الجمهوريــــــــــــــــــــــة الجزائريـــــــــــة الديمقراطيـــــــــة الشعبيـــــــة
وزارة التعليـــــــــــم العـــــــــــالي والبحـــــــــث العلـــــــمي
محمد بوضياف جامعة وهران للعلوم والتكنولوجيا
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed BOUDIAF
BOUTCHICHA
Djilali
Faculté de Génie Mécanique
Département de Génie Mécanique
Examen final de « VOM » 2021
Exercice 2 (8 points) (chaque ■ vaut 0.5 point ; la somme 10 points)
Un disque de masse 𝑀, qui roule sans glissement, de rayon 𝑅 et de moment d’inertie 𝐼𝐺 =
1
2
𝑀𝑅 2 . Oscille sous l’action d’un ressort de raideur 𝑘 ; un pendule simple de longueur 𝒍 et de
masse 𝒎 est articulé au point 𝐺.
a) Déterminer les énergies cinétiques et potentielles de tous les éléments.
b) Déterminer les équations de mouvement en fonction des coordonnées généralisés
𝜃 et 𝜑 qui restent faibles.
𝑥 𝜃
𝑘
𝐺
(𝑀, 𝑅)
𝜑
Solution :
(𝑚, 𝑙)
Ressort :
L’énergie potentielle (pour une rotation 𝜃 du disque le ressort s’allonge de 𝑥 = 𝑅𝜃)
1
𝑉𝑅 = 𝑘(𝑅𝜃)2
■
2
Disque :
L’énergie cinétique (le disque a un mouvement de rotation et un mouvement de
translation)
1
1
𝑇𝐷 = 2 𝐼𝑂 𝜃̇ 2 + 2 𝑀𝑥̇ 2
■■
1 1
1
𝑇𝐷 = ( 𝑀𝑅 2 ) 𝜃̇ 2 + 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
2 2
2
3
𝑇𝐷 = 𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2
■
4
Pendule simple :
Energie potentielle de gravitation du pendule simple
𝑉𝑃 = 𝑚𝑔ℎ
■
ℎ = 𝑦𝑚 = 𝑙 − 𝑙 cos 𝜑 = 𝑙(1 − cos 𝜑)
𝜑2
Pour 𝜑 faible cos 𝜑 = 1 − 2 + ⋯
𝑉𝑃 = 12𝑚𝑔𝑙𝜑 2
Energie cinétique du pendule simple
𝑇𝑃 = 12𝑚(𝑥̇ + 𝑙𝜑̇ )2
2
𝑇𝑃 = 1𝑚(𝑅𝜃̇ + 𝑙𝜑̇ )
2
■
■
■
L’énergie cinétique du système
𝑇 = 𝑇𝐷 + 𝑇𝑃
1
الجمهوريــــــــــــــــــــــة الجزائريـــــــــــة الديمقراطيـــــــــة الشعبيـــــــة
وزارة التعليـــــــــــم العـــــــــــالي والبحـــــــــث العلـــــــمي
محمد بوضياف جامعة وهران للعلوم والتكنولوجيا
Université des Sciences et de la Technologie d’Oran Mohamed BOUDIAF
BOUTCHICHA
Djilali
Faculté de Génie Mécanique
Département de Génie Mécanique
𝑇=
3
2
1
𝑀𝑅 2 𝜃̇ 2 + 2𝑚(𝑅𝜃̇ + 𝑙𝜑̇ )
4
■
L’énergie potentielle du système
𝑉 = 𝑉𝑅 + 𝑉𝑃
1
𝑉 = 2 𝑘(𝑅𝜃)2 + 12𝑚𝑔𝑙𝜑2
■
Formalisme de Lagrange
Première coordonnée généralisée ( 𝑞1 = 𝜃)
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑉
( )−( )+( )=0
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇
𝜕𝜃
𝜕𝜃
𝜕𝑇 3
= 𝑀𝑅 2 𝜃̇ + 𝑚𝑅(𝑅𝜃̇ + 𝑙𝜑̇ )
̇
𝜕𝜃 2
𝑑 𝜕𝑇
3
( ) = 𝑀𝑅 2 𝜃̈ + 𝑚𝑅(𝑅𝜃̈ + 𝑙𝜑̈ )
𝑑𝑡 𝜕𝜃̇
2
𝜕𝑇
=0
𝜕𝜃
𝜕𝑉
= 𝑘𝑅 2 𝜃
𝜕𝜃
La première équation de mouvement
3
( 𝑀𝑅 2 + 𝑚𝑅 2 ) 𝜃̈ + 𝑚𝑅𝑙𝜑̈ + 𝑘𝑅 2 𝜃 = 0
2
■
■
■
■■
Seconde coordonnée généralisée ( 𝑞2 = 𝜑)
𝑑 𝜕𝑇
𝜕𝑇
𝜕𝑉
( )−( )+( )=0
𝑑𝑡 𝜕𝜑̇
𝜕𝜑
𝜕𝜑
𝜕𝑇
= 𝑚𝑙(𝑅𝜃̇ + 𝑙𝜑̇ )
𝜕𝜑̇
■
𝑑 𝜕𝑇
( ) = 𝑚𝑙𝑅𝜃̈ + 𝑚𝑙 2 𝜑̈
𝑑𝑡 𝜕𝜑̇
■
𝜕𝑇
=0
𝜕𝜑
𝜕𝑉
= 𝑚𝑔𝑙𝜑
𝜕𝜑
■
La seconde équation de mouvement
𝑚𝑙𝑅𝜃̈ + 𝑚𝑙 2 𝜑̈ + 𝑚𝑔𝑙𝜑 = 0
■■
Sous forme matricielle
3
2
2
[2 𝑀𝑅 + 𝑚𝑅
𝑚𝑅𝑙
𝑚𝑅𝑙 ] { 𝜃̈ } + [𝑘𝑅 2
0
𝜑̈
𝑚𝑙 2
𝜃
0
0
]{ } = { }
𝑚𝑔𝑙 𝜑
0
■■
2
