig.
10.3
10.23 Schéma de la diode sans seuil
Planches d'oral
10.C.1 - Le ltrage d'une tension bizarre
***
10.C.2 - Filtre à amplicateurs opérationnels
***
(d'après CCP 2002)
On s'intéresse au circuit de la gure 10.24. Ur (t) = U0 . cos3 (ω0 .t), avec RCω0 = 1.
1) Calculer Vs(t).
(Centrale 2007)
On s'intéresse au montage de la gure 10.25. Tous les amplicateurs opérationnels sont parfaits et en régime
linéaire, a = 0, 1 et RC = 0, 1ms.
1) Calculer la fonction de transfert H(jω) = uu˜˜ .
s
e
Fig.
Fig.
10.24 Filtre électrocinétique
10.25 Filtre à amplicateurs opérationnels
2) Donner le diagramme de Bode en amplitude et en phase.
3) Quelle est l'inuence de a ? 3
On applique le signal ue = Ue .cos (Ω.t) avec Ω = 900rad.s−1 .
4) Déterminer us.
10.4
Travaux dirigés
10.D.1 - Condensateurs et selfs en régimes transitoires
Déterminer (et tracer) le courant i(t) et la tension u(t) au cours du temps t dans les circuits suivants :
1. Condensateur (cf. gure 10.26).
Fig.
10.26 Charge et décharge d'un condensateur
(a) à t = 0, l'interrupteur K passe de 2 à 1.
(b) à t = 0, l'interrupteur K passe de 1 à 2.
2. Self (cf. gure 10.27).
(a) à t = 0, on ferme l'interrupteur, l'intensité i étant nulle.
TD
Fig.
10.27 Self en régime transitoire
(b) à t = 0, on ouvre l'interrupteur, le système étant initialement en régime stationnaire.
Méthode:
•
Etablissement de l'équation diérentielle
Les lois des mailles et des n÷uds, couplées aux caractéristiques des dipôles permettent d'établir l'équation diérentielle (du premier ordre avec second membre constant) suivie par l'intensité ou la tension :
τ.u̇ + u = u0
•
Solution de l'équation diérentielle
La solution est la somme de la solution générale (A.e− ) et de la solution particulière (qui est la solution en régime
permanent, u0 ).
Utilisation des conditions initiales
Pour déterminer la constante (A), il faut utiliser les conditions initiales. Attention : a priori, seule l'énergie est
continue, aussi :
• l'intensité dans une bobine est continue (mais pas nécessairement la tension à ses bornes) ;
• la charge d'un condensateur (donc la tension à ses bornes) est continue (mais pas nécessairement le courant qui
le parcourt).
Tracer des courbes
La courbe caractéristique de l'exponentielle décroissante est telle que la tangente à l'origine croise l'asymptote (la
moyenne du régime permanent) en t = τ .
t
τ
•
•
10.D.2 - Relaxation d'un oscillateur
TD
On s'intéresse à un oscillateur (mécanique, par exemple), dont la position x est régie par l'équation diérentielle :
ẍ +
avec :
• ω0 ,
ω0
fx
ẋ + ω02 .x =
Q
m
la pulsation propre de l'oscillateur (en rad.s−1 ) ;
• Q, le facteur de qualité de l'oscillateur (sans unités) ;
• fx , la projection de la force (m est la masse).
Dès que t > 0, on n'impose plus aucune force volontaire sur l'oscillateur (l'opérateur le laisse évoluer librement).
Etudier la relaxation de l'oscillateur. Montrer en particulier que, selon la valeur de Q, il existe trois régimes :
1. Relaxation apériodique
(a) Dans le cas des frottements forts, donner les lois suivies par la relaxation apériodique.
(b) Estimer la durée du régime transitoire, en exprimant le temps de relaxation τ .
(c) Applications numériques pour Q = 0, 1 et 2.π
ω = 1s. Tracer le graphe de x(t) suivant diverses conditions
initiales (allongement sans vitesse initiale, sans allongement mais avec vitesse initiale, avec allongement et
vitesse initiale).
2. Relaxation pseudo - périodique
(a) Dans le cas des frottements faibles, donner les lois suivies par la relaxation pseudo - périodique.
(b) Estimer la durée du régime transitoire τ .
(c) Exprimer la pulsation d'oscillation ω en fonction de ω0 et Q.
−
−
(d) Applications numériques pour Q = 10, 2.π
ω = 1s, et les conditions initiales x (t = 0 ) = 1m et ẋ (t = 0 ) =
−1
0m.s (allongement sans vitesse initiale).
(e) Etudier le cas particulier de l'oscillateur harmonique (non amorti).
3. Relaxation critique
(a) Dans le cas des frottements intermédiaires, donner les lois suivies par la relaxation critique.
(b) Montrer qu'on a alors un amortissement optimal.
0
0
Méthode:
•
Forme des solutions de l'équation diérentielle :
Les mathématiques nous enseignent que la solution générale est de type exponentiel : xgenerale (t) = A.er.t où r est
une racine de l'équation caractéristique :
r2 +
ω0
r + ω02 = 0
Q
Comme c'est un trinôme du second degré (a.r2 + b.r + c = 0), posons
∆ = b2 − 4.a.c =
ω0
Q
2
− 4.ω02 = 4.ω02 −1 +
1
4.Q2
Suivant le signe de ∆, plusieurs cas se présentent :
• ∆>0⇔Q<
1
2
√
L'équation caractéristique a deux racines réelles : r± = −b±2.a ∆ . On parlera de relaxation apériodique :
xaperiodique (t) = A.er+ .t + B.er− .t
• ∆<0⇔Q>
1
2
L'équation caractéristique a deux racines complexes conjuguées : r± =
pseudo-périodique :
√
−b±j. −∆
2.a
. On parlera de relaxation
xpseudo (t) = A.er+ .t + B.er− .t
• ∆=0⇔Q=
1
2
−b
L'équation caractéristique a une seule racine réelle : r0 = 2.a
. On parlera de relaxation critique :
xcritique (t) = (A + B.t) .er0 .t
•
Ce sont donc les caractéristiques de l'oscillateur (son facteur de qualité Q) qui décident de la nature de la relaxation
(apériodique, pseudo-périodique ou critique).
Conditions initiales
Pour déterminer parfaitement la solution de l'équation diérentielle, il faut connaître les constantes réelles A et B .
Or, il y a continuité de la position et de la vitesse à t = 0 : x (t = 0+ ) = x (t = 0− ) et ẋ (t = 0+ ) = vx (t = 0− ).
Ceci est assuré par la continuité de l'énergie (potentielle Ep = 21 k.x2 pour x, et cinétique Ec = 12 m.v2 pour v).
Les conditions initiales permettent donc de déterminer les constantes.
10.D.3 - Résonance d'un oscillateur
TD
On s'intéresse à un oscillateur (mécanique, par exemple), dont la position x est régie par l'équation diérentielle :
ẍ +
avec :
ω0
fx
ẋ + ω02 .x =
Q
m
• ω0 , la pulsation propre de l'oscillateur (en rad.s−1 ) ;
• Q, le facteur de qualité de l'oscillateur (sans unités) ;
• fx , la projection de la force (m est la masse).
L'oscillateur est en régime permanent excité de façon sinusoïdale, à la pulsation ω.
1. Résonance en vitesse
(a) Etudier l'amplitude de la vitesse v0 , en fonction de ω. Montrer en particulier que cette fonction admet
toujours un maximum, et qu'il se trouve toujours en ω0 . Tracer son allure.
(b) Etudier l'acuité de la résonance : exprimer pour cela la largeur du pic ∆ω = |ω2 − ω1 |, pulsations telles
que : v0 (ω1 ) = v0 (ω2 ) = v √(ω2 ) .
(c) Etudier aussi la phase ψ en fonction de ω.
2. Résonance en élongation
(a) Etudier l'amplitude de l'élongation x0 , en fonction de ω. Chercher les conditions d'existence d'un maximum,
et sa position.
(b) Etudier aussi la phase ϕ en fonction de ω. Montrer que l'élongation est toujours en retard sur l'excitation
(ϕ < 0).
(c) Dans le cas d'un oscillateur à faible frottement (Q 1), montrer que la résonance en élongation est
identique à la résonance en vitesse.
0
0
Méthode:
•
Equation diérentielle
Le second membre de l'équation diérentielle est sinusoïdal :
ẍ +
•
ω0
f0
ẋ + ω02 .x =
cos (ω.t)
Q
m
Le régime est permanent : après un temps de l'ordre de quelques τ , le régime transitoire est terminé car la solution
générale de l'équation diérentielle sans second membre est nulle xgenerale (t τ ) = 0 ;
Passage aux grandeurs complexes
Puisque l'équation diérentielle à résoudre
elle est vériée par les grandeurs complexes associées.
est linéaire,
f
f
j.ω.t
Ainsi, l'excitation est : m cos (ω.t) = Re m .e
, la position : x (t) = Re (x̃ (t)) avec x̃ (t) = x0 .ej.ϕ .ej.ω.t .
Or la dérivation temporelle de ces grandeurs complexes est très simple : x̃˙ (t) = j.ω.x̃ (t) et x̃¨ (t) = (j.ω)2 .x̃ (t) =
−ω 2 .x̃ (t).
L'équation diérentielle à résoudre devient donc :
0
0
˜ + ω0 ẋ
˜ + ω02 .x̃ = f0 .ej.ω.t
ẍ
Q
m
soit : −ω2 + ωQ j.ω + ω02 .x0 .ej.ϕ .ej.ω.t = fm .ej.ω.t . Grâce à l'utilisation des complexes, la variation temporelle
disparaît, ce qui explique pourquoi on se sert d'une telle méthode de résolution.
On aboutit à une équation complexe :
0
0
x0 .ej.ϕ =
•
•
ω02
−
f0
m
ω2 +
j ω0Q.ω
Pour déterminer parfaitement l'élongation, il faut connaître x0 (le module du membre de droite) et ϕ (son
argument).
Pour déterminer la vitesse, qui peut se mettre sous la forme : vx (t) = Re (ṽ (t)) avec ṽ (t) = v0 .ej.ψ .ej.ω.t , il
sut de remarquer que : ṽ (t) = x̃˙ (t) = j.ω.x̃ (t) = ω.x0 .ej(ϕ+ ) .ej.ω.t , ainsi : v0 = ω.x0 et ψ = ϕ + π2 .
π
2
10.5
Exercices maple
10.E.1 - Caractéristique d'une photodiode
maple
On s'intéresse à une photodiode caractérisée, lorsqu'elle ressent l'éclairement φ, en convention récepteur par
u
φ
i = i0 . e u0 − 1 −
φ0
(i0 , u0 et φ0 sont des constantes positives).
1) Tracer les caractéristiques :
1.a) en l'absence d'éclairement (φ = 0)
1.b) pour diérents éclairements croissants.
2) Tracer la courbe de la puissance délivrée par la photodiode (pour un éclairement φ non nul) en fonction de la
tension, an de faire apparaître un maximum.
10.E.2 - Mise en évidence du phénomène de Gibbs
maple
On s'intéresse à un signal temporel qui subit une discontinuité en t = 0 :
u(t < 0) = −u0
u(t > 0) = +u0
(où u0 > 0).
1) Acher le graphe de u(t).
2) Calculer la synthèse de Fourier de u(t) jusqu'au rang n :
sn (t) =
k=n
4.u0 X sin (2.k + 1)
π
2.k + 1
k=0
3) Tracer sur un même graphique la courbe de u(t) et de sn(t), autour de t = 0, en faisant varier n de façon à
faire apparaître l'écart entre la fonction et sa synthèse de Fourier.
10.E.3 - Tracés de diagrammes de Bode
1)ω Pour un ltre de fonction de transfert H̃
r=
ω0
:
1.a) le diagramme de bodeGdB = 20log
1.b) le déphasage ϕ = arg H̃ .
maple
=
H̃
v˜s
v˜e
, créer des routines pour acher, en fonction de log (r) où
;
2) Appliquer ces routines à un ltre
passe-bas :
1
2.a) du premier ordre H̃ = 1+j.r
;
2.b) du second ordre H̃ = 1+j. 1 −r , pour plusieurs facteurs de qualité Q.
3) Appliquer ces routines à un ltre
passe-haut :
j.r
3.a) du premier ordre H̃ = 1+j.r
;
3.b) du second ordre H̃ = 1+j.−r −r , pour plusieurs facteurs de qualité Q.
4) Appliquer ces routines à un ltre passe-bande du second ordre H̃ = 1+j.Q.1(r− ) , pour plusieurs facteurs de
r
Q
2
2
r
Q
qualité Q.
2
1
r
Quatrième partie
Ondes
131
Chapitre 11
Généralités sur les ondes
11.1
Application directe du cours
11.A.1 - Absorption dans une bre optique
1) Donner l'expression de l'intensité en décibels IdB d'une onde qui se propage dans une bre optique.
Cette bre optique présente une absorption β = 0, 10dB/km.
2) Au bout de quelle distance L l'intensité d'entrée aura-t-elle diminué de moitié ?
11.A.2 - Modes propre d'une cavité résonnante
3/2
11.A.3 - Observation de la galaxie d'Andromède
3/2
3/2
On s'intéresse à une cavité résonnante parallélipipédique (de dimensions Lx , Ly et Lz suivant les trois directions
de l'espace).
1) Donner la forme des ondes ψ(x, y, z, t) qui existent dans la cavité.
2) Ecrire la relation de dispersion due à l'équation de propagation de D'Alembert.
3) Grâce aux conditions aux limites, en déduire les modes propres de la cavité, c'est à dire les pulsations ω qui
peuvent y exister.
L'hydrogène en laboratoire émet une raie lumineuse ayant une longueur d'onde λ0 = 656, 3nm. Quand on observe
l'hydrogène contenu dans la galaxie d'Andromède on observe que la raie lumineuse précédente a une longueur d'onde
λ telle que λ−λ
= 2, 7.10−4 .
λ
1) La galaxie se rapproche-t-elle ou s'éloigne-t-elle de l'observateur ?
2) Calculer sa vitesse par rapport à l'observateur.
0
0
11.A.4 - Eet Doppler pour une voiture
3/2
1) On s'intéresse à l'eet Doppler dans le cas une voiture se dirigeant vers un piéton à 50km/h. Calculer les
décalages relatifs en fréquence
1.a) dans le cas de la lumière : le piéton peut-il voir un changement de couleur de la voiture, sachant que l'÷il
ne peut pas faire de distinction entre les couleurs du doublet du sodium pour lequel ∆νν = 0, 1% ?
