Trigonométrie pour 1er BAC Sciences Expérimentales BIOF

Angles orientés mesurés en radian
•Le radian est une unité d’angle définie comme l’arc
entre deux points du cercle unité de longueur 1.
•L’angle (~ u,~ v)est orienté de ~ uvers ~ v.
On a les relations suivantes :
(~ u,~ v) + (~ v,~ w) = (~ u,~ w)relation de Chasles
(~ v,~ u) = −(~ u,~ v)et (−~ u,~ v) = (~ u,~ v) + π
•Soit θ1et θ2deux mesures d’un même angle (~ u,~ v):
∃k∈R,θ2=θ1+k2π⇔θ2=θ1[2π]
•θmesure principale d’un angle (~ u,~ v)si θ∈]−π;π]
Lignes trigonométriques
Dans le cercle unité, αest l’angle orienté :
cos α=projeté de αsur (Ox)
=OA
sin α=projeté de αsur (Oy
=OB
tan α=projeté de αsur (T)
=IC
α
cos α
sin αtan α
OI
A
BC
(T)
Relations fondamentales
•−16cos a61
−16sin a61,∀a∈R
•∀a∈R,sin 2a+cos 2a=1
•tan a=sin a
cos a,∀a6=π 2+kπ
1+tan2a=1
cos2a
α0π
6
π
4
π
3
π
2
sin α01
2
√2
2
√3
21
cos α1√3
2
√2
2
1
20
tan α0√3
31√3∞
Angles orientés et
trigonométrie
Formules d’addition
Soient aet bdeux angles quelconques :
•Avec cosinus on « ne panache pas » :
cos(a+b) = cos acos b−sin asin b
cos(a−b) = cos acos b+sin asin b
•Avec sinus on « panache » :
sin(a+b) = sin acos b+cos asin b
sin(a−b) = sin acos b−cos asin b
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
-π
6
-π
4
-π
3
-π
2
-2π
3
-3π
4
-5π
6
√3
2
√2
2
1
2
-√3
2
-√2
2
-1
2
√3
2
√2
21
2
-√3
2
-√2
2
-1
2
1
1
−
1
−1
Tableau de signes de cosinus et sinus
cos θ60
sin θ>0
cos θ>0
sin θ>0
cos θ60
sin θ60
cos θ>0
sin θ60
Formules de duplication et de linéarisation
1) Formule de duplication :
•cos(2a) = cos2a−sin2a
=2cos2a−1=1−2sin2a
•sin(2a) = 2sin acos a
2) Formules de linéarisation
•cos2a=1+cos(2a)
2•sin2a=1−cos(2a) 2
1er BAC Sciences Expérimentales BIOF

Symétries et compléments
O
x
-x
π
2−x
π
2+x
π−x
π+xcos(−x) = cos(x)
sin(−x) = −sin(x)
cos(π+x) = −cos(x)
sin(π+x) = −sin(x)
cos(π−x) = −cos(x)
sin(π−x) = sin(x)
cos π
2−x=sin(x)
sin π
2−x=cos(x)
cos π
2+x=−sin(x)
sin π
2+x=cos(x)
Exemple d’application
Soit A=cos π
7+cos 9π 14 +cos 8π 7+cos 23π 14 . Montrer que A=0
A=cos π
7+cos 9π 14 +cos 8π 7+cos −5π 14 car 23π 14 =−5π 14 [2π]
=cos π
7+cos π 2+π 7+cos π+π 7+cos 5π 14
=cos π
7−sin π 7−cos π 7+cos π 2−π 7
=−sin π
7+sin π 7
=0
Applications des formules
•Relations fondamentales : Sachant que cos π
5=√5+1 4, calculer sin π 5
sin2π
5=1−cos2π 5=1−5+2√5+1 16 =10 −2√2 16
cos π
5>0
⇒
sin π
5=p10 −2√5 4
•Formules d’addition :
cos 7π
12 =cos π 3+π 4=cos π 3cos π 4−sin π 3sin π 4=1 2×√2 2−√3 2×√2 2
=√2−√6
4
sin π
12 =sin π 3−π 4=sin π 3cos π 4−cos π 3sin π 4=√3 2×√2 2−1 2×√2 2
=√6−√2
4
•Formules de linéarisation :
cos 2π
8=
1+cos π
4
2=
1+√2
2
2=2+√2 4
cos π
8>0
⇒cos π
8=p2+√2 2
sin 2π
8=
1−cos π
4
2=
1−√2
2
2=2−√2 4
cos π
8>0
⇒sin π
8=p2−√2 2
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Figure donnant les formules d’addition de cosinus et sinus
•On trace un cercle Cde centre O et de rayon 1.
•On repère le rayon [OA] par rapport à la droite (OI) par les angles xet y.
•Le point A se projette orthogonalement en H sur la droite (OI).
•Le point A se projette orthogonalement en B sur la droite formant un angle yavec (OI).
•Le point B se projette orthogonalement en C sur la droite (OI).
•Le point A se projette orthogonalement en D sur la droite (CB). On a alors : [ ABD =y.
Sachant que cosinus est la projection orthogonale sur l’axe horizontal et sinus sur l’axe vertical,
on obtient la figure suivante :
cos(x+y)
cos xcos y
cos xsin y
sin xcos y
sin xsin y
sin(x+y)
y
x
y
1
cos x
sin x
C
O
A
B
C
H
D
I
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