Calcul Vectoriel : Notions Fondamentales et Opérations

Rappels et Compléments de Mathématiques SMA-SMI Pr. S. DEKKAKI
Chapitre1 :
I - Notion fondamental du calcul vectoriel
I.1. Modéliser Représenter
Pour décrire un phénomène ou un système physique, le physicien doit:
• Déterminer les paramètres, les grandeurs, caractérisant au mieux l'état ou l'évolution du
système.
• Préciser la nature des grandeurs considérées. Il peut s'agir de :
- Grandeurs locales c'est-à-dire définies par leur valeur en chaque point.
- Grandeurs globales, caractérisant un domaine ou la totalité du système (par exemple son
énergie).
Ces grandeurs peuvent être :
- Des scalaires ou nombres (densité de masse ou de charge, température ...) qui sont
parfaitement définies par leur mesure avec une unité donnée.
- Des vecteurs (on pourra définir un champ de gravitation, un champ électrique,
un gradient de pression), qui nécessitent en plus de leur mesure la connaissance de leur sens
leur direction.
- Des matrices, des tenseurs, des opérateurs,...etc....
• Modéliser les relations entre ces grandeurs pour alléger le nombre des mesures à faire,
prévoir des variations ou faciliter les calculs, décrire la physique du phénomène considéré.
Cela passe par la construction d'un espace mathématique de représentation.
•Décrire en particulier les propriétés spatiales, la géométrie du système considéré.

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I.2. Espace utilisé :
En mécanique du point matériel on utilisera deux espaces :
* L’espace affine (formé de points) Euclidien (on peut définir la distance entre deux points)
De dimension 3, noté E.
* L’espace vectoriel à 3 dimensions sur le corps des réels R associé à E, noté E.
I.3. Vecteur :
A tout couple de points (A, B) E on associé un élément
 ABu
E définissant un
vecteur.
Le vecteur
u
est complètement définit par :
- Son point origine A., son extrémité B
- Sa direction : support portant le segment
AB
- Son intensité (norme, module) : distance entre A et B
- Son sens de A vers B
B
A
U
I.4. Base d’un espace vectoriel :
Soit
)e,e,eB( 321 
une famille de trois vecteurs libres non nuls de E, B est une base de
l’espace vectoriel E si :
321
3ecebeautqcb,a,ξu
a, b, c sont les composantes de
u
sur la base B ; la base est orthonormé si les
i
e
sont normés
et deux à deux orthogonaux.
La norme de
u
est :
222 cbau 
.
Généralement on notera cette base
k,j,iB 

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I.5. Repère orthonormé
L’ensemble formé par un point O et une base constitue un repère de E noté
les demi-droites Ox, Oy, Oz, sont les axes du repère.
La distance entre 2 points A et B dans R est : Z B
kbjbibOBkajaiaOA 
321321 
O A
 3
1
2
3
1i
i
iii aibiABeabAB 
Y
x
I.6. Opération sur les vecteurs
1- Addition, soustraction, multiplication
* La somme de deux vecteurs
vunotévetu
est un vecteur
w
obtenu par ‘ la règle du
parallélogramme ‘
vu  
=
u
u
v
v
Règle : on prend un vecteur équipollent à
u
(vecteur de support // à
u
,de même module et de
même sens) qu’on ramène à l’extrémité de
v
, est le vecteur joignant l’origine de
v
à
l’extrémité de
u
* La loi de soustraction est définit de la même façon :
uvv)u(w  
v
u
v
-
u
w
-
u
kjiB 
,,
kjiO 
 ;;,
w
vu  

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*La multiplication par un scalaire est distributive :
vλuλvuλ
* Produit externe
C'est la multiplication d'un vecteur par un scalaire réel, le résultat est un vecteur colinéaire au
vecteur initial.
Si  est positif le sens du vecteur est inchangé ; et il
change s’il est négatif.
Si  est plus grand que 1, le module du vecteur est
augmenté (le vecteur s'allonge) et inversement si
 est plus petit que 1.
2- Produit scalaire :
a- Définition
Soit
21 u,u 
deus vecteurs non nuls et
)u;u(anglel'α21 
, le produit scalaire des deux
vecteurs
21,uu 
est défini par :
2121 u.uu.u 
.
cos
2
u
1
u
Par définition, le produit scalaire est un nombre p :
.cosαu.up 21 
=
)u(/.proju)u(/proj.u 1u22u1 2
1
En effet :

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212121 000. vàlaireperpendicuvouvouvvv 
1
u
1
u
cos
2
u
La projection d’un vecteur
v
sur un axe de vecteur unitaire
u
est :
b- Propriétés :
- Commutativité
u.vv.u  
- Distributivité/ addition
)uu.(v21  
=
21 u.vu.v  
- Associativité pour le produit externe
2121 u).u(λ)u.uλ.(  
-
- si
2
1212121 vcos(0)vvv.vvv  
Donc on retrouve les résultas pour un repère orthonormé
1 kji 
0... 
  ikkjji
c- Représentation analytique :
Soit le repère orthonormé :
1
v
E
kzjyixv 1111
uvvoj  .)(/Pr 
kjiO 
 ;;,