1.b) dans le cas du son : le piéton∆νpeut-il percevoir un changement de timbre de la voiture, sachant qu'une
oreille peut délecter une variation relative
ν
= 1% ?
11.A.5 - Dispersion dans les verres crown et int
3/2
On donne les indices de réfraction de deux verres, pour plusieurs longueurs d'onde de la lumière dans le vide, λ0 ,
pour le crown :
• nc (656, 3nm) = 1, 504 ;
• nc (589, 3nm) = 1, 507 ;
• nc (486, 1nm) − 1, 521 ;
et pour le int :
133
• nf (656, 3nm) = 1, 612 ;
• nf (589, 3nm) = 1, 621 ;
• nf (486, 1nm) − 1, 671 ;
1) Pourquoi dit-on que le crown et le int sont des milieux transparents dispersifs ?
2) Lequel de ces deux milieux est le plus dispersif ?
3) Citer une application pratique de cette propriété.
11.A.6 - Indice optique et vitesse de l'onde
1) L'indice optique correspond-il à une vitesse de phase ou à une vitesse de groupe ?
11.A.7 - Vitesses de phase et de groupe dans un milieu vériant la loi de Cauchy
On s'intéresse à un milieu vériant la loi de Cauchy :
n=A+
3/2
3/2
B
λ2
On donne la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe :
vg = vϕ − λ
dvϕ
dλ
1) Exprimer la vitesse de groupe en fonction de la vitesse de phase, de n, de B et de λ.
2) Comparer la vitesse de phase et la vitesse de groupe.
3) Que se passe-t-il si le milieu est non dispersif ?
11.A.8 - Gaston y'a le téléphone qui sonne
3/2
1) Gaston se demande pourquoi, connaissant la vitesse du son, lors d'une conversation téléphonique les paroles
ne mettent pas plusieurs heures pour parvenir à un interlocuteur situé à plusieurs milliers de kilomètres. Que lui
répondre ?
Un constructeur de casques audio sans l donne les caractéristiques techniques suivantes :
• Réponse fréquentielle : 20 − 22000Hz
• fréquence porteuse : 433M Hz .
2) Expliquer à Gaston ce que cela signie.
11.A.9 - Corde d'un violoncelle
Un violoncelle baroque joue le la3 dont la fréquence est ν = 415Hz.
3/2
1) Quelle est la tension T de la corde de longueur l = 50, 0cm, de masse volumique µ = 8000kg.m−3 et de rayon
r = 250µm ?
11.A.10 - Relation de dispersion de Klein-Gordon
On s'intéresse à un milieu qui vérie la relation de dispersion de Klein-Gordon :
3/2
ω 2 = ωp2 + k 2 .c2
1) Calculer en fonction de ω, ωp et c :
1.a) la vitesse de phase vϕ,
1.b) la vitesse de groupe vg .
2) Exprimer vg en fonction de c et vϕ.
3) Comparer chacune des vitesses à c.
11.A.11 - Impédance caractéristique d'un câble coaxial
3/2
Les rayons de l'âme et de la gaine d'un câble coaxial de télévision valent respectivement a = 1mm et b = 3, 5mm.
L'espace séparant l'âme et la gaine n 'est pas vide mais rempli d'un matériau isolant non magnétique (polyéthylène)
de permittivité diélectrique relative εr = 2, 26. La capacité et l'inductance linéiques du câble sont respectivement :
(
c=
l=
2π.ε0 .εr
b
ln( a
)
µ0
b
ln
2π
a
1) Calculer la vitesse c0 de propagation des signaux électriques.
2) Calculer l'impédance caractéristique Zc du câble.
11.A.12 - Modes propres d'une corde de Melde
3/2
1) Lors d'une manipulation avec la corde de Melde, pour une longueur L de la corde et une masse M accrochée
à celle-ci, on obtient une fréquence de résonance à 19Hz pour deux fuseaux et une à 28Hz pour trois fuseaux.
1.a) Ces valeurs numériques sont-elles compatibles entre elles ?
1.b) Quelles seraient les fréquences de résonance suivantes ?
2) On donne la longueur de la corde : L = 117cm. Quelle est la vitesse c de propagation d'une perturbation sur
cette corde ?
3) La masse accrochée à la corde est M = 25g.
3.a) Quelle est la tension T0 de la corde ?
3.b) En déduire un ordre de grandeur de la masse linéique µl de la corde.
11.A.13 - Ondes sphériques
3/2
On donne le laplacien, en coordonnées sphériques, d'une fonction f (r, θ, ϕ) = f (r) :
∆f (r) =
1 ∂2
(r; f (r))
r ∂r2
1) Etablir la forme générale des ondes sphériques, dont l'amplitude ne dépend que de t et de la distance r = OM
au point origine O : ψ(x, y, z, t) = ψ(r, t) solutions de l'équation de propagation de D'Alembert.
2) Interpréter les termes intervenant dans cette expression.
3) Caractériser les surfaces d'onde.
4) Commenter énergétiquement l'intervention d'un facteur décroissant comme 1r dans l'amplitude de l'onde.
11.2
Entraînement
11.B.1 - La dispersion due à l'équation de Schrödinger
5/2
On donne l'équation de Schrödinger qui donne l'évolution de la fonction d'onde ψ d'une particule de masse m dans
un potentiel V :
i.~.
∂ψ
~2
=−
∆ψ + V.ψ
∂t
2.m
1) Déterminer la relation de dispersion de l'onde.
2) Calculer la vitesse de propagation de l'onde.
En mécanique quantique, la quantité de mouvement de la particule est p~ = ~.~k et son énergie E = ~.ω.
3) Que deviennent les deux précédentes relations ?
11.B.2 - Vitesses d'une onde T E1,0 dans un guide d'onde
5/2
Une micro-ondes de fréquence ν = 300GHz est envoyée dans un guide d'onde de section rectangulaire, de côtés
et b = 2, 0mm.
On s'intéresse au mode T E1,0 .
1) Quelle est la pulsation de coupure ωc du guide d'onde pour le mode T E1,0 ?
2) Déterminer numériquement (et comparer à c), les vitesses
2.a) de phase vϕ ;
2.b) de groupe vg .
a = 1, 0mm
11.B.3 - Propriétés d'une onde
On va étudier les propriétés d'une onde dont la forme en coordonnées cartésiennes est :
5/2
ξ~ (~r, t) = ξ~0 . cos [kx . (x − c0 .t)] . cos [ky .y + kz .z]
1) Donner les caractéristiques de cette onde.
2) Montrer que l'on peut comprendre cette onde comme la superposition de deux ondes progressives planes.
3) Comparer c0 à la vitesse c qui apparaît dans l'équation de D'Alembert dont ξ~ est solution.
11.B.4 - Onde de choc d'un avion supersonique
5/2
1) Calculer le demi-angle θ au sommet du cône formé par l'onde de choc accompagnant un avion supersonique se
déplaçant à une vitesse v.
2) Application numérique : l'avion vole à Mach 2.
3) Que se passe-t-il pour :
3.a) v c ;
3.b) v < c.
11.B.5 - Evolution de l'intensité d'une onde absorbée
5/2
1) Une onde plane se déplace dans un milieu absorbant. On suppose que la puissance absorbée par un volume
élémentaire est proportionnelle à ce volume et à l'intensité de l'onde au voisinage du volume considéré.
1.a) Montrer alors que l'intensité de l'onde décroît exponentiellement avec la distance parcourue dans le milieu
(loi de Beer-Lambert).
1.b) Que dire alors de l'intensité en décibels ?
2) Application : une bre optique présente une absorption de 0, 1dB.km−1. Au bout de quelle longueur l'intensité
d'entrée aura-t elle diminué de moitié ?
11.B.6 - Relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe
5/2
1) Démontrer la relation de Rayleigh entre vitesses de phase et de groupe qui fait intervenir comme variable la
longueur d'onde λ :
vg = vφ − λ
2) On suppose que la relation de dispersion s'écrit ω
vitesse de groupe en fonction de vφ et α.
dvφ
dλ
= A.k α
où A et α sont indépendants de k. Exprimer la
11.B.7 - Vitesses de groupe de diverses ondes dans l'eau
5/2
On peut montrer que la relation de dispersion d'une onde à la surface d'une eau de profondeur h est donnée par :
2
ω =
γ.k 3
g.k +
µ
th (k.h)
où g = 9, 81m.s−2 est l'accélération de la pesanteur, µ = 1, 0kg/L la masse volumique de l'eau et γ = 72.10−3 SI la
tension supercielle à l'interface eau-air.
1) Calculer la vitesse de groupe d'une onde :
1.a) de marée (λ = 1000km et h = 5km),
1.b) de houle (λ = 5m),
1.c) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe en eau profonde (λ = 1cm),
1.d) de capillarité pour une goutte d'eau qui tombe sur une cuve à onde (λ = 2cm et h = 1mm).
11.B.8 - Solutions de la corde de Melde
Dans l'expérience de la corde de Melde, le vibreur eectue des oscillations sinusoïdales d'amplitude a :
ψ (0, t) = a. cos (ω.t)
La corde, de longueur L, est xée à l'autre extrémité, la tension de la corde étant T0 .
5/2
1) Déterminer les déplacements ψ (x, t) de tout point de la corde à tout instant.
2) Donner les valeurs des fréquences de résonance.
11.B.9 - Équation de propagation de Klein-Gordon
5/2
On étudie la propagation d'onde le long d'une chaîne de pendules simples, identiques, de masse M et longueur L,
couplés par des ressorts de raideur K , disposé à une distance a les uns des autres. On note θn l'angle
n par
q du pendulep
K
rapport à la verticale et ψn = L.θn l'écart de la masse n à sa position d'équilibre. On pose ω0 = M et Ω0 = Lg .
1) Quelle est l'équation de propagation liant les petits angles θn, θn−1, θn+1 des extrémités des pendules ?
2) Quelle est la relation de dispersion des ondes progressives monochromatiques caractérisant cette propagation ?
3) Préciser la bande permise pour les pulsations d'oscillations libres de la chaîne de pendules couplés.
4) Donner la forme prise par ces résultats dans l'approximation des milieux continus.
11.3
Planches d'oral
11.4
Travaux dirigés
11.D.1 - Equations de propagation de D'Alembert dans diérents milieux non dispersifs
TD
Démontrer l'équation de propagation de D'Alembert et déterminer la célérité c0 des ondes se propageant dans les
milieux suivants (supposés sans amortissement) :
Fig.
Fig.
11.1 Chaîne de ressorts
11.2 Echelle de perroquet
1. une chaîne de ressorts (cf. gure 11.1) de longueur à vide l0 et de constante de raideur k, reliant des points
matériels de masse m ;
2. une échelle de perroquet (cf. gure 11.2) constituée de barres k disposées à distance xe a suivant l'axe Oz, de
moment d'inertie J par rapport à Oz, faisant un angle θk par rapport à une direction xe Ox et exerçant sur
les plus proches voisins un couple C~ k→k+1 = −C. (θk+1 − θk ) ~uz , où C est une constante positive ;
Fig.
Fig.
11.3 Corde inextensible
11.4 Câble coaxial non dispersif
3. une corde inextensible horizontale (cf. gure 11.3) de masse linéique µl soumise à une tension T0 ;
4. un câble coaxial (cf. gure 11.4) d'inductance propre par unité de longueur l et de capacité propre par unité de
longueur c.
Méthode:
Pour la chaine de ressorts et l'échelle de perroquet, on a à résoudre un problème discrêt, il faut ensuite passer au
modèle continu. Dans le détail, voici la marche à suivre :
1. Pour la chaine de ressorts, il faut appliquer le théorème de la résultante cinétique (on négligera le poids) au
point matériel k, dont l'abscisse est xk = Xk + ξk , avec Xk la position à l'équilibre (qu'on ne cherchera pas à
déterminer). Le passage au continu consiste à poser m = µl .dx, en faisant un développement limité de ξk , ξk−1
et ξk+1 autour de ψ(x, t).
2. Pour l'échelle de perroquet, il faut appliquer le théorème du moment cinétique à la barre k. Le passage au continu
consiste à faire un développement limité de θk , θk−1 et θk+1 autour de ψ(x, t).
3. Pour la corde inextensible horizontale, il faut appliquer le théorème de la résultante cinétique au petit élément
de longueur dx entre x et x + dx (on négligera le poids). La projection suivant ~ux montre que T0 se conserve,
tandis que la projection suivant ~uy combinée au fait que l'angle que fait la corde avec l'horizontale est petit
donne l'équation de propagation pour y = ψ(x, t).
4. Pour le câble coaxial, la loi des n÷uds et la loi des mailles donnent deux équations diérentielles couplées en I et
V . En les dérivant à nouveau, on découple les équations et on trouve l'équation de propagation pour V = ψ(x, t)
ou I = ψ(x, t).
Une fois établie l'équation de D'Alembert, on peut en déduire la célérité c0 :
2
∂2ψ
2∂ ψ
=
c
0
∂t2
∂x2
11.D.2 - Déterminations d'ondes stationnaires dans un câble coaxial
TD
On s'intéresse à un câble coaxial non dispersif d'axe x, situé dans la région x < 0, d'impédance Z , fermé en x = 0
sur une impédance Z̃0 . Dans ce milieu se propage vers les x croissants une OPPM incidente, dont l'expression complexe
est :
I˜i = I0 .ej(ω.t−k.x) pour l'intensité
Ṽi = Z.I0 .ej(ω.t−k.x) pour la tension
Déterminer l'intensité I(x, t) et la tension V (x, t) réelles de l'onde stationnaire formée par la superposition de cette
onde et de l'onde rééchie dans les cas où le câble est terminé par :
1. un l coupé : Z̃0 = ∞ ;
2. un l : Z̃0 = 0 ;
3. une inductance ou une capacité pure : Z̃0 imaginaire pur, avec φ = arg Z̃0 − Z .
