Serie d'exercices Corrigés - Math -Angles orientés - 3ème Sciences (2009-2010)

Angles orientés
3ème année
Novembre 2009
A. LAATAOUI
Sciences expérimentales
Exercice n°1 :
Sur un cercle trigonométrique C, on considère deux points A et B tels
uur Luur 5p
uur Luur
2p
que : OI , OA º [ 2p ] et OI , OB º - [ 2p ] .
(
)
(
6
)
3
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
uur uuur
uur uur
uur uur
uuur uur
uur uur
uuur uur
OA, OJ ' , OJ , OB , OA, OB , AO, OB , OA, BO , AO, BO ,
uur uur
2OA, -3OB .
(
(
) (
)
) (
) (
) (
) (
)
Exercice n°2 :
ur L uur p
ABC est un triangle et I le milieu de [BC]. On sait que : IA, IB º [ 2p ] .
(
)
3
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
uur uur
uur uur
ur uur
AI , IB , AI , IC et IA, CB .
(
) (
) (
)
Exercice n°3 : ©
Le plan étant orienté dan le sens direct.
ABCD est un parallélogramme de centre O.
uur Luuur
uuur Luuur
1. Démontrer que : AB, AD + CB, CD º 0 [ 2p ] .
) (
(
)
2. Quelle propriété du parallélogramme a – t – on démontré ?
uur L uuur p
3. On suppose que AB, AD º [ 2p ] .
4
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
uur uur
uur uur
uuur uur
uur uur
CD, CB , BA, DA , DC , DA , BC , DA .
(
(
) (
)
) (
) (
)
Exercice n°4 : ©
L
®
®
2p
On considère dans le plan orienté , un triangle ABC isocèle de sommet principal A tel que æç AB, AC ö÷ º [ 2p ] .
è
ø 3
On désigne par I le milieu de [BC].
®
®
1. Donner la mesure principale de æç BA, BC ö÷ .
è
ø
2. a) Placer le point E de la droite (AI) tel que
7p
®
®
soit une mesure de æç BA, BE ö÷
2
è
ø
®
®
b) Déterminer une mesure de æç BE , BC ö÷ . En déduire la nature du triangle BEC.
è
ø
c) Donner en radian la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :
®
®
æ AC
ö æ ® ® ö æ ® ® ö
ç , BE ÷ , ç AI , EC ÷ , ç AE , BC ÷
ø è
è
ø è
ø
1
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Exercice n°5 : ©
Etant donnés deux points A et B du plan orienté dans le sens direct tels que AB = 3 cm.
uuur L uuur p
ì
ü
1. Déterminer et construire l’ensemble C1 = í M Î P / MA, MB º [ 2p ]ý .
4
î
þ
(
{
2. On désigne par C2 = M Î P /
MA
MB
)
}
=2 .
a) On note G le barycentre des points pondérés (A, 1) et (B, - 4).
Montrer que C2 est l’ensemble des points M du plan tels que : MG 2 =
( GA
3
1
2
)
- 4GB 2 .
b) En déduire que C2 est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
uur L uur p
3. Utiliser les résultats précédents pour construire le triangle ABC vérifiant : CA, CB º [ 2p ] et CA = 2CB .
(
2
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Angles orientés
Corrigé
3ème année
Section : Sciences
Novembre 2009
A. LAATAOUI
Exercice n°3 :
1.
(
L
uur uuu
r
) (
uuur Luuur
) (
uuur Luur
) (
uuur Luuur
)
(
uur Luur
) (
uuur Luuur
)
(
uuurLuuur
)
AB, AD + CB, CD º DC , BC + CB, CD [ 2p ] º CD, CB + CB, CD [ 2p ] º CD, CD [ 2p ] º 0 [ 2p ]
uuur Luuur
uuurL uuur
2. D’après la question 1. On a : AB, AD [ 2p ] º CD, CB [ 2p ]
(
)
(
)
Dans un parallélogramme, deux angles opposés sont isométriques.
