coursMPSI-algebre alain troesh

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2014/2015
Cours de mathématiques
Partie III – Algèbre
MPSI 4
Alain TROESCH
Version du:
21 décembre 2016

Table des matières
17 Fang cheng, ou l’élimination de Gauss-Jordan... 7
I Position du problème et reformulation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2 Rappels sur les matrices et transcription matricielle du système . . . . . . . . . . . 8
I.3 Structure de l’ensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II Échelonnement d’une matrice par la méthode du pivot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.1 Opérations sur les lignes d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
II.2 Échelonnement de la matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
III Résolution d’un système échelonné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III.1 Inconnues principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
III.2 Recherche d’une solution particulière . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III.3 Recherche de la solution générale de l’équation homogène associée . . . . . . . . . 15
18 Structures algébriques 17
I Lois de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
I.2 Propriétés d’une loi de composition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
I.3 Ensembles munis de plusieurs lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
I.4 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II Structures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
II.2 Morphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
II.3 Catégories (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
III Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III.1 Axiomatique de la structure groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
III.2 Exemples importants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
III.3 Sous-groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
III.4 Les groupes Z/nZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
III.5 Congruences modulo un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
III.6 Ordre d’un élément . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
IV Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
IV.1 Axiomatiques des structures d’anneaux et de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
IV.2 Sous-anneaux, sous-corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
IV.3 Calculs dans un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
IV.4 Éléments inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Table des matières
IV.5 Idéaux (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
19 Arithmétique des entiers 43
I Divisibilité, nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
I.1 Notion de divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
I.2 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
I.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
II PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II.1 PGCD et PPCM d’un couple d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
II.2 Identité de Bézout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
II.3 PGCD et PPCM d’une famille finie d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
III Entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III.1 Couple d’entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III.2 Famille finie d’entiers premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
III.3 Fonction indicatrice d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
IV Décomposition primaire d’un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
IV.1 Décomposition primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
IV.2 Valuations p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
IV.3 PGCD et PPCM vus sous l’angle de la décomposition primaire . . . . . . . . . . . 57
V Théorème des restes chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
V.1 Cas de modulo premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
V.2 Résolution d’un système quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
20 Polynômes et fractions rationnelles 61
I Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
I.1 Polynômes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
I.2 Opérations arithmétiques sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
I.3 Indéterminée formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
I.4 Dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
I.5 Degré et valuation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II Arithmétique dans K[X]..................................... 67
II.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
II.2 Idéaux de K[X]...................................... 68
II.3 Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II.4 PGCD et PPCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
II.5 Polynômes premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
II.6 Décomposition en facteurs irréductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
III Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
III.1 Spécialisation, évaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
III.2 Racines et multiplicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
III.3 Majoration du nombre de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.4 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
III.5 Polynômes scindés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
IV Polynômes irréductibles dans C[X]et R[X].......................... 79
IV.1 Factorisations dans C[X]................................ 79
IV.2 Facteurs irréductibles dans R[X]............................ 80
V Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
V.1 Définition des fractions rationnelles formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
V.2 Degré, racines, pôles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
V.3 Décomposition en éléments simples dans C(X). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
V.4 Décomposition en éléments simples dans R[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
VI Primitivation de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Table des matières 3
21 Espaces vectoriels 87
I Notion d’espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
I.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
I.2 Combinaisons linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
I.3 Un exemple important : espace de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
I.4 Produits d’espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
I.5 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
I.6 Intersections de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
I.7 Sous-espace vectoriel engendré par un sous-ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
I.8 Sommes de sev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
I.9 Sommes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
II Familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
II.1 Familles libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
II.2 Familles génératrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
II.3 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
III Espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
III.1 Notion de dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
III.2 Dimension, liberté et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
III.3 Dimension de sous-espaces et de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
22 Applications linéaires 103
I Généralités sur les applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
I.1 Définitions et propriétés de stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
I.2 Image et noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
I.3 Endomorphismes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
I.4 Automorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
II Projecteurs et symétries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
III Applications linéaires et familles de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
III.1 Détermination d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
III.2 Caractérisations de l’injectivité et de la surjectivité par l’image de bases . . . . . . 113
III.3 Recollements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
IV Applications linéaires en dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
IV.1 Rang d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
IV.2 Théorème du rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
V Formes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
V.1 Formes linéaires, espace dual, hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
V.2 Qu’est-ce que le principe de dualité ? (hors-programme) . . . . . . . . . . . . . . . 118
23 Matrices 121
I Matrice d’une application linéaire et opérations matricielles . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
I.1 L’ensemble des matrices de type (n, p). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
I.2 Matrice d’une application linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
I.3 Structure d’espace vectoriel de Mn,p(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
I.4 Définition du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
I.5 Produit matriciel revisité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
I.6 Expression matricielle de l’évaluation d’une AL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
I.7 Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
II Matrices carrées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
II.1 L’algèbre Mn(K). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
II.2 Matrices triangulaires et diagonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
II.3 Matrices symétriques et antisymétriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
II.4 Matrices inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136