Serie d'exercices Corrigés - Math -Angles orientés - 3ème Sciences (2009-2010)

1
Angles orientés. 3
ème
Sciences
09
–
10.
www.espace
mat
h
s.com
Exercice n°1 :
Sur un cercle trigonométrique C, on considère deux points A et B tels
que :
( )
[ ]
5
,2
6
OIOA
p
p
L
º
uuruur
et
( )
[ ]
2
,2
3
OIOB
p
p
L
º-
uuruur
.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
(
)
,'
OAOJ
uuruuur
,
(
)
,
OJOB
uuruur
,
(
)
,
OAOB
uuruur
,
(
)
,
AOOB
uuuruur
,
(
)
,
OABO
uuruur
,
(
)
,
AOBO
uuuruur
,
(
)
,32
OAOB
-
uuruur
.
Exercice n°2 :
ABC est un triangle et I le milieu de [BC]. On sait que :
( )
[ ]
,2
3
IAIB
p
p
L
º
uruur
.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
(
)
,
AIIB
uuruur
,
(
)
,
AIIC
uuruur
et
(
)
,
IACB
uruur
.
Exercice n°3 : ©
Le plan étant orienté dan le sens direct.
ABCD est un parallélogramme de centre O.
1. Démontrer que :
( )
( )
[ ]
,02
,ABAD CBCD
p
LL
º+
uuruuuruuuruuur
.
2. Quelle propriété du parallélogramme a – t – on démontré ?
3. On suppose que
( )
[ ]
,2
4
ABAD
p
p
L
º
uuruuur
.
Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants :
(
)
,
CDCB
uuruur
,
(
)
,
BADA
uuruur
,
(
)
,
DCDA
uuuruur
,
(
)
,
BCDA
uuruur
.
Exercice n°4 : ©
On considère dans le plan orienté , un triangle ABC isocèle de sommet principal A tel que
[ ]
2
,2
3
ABAC
p
p
L
®®
º
æö
ç÷
èø .
On désigne par I le milieu de [BC].
1. Donner la mesure principale de ,
BABC
®®
æö
ç÷
èø
.
2. a) Placer le point E de la droite (AI) tel que
7
2
p
soit une mesure de ,
BABE
®®
æö
ç÷
èø
b) Déterminer une mesure de ,
BEBC
®®
æö
ç÷
èø
. En déduire la nature du triangle BEC.
c) Donner en radian la mesure principale de chacun des angles orientés suivants :
,
ACBE
®®
æö
ç÷
èø
,,
AIEC
®®
æö
ç÷
èø
,,
AEBC
®®
æö
ç÷
èø
Angles orientés
3
ème
année
Sciences expérimentales
Novembre
200
9
A. LAATAOUI
http://b-mehdi.jimdo.com

2
Angles orientés. 3
ème
Sciences
09
–
10.
www.espace
mat
h
s.com
Exercice n°5 : ©
Etant donnés deux points A et B du plan orienté dans le sens direct tels que AB = 3 cm.
1. Déterminer et construire l’ensemble
( )
[ ]
1/,2
4
CMPMAMB
p
p
L
=κ
ìü
íý
îþ
uuuruuur
.
2. On désigne par
{
}
2
/2
MA
CMP
MB
=Î=
.
a) On note G le barycentre des points pondérés (A, 1) et (B, - 4).
Montrer que
2
C
est l’ensemble des points M du plan tels que :
( )
222
14
3
MGGAGB
=-.
b) En déduire que
2
C
est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.
3. Utiliser les résultats précédents pour construire le triangle ABC vérifiant :
( )
[ ]
,2
4
CACB
p
p
L
º
uuruur
et 2
CACB
=
.
http://b-mehdi.jimdo.com