3.
uur L uuur
( AB, AD ) º p4 [2p ]
·
·
·
uurÙ uur
uur Ùuuur
uur Ùuur
uur L uuur
(
) (
uur uur
(CD, CB )
)
p
p
p
[ 2p ] et Î ]- p, p] Þ est la mesure principale de
4
4
4
)
uur uur
p
p
[ 2p ] Þ est la mesure principale de BA, DA
4
4
CD, CB º AB, AD [ 2p ] º
(
) (
BA, DA º AB, AD [ 2p ] º
uuurÙ uur
uur Ù uur
3
)
uur Ù uuur
( DC, DA) º ( AB, DA)[2p ] º p + ( AB, AD )[2p ] º p + p4 [2p ] º 54p [2p ] º - 34p [2p ]
uuur uur
3p
3p
Î ]-p , p ] Þ est la mesure principale de DC , DA
4
4
Ù
Ù
uur uur
uuur uur
uur uur
BC , DA º AD, DA [ 2p ] º p [ 2p ] Þ p la mesure principale de BC , DA
(
-
·
(
(
) (
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(
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Exercice n°4 :
®
®
1. La mesure principale de æç BA, BC ö÷ :
è
ø
Ù
Cherchons tout dabord la mesure de l’angle géométrique ABC =
Ù
p - BAC
=
2
2p
3 =p
2
6
p-
Ù
®
®
æ BA
ö
ç , BC ÷ est orienté dans le sens négatif Þ
è
ø
p
æ ® ® ö
ç BA, BC ÷ º - [ 2p ]
6
è
ø
Ù
®
®
7p
p
2. a) æç BA, BE ö÷ º
[ 2p ] º - [ 2p ] et E Î (AI).
2
2
è
ø
Ù
Ù
Ù
®
®
®
®
®
®
p p
p
b) çæ BE , BC ÷ö º çæ BE , BA ÷ö+ çæ BA, BC ÷ö [ 2p ] º - [ 2p ] º [ 2p ]
2 6
3
è
ø è
ø è
ø
Ù
®
®
p
E Î (AI) = méd[BC] Þ EB = EC, de plus æç BE , BC ö÷ º [ 2p ] Þ BEC est équilatéral.
3
è
ø
c)
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
Ù
®
®
æ AC
ö æ ® ® ö æ ® ® ö
æ ® ® ö æ ® ® ö
ç , BE ÷ º ç AC , AB ÷+ ç AB, BE ÷ [ 2p ] º ç AC , AB ÷+ ç BA, BE ÷+ p [ 2p ]
è
ø è
ø è
ø
è
ø è
ø
2p p
7p
5p
º- [ 2p ] º [ 2p ] º [ 2p ]
3
2
6
6
Ù
®
®
p
5p
æ AI
ö æ ® ® ö
æ ® ® ö
[ 2p ]
ç , EC ÷ º ç AE , EC ÷ [ 2p ] º p + ç EA, EC ÷ [ 2p ] º p - [ 2p ] º
6
6
è
ø è
ø
è
ø
Ù
®
®
p
p
æ AE
ö æ® ®ö
æ® ®ö
ç , BC ÷ º ç AI , IC ÷ [ 2p ] º p + ç IA, IC ÷ [ 2p ] º p - [ 2p ] º [ 2p ]
2
2
è
ø è
ø
è
ø
4
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Exercice n°5 :
uuur L uuur p
ì
ü
1. C1 = í M Î P / MA, MB º [ 2p ]ý
4
î
þ
(
)
uur Ùuuur p
C1 est l’arc d’un cercle z passant par A et B et tangent à la demi-droite [At) telle que At , AB º [ 2p ]
4
Cet arc est situé dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant pas [At) et il est privé des points A et
B.
(
{
2. C2 = M Î P /
MA
MB
)
}
=2
a) G le barycentre des points pondérés (A, 1) et (B, -4).
uuur 2
uuur 2
MA
M Î C2 Û
= 2 Û MA = 2MB Û MA² - 4 MB² = 0 Û MA - 4 MB = 0
MB
uuuur uuur 2
uuuur uuur 2
Û MG + GA - 4 MG + GB = 0
uuuur uuur
uuuur uuur
Û MG 2 + 2 MG × GA + GA2 - 4 MG 2 - 8MG × GB - 4GB 2 = 0
uuuur æ uuur
uuur ö
2
2
Û -3MG 2 + 2 MG × ç GA
4GB
1
4
24
3 ÷÷ + GA - 4GB = 0
ç
r
0
è
ø
(
)
Û MG 2 =
( GA
3
1
(
2
)
)
- 4GB 2 .
uuur
-4 uuur 4 uuur
4
b) AG =
AB = AB Þ GA = ´ AB = 4
1- 4
3
3
uuur
uuu
r
uuu
r
1
1
1
BG =
BA = - BA Þ GB = ´ AB = 1
1- 4
3
3
1
1
M Î C2 Û MG 2 = ( GA2 - 4GB 2 ) = (16 - 4 ) = 4 Û MG = 2 Û M Î z ( G ,2 )
3
3
uur L uur p
3. CA, CB º [ 2p ] et CA = 2CB Û C Î C1 Ç C2 .
(
5
)
4
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