Méthode:
Il s'agit tout d'abord d'écrire la forme de l'onde rééchie qui est une OPPM qui se propage vers les x décroissants,
dont l'expression complexe est :
I˜r = I00 .ej(ω.t+k.x) pour l'intensité
Ṽr = −Z.I00 .ej(ω.t+k.x) pour la tension
La condition aux limites Ṽ = Z̃0 .I˜ en x = 0 ∀t donne
I00 =
Z − Z̃0
Z + Z̃0
Il s'agit ensuite de prendre la partie réelle de la somme des deux ondes complexes :

 I = < I˜i + I˜r pour l'intensité
 V = < Ṽi + Ṽr pour la tension
11.D.3 - Déterminations d'équations de dispersion dans diérents milieux dispersifs
TD
Trouver l'équation de dispersion pour les milieux suivants :
1. une corde inextensible horizontale (cf. gure 11.3) de masse linéique µl soumise à une tension T0 avec une force
de frottement uide f~f = −λ.~v ;
2. un câble coaxial (cf. gure 11.5) d'inductance propre par unité de longueur l, de capacité propre par unité de
longueur c, de résistance par unité de longueur r1 et de conductance par unité de longueur g2 .
Fig.
Méthode:
Dans le détail, voici la marche à suivre :
11.5 Câble coaxial dispersif
1. Pour la corde inextensible horizontale, il faut appliquer le théorème de la résultante cinétique au petit élément
de longueur dx entre x et x + dx (on négligera le poids). La projection suivant ~ux montre que T0 se conserve,
tandis que la projection suivant ~uy combinée au fait que l'angle que fait la corde avec l'horizontale est petit
donne l'équation de propagation pour y = ψ(x, t).
2. Pour le câble coaxial, la loi des n÷uds et la loi des mailles donnent deux équations diérentielles couplées en I et
V . En les dérivant à nouveau, on découple les équations et on trouve l'équation de propagation pour V = ψ(x, t)
ou I = ψ(x, t).
Une fois établie l'équation de propagation en ψ, on remplace par une OPPM en complexe :
ψ̃ = ψ0 .e−j.(ω.t−k̃.x)
avec k̃ complexe.
11.5
Exercices maple
11.E.1 - Visualisation d'une onde stationnaire
maple
11.E.2 - Déplacement d'un paquet d'onde dans un milieu dispersif
maple
On s'intéresse à une onde stationnaire dans un câble coaxial non dispersif d'axe x, situé dans la région x < 0,
d'impédance
Z , fermé
en x = 0 sur une impédance Z̃0 imaginaire pure (une inductance ou une capacité pure), avec
φ = arg Z̃0 − Z .
I(x, t) = 2.I0 . cos (ω.t + φ) . cos (k.x + φ) pour l'intensité
V (x, t) = 2Z.I0 . sin (ω.t + φ) . sin (k.x + φ) pour la tension
1) Créer une animation qui représente l'onde stationnaire en fonction de x évoluant avec le temps, en lui superposant son enveloppe, de façon à faire apparaître clairement les n÷uds et les ventres de vibration.
On s'intéresse à un paquet d'ondes constitué d'une centaines d'OPPM
cos (ω.t − k(ω).x)
(pour ω ∈ [ω1 ; ω2 ]) qui se propage dans un milieu dispersif :
p
ω 2 − ω02
k (ω) =
c
avec ω0 < ω1 .
1) Créer une animation qui représente le paquet d'onde en fonction de x évoluant avec le temps.
Chapitre 12
Ondes sonores dans les uides
12.1
Application directe du cours
12.A.1 - Première harmonique d'un tuyau
3/2
1) Quelle est la fréquence de la première harmonique émise par un tuyau de longueur L = 10m fermé à ses deux
extrémités ?
12.A.2 - Le barissement de l'oiseau et le piaillement de l'éléphant
3/2
1) Montrer que les longueurs d'onde audibles par l'oreille humaine dans des conditions standard sont à l'échelle
humaine.
2) Pourquoi a priori un barrissement, est-il plus grave qu'un piaillement ?
3) Pourquoi peut-on entendre des fréquences que l'on ne sait pourtant pas chanter ?
12.A.3 - Comment entendre un c÷ur qui bat ?
3/2
On donne les masses volumiques de l'eau µe = 1, 0.103 kgm−3 et de l'air µa = 1, 3kgm−3 ainsi que la célérité des
ondes acoustiques dans l'air ca = 340m.s−1 et dans l'eau ce = 4.ca .
1) Estimer l'impédance sonore de l'air et de l'eau et les comparer.
2) Calculer le coecient de transmission énergétique T d'une onde sonore à l'interface air-eau.
3) Expliquer pourquoi l'on entend pas naturellement les battements de c÷ur d'une autre personne à moins, par
exemple, de coller l'oreille contre son corps.
12.A.4 - Longueur de la caisse de résonance d'un diapason
3/2
L'analyse harmonique du son émis par un diapason posé sur sa caisse de résonance contient essentiellement un
harmonique de fréquence ν = 440Hz (la note est un la). La caisse de résonance est un parallélépipède creux, dont la
plus grande dimension est L = 19, 5cm, l'un des bouts étant fermé, l'autre ouvert.
1) Comment expliquer le choix de cette dimension ?
12.2
Entraînement
12.B.1 - Octaves et demi-tons
1) Rappeler la dénition d'une octave.
2) Sur combien d'octaves s'étend le domaine audible ?
5/2
12.B.2 - Pourquoi le vent porte le son
5/2
Une oreille exercée est capable de diérencier un écart d'un dixième de demi-ton tempéré (il y a douze demi-tons
tempérés dans une octave) dans de bonnes conditions d'écoute.
3) À quel écart relatif de fréquence cela correspond donc un dixième de demi-ton ?
On considère un écoulement d'air à vilessc constante u0 > 0 (dans la direction et le sens de l'axe (Ox)), la même
141
en tout point. Dans cet écoulement se propage une onde sonore plane progressive dans la direction de l'axe (Ox).
1) Trouver l'équation de propagation de la surpression acoustique p(x, t) dans le cadre de l'approximation acoustique.
Une O.P.P.M. se propage dans l'écoulement. En notation complexe p(x, t) s'écrit
p̃(x, t) = p̃0 .ej.(ω.t−k.x)
2) Trouver la relation de dispersion entre k et ω et interpréter le résultat obtenu.
3) Que doit-on entendre par l'expression le vent porte le son ?
12.3
Planches d'oral
12.4
Travaux dirigés
12.D.1 - Approche lagrangienne de la propagation d'une onde sonore plane
TD
1) Retrouver les équations de propagation du son à l'aide d'une description lagrangienne du uide dans une
conduite de section S constante.
Méthode:
Le déplacement, à l'instant t, d'une particule de uide d'abscisse x lorsque le uide est au repos est noté ξ(x, t).
La surpression et la masse volumique de cette tranche sont p(x, t) et µ(x, t). La masse volumique µ(x, t) désigne, à
l'instant t, la masse volumique de la particule suivie dans son mouvement, dont l'abscisse à la date t correspond à
x + ξ(x, t), et non pas x.
1) Évaluer la variation de masse volumique d'une tranche élémentaire de uide, de section S et d'épaisseur dx au
repos. On doit trouver :
µ = −µ0
∂ξ
∂x
2) Établir l'équation du mouvement de cette même tranche de uide. On doit trouver :
µ0
∂p
∂2ξ
=−
∂t2
∂x
3) En utilisant la relation µ = µ0.χS .p et la vitesse v = ∂ξ∂t , on retrouve le système d'équations couplées réduit à
la propagation unidimensionneIle :
∂p
µ0 ∂v
∂t = − ∂x
∂p
∂v
χS ∂t = − ∂x
12.D.2 - Bilan local d'énergie pour une onde sonore plane
On s'intéresse à une onde plane, se propageant parallèlement à l'axe (Ox).
1) Exprimer les densités volumiques d'énergie
1.a) cinétique,
1.b) potentielle
1.c) et sonore ;
1.d) ainsi que le vecteur densité de débit d'énergie.
2) Vérier le bilan énergétique local dans ce cas particulier.
Méthode:
TD
Pour une onde plane se propageant parallèlement à l'axe (Ox), nous savons que la vitesse et la surpression sont de
la forme :
x
x
~v = f t− c + g t + c .~u
x
p = µ0 .c. f t − xc − g t + xc
On se souvient que la célérité de l'onde sonore c est telle que :
c2 =
1
χS .µ0
1) Nous pouvons exprimer :
1.a) la densité volumique d'énergie cinétique :
ec =
1
µ0 2
µ0 .v 2 =
f + 2.f.g + g 2
2
2
1.b) la densité volumique d'énergie potentielle :
ep =
1
µ0 2
χS .p2 =
f − 2.f.g + g 2
2
2
1.c) la densité volumique d'énergie sonore :
es = ep + ec =
µ0 2
f + g2
2
1.d) le vecteur densité de débit d'énergie :
~ = p.~v = µ0 .c. f 2 − g 2 .~ux
Π
2) Le bilan d'énergie est :
−
qu'on vérie en dérivant les fonctions f et g.
12.5
Exercices maple
∂Π
∂es
x
~ =
= div Π
∂t
∂x
Chapitre 13
Ondes électromagnétiques
13.1
Application directe du cours
13.A.1 - OPP et jauge de Coulomb
3/2
13.A.2 - Longueurs d'onde de quelques ondes radios
1) Déterminer la longueur d'onde λ, le nombre d'onde σ en cm−1 et la norme du vecteur d'onde k pour :
1.a) une station grande onde (de fréquence ν = 250kHz) ;
1.b) une station FM (de fréquence ν = 100M Hz) ;
1.c) un téléphone portable (de fréquence ν = 1, 8GHz).
13.A.3 - Onde sphérique
3/2
3/2
13.A.4 - Caractéristiques ondulatoires de l'onde émise par un laser hélium-néon
3/2
13.A.5 - Caractéristiques corpusculaires de l'onde émise par un laser hélium-néon
3/2
13.A.6 - Modulation de l'intensité lumineuse grâce à un polarisateur tournant
3/2
Soit une onde plane progressive se propageant vers les x croissants.
1) Montrer que le potentiel vecteur qui vérie la jauge de Coulomb est transversal.
On s'intéresse à une onde
sphérique
monochromatique, de pulsation ω et de centre O. Son amplitude est de la
~
forme : A (~r, t) = a (r) . cos ω.t − k.~r
1) Donner l'expression du vecteur d'onde ~k dans le repère sphérique en distinguant les deux cas : onde convergente
ou onde divergente.
2) Pourquoi l'amplitude a (r) est-elle proportionnelle à l'inverse de la distance r ?
Un laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon R = 1, 0mm d'une onde plane progressive
monochromatique de longueur d'onde λ = 632, 8nm. La puissance moyenne émise est Pe = 1, 0mW .
On donne : µ0 = 4.π.10−7 H.m−1 .
1) Calculer les amplitudes
1.a) Emax du champ électrique ;
1.b) et Bmax du champ magnétique.
Un laser hélium-néon émet un faisceau lumineux cylindrique de rayon R = 1, 0mm d'une onde plane progressive
monochromatique de longueur d'onde λ = 632, 8nm. La puissance moyenne émise est Pe = 1, 0mW .
On donne : h = 6, 62.10−34 J.s.
1) Déterminer le nombre de photons
1.a) n par unité de volume dans le faisceau ;
1.b) N de photons émis par seconde par le laser.
Un faisceau parallèle de lumière naturelle non polarisée d'intensité I0 traverse un polariseur xe.
1) Quelle est l'intensité I1 après ce polariseur ?
145
Le faisceau lumineux traverse ensuite un second polariseur qui tourne autour de l'axe optique avec une vitesse
angulaire ω.
2) Déterminer l'intensité lumineuse I2 sortant du second polariseur.
(On supposera que le second polariseur tourne lentement devant le temps de réponse du détecteur).
3) Montrer que l'on a modulé l'intensité à la pulsation 2.ω.
13.A.7 - Détection de lumière au voisinage de l'extinction
α.
3/2
Un polariseur et un analyseur sont réglés à l'extinction. On fait tourner l'analyseur d'un angle α.
1) Exprimer l'intensité I2 après l'analyseur en fonction de I1, l'intensité entre le polariseur et l'analyseur, et de
2) Pour détecter de la lumière après le polariseur, il faut que l'intensité soit supérieure au bruit, qui vaut 5%.I1.
Déterminer numériquement en secondes d'angle, l'angle minimum αmin dont il faut tourner l'analyseur pour détecter
de la lumière.
13.A.8 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement
3/2
˜~
1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère (Oxyz) du champ électrique E de l'onde plane
progressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'onde k), polarisée rectilignement suivant l'axe
(Oy) se propageant suivant une direction faisant, dans le plan (xOz), un angle de 45◦ avec l'axe (Oz).
On notera E0 l'amplitude réelle du champ électrique.
13.A.9 - Décomposition d'une OPPM polarisée rectilignement
3/2
Soit une onde plane progressive monochromatique, de pulsation ω et de vecteur
polarisée rectilignement selon un axe qui fait l'angle α avec (Ox).
1) Donner l'expression des composantes Ex et Ey du champ électrique. On prendra E0 comme amplitude de ce
champ.
2) Montrer que la superposition de deux OPPM de mêmes caractéristiques polarisées circulairement :
et
d'onde ~k = k.~uz ,
Ex = E00 . cos (ω.t − k.z + α)
Ey = E00 . sin (ω.t − k.z + α)
Ex = E00 . cos (ω.t − k.z − α)
Ey = −E00 . sin (ω.t − k.z − α)
redonne l'OPPM polarisée rectilignement. On exprimera E00 en fonction de E0 .
13.A.10 - Polariseur circulaire
3/2
On s'intéresse à un ltre suivi d'un polariseur, lui-même suivi d'une lame quart d'onde avec ses lignes neutres à
45de la direction du polariseur.
1) On envoie de la lumière naturelle dans le dispositif. Quelle est la polarisation de la lumière ainsi produite ?
On retourne le dispositif donc la lumière naturelle rencontre d'abord la lame quart d'onde puis le polariseur.
2) La polarisation de la lumière produite a-t-elle changé ?
13.A.11 - Détection de l'hélicité d'une polarisation circulaire
3/2
On s'intéresse à un ltre suivi d'une lame quart d'onde (qui ajoute un déphasage sur l'axe vertical), lui-même
suivi d'un polariseur, qui peut librement tourner dans son plan. On envoie de la lumière polarisée circulairement dans
le dispositif.
1) Pour quelle direction du polariseur obtient-on l'extinction si :
1.a) la polarisation est circulaire gauche ?
1.b) la polarisation est circulaire droite ?
+ π2
13.A.12 - Diusion Rayleigh dans le visible
3/2
1) Quelle est la dépendanceP en longueur d'onde λ de la puissance P diusée par un dipôle (diusion Rayleigh) ?