3
Angles orientés. 3
ème
Sciences
09
–
10.
www.espace
mat
h
s.com
Exercice n°3 :
1.
( )
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
[ ]
( )
[ ]
[ ]
,,,02
,,2,2,2ABADDCBCCDCBCBCDCBCDCBCDCDCD
p
ppp
LLL
LLLL
º++º+ºº
uuruuuruuuruuuruuuruuruuuruuuruuruuruuur
uuuruuuruuur
2. D’après la question 1. On a :
( )
[ ]
( )
[ ]
,2,2
ABADCDCB
pp
LL
º
uuuruuuruuuruuur
Dans un parallélogramme, deux angles opposés sont isométriques.
3.
( )
[ ]
,2
4
ABAD
p
p
L
º
uuruuur
·
( ) ( )
[ ]
,,2CDCBABAD p
ÙÙ
ºº
uuruuruuruuur
[ ]
2
4
p
p
et
4
p
Î ]- p, p] Þ
4
p
est la mesure principale de
(
)
,
CDCB
uuruur
·
( )
,BADA
Ù
º
uuruur
( )
[ ] [ ]
,22
4
ABAD
pp
p
L
º
uuruuur
Þ
4
p
est la mesure principale de
(
)
,
BADA
uuruur
·
( ) ( )
[ ]
( )
[ ]
,,,22DCDAABDAABAD
ppp
ÙÙÙ
ºº+º
uuuruuruuruuruuruuur
[ ] [ ]
5
22
44
pp
ppp
+º
[]
3
2
4
p
p
º-
] ]
3
,
4
p
pp
-Î- Þ
3
4
p
-est la mesure principale de
(
)
,
DCDA
uuuruur
·
( ) ( )
[ ] [ ]
,,
22
BCDAADDA
ppp
ÙÙ
ºº
uuruuruuuruur
Þ p la mesure principale de
(
)
,
BCDA
uuruur
Angles orientés
Corrigé
3ème année
Section : Sciences
Novembre 2009
A. LAATAOUI
http://b-mehdi.jimdo.com

4
Angles orientés. 3
ème
Sciences
09
–
10.
www.espace
mat
h
s.com
Exercice n°4 :
1. La mesure principale de ,
BABC
®®
æö
ç÷
èø
:
Cherchons tout dabord la mesure de l’angle géométrique
23
226
BAC
ABC
p
p
pp
Ù
Ù-
-
===
,
BABC
®®
æö
ç÷
èø
est orienté dans le sens négatif Þ
[ ]
,2
6
BABC
p
p
Ù
®®
æö
º-
ç÷
èø
2. a) ,BABE
®®
Ù
æö
º
ç÷
èø
[ ] [ ]
7
22
22
pp
pp
º- et E Î (AI).
b)
[ ]
,,,2BEBCBEBABABC p
®®®®®®
ÙÙÙ
æöæöæö
º+º
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
[][]
22
263
ppp
pp
-º
E Î (AI) = méd[BC] Þ EB = EC, de plus ,BEBC
®®
Ù
æö
º
ç÷
èø
[ ]
2
3
p
p
Þ BEC est équilatéral.
c)
[ ] [ ]
,,,,,
22
ACBEACABABBEACABBABE
ppp
®®®®®®®®®®
ÙÙÙÙÙ
æöæöæöæöæö
º+º++
ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷
èøèøèøèøèø
[ ] [ ] [ ]
275
222
3266
pppp
ppp
º--º-º
[] [] [] []
,,, 5
2222
66
AIECAEECEAEC
pp
pppppp
®®®®®®
ÙÙÙ
æöæöæö
ºº+º-º
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
[] []
,,,22AEBCAIICIAIC
ppp
®®®®®®
ÙÙÙ
æöæöæö
ºº+º
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
[][]
22
22
pp
ppp
-º
http://b-mehdi.jimdo.com

5
Angles orientés. 3
ème
Sciences
09
–
10.
www.espace
mat
h
s.com
Exercice n°5 :
1.
( )
[ ]
1/,2
4
CMPMAMB
p
p
L
=κ
ìü
íý
îþ
uuuruuur
1
C
est l’arc d’un cercle z passant par A et B et tangent à la demi-droite [At) telle que
( )
[ ]
,2
4
AtAB
p
p
Ù
º
uuruuur
Cet arc est situé dans le demi-plan de frontière (AB) ne contenant pas [At) et il est privé des points A et
B.
2.
{
}
2
/2
MA
CMP
MB
=Î=
a) G le barycentre des points pondérés (A, 1) et (B, -4).
M Î
2
C
Û
2
MA
MB
=
Û MA = 2MB Û MA² - 4 MB² = 0 Û 22
40
MAMB
-=
uuuruuur
Û
(
)
(
)
22
40
MGGAMGGB
+-+=
uuuuruuuruuuuruuur
Û 2222
24840
MGMGGAGAMGMGGBGB
+×+--×-=
uuuuruuuruuuuruuur
Û 222
0
32440
MGMGGAGBGAGB
æö
-+×-+-=
ç÷
ç÷
èø
r
uuuuruuuruuur
14243
Û
( )
222
14
3
MGGAGB
=-.
b) 444
4
1433
AGABABGAAB
-
==Þ=´=
-
uuuruuuruuur
111
1
1433
BGBABAGBAB
==-Þ=´=
-
uuuruuuruuur
M Î
2
C
Û
( )
( )
( )
222
,2
14
3
116442
3
G
MGGAGB MGM z =-=-=Û=ÛÎ
3.
( )
[ ]
,2
4
CACB
p
p
L
º
uuruur
et 2
CACB
=
Û C Î
1
C
Ç
2
C
.
http://b-mehdi.jimdo.com