calcul-trigonometrique-resume-de-cours-2

Angles orientés mesurés en radian
•Le radian est une unité d’angle définie comme l’arc
entre deux points du cercle unité de longueur 1.
•L’angle (~ u,~ v)est orienté de ~ uvers ~ v.
On a les relations suivantes :
(~ u,~ v) + (~ v,~ w) = (~ u,~ w)relation de Chasles
(~ v,~ u) = −(~ u,~ v)et (−~ u,~ v) = (~ u,~ v) + π
•Soit θ1et θ2deux mesures d’un même angle (~ u,~ v):
∃k∈R,θ2=θ1+k2π⇔θ2=θ1[2π]
•θmesure principale d’un angle (~ u,~ v)si θ∈]−π;π]
Lignes trigonométriques
Dans le cercle unité, αest l’angle orienté :
cos α=projeté de αsur (Ox)
=OA
sin α=projeté de αsur (Oy
=OB
tan α=projeté de αsur (T)
=IC
α
cos α
sin αtan α
OI
A
BC
(T)
Relations fondamentales
•−16cos a61
−16sin a61,∀a∈R
•∀a∈R,sin 2a+cos 2a=1
•tan a=sin a
cos a,∀a6=π 2+kπ
1+tan2a=1
cos2a
α0π
6
π
4
π
3
π
2
sin α01
2
√2
2
√3
21
cos α1√3
2
√2
2
1
20
tan α0√3
31√3∞
Angles orientés et
trigonométrie
Formules d’addition
Soient aet bdeux angles quelconques :
•Avec cosinus on « ne panache pas » :
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
cos(a−b) = cos acos b+sin asin b
•Avec sinus on « panache » :
sin(a+b) = sin acos b+cos asin b
sin(a−b) = sin acos b−cos asin b
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
-π
6
-π
4
-π
3
-π
2
-2π
3
-3π
4
-5π
6
√3
2
√2
2
1
2
-√3
2
-√2
2
-1
2
√3
2
√2
21
2
-√3
2
-√2
2
-1
2
1
1
−
1
−1
Tableau de signes de cosinus et sinus
cos θ60
sin θ>0
cos θ>0
sin θ>0
cos θ60
sin θ60
cos θ>0
sin θ60
Formules de duplication et de linéarisation
1) Formule de duplication :
•cos(2a) = cos2a−sin2a
=2cos2a−1=1−2sin2a
•sin(2a) = 2sin acos a
2) Formules de linéarisation
•cos2a=1+cos(2a)
2•sin2a=1−cos(2a) 2
1er BAC Sciences Expérimentales BIOF

Symétries et compléments
O
x
-x
π
2−x
π
2+x
π−x
π+xcos(−x) = cos(x)
sin(−x) = −sin(x)
cos(π+x) = −cos(x)
sin(π+x) = −sin(x)
cos(π−x) = −cos(x)
sin(π−x) = sin(x)
cos π
2−x=sin(x)
sin π
2−x=cos(x)
cos π
2+x=−sin(x)
sin π
2+x=cos(x)
Exemple d’application
Soit A=cos π
7+cos 9π 14 +cos 8π 7+cos 23π 14 . Montrer que A=0
A=cos π
7+cos 9π 14 +cos 8π 7+cos −5π 14 car 23π 14 =−5π 14 [2π]
=cos π
7+cos π 2+π 7+cos π+π 7+cos 5π 14
=cos π
7−sin π 7−cos π 7+cos π 2−π 7
=−sin π
7+sin π 7
=0
Applications des formules
•Relations fondamentales : Sachant que cos π
5=√5+1 4, calculer sin π 5
sin2π
5=1−cos2π 5=1−5+2√5+1 16 =10 −2√2 16
cos π
5>0
⇒
sin π
5=p10 −2√5 4
•Formules d’addition :
cos 7π
12 =cos π 3+π 4=cos π 3cos π 4−sin π 3sin π 4=1 2×√2 2−√3 2×√2 2
=√2−√6
4
sin π
12 =sin π 3−π 4=sin π 3cos π 4−cos π 3sin π 4=√3 2×√2 2−1 2×√2 2
=√6−√2
4
•Formules de linéarisation :
cos 2π
8=
1+cos π
4
2=
1+√2
2
2=2+√2 4
cos π
8>0
⇒cos π
8=p2+√2 2
sin 2π
8=
1−cos π
4
2=
1−√2
2
2=2−√2 4
cos π
8>0
⇒sin π
8=p2−√2 2
1er BAC Sciences Expérimentales BIOF

Figure donnant les formules d’addition de cosinus et sinus
•On trace un cercle Cde centre O et de rayon 1.
•On repère le rayon [OA] par rapport à la droite (OI) par les angles xet y.
•Le point A se projette orthogonalement en H sur la droite (OI).
•Le point A se projette orthogonalement en B sur la droite formant un angle yavec (OI).
•Le point B se projette orthogonalement en C sur la droite (OI).
•Le point A se projette orthogonalement en D sur la droite (CB). On a alors : [ ABD =y.
Sachant que cosinus est la projection orthogonale sur l’axe horizontal et sinus sur l’axe vertical,
on obtient la figure suivante :
cos(x+y)
cos xcos y
cos xsin y
sin xcos y
sin xsin y
sin(x+y)
y
x
y
1
cos x
sin x
C
O
A
B
C
H
D
I
1er BAC Sciences Expérimentales BIOF