2) En déduire le rapport P des puissances rayonnées par diusion Rayleigh pour les longueurs d'onde extrêmes
b
du spectre visible, λb = 400nm et λr = 750nm.
r
13.A.13 - Diusion de l'atome d'hydrogène
3/2
Dans le modèle classique de l'atome d'hydrogène, l'électron est animé d'une vitesse constante v = α.c (où α =
1
= 137
est la constante de structure ne) sur une orbite circulaire de rayon a0 = 53pm.
1) Caractéristiques du rayonnement :
1.a) Quel est la pulsation ω du mouvement ?
1.b) En déduire la longueur d'onde λ associée.
1.c) A quel domaine lumineux cela correspond-il ?
2) Approximations du rayonnement dipolaire :
On observe le dipôle de taille d à une distance r = 50cm. Vérier que sont vériées les approximations
2.a) non relativiste : d λ ;
2.b) dipolaire : d r ;
2.c) du rayonnement lointain : λ r.
3) Rayonnement dipolaire :
3.a) Evaluer le moment dipolaire électrique p0 que l'on peut associer à un tel système.
3.b) En déduire la puisssance moyenne hP i dissipée par rayonnement.
On donne :
la charge élémentaire : qe = 1, 6021892.10−19 C
la vitesse de la lumière dans le vide : c = 2, 99792458.108 m.s−1
la permittivité du vide : ε0 = 8, 854187817.10−12 F.m−1
qe2
(~.c)
•
•
•
13.2
Entraînement
13.B.1 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée rectilignement
5/2
˜~
1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère (Oxyz) du champ électrique E de l'onde
plane progressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'onde k), se propageant suivant l'axe (Ox),
polarisée rectilignement, le champ électrique faisant un angle de 60◦ avec l'axe (Oy).
On notera E0 l'amplitude réelle du champ électrique.
13.B.2 - Expression complexe du champ électrique d'une OPPM polarisée elliptiquement
5/2
˜~
1) Donner les expressions complexes des projections dans le repère (Oxyz) du champ électrique E de l'onde
plane progressive monochromatique (de pulsation ω, de norme de vecteur d'onde k), se propageant suivant l'axe (Oy),
polarisée elliptiquement à droite.
Le demi grand axe de l'ellipse, étant suivant (Oz), est trois fois plus grand que le demi petit axe (noté E0 ). Le
déphasage entre les deux axes de l'ellipse est π2 .
13.B.3 - Variation de l'intensité lumineuse avec la loi de Malus
5/2
Un faisceau parallèle de lumière traverse un polariseur xe. Son intensité est notée I0 après ce polariseur. Le
faisceau lumineux traverse ensuite un second polariseur dont l'axe fait un angle θ avec l'axe du premier polariseur.
1) Déterminer l'intensité lumineuse I sortant du second polariseur (loi de Malus).
2) Initialement, θ = θi, et l'intensité lumineuse
sortant du second polariseur est Ii . On fait varier θ de dθ π.
2.a) Exprimer la variation relative dII de l'intensité lumineuse sortant du second polariseur, en fonction de θi
et dθ.
Application : dθ = 1◦ , que vaut dII
2.b) si θi = 10◦◦ ?
2.c) si θi = 80 ?
i
i
13.B.4 - Rayonnement d'une antenne par unité d'angle solide
On seplace dans
~ , et ϕ.
~uz , OM
5/2
le repère sphérique de centre O, un point M étant repéré par ses coordonnées r = OM , θ =
On assimile une antenne laire d'axe (Oz) à un dipôle électrique de même direction, placé en O.
1) Puissance moyenne rayonnée par unité d'angle solide :
1.a) Rappeler la dépendance en (r, θ, ϕ) de dP
dΩ (θ) , la puissance moyenne rayonnée par l'antenne par unité
d'angle solide.
1.b) Pour quel angle θmax obtient-on la puissance moyenne maximale rayonnée par l'antenne par unité d'angle
solide (que l'on note Pmax ) ?
2) Puissance totale :
2.a) Exprimer la puissance totale Ptot(∆θ) envoyée par l'antenne dans la direction θmax à ±∆θ.
2.b) Que vaut la puissance totale Ptot envoyée dans tout l'espace ?
2.c) Exprimer P P ( ) .
tot
π
4
tot
13.B.5 - Diagramme de rayonnement d'une antenne
On seplace dans
~ , et ϕ.
~uz , OM
5/2
le repère sphérique de centre O, un point M étant repéré par ses coordonnées r = OM , θ =
On assimile une antenne laire d'axe (Oz) à un dipôle électrique de même direction, placé en O.
1) Rappeler la dépendance en (r, θ, ϕ) de dP
dΩ (θ) , la puissance moyenne rayonnée par l'antenne par unité d'angle
solide.
2) Applications numériques :
On appelle Pmax , la puissance moyenne maximale rayonnée par l'antenne par unité d'angle solide. Exprimer la
fonction f (θ) = h P (θ)i pour les angles suivants :
2.a) θ = 0 ;
2.b) θ = π4 ;
2.c) θ = π2 .
3) Tracer le diagramme de rayonnement de l'antenne, c'est à dire la courbe paramétrée en polaire r = f (θ), l'axe
par rapport auquel est repéré θ étant vertical, vers le haut.
dP
dΩ
max
13.B.6 - Caractéristiques d'une OPPM
5/2
On se place dans un repère cartésien (Oxyz).
Un faisceau laser émet une onde plane progressive (suivant ~u), monochromatique (de longueur d'onde λ), polarisée
rectilignement suivant (Oz).
On pose θ = (~ux , ~u).
1) Ecrire, en fonction de E0 (l'amplitude du champ électrique) et de λ, les composantes dans le repère cartésien
(Oxyz)
1.a)
1.b)
1.c)
1.d)
du vecteur d'onde ~k,
du champ électrique E~ ,
du champ magnétique B~ ,
et du vecteur de Poynting Π~ .
13.3
Planches d'oral
13.4
Travaux dirigés
13.D.1 - Equations de propagation et de dispersion
On s'intéresse à la propagation d'une OPPM de grandeurs complexes associées
˜
−j. ω.t−~
k.~
r
ψ̃ = ψm .e
dans diérents milieux.
I) Propagation dans le vide illimité :
Le milieu ne possède ni charge (ρ = 0), ni courant (~j = ~0).
Montrer qu'il y a propagation sans dispersion, ni absorption.
TD
II) Propagation dans les plasmas :
Le milieu est globalement neutre (ρ = 0) et suit la loi d'Ohm : ~˜j = σ̃.E˜~ . La conductivité complexe s'écrit
σ̃ =
j.ε0 .ωp2
ω
où la pulsation plasma est ωp ≈ 106 rad.s−1 .
Montrer que suivant les diérents domaines, la propagation dière :
• ω < ωp (ondes radio de grandes longueurs d'onde) : onde évanescente, donc réexion ;
• ω > ωp (ondes radio courtes jusqu'aux rayonnements γ ) : propagation avec dispersion, mais sans absorption.
III) Propagation dans les métaux :
Le milieu est globalement neutre (ρ = 0) et suit la loi d'Ohm : ~˜j = σ̃.E˜~ . La conductivité complexe s'écrit
σ̃ =
ε0 .ωp2 .τ
1 + j.ω.τ
où la pulsation plasma est ωp ≈ 1016 rad.s−1 et τ1 ≈ 1014 s−1 .
Montrer que suivant les diérents domaines, la propagation dière :
• ω τ1 ωp (ondes hertziennes) : propagation avec absorption et dispersion ;
• τ1 ω < ωp (ondes visibles) : onde évanescente, donc réexion ;
• τ1 ωp < ω (rayonnements UV) : propagation avec dispersion, mais sans absorption ;
• τ1 ωp ω (rayonnements ionisants) : propagation sans dispersion, et sans absorption.
IV) Propagation dans les diélectriques LHI, parfaits et non magnétiques :
Le milieu ne possède que des charges et des courants depolarisation
(charges liées) dont la densité volumique
~
~
de charge et le vecteur densité de courant sont ρP = −div P et jP = ∂∂tP~ où P~ est le vecteur polarisation. La
polarisation créée par le champ électrique extérieur est P~ = ε0 .χe .E~ où χe est la susceptibilité électrique qui vaut,
dans le modèle de l'électron élastiquement lié :
χe =
ω02
ω12
− ω2 +
j.ω0 .ω
Q
avec Q 1.
On note la permittivité relative du milieu εr = 1 + χe et on dénit l'indice complexe ñ du milieu par : k̃ = ñ ωc .
Montrer que suivant les diérents domaines, la propagation dière :
• ω ω0 ou ω ω0 : zone de transparence (propagation avec dispersion, mais sans absorption) ;
• ω0 − ωQ < ω < ω0 + ωQ : zone d'absorption (propagation avec dispersion et avec absorption).
Tracer les graphiques <(ñ) = f (ω) et =(ñ) = f (ω).
V) Propagation dans un guide d'onde à section rectangulaire :
Le milieu ne possède ni charge (ρ = 0), ni courant (~j = ~0), mais les conditions aux limites (champs nuls dans
le métal parfait) imposent des ondes non planes, comme les ondes T En,m qui obéissent à la relation de dispersion
suivante :
2 2
2
2
0
0
ω
c
= k2 +
m.π
a
+
n.π
b
= k2 +
ωc
c
où a et b sont les dimensions du guide (et n et m sont des entiers).
Montrer que seules les ondes de pulsation supérieures à ωc peuvent se propager dans le guide d'onde (il s'agit d'un
ltre passe haut) et qu'il y a propagation avec dispersion, mais sans absorption.
Déterminer les vitesses de phase vϕ et de groupe vg , et tracer vϕ = f (ω) et vg = f (ω) sur un même graphique.
Montrer que si λ a et b, on retrouve la propagation dans le vide illimité.
Méthode:
•
Equation de propagation
Il faut d'abord déterminer l'équation de propagation des ondes électromagnétiques. Pour cela, il y a deux méthodes
•
Champs réels
~ et B
~ qui suivent les équations de
• On peut démontrer l'équation de propagation pour les champs réels E
Maxwell :











•
~ =0
div B
ρ
~
div
E = ε0
~ = − ∂ B~
~ E
rot
∂t
~
~
~
~
rot B = µ0 .j + c12 ∂∂tE
Mais il faut découpler les équations de Maxwell. Pour cela, il sut de redériver une fois : prendre le
~
~ , grad
rotationnel d'une équation, en se rappelant que les dérivations temporelle ( ∂t∂ ) et spatiales (div, rot
et ∆) commutent. Enn, on a besoin de la formule :
~ ∧ ∇
~ ∧A
~ = ∇.
~ ∇.
~ A
~ − ∇2 .A
~
∇
soit :
•
~
~
~ − ∆A
~
~ rot
~ A
rot
= grad
div A
Champs complexes
• On peut associer à l'OPPM réelle
ψ (~r, t) = <(ψ̃) =
l'OPPM complexe
ψ̃ + ψ̃ ∗
2
~
ψ̃ = ψm .e−iω.t .e+i.k.~r .e+iϕ
NB : on aurait pu choisir une autre convention en changeant le signe dans l'exponentielle complexe. Aussi,
il est très important de bien déclarer sa convention ! Les opérateurs de dérivation sont à remplacer par :
•
→ −i.ω
~
∇ → +i.~k
On peut remplacer ψ par ψ̃ dans toutes les équations linéaires. En particulier, les grandeurs complexes
˜~ ˜~ ˜~
associées (ψ̃ = E,
B, A, Ṽ ) vérient les équations de Maxwell.
Les équations de Maxwell réécrites avec des OPPM complexes deviennent :











•
∂
∂t
˜~
=0
i.~k.B
˜
~ = ρ̃
i.~k.E
ε0
˜~
˜~
= i.ω B
i.~k ∧ E
˜~
˜~
˜
i.~k ∧ B
= µ0 .~j − i.ω
c2 .E
Là aussi, il faut découpler les équations de Maxwell. Pour cela, il sut de redériver une fois : faire le produit
vectoriel de ~k et d'une équation On a besoin de la formule :
~∧ B
~ ∧C
~ =B
~ A.
~C
~ −C
~ A.
~B
~
A
•
•
Equation de dispersion
Il faut maintenant passer impérativement aux champs complexes.
Avec les OPPM complexes, l'équation de dispersion (k̃ = f (ω)) arrive naturellement, après simplication de
l'équation de propagation.
Forme de la solution
A partir de l'équation de dispersion, il s'agit de déterminer le vecteur d'onde complexe (k̃) et en le réinjectant dans
l'expression de l'onde d'interpréter la forme de la solution donnée :
• si k̃ = ωc est réel, il y a propagation sans dispersion, et sans absorption ;
• si k̃ est réel mais k̃ 6= ωc , il y a propagation avec dispersion, mais sans absorption.
• si k̃ est complexe, il propagation avec absorption et dispersion ;
• si k̃ est imaginaire pur, l'onde est évanescente, il y a donc réexion.
13.5
Exercices maple
13.E.1 - Polarisation d'une OPPM
On s'intéresse à une OPPM :
maple
Ex = E0x cos (ω.t)
Ey = E0y cos (ω.t − ϕ)
1) Donner :
1.a) un graphique donnant la courbe paramétrique décrite par le vecteur E~ ;
1.b) une animation permettant de voir dans quel sens est décrit cette courbe.
Cinquième partie
Optique
153
Chapitre 14
Optique géométrique
14.1
Application directe du cours
14.A.1 - Dispersion de la lumière avec la loi de Cauchy
Un verre a l'indice n1 = 1, 595 pour la lumière à un bord du spectre visible (λ1
à l'autre bord du spectre visible (λ2 = 400nm, dans le violet).
On donne la loi de Cauchy : n = A + λB .
1) Déterminer :
n2 = 1, 625
= 750nm,
3/2
dans le rouge) et
2
1.a) B
1.b) et A.
2) Déterminer, pour un rayon de lumière verte (λ = 532nm) l'indice n de ce verre.
14.A.2 - Dispersion de la lumière blanche sur un dioptre verre-air
3/2
14.A.3 - Rayon traversant une lame de verre
3/2
14.A.4 - Angle de Brewster du verre de silice
3/2
Un verre a l'indice nr = 1, 595 pour la lumière rouge et nv = 1, 625 pour la lumière violette. Un rayon de lumière
blanche, qui contient ces deux couleurs, se propage dans ce verre et arrive à la surface de séparation avec l'air sous
une incidence i = 35.
1) Calculer l'angle α entre les rayons rouge et violet dans l'air.
2) Calculer l'angle de réfraction limite imax dans le verre pour ces deux longueurs d'onde.
Soit une lame de verre d'indice n = 1, 6, à faces parallèles, d'épaisseur e = 5cm, plongée dans l'air. Un rayon arrive
sur la face supérieure avec un angle d'incidence i1 = 75.
1) Calculer l'angle de réfraction i2.
2) Calculer l'angle i4 que fait le rayon émergent de la lame avec la normale.
On peut polariser de la lumière naturelle par réexion vitreuse, cette polarisation étant totale si l'angle d'incidence
sur le dioptre air (d'indice nair ) - verre (d'indice nv ) est l'angle de Brewster iB caractérisé par le fait que iB = i1 =
π
2 − i2 , où i2 est l'angle réfracté.
1) Exprimer iB en fonction de nv et nair uniquement.
Le verre de silice est dispersif. Son indice optique varie de n1 = 1, 456 pour λ = 700nm à n2 = 1, 470 pour
λ = 400nm.
2) Calculer les limites inférieure et supérieure des angles de Brewster d'une lumière blanche incidente sur ce verre.
i1
14.A.5 - Nature d'une lentille en fonction des rayons de courbure de ses dioptres
•
•
•
On admet que la vergence V d'une lentille de centre O est fonction :
de l'indice n du verre la constituant
du rayon de courbure du dioptre air-verre OC1 d'entrée
du rayon de courbure du dioptre verre-air OC2 de sortie
155
3/2
suivant la relation :
V = (n − 1)(
1
1
−
)
OC1
OC2
1) Relier à la vergence :
1.a) la distance focale objet OF
1.b) et la distance focale image OF 0.
2) Donner le signe de V et en déduire le caractère convergent ou divergent des lentilles :
2.a) plan-concave ;
2.b) plan-convexe ;
2.c) concave-plan ;
2.d) convexe-plan ;
2.e) convexe-concave ;
2.f) concave-convexe ;
2.g) convexe-convexe ;
2.h) concave-concave.
3) En déduire en toute généralité la nature des lentilles :
3.a) à bords minces ;
3.b) à bords épais.
14.A.6 - Projection d'une diapositive
3/2
Une diapositive a comme dimensions 24mm × 36mm. On la projette sur un écran placé à une distance L de la
lentille de focale f 0 = 10cm du projecteur.
La mise au point se fait en changeant la distance diapositive-lentille. Cette dernière varie dans le domaine
[101mm; 120mm].
1) Dans quel domaine varie L pour avoir uneL image nette sur l'écran ?
2) Montrer que le grandissement est γ ≈ − f .
3) Pourquoi faut-il mettre la diapositive à l'envers dans le projecteur ?
4) Si on dispose d'un écran de largeur l = 1, 80m, à quelle distance maximale du mur Lmax faut-il disposer le
projecteur ?
0
14.A.7 - Autocollimation
3/2
On accole à une lentille mince convergente de focale f un miroir plan. On positionne un objet A sur l'axe optique
de façon à ce que son image A0 lui soit superposée.
1) Déterminer la distance d entre A et la lentille.
2) Quel est le grandissement transversal γ ?
0
14.A.8 - Association de deux lentilles
3/2
0
1) Soit une lentille convergente L1, de focale f1 = 10cm. Un objet de hauteur 24m est placé à 1200m de la lentille
L1 . Calculer :
1.a) la position
1.b) et la taille de l'image.
2) On place ensuite une lentille divergente L2 de focale f20 = −4cm à 6, 5cm derrière L1. Calculer :
2.a) la position
2.b) et la taille de l'image.
14.A.9 - Un miroir plan comme rétroviseur
3/2
On s'intéresse à un miroir plan faisant oce de rétroviseur intérieur de voiture. Le conducteur observe à une distance
du rétroviseur la lunette arrière de largeur L = 1, 2m placée à une distance D = 1, 8m du rétroviseur.
1) Quelle doit être la largeur l du rétroviseur pour que toute la lunette arrière soit visible ?
d = 40cm
14.A.10 - Image dans un miroir convexe
3/2
On considère un miroir sphérique convexe de 1,2 m de rayon. Un objet lumineux AB (A est sur l'axe du miroir)
de 3 cm de hauteur est placé à 40 cm devant le miroir.
1) Déterminer pour l'image A0B0 de AB :
1.a) la position,
1.b) la nature,
1.c) et la taille.
14.A.11 - Se regarder dans un miroir convexe
3/2
14.A.12 - Miroir concave
3/2
1) Quelle est sa distance focale f 0 ?
2) Ce miroir est placé à la distance D = 5, 0m d'un écran E .
2.a) Où doit-on mettre un petit objet pour en avoir une image nette sur E ?
2.b) Quel est le grandissement γ ?
14.A.13 - Petite cuiller
3/2
On s'intéresse à un miroir sphérique convexe de rayon R, de sommet S , de centre C .
Soit un objet en A et son image par le miroir en A0 .
1) Rappeler la formule de conjugaison avec origine au sommet.
2) Exprimer le grandissement γ en fonction de SA et de SA0.
3) En déduire la position SA de l'objet en fonction de γ et du rayon de courbure R du miroir.
Application : on veut placer un objet auprès d'un miroir sphérique convexe de rayon R = 1, 0m, de telle sorte que
γ = 0, 50.
4) Que vaut alors SA ?
On dispose d'un miroir concave de rayon R = 1, 0m.
On s'intéresse à un homme qui se regarde dans une petite cuiller placée à une distance d
assimilera la cuiller à un miroir sphérique de rayon R = 5, 0cm.
1) Quel est le grandissement γ de son image
1.a) lorsqu'il regarde le côté creux ?
1.b) lorsqu'il regarde le côté bombé ?
14.2
= 40cm
de lui. On
Entraînement
14.B.1 - Déviation par une lame de verre
5/2
14.B.2 - Détermination de l'indice d'un liquide
5/2
14.B.3 - Construction de Huygens
5/2
Soit une lame de verre d'indice n = 1, 6, à faces parallèles, d'épaisseur e = 5cm, plongée dans l'air. Un rayon arrive
sur la face supérieure avec un angle d'incidence i1 = 75.
1) Calculer la déviation latérale d entre les rayons incident sur la lame et émergent de la lame.
Deux ls parallèles, distants de a, sont maintenus à la surface d'un liquide d'indice n, grâce à des otteurs. Le
liquide est placé dans un récipient dont le fond est un miroir plan. Soit h la hauteur du liquide, cette hauteur est
réglable grâce à un dispositif à vases communiquants. On observe un des ls sous une incidence i donnée, et on règle
h de façon à ce que l'image de l'autre l coïncide avec le l observé.
1) Donner l'expression de n en fonction de i, a et h.
On considère un dioptre plan qui sépare deux milieux d'indices de réfraction respectifs n1 et n2 . Un rayon lumineux
arrive sur ce dioptre en I (cf. gure 14.1).
Dans le plan d'incidence, on trace deux cercles de centre I : C1 a un rayon ρ1 = n1 et C2 a un rayon ρ2 = n1 .
On note H , le point situé dans le milieu 2, à l'intersection du rayon incident et du cercle C1 . J est l'intersection
de la trace du dioptre avec la tangente en H au cercle C1 . Enn, K est le point du milieu 2 où la droite passant par
J est tangente au cercle C2 .
~ JH)
~ et θ2 = (JI,
~ JK)
~ .
On pose les angles θ1 = (JI,
θ
1) Que vérie sin
en
fonction
de
n
et
n
?
1
2
sin θ
2) Que peut on en déduire ?
AI
1
1
2
2
Fig.
14.1 Construction de Huyghens
14.B.4 - Réexion totale sur un prisme
5/2
14.B.5 - Lame à face parallèle
5/2
On s'intéresse à un prisme dont le plan de section principale ABC est plan d'incidence d'un rayon lumineux qui
arrive sur le côté AB sous l'incidence i au dessus de la normale.
1) Ecrire la loi de la réfraction qui lie i à r, l'angle que fait le rayon après cette réfraction.
2) Relier les angles r, B̂ et i2 (l'angle d'incidence sur le côté BC ).
3) Exprimer la condition limite sur l'angle i2 et sur l'indice n pour qu'il y ait réexion totale sur BC .
4) Trouver la2 condition
liant i, B̂ et n pour qu'il y ait réexion totale sur BC .
On donne sin α + cos2 α = 1 et sin (α ± β) = sin α. cos β ± cos α. sin β .
Un faisceau de lumière parallèle tombe sur une lame à faces parallèles, d'épaisseur e, d'indice n par rapport à l'air,
sous un angle α avec le plan de la lame.
Il sort par la face inférieure après avoir subi un nombre pair de réexions à travers la lame.
1) Quel est l'angle αk que fait le kième rayon émergeant (à la date tk ) avec le plan de la lame ?
2) Quelle serait la longueur L que la lumière parcourrait dans le vide pendant tk+1 − tk , en fonction de r, l'angle
que fait le premier rayon réfracté par rapport à la normale au dioptre air-verre ?
3) Calculer L0 correspondant à l'incidence rasante.
14.B.6 - Arc en ciel
5/2
1) Un rayon de lumière monochromatique pénètre dans une sphère homogène d'indice n sous une incidence i, il
subit p réexions partielles à l'intérieur de la sphère avant de sortir.
1.a) Calculer la déviation D du rayon émergent par rapport au rayon incident en fonction de i et r, l'angle du
premier rayon réfracté.
1.b) Montrer que cette déviation passe par un extremum lorsque i = im. On donnera cos im en fonction de n
et p.
2) Applications numériques pour l'arc-en-ciel. Calculer pour n = 1, 33 et p = 1 :
2.a) l'angle d'incidence im
2.b) et la déviation Dm correspondante.
14.B.7 - Grandissement d'un rétroviseur
5/2
Un rétroviseur de voiture est un miroir sphérique convexe de rayon R = 20cm, de sommet S , de centre C .
Soit un objet (une voiture par exemple) en A et son image par le miroir en A0 .
1) Rappeler la formule de conjugaison avec origine au sommet.
2) Exprimer le grandissement γ en fonction de SA et de SA0.
3) En déduire le grandissement γ en fonction de la position SA de l'objet et du rayon de courbure R du miroir.
4) Tracer γ = f (SA) dans le cas qui nous intéresse.
14.B.8 - Taille des objets observables dans un miroir de rue
5/2
Soit un objet (une voiture par exemple) en A et son image par un miroir en A0 .
On observe à une distance o = 70cm, dans un miroir de sommet S et d'ouverture d = 15cm, un objet placé à une
distance x = −SA > o sur l'axe optique.
1) Miroir plan :
On suppose dans un premier temps que ce miroir est plan.
1.a) Exprimer le grandissement transversal γp(x) en fonction de la position de l'objet repérée par x.
1.b) Montrer que la taille transversale maximum que l'on puisse observer d'un objet à une distance x du miroir
est tp (x) = d. (1 + α.x). On donnera α en fonction o.
1.c) Application numérique : que vaut tp(x) pour x = 3, 0m ?
2) Miroir sphérique :
An d'augmenter le champ de vision, on suppose maintenant qu'il s'agit d'un miroir sphérique convexe de rayon
R = 50cm.
2.a) Exprimer le grandissement transversal γs(x).
2.b) Montrer que la taille transversale maximum que l'on puisse observer d'un objet à une distance x du miroir
est ts (x) = d. (1 + β.x). On donnera β en fonction o et R.
2.c) Application numérique : que vaut ts(x) pour x = 3, 0m ?
14.B.9 - Deux miroirs plans
5/2
Deux miroirs plans presque orthogonaux M1 et M2 forment entre eux un angle − ε avec ε = 1 . Leur arête
commune est notée A, et le plan perpendiculaire à cette arête est Π. Dans le plan Π, à la distance d = 10cm de A, on
dispose une source lumineuse ponctuelle S et on observe les images de S formées, l'une (S1 ) par réexions successives
sur M1 puis M2 et l'autre (S2 ) par réexions successives sur M2 puis M1 .
1) Calculer les distances AS1 et AS2.
2) Calculer la distance S1S2.
π
2
0
14.B.10 - Distance minimale objet réel - image réelle avec une lentille convergente
5/2
1) Question préliminaire :
1.a) Rappeler les formules de conjugaison
avec origine au centre entre un point objet en A et son image en A0
0
pour une lentille convergente de focale f .
1.b) Exprimer OA0 en fonction de OA et f 0.
1.c) En déduire la distance d = AA0 entre l'objet et son image en fonction de OA et f 0.
2) Distance minimale entre objet et image :
2.a) Pour quelle valeur de OA atteint-on le minimum de d ?
2.b) Que vaut alors OA0 ?
2.c) En déduire la distance minimale dmin entre un objet réel et son image réelle obtenue avec une lentille
mince convergente.
14.B.11 - Netteté d'un cliché photographique
5/2
L'objectif d'un appareil photographique est assimilé à une lentille mince convergente de centre O de distance focale
et de diamètre d = 5, 0cm.
1) On photographie un objet situé à une très grande distance.
Pour eectuer la mise au point, on fait varier la distance de la lentille au plan du lm de telle façon qu'une image
nette se forme sur la pellicule.
1.a) Où doit être placée la pellicule ?
Sur cette prise de vue, il y a un motif placé sur l'axe de la lentille à une distance OA = −3, 0m.
Les rayons provenant de A forment sur la pellicule une tache de rayon t.
1.b) Déterminer t.
L'image de A est nette si t < 200µm.
1.c) L'image de A est-elle nette sur le cliché ?
On déplace la pellicule de manière à ce que l'image de B soit nette sur la pellicule. Déterminer les distances
minimale et maximale correspondantes de p1 et p2 . Déterminer la profondeur de champ p1 - p2 .
f 0 = 12cm
14.B.12 - Un miroir convexe comme rétroviseur
5/2
On s'intéresse à un miroir sphérique convexe de focale f , de largeur l faisant oce de rétroviseur intérieur de
voiture. Le conducteur observe à une distance d = 40cm du rétroviseur la lunette arrière de largeur L = 2, 0m placée
à une distance D = 2, 0m du rétroviseur.
1) Quelle doit être la focale f 0 du rétroviseur pour que toute la lunette arrière soit visible ?
0
14.3
Planches d'oral
14.4
Travaux dirigés
14.D.1 - Recherche d'images optiques
TD
Déterminer l'image A0 , sa nature (réelle ou virtuelle), le grandissement γ , pour un objet A sur l'axe optique (dont
on donnera la nature)
1. d'une lentille convergente de centre O, de focale f 0 avec :
(a) OA = ±∞ ;
(b) OA < −2.f 0 ;
(c) OA = −2.f 0 ;
(d) OA ∈ ]−2.f 0 ; −f 0 [ ;
(e) OA = −f 0 ;
(f) OA ∈ ]−f 0 ; 0[ ;
(g) OA > 0.
2. d'une lentille divergente de centre O, de focale f avec :
(a) OA = ±∞ ;
(b) OA < 0 ;
(c) OA ∈ ]0; f [ ;
(d) OA = f ;
(e) OA ∈ ]f ; 2.f [ ;
(f) OA = 2.f ;
(g) OA > 2.f .
3. d'un miroir convergent de sommet S , de focale f avec :
(a) SA = ±∞ ;
(b) SA < 2.f ;
(c) SA = 2.f ;
(d) SA ∈ ]2.f ; f [ ;
(e) SA = f ;
(f) SA ∈ ]f ; 0[ ;
(g) SA > 0.
4. d'un miroir divergent de sommet S , de focale f avec :
(a) SA = ±∞ ;
(b) SA < 0 ;
(c) SA ∈ ]0; f [ ;
(d) SA = f ;
(e) SA ∈ ]f ; 2.f [ ;
(f) SA = 2.f ;
(g) SA > 2.f .
Méthode:
•
Choix de l'objet
• Tout objet A sur l'axe optique aura une image A0 sur l'axe.
Pour déterminer l'image A0 , il faut considérer B , hors de l'axe optique, dans le même plan perpendiculaire à
l'axe que A. Cet objet B a pour image B 0 , hors de l'axe optique, dans le même plan perpendiculaire à l'axe
que A0 .
• Pour déterminer B 0 , il faut regarder l'intersection d'au moins deux rayons provenant de B , suivant les règles
qui suivent.
Pour les lentilles
• Les rayons passant par le centre O d'une lentille ne sont pas déviés.
• Les rayons incidents sur la lentille passant par le foyer objet F sortent parallèlement à l'axe optique.
• Les rayons incidents sur la lentille parallèles à l'axe optique sortent en passant par le foyer image F 0 .
Pour les miroirs sphériques
• Tout rayon incident sur le miroir sphérique passant par le centre C est rééchi par le miroir dans une direction
qui passe aussi par C .
• Tout rayon incident sur le miroir sphérique avec un angle α par rapport à l'axe optique passant par le sommet
S est rééchi par le miroir dans une direction qui fait un angle −α par rapport à l'axe optique.
• Tout rayon incident sur le miroir sphérique passant par le foyer objet F est rééchi parallèlement à l'axe optique.
• Tout rayon parallèle à l'axe optique incident sur le miroir sphérique est rééchi suivant une direction passant
par le foyer image F 0 .
•
•
•
14.5
Exercices maple
Chapitre 15
Optique ondulatoire
15.1
Application directe du cours
15.A.1 - Intensité résultant de l'éclairage par deux sources en fonction de la distance
Soient deux lampes spectrales qui émettent la même puissance P .
3/2
1) Calculer l'intensité reçue en un point M situé à égale distance D des deux sources en fonction de cette distance.
15.A.2 - Le pêcheur et le poisson
3/2
Un pêcheur (H ), dont les yeux sont à HS = 1, 20m au dessus de l'eau (d'indice n = 1, 33), regarde verticalement
un poisson P situé à SP = 0, 60m au dessous de l'eau.
1) A quelle distance d1 le pêcheur voit-il le poisson ?
2) A quelle distance d2 le poisson voit-il le pêcheur ?
15.A.3 - Doublet du sodium
3/2
On réalise des interférences (la diérence de marche est δ) avec comme éclairage une lampe à vapeur de sodium,
qui a deux raies très proches et de même intensité (λ1 = 589, 6nm et λ2 = 589, 0nm).
1) Calculer numériquement σ1 = λ1 , σ2 = λ1 , σ = σ +σ
et ∆σ = |σ1 − σ2 |.
2
2) Exprimer l'intensité résultant de l'interférence en fonction de σ et ∆σ.
3) Donner les valeurs de δ pour lesquelles il y a brouillage des interférences.
4) En déduire la période ∆δ des battements. Application numérique.
1
1
2
2
15.A.4 - Angle entre deux miroirs de Fresnel
3/2
On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel qui font entre eux un angle α inconnu. Ils sont éclairés par un laser
hélium-néon (de longueur d'onde λ = 632, 8nm) qui voit son faisceau élargi par un objectif de microscope placé à une
distance d = 20cm de l'arête des miroirs. On observe des franges sur un écran à une distance D = 1, 6m de cette
arête, grâce à une loupe de focale f 0 = 10cm. A travers cette loupe, on voit (sans accomoder) deux franges lumineuses
consécutives à l'inni, écartées d'un angle β = 10 .
1) Quelle est l'interfrange i ?
2) En déduire la valeur numérique ende α, l'angle entre les deux miroir.
15.A.5 - Interfranges avec des miroirs de Fresnel éclairé par une lampe au mercure
3/2
On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel qui font entre eux un angle α = 4 0”. Ils sont éclairés par une fente ne
parallèle à l'arête des miroirs à une distance d = 40cm de cette arête. On observe des franges sur un écran à une
distance D = 1, 6m de cette arête.
1) Quelle est l'interfrange i des franges avec les diérentes longueurs d'onde du mercure :
0
1.a)
1.b)
1.c)
1.d)
λ1 = 405nm
λ2 = 436nm
λ3 = 546nm
λ4 = 579nm
163
15.A.6 - Brouillage des interférences avec une lampe au sodium
3/2
15.A.7 - Déplacement des franges
3/2
15.A.8 - Michelson en coin d'air
3/2
15.A.9 - Michelson en coin d'air
3/2
Un dispositif interférentiel à division du front d'onde est équivalent à des fentes d'young éloignées de a = 4, 0mm.
On observe les interférences sur un écran à une distance D = 1, 0m de ces fentes. La lumière est obtenue à l'aide d'une
lampe à vapeur de sodium de longueurs d'onde λ1 = 589, 0nm et λ2 = 589, 6nm.
1) Exprimer l'interfrange ik pour la longueur d'onde k, en déduire numériquement
1.a) l'interfrange moyen i
1.b) et l'écart entre les interfranges i2 − i1.
2) En déduire la distance l de la frange centrale pour laquelle il y a brouillage des interférences.
Un système de fentes d'Young F1 et F2 (parallèles à Ox), éloignées de a = 1, 0mm suivant Oy est éclairé par une
lampe à vapeur de sodium de longueur d'onde λ = 589nm, On observe les interférences sur un écran à une distance
D = 1, 2m de F1 et F2 .
1) Calculer l'interfrange i.
2) On place devant F1 une lame mince de verre d'indice n = 1, 5 et d'épaisseur e = 5, 0µm. Calculer le décalage
∆y des franges.
On s'intéresse à un michelson réglé en coin d'air, l'angle entre les deux miroirs étant θ. On observe les interférences
créées par une lampe monochromatique large (de longueur d'onde λ) grâce à une lentille convergente de focale f 0
placée à une distance l1 des miroirs.
1) Comment éclairer les miroirs ?
2) Localisation des interférences :
2.a) Les interférences sont-elles localisées ?
2.b) Où ?
2.c) Où les observe-t-on grâce à la lentille (on donnera la distance l2 entre
la lentille et le plan d'observation) ?
2.d) Quel est alors le grandissement du montage γ en fonction de f 0 et l1 ?
3) Franges d'interférences :
3.a) Quelle est la forme des franges ?
3.b) Que vaut l'interfrange sur l'écran d'observation i en fonction de λ, θ, f 0 et l1 ?
3.c) Que se passe-t-il si les miroirs sont parallèles ?
On s'intéresse à un michelson réglé en coin d'air, l'angle entre les deux miroirs étant θ. On observe les interférences
créées par une lampe monochromatique large (de longueur d'onde λ) grâce à une lentille convergente de focale f 0
placée à une distance l1 des miroirs.
1) Comment éclairer les miroirs ?
2) Localisation des interférences :
2.a) Les interférences sont-elles localisées ?
2.b) Où ?
2.c) Où les observe-t-on grâce à la lentille (on donnera la distance l2 entre
la lentille et le plan d'observation) ?
2.d) Quel est alors le grandissement du montage γ en fonction de f 0 et l1 ?
3) Franges d'interférences :
3.a) Quelle est la forme des franges ?
3.b) Que vaut l'interfrange sur l'écran d'observation i en fonction de λ, θ, f 0 et l1 ?
3.c) Que se passe-t-il si les miroirs sont parallèles ?
15.A.10 - Angle maximal d'un coin d'air
3/2
1) On s'intéresse à un michelson réglé en coin d'air dont on observe les franges d'égale épaisseur sur un écran
conjugué du coin d'air par une lentille convergente. On prendra pour longueur d'onde moyenne : λ = 600nm.
1.a) Rappeler la valeur de l'interfrange i sur 0le coin d'air en fonction de l'angle du coin d'air α et de λ.
1.b) En déduire la valeur de l'interfrange i sur l'écran en fonction de α, de λ et du grandissement γ du
montage.
2) Les miroirs au Michelson ont un diamètre de 2cm et sur l'écran, on observe les franges dans une tache lumineuse
circulaire de 14cm de diamètre. Calculer le grandissement γ du montage.
3) Connaissant le pouvoir séparateur linéique de l'÷il (0, 1mm), calculer l'angle maximal αmin (en minutes d'arc)
que doit faire le coin d'air pour qu'on puisse eectivement discerner les franges sur l'écran.
15.A.11 - Passage du coin d'air aux miroirs parallèles
3/2
1) On s'intéresse à un michelson (dont les miroirs ont un diamètre d = 4, 0cm) réglé en coin d'air. On observe les
franges d'égale épaisseur sur un écran conjugué du coin d'air par une lentille convergente. On prendra pour longueur
d'onde moyenne : λ = 600nm.
1.a) Rappeler la valeur de l'interfrange i sur le coin d'air en fonction de l'angle du coin d'air α et de λ.
Au cours du réglage du Michelson en lame d'air à faces parallèles, on passe par une étape où on agrandit les franges
du coin d'air jusqu'à n'en obtenir plus qu'une seule.
1.b) Donner alors un ordre de grandeur de l'angle α du coin d'air (en secondes d'arc).
15.A.12 - Largeur d'un faisceau laser
3/2
15.A.13 - Les phares de voiture la nuit
3/2
15.A.14 - Brouillard
3/2
15.A.15 - Positions des ordres d'un réseau
3/2
15.A.16 - Détermination d'une raie inconnue par un réseau
3/2
15.A.17 - Réseau eclairé par une lampe à vapeur de mercure
3/2
Un laser hélium-néon émet une onde quasiment plane et monochromatique de longueur d'onde λ = 633nm.
A la sortie du laser, le faisceau est limité par un trou du diamètre du faisceau de sortie : D1 = 3, 0mm.
1) Déterminer l'ordre de grandeur du diamètre D du faisceau à une distance :
1.a) L = 15m ;
1.b) L = 150m.
Les deux phares avant (supposés ponctuels) d'une voiture observée à une distance D (très grande) sont distants
de l = 1, 4m.
1) Quel est l'angle α sous lequel on voit ces deux phares ?
Le diamètre de la pupille de l'÷il est d = 5mm.
2) Quelle est l'ouverture angulaire δθ de la tache de diraction donnée par un phare ? On prendra une longueur
d'onde moyenne de la lumière : λ = 600nm.
Le critère de Rayleigh stipule que deux images sont séparées si la distance entre les deux images est supérieure au
diamètre de la tache de chacune des images.
3) Déterminer la distance Dmax à partir de laquel l'÷il peut séparer l'image des deux phares. Application numérique.
On observe une source ponctuelle blanche (λ ≈ 0, 6µm) à l'inni à travers un brouillard est constitué de goutelettes
opaques de rayon r. On visualise un halo irisé, de premier anneau sombre obtenu pour l'angle θ = 2.
1) En déduire r. Application numérique.
Soit un réseau à 8 000 LPI (traits par pouce, où 1in = 2, 5cm).
1) Situer les positions angulaires θp (en ) des maxima principaux pour un faisceau en incidence normale et de
longueur d'onde λ = 546nm.
On eclaire un réseau de n = 547 traits /mm en incidence quasi-normale par une raie de longueur d'onde λ inconue
et on observe les déviations suivantes : θ−2 = −3234”, θ+2 = 3231”.
1) Déterminer λ.
On eclaire un réseau de pas a par la raie verte du mercure (λ = 546, 1nm), et on observe
θ−3 = −6340”, θ−2 = −3641”, θ−1 = −1724”, θ+1 = 1722”, θ+2 = 3622”, θ+3 = 6337”.
1) Déterminer :
1.a) a, le pas du réseau ;
1.b) n, le nombre de traits par mm du réseau.
les déviations suivantes :
15.A.18 - Réseau eclairé par une lumière blanche
3/2
On eclaire un réseau de n = 500 traits /mm en incidence quasi-normale par une lumière blanche (dont les longueurs
d'ondes sont dans le domaine λ ∈ [400nm; 750nm]).
1) Pour chaque ordre k, déterminer en degré les déviations minimale θmin et maximale θmax .
2) En déduire :
2.a) le nombre de spectres complets observables ;
2.b) les ordres des spectres sans recouvrement.
k
15.A.19 - Réalisation d'un monochromateur
k
3/2
Un réseau 15 000 LPI (traits par pouce, où 1in = 2, 5cm) est éclairé en incidence normale par une lumière blanche.
Un spectre se forme sur un écran parallèle au réseau, situé à d = 50cm du réseau.
1) Si on perce un trou de ∆x = 5mm de côté dans l'écran et dont le centre est placé à x = 20cm de l'image
géométrique parallèlement aux traits du réseau, quel sera le domaine de longueurs d'onde sélectionné par le trou ?
15.2
Entraînement
15.B.1 - Nombre d'anneaux visibles avec le michelson en miroirs parallèles
5/2
On s'intéresse à un michelson réglé en miroirs parallèles, la distance entre les deux miroirs étant e. On observe les
interférences créées par une lampe monochromatique (de longueur d'onde λ) dans le plan focal image d'une lentille
(de focale f 0 ).
1) Questions préliminaires :
1.a) Exprimer la diérence de marche ∆ en fonction de θ.
1.b) Les conditions de Gauss étant vériées, donner une expression approchée de ∆ grâce à un développement
limité au premier ordre non nul en θ.
1.c) Relier la distance r au foyer image F 0 de cette lentille à l'inclinaison θ des rayons avec l'axe optique avant
la lentille.
1.d) En déduire l'intensité lumineuse I en un point M situé à une distance r du foyer image F 0.
2) Etude des anneaux :
2.a) Montrer que le rayon de l'anneau correspondant à l'ordre d'interférence p est de la forme
p
rp = f 0 . a − b.p
On exprimera en particulier a et b.
2.b) En notant E(x), la fonction partie entière de x, exprimer n(e), le nombre d'anneaux visibles en fonction
de e, λ et θmax , l'angle d'incidence maximum.
2.c) Que se passe-t-il à la teine plate ? Comment évolue n(e) quand on s'éloigne de la teinte plate ?
15.B.2 - Couche anti-reet
5/2
En vue de constituer une couche antireets dans le visible (on prendra λ0 = 550nm), on dépose sur un verre
d'indice n0 = 1, 7 une lame d'épaisseur e et d'indice n1 = 1, 3. On admet qu'ainsi, les ondes rééchies respectivement
sur les dioptres air-couche antireet et couche antireet-verre ont même intensité I0 .
1) Que doit vérier e en fonction de λ0 et n pour que, sous incidence normale θ = 0, la lumière rééchie soit
totalement supprimée ?
2) Quelle est alors la fraction de lumière rééchie 2.II pour les longueurs d'ondes
2.a) λ1 = 400nm ?
2.b) et λ2 = 750nm ?
0
15.B.3 - Bulle de savon
5/2
On s'intéresse à une bulle de savon qui otte dans l'air, qu'on assimilera à une pellicule d'eau savonneuse d'épaisseur
et d'indice n = 1, 33. Elle est éclairée perpendiculairement par un faisceau de lumière blanche, dont on observe la
réexion.
1) Calculs généraux :
1.a) Exprimer la diérence de phase entre les deux rayons rééchis.
1.b) En déduire une condition pour qu'il y ait interférence constructive sur λ, n et e.
e,
1.c) Faire de même pour qu'il y ait interférence destructive.
2) Applications :
On observe des interférences constructives pour λ1 = 600nm et des interférences destructives pour λ2 = 450nm.
On n'observe pas de minimum d'intensité entre ces deux valeurs.
2.a) En déduire son épaisseur e supposée uniforme.
Sous l'eet de la gravité, l'eau savonneuse s'écoule et le lm s'amincit, au sommet de la bulle en premier.
2.b) Quelle est la couleur au sommet de la bulle juste avant qu'elle n'éclate ?
15.B.4 - Principe de la spectrométrie par transformation de Fourier
5/2
On éclaire un interféromètre de Michelson, dont les miroirs sont symétriques par rapport à la séparatrice. On
considère que les éclairements dus aux deux voies de l'interféromètre prises isolément sont égaux.
On fait tourner à vitesse uniforme à l'aide d'un moteur la vis de translation d'un des miroirs, ce qui le translate
de x = v.t à l'instant t ; v = 1, 0mm/s est constant.
E(x) est l'éclairement du point central de la gure d'interférence observée à l'inni (dans le plan focal d'une
lentille). Grâce à un choix judicieux des origines, la diérence de marche en ce point est ∆ = 2.x.
On enregistre avec un photorécepteur un signal s(t) (une tension, par exemple) proportionnel à l'éclairement E(t).
1) Principe du lambdamètre
On s'intéresse à une source lumineuse monochromatique de fréquence ν0
1.a) Exprimer s(t).
1.b) Tracer s(t).
1.c) En déduire une méthode de mesure de la longueur d'onde. Application : quelles sont la fréquence f et la
période T du signal s(t) observées à l'oscillo pour un laser hélium-néon de longueur d'onde λ = 632, 8nm ?
2) Modèle du train d'onde
La source émet une onde quasi monochromatique de fréquence ν0 que l'on peut comprendre comme la succession de
trains d'ondes de même fréquence, de même amplitude et de même durée d'émission τc , mais de phases aléatoirement
diérentes (cf. gure 15.1).
15.1 Train d'onde
2.a) Soit ϕ = ϕ1 − ϕ2, le déphasage entre les deux ondes qui interfèrent. Déterminer la valeur moyenne hcos ϕi
si ∆ = 0 (teinte plate), ∆ > lc = c.τc et ∆ ∈ [0; lc ].
2.b) En déduire E(x).
2.c) Tracer E(x). A quelles positions x1 et x2 les interférences sont elles brouillées ? On pose ∆x = |x1 − x2|.
3) Principe de la spectroscopie de Fourier
On s'intéresse maintenant à une source lumineuse quelconque (polychromatique) dont on suppose connu le spectre
+∞
R
(I = Iν (ν) dν , cf. gure 15.2).
0
3.a) Quel est l'intérêt du montage du Michelson en miroirs parallèles ?
3.b) Exprimer l'eclairement E(x) en fonction de Iν .
3.c) On détecte s0(x), l'enveloppe de E(x). Pourquoi ? Proposer un montage électronique pour ce faire.
Fig.
Fig.
15.2 Spectre d'une source large
4) Largeur d'une raie spectrale
La source émet une onde quasi monochromatique de fréquence moyenne νw u On suppose que Iν est rectangulaire
(cf. gure 15.2). On note ∆ν la largeur totale à mi-hauteur de Iν .
4.a) Trouver E(x) en fonction de ν0 et ∆ν .
4.b) Tracer s0(x). A quelles positions x1 et x2 les interférences sont elles brouillées ? On pose ∆x = |x1 − x2|.
4.c) Applications :
Dans chacun des cas suivants, calculer ∆x et conclure quant à la faisabilité de la mesure de la largeur de la raie
∆ν par ce dispositif.
Source Position de la raie Largeur à mi-hauteur
Laser Hélium-Néon
λ = 632, 8nm
∆ν = τ1 ≈ 10M Hz
Raie rouge du cadmium
λ = 643, 8nm
∆ν = τ1 ≈ 1GHz
Raie verte d'une lampe Hg basse pression
λ = 546, 1nm
∆λ ≈ 5.10−2 nm
Filtre interférentiel
λ = 500nm
∆λ ≈ 5nm
Filtre coloré
λ ∈ [500nm; 550nm]
Lumière blanche
λ ∈ [400nm; 750nm]
∆x
c
c
I) Séparation d'un doublet
La source émet deux ondes monochromatiques de même intensité, de fréquences νx et νy s très proches : ∆ν
=
= ν0 u
Déterminer E(x) en fonction de ν0 et ∆ν .
Tracer E(x). Quelles sont les positions xn pour lesquelles les interférences sont brouillées ? L'interféromètre
a un bras de longueur lmax = 10cm. Quelle est le plus petit écart ∆νmin entre deux raies discernable par le dispositif ?
Exemple du doublet jaune du sodium : λ1 = 589, 0nm et λ2 = 589, 6nm. Peut-on résoudre ce doublet avec le
|ν1 − ν2 | <<
I.1)
I.2)
ν1 +ν2
2
dispositif précédent ?
I.3) Combien compte-t-on de franges entre deux brouillages ? Il est possible de limiter l'erreur à deux franges.
Application : Quel est le nombre de franges comptées pendant un battement sur un interférogramme du doublet jaune
du sodium ? En déduire la précision expérimentale sur la mesure.
15.B.5 - Limitation du taux de transfert d'une bre optique
5/2
15.B.6 - Cohérence temporelle d'une source
5/2
15.B.7 - Longueur de cohérence
5/2
Une impulsion lumineuse de courte durée envoyée dans une bre optique d'indice n = 1, 5 subit un élargissement
temporel lorsqu'elle ressort de celle-ci. Ceci limite rapidement le taux maximal de transfert d'informations à grande
distance. En eet, les rayons lumineux d'inclinaisons diérentes n'ont pas le même chemin à parcourir dans la bre,
donc leur temps de parcours est variable.
1) Calculer la diérence de temps ∆t mis par deux rayons lumineux se propageant dans une bre optique de
longueur L = 10km, l'un sur l'axe de la bre et l'autre incliné de θ = 20par rapport à celui-ci.
2) Quel nombre d'informations N peut transférer une telle bre par unité de temps ?
On s'intéresse à une source lumineuse qui envoie un rayonnement sinusoïdal pendant la durée ∆t, supposée parfaitement connue. On compte N périodes avec une incertitude sur ce décompte de ∆N ≈ 1.
1) Quelle est la fréquence ν et la longueur d'onde λ du signal en fonction de c, ∆t et N ?
2) Exprimer les incertitudes ∆ν sur la fréquence et ∆λ sur la longueur d'onde en fonction de c, ∆t et N .
3) Quelle est la longueur de cohérence lc des trains d'onde ?
4) Trouver une relation liant l'incertitude ∆E sur l'énergie des photons envoyés par la source et la durée d'émission
∆t.
5) Applications numériques : la longueur d'onde est λ = 500nm exprimer N , lc et ∆λ si
5.a) ∆t = 1ns ;
5.b) ∆t = 1ps ;
5.c) ∆t = 10f s.
On s'intéresse à une source blanche avec un ltre interférentiel dans le vert.
1) Calculer la longueur de cohérence temporelle de cette source de largeur ∆λ = 10nm autour de la longueur
d'onde λ = 546nm.
15.B.8 - Trous d'Young sans diraction
5/2
15.B.9 - Création d'un réseau grâce à un interféromètre à division du front d'onde
1) Généralités :
5/2
15.B.10 - Miroir de Loyd
5/2
15.B.11 - Miroirs de Fresnel
5/2
Une source ponctuelle S0 (en (0, 0, −l0 )) monochromatique (de longueur d'onde λ) éclaire un écran opaque (placé
en z = −D, où D < l0 ) est percé de deux trous ponctuels S1 (en ( a2 , 0, −D)) et S2 (en (− a2 , 0, −D)). On observe les
inteférences sur un écran en z = 0.
1) Calculs généraux :
On considère que les trous envoient, sur tout l'écran, des ondes de même intensité I0 . On néglige donc le phénomène
de diraction.
1.a) Exprimer l'éclairement E en fonction de ∆, la diérence de marche au point M et I0.
1.b) Déterminer la diérence de marche ∆ pour le point M placé en (x, y, 0).
2) On suppose de plus que D |x| et D |y|.
2.a) Grâce à un développement limité, simplier l'expression de ∆.
2.b) En déduire la forme des franges.
2.c) Quelle est l'interfrange i ?
Un interféromètre à division du front d'onde est équivalent au dispositif des trous d'Young éloignés d'une distance a.
On néglige le phénomène de diraction. On observe les interférences créées par une source primaire monochromatique
(un laser HeN e de longueur d'onde λ = 632, 8nm) sur un plan parallèle à celui des trous d'Young, placé à une distance
D = 1, 0m de ce dernier.
1.a) Quelle la forme des franges ?
1.b) Quelle est l'interfrange i ?
2) Création d'un réseau :
On photographie ces franges grâce à un appareil photo, de focale f 0 = 50mm, placé à une distance D du plan
d'observation.
2.a) Calculer le grandissement γ .
2.b) Que doit valoir a pour obtenir sur la pellicule un réseau de n = 130 traits par millimètres ?
On s'intéresse à une source ponctuelle éclairée par une lampe monochromatique à vapeur de sodium (λ = 589nm)
à une distance d d'un miroir.
1) On observe les interférences sur un écran placé à une distance D = 1, 0m d, orthogonalement au miroir entre
le rayon issu directement de la source et celui rééchi sur le miroir.
1.a) Où se trouvent les franges ?
1.b) Quelle est la forme de ces franges ?
1.c) Y a-t-il un déphasage supplémentaire ϕsup introduit par ce dispositif ?
2) Interfrange :
2.a) Quelle est l'interfrange i ?
On veut que l'interfrange soit, au moins i > imin = 1, 0mm.
2.b) Déterminer alors dmax, la valeur maximale de d.
On s'intéresse à deux miroirs de Fresnel M1 et M2 faisant un angle θ entre eux. Ils sont éclairés par une source
ponctuelle S derrière laquelle est placée une lampe monochromatique à vapeur de sodium (λ = 589nm). S se trouve
à une distance R = 15cm du point O, appartenant aux deux miroirs, OS faisant un angle α avec M1 .
1) On observe les interférences sur un écran placé à une distance D = 1, 0m R, de O.
1.a) Quelle est la forme de ces franges ?
1.b) Y a-t-il un déphasage supplémentaire ϕsup introduit par ce dispositif ?
2) Rapport avec les trous d'Young :
2.a) A quelles distances de O se trouvent
les sources secondaires S1 et S2 ?
~
~
2.b) Que vaut l'angle OS1, OS2 ?
2.c) En déduire la distance a = S1S2.
3) Interfrange :
3.a) Quelle est l'interfrange i ?
On veut que l'interfrange soit, au moins i > imin = 1, 0mm.
3.b) Déterminer alors θmax, la valeur maximale de θ en degrés, minutes et secondes d'arc.
15.B.12 - Mesure de l'indice d'un gaz
5/2
On éclaire un montage de fentes de Young S1 et S2 avec une lampe à vapeur de sodium de longueur d'onde
placée derrière une fente d'éclairage S .
On intercale sur le trajet de la lumière après S2 une cuve transparente de longueur intérieure l = 10cm.
On place un écran parallèlement à S1 S2 , à une distance grande devant S1 S2 .
Initialement la cuve est pleine d'air.
1) Que visualise-t-on dans le champ de recouvrement des faisceaux ?
Grâce à une pompe, on fait le vide dans la cuve. En un point M de l'écran on voit lors de l'opération déler n1
franges.
2) Exprimer n1 en fonction de l, λ et l'indice de l'air nair .
On remplit maintenant la cuve par du gaz ammoniac N H3 . Le déplacement total des franges (par rapport à l'état
où la cuve était remplie d'air) est de n2 = 17 franges.
3) Déterminer la diérence ∆n des indices de l'air (nair ) et de l'ammoniac (nN H ). Application numérique.
λ = 589nm
3
15.B.13 - Séparation d'un doublet par un réseau
5/2
Un réseau comporte n = 130traits/mm et est éclairé par un faisceau en incidence normale d'extension spatiale
dans la direction perpendiculaire aux traits. On se placera aux petits angles.
1) Rappeler :
1.a) l'angle θ sous lequel est envoyée la lumière à l'ordre p pour la longueur d'onde λ ;
1.b) la largeur angulaire ∆θ de ce faisceau.
2) On s'intéresse au doublet du sodium : λ = 590nm, et ∆λ = 0, 6nm. Le critère de Rayleigh stipule que deux
images sont séparées si la distance entre les deux images est supérieure au diamètre de la tache de chacune des images.
2.a) Quel est le plus petit intervalle de longueur d'onde séparable ∆λmin dans l'ordre p autour de λ = 590nm ?
2.b) Application numérique dans l'ordre 1. Sépare-t-on le doublet du sodium ?
2.c) Application numérique dans l'ordre 2. Sépare-t-on le doublet du sodium ?
L = 5mm
15.B.14 - Minimum de déviation pour un réseau
5/2
Si on éclaire un réseau de période spatiale a avec une onde plane monochromatique (de longueur d'onde λ) qui fait
un angle θi avec la normale au plan du réseau, l'intensité diractée est non nulle seulement dans quelques directions
repérées par les angles θp par rapport à la normale au plan du réseau.
1) Que verie θp (formule des réseaux) ?
On dénit l'angle de déviation pour l'ordre p par D = θp − θi .
2) Si la déviation Dest minimale
(D = Dmin ), qu'est-ce que cela impose sur θi et θp ?
3) Exprimer sin 2 , en fonction de p, a et λ.
min
15.B.15 - Recouvrement des ordres
5/2
15.B.16 - Doublet du sodium résolu grâce à un réseau
5/2
On éclaire un réseau par transmission qui possède n = 130traits/mm de façon normale, avec de la lumière blanche
(λ ∈ [λmin = 400nm; λmax = 750nm]).
On observe sur un écran placé parallèlement au réseau, dans le plan focal image d'une lentille convergente de focale
d = 2, 5m, et repéré par un axe (Ox), l'axe (Oy) étant confondu avec l'ordre nul.
1) Calculer la position des bords des spectres :
1.a) x1(λmin) et x1(λmax) pour l'ordre 1 ;
1.b) x2(λmin) et x2(λmax) pour l'ordre 2 ;
1.c) x3(λmin) et x3(λmax) pour l'ordre 3.
2) Quels sont les ordres qui se recouvrent ?
On éclaire un réseau par transmission qui possède n = 130, 0traits/mm de façon normale, avec une lampe au
sodium (de longueurs d'onde λ1 = 589, 0nm et λ2 = 589, 6nm).
On observe sur un écran placé parallèlement au réseau, , dans le plan focal image d'une lentille convergente de
focale d = 2, 500m, et repéré par un axe (Ox), l'axe (Oy) étant confondu avec l'ordre nul.
1) Calculer la position des raies dans l'ordre 1 pour :
1.a) λ1 (x1)
1.b) et λ2 (x2).
La largeur de la fente d'éclairage est l, le grandissement du montage optique est γ = 101 (on négligera l'élargissement
de l'image de la fente d'éclairage par diraction).
2) Exprimer une condition sur l pour que le doublet du sodium soit résolu.
15.B.17 - Apodisation
5/2
On s'intéresse à la gure de diraction de Fraunhofer d'une pupille de transmittance t̃ (X).
On repère les points sur l'écran à partir du centre du repère O(0, 0), image du point source éclairant la pupille
diractante, via les deux lentilles convergentes (on note f20 la distance focale de la deuxième lentille).
1) Exprimer l'amplitude complexe à (x) de l'onde en M (x, y = 0).
La pupille a une transmittance amortie exponentiellement de la forme :
X > 0 ⇒ t̃(X) = exp − X
a
X < 0 ⇒ t̃(X) = exp + X
a
2) Calculer l'intensité I(x) de l'onde en M (x, y = 0).
3) En comparant au résultat trouvé avec une fente, justier l'apellation "apodisation" (qui veut dire "couper les
pieds").
15.3
Planches d'oral
15.C.1 - Détermination de l'indice optique de l'air grâce au michelson
***
15.C.2 - Principe d'un ltre interférentiel
***
15.C.3 - Radiotélescope à proximité d'un lac
***
15.C.4 - Interféromètre à cône de verre
***
(Mines-Pont 2007)
On s'intéresse à un interféromètre de Michelson réglé en coin d'air, éclairé par une lampe à vapeur de sodium, de
longueur d'onde λ = 589nm.
1) Expliciter :
1.a) le montage ;
1.b) l'éclairage ;
1.c) les réglages.
Sur chacun des bras, on place une cuve remplie d'air. Les deux cuves ont même longueur L = 2, 9cm. On fait
progressivement le vide dans l'une des cuves. On voit déler 30 ± 1 franges.
2) Déterminer n − 1 où n est l'indice de l'air.
(CCP 2007)
On utilise en réexion une lame d'épaisseur e et d'indice n = 1, 33. De la lumière blanche tombe sous une incidence
i = 30◦ par rapport à la normale.
1) Tracer la marche d'un rayon lumineux.
2) Calculer la diérence de marche entre deux rayons passant par un point M .
3) Déterminer l'eclairement en M .
4) On souhaite rééchir λ1 = 600nm mais pas λ2 = 450nm. En déduire l'épaisseur minimale de la lame.
(Mines-Pont 2007)
Un radio-télescope à proximité d'un lac (à une altitude h au dessus de la surface libre de l'eau), observe en la
suivant une étoile se lever à l'horizon. Lorsque celle-ci apparaît, l'intensité est minimale.
1) Pour quel angle α l'intensité est-elle maximale pour la première fois ?
2) A.N. : h = 20m, α = 100. Calculer λ.
(CCP 2007)
1) Qu'observe-t-on avec le dispositif dessiné sur la gure 15.3 ?
Fig.
15.3 Interféromètre à cône de verre
15.C.5 - Trous d'Young
***
15.C.6 - Limitation de la détection d'une étoile par la diraction
***
(CCP 2007)
On s'intéresse au dispositif des trous d'Young. On connait l'interfrange i = 1mm, la longueur d'onde de l'onde
eclairant les trous d'Young λ = 650nm, la distance trous d'Young - écran D = 2m.
1) Redémontrer ce que vaut l'interfrange i en fonction de λ ; D et a.
2) Calculer la distance a entre les trous.
(d'après Centrale 2007)
Fig.
15.4 Dispositif pour observer les étoiles
1) Grâce au dispositif
de la gure 15.4 (de focale f 0 = 100cm), on observe une source à l'inni (une étoile vue
0
sous l'angle ε = 31 ).
1.a) Donner la position de l'image AB.
1.b) A.N. : que vaut AB ?
2) On tient compte de la taille nie du miroir : on modélise la diraction par une pupille carrée de côté 2a.
2.a) Où la placer ?
On pointe Sy vers une étoile E à l'inni, on observe une tache comme image.
2.b) Où est le plan de l'image ?
2.c) Donner l'intensité I(x, z). Commenter : dépendance en a, f , λ,...
On observe une étoile sous l'angle ε.
2.d) Comment évolue l'intensité I(x, z) par rapport au cas ε = 0 ?
On observe deux étoiles séparées angulairement de α.
2.e) Quelle est l'ouverture angulaire minimale pour les distinguer ?
15.4
Travaux dirigés
15.D.1 - Diraction d'ensembles de pupilles simples
TD
On éclaire un plan par une onde plane monochromatique, de longueur d'onde λ, qui fait un angle αi avec l'axe
optique Oz dans le plan (xOz) (et un angle βi avec l'axe optique Oz dans le plan (yOz)). On observe l'onde diractée
à l'inni dans les directions respectives α et β avec l'axe optique Oz respectivement dans le plan (xOz) et dans le plan
(yOz).
Ce plan diractant est constitué de N pupilles identiques. Chaque pupille, numérotée
m , centrée sur (xm , ym ), a
P
une transparence t0 identique et la transmission du plan diractant est t (x, y) = t0 (x − xm , y − ym ).
m
1. Quelle est la gure de diraction d'une pupille constituée de petits grains sphériques de même dimension ?
2. Tracer l'intensité diractée par une fente parallèle à (Ox) d'épaisseur e suivant (Oy).
3. Donner l'intensité diractée par deux fentes d'Young (deux fentes parallèles à (Ox) d'épaisseur e et distantes de
a suivant (Oy)). Tracer I(α).
4. On considère un réseau plan de N fentes, de largeur e. Tracer l'intensité diractée pour plusieurs valeurs de N .
Vérier que le résultat est conforme à la loi des réseaux.
Méthode:
•
Forme générale de l'onde diractée
• Montrer que l'amplitude de l'onde diractée par la pupille m, à l'inni dans la direction (α,β), est de la forme :
s̃m (α, β, t) = K.s0 .FD (α, β) .ei(ω.t+ϕm (α,β))
•
où FD (α, β) est la fonction de diraction d'une seule pupille que l'on exprimera.
Montrer que l'amplitude de l'onde diractée par le plan diractant entier, à l'inni dans la direction (α,β), est
de la forme :
s̃ (α, β, t) = K.s0 .FD (α, β) .FI (α, β) ei(ω.t+ϕ0 (α,β))
•
•
où FI (α, β) est un terme d'interférence que l'on exprimera.
Diraction par une répartition aléatoire
2
• Montrer que, dans le cas d'une répartition aléatoire, le terme d'interférence est |FI (α, β)| = N partout en
dehors de la direction de l'onde incidente.
• Que vaut FI (α, β) dans la direction de l'onde incidente ?
Diraction par un réseau plan
• Montrer que, dans le cas d'un réseau plan de N fentes de période spatiale a, le terme d'interférence est :

2
|FI | = 
•
15.5
sin
sin
Nψ
2
2

ψ
2
où ψ = 2πa
λ (sin α − sin αi ).
Prendre en compte le terme de diraction et tracer l'intensité en fonction de α.
Exercices maple
15.E.1 - Eet du contraste sur la visualisation des interférences
maple
On s'intéresse à deux sources synchrones de longueur d'onde λ qui interfèrent avec un contraste C grâce à un
interféromètre à division du front d'onde équivalent à deux fentes d'Young écartées de a, l'observation se faisant sur
un écran à la distance d. On néglige le phénomène de diraction.
1) Tracer le graphe de l'intensité en fonction de la position x sur l'écran pour divers contraste.
2) Donner une visualisation du plan d'observation.
3) Donner l'apparence du plan d'observation, si le contraste varie selon y.
15.E.2 - Michelson utilisé en miroirs parallèles
maple
15.E.3 - Diraction par un réseau de fentes
maple
On s'intéresse à un michelson utilisé en miroirs parallèles (l'écart entre les miroirs est noté x), éclairé par une
source monochromatique de longueur d'onde λ = 632, 8nm. On observe les interférences dans le plan focal d'une
lentille convergente de focale f = 1m. On repère le plan d'observation par le rayon r compté à partir du foyer.
1) Tracer le graphe de l'intensité en fonction de r pour plusieurs écarts x entre les miroirs.
2) Donner une animation de l'intensité en fonction de r qui simule le chariotage lorsque l'on s'écarte du contact
optique.
On éclaire un réseau de nf fentes de hauteur hf (suivant la direction Oy), de largeur lf (suivant la direction Ox),
espacées de a suivant la direction Ox, par une onde plane monochromatique qui arrive normalement sur le réseau
(suivant la direction Oz), par exemple grâce à un laser He-Ne (λ = 632, 8.10−9 m).
NB : pour que ça ait un sens physique, a > lf !
On observe dans le plan focal d'une lentille (de focale f ), la position sur ce plan d'observation étant repérée par
(x, y), comptés à partir du foyer, trace de l'axe (Oz) sur le plan.
On rappelle que l'intensité en fonction de la position sur le plan d'observation est du type :
I (x, y) = dif y (y) .dif y (x) .interx (x)
(en fait, à un facteur près) où les diérentes fonctions sont :
2
dif y (y) = sin c
et
dif x (x) = sin c2
π.hf.y
λ.f
π.lf.x
λ.f
(diraction par une ouverture rectangulaire seule), et
sin2 nf π.a.x
λ.f
interx (x) =
2 π.a.x
sin
λ.f
(interférence entre les nf fentes).
1) Ecriture du programme :
Ecrire un programme où les données du problème sont clairement dénies, ainsi que les précédentes fonctions et
qui permet de visualiser les graphes de :
• dif y(y),
• dif x(x),
• interx(x),
• interx(x).dif x(x),
• I(x, y) (graphique en 3 dimensions).
Et enn donner l'allure du plan d'observation (les taches lumineuses, comme si on avait fait l'expérience).
2) Diraction par une fente :
Utiliser le programme avec nf = 1.
Quelle est la fonction d'interférence ?
Choisir diverses valeurs de hf et lf : qu'est-ce que ça change ? Vérier en particulier qu'une fente longue suivant
Oy donne une gure de diraction principalement suivant (Ox).
3) Deux fentes d'Young observées dans le plan focal d'une lentille :
Utiliser le programme avec nf = 2.
Quelle est la fonction d'interférence ? Choisir diverses valeurs de a : qu'est-ce que ça change ?
Choisir diverses valeurs de lf : qu'est-ce que ça change sur le graphique de interx(x).dif x(x) ? Vérier en particulier
que si les fentes d'Young sont trop larges, on n'observe plus les interférences : c'est grâce à la diraction que la zone
d'interférence existe.
4) Réseau :
Augmenter progressivement le nombre de fentes (nf = 3 jusqu'à 10) : qu'est-ce que ça change à la fonction
d'interférence ? Vérier en particulier que la formule des réseaux est de mieux en mieux réalisée : il n'y a de l'intensité
que dans les directions
xp
λ
λ
= sin θp = sin θi + p. = p.
f
a
a
15.E.4 - Illustration du critère de Rayleigh
maple
On s'intéresse à deux étoiles E1 et E2 qui émettent une lumière monochromatique de longueur d'onde λ visualisées
dans le plan focal image d'une lentille convergente de focale f 0 , la première vue suivant l'angle α1 , la seconde suivant
l'angle α2 . On supposera que la limitation de la lentille suivant la direction E1 E2 est due à une fente de largeur a qui
induit une tache de diraction
I (x) ∝ sinc2
π
a.x
λ.f 0
1) Créer une animation avec α1 − α2 augmentant au cours du temps qui représente :
•
•
•
la tache de diraction de l'étoile E1 ;
la tache de diraction de l'étoile E2 ;
l'intensité résultant des deux étoiles E1 et E2 .
Table des matières
191 exercices d'application
191 exercices d'entraînement
30 exercices de colle
29 td
21 exercices maple
en tout 462 exercices
177