Espaces vectoriels normés

Espaces vectoriels normés
Pierron Théo
ENS Ker Lann

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Table des matières
1 Espaces vectoriels normés 3
1.1 Rappels sur les espaces métriques ................ 3
1.2 Espaces vectoriels normés : généralités ............. 4
1.3 Espaces vectoriels normés de dimension finie .......... 6
1.4 Complété d’un espace vectoriel normé .............. 7
1.5 Applications linéaires continues ................. 8
1.6 Théorème de Riesz ........................ 9
1.7 Quotient et séparation ...................... 10
1.8 Espaces Lp............................. 10
2 Espaces de Hilbert 11
2.1 Théorème de projection ...................... 13
2.2 Dual et théorème de Riesz .................... 15
2.3 Bases hilbertiennes ........................ 16
2.4 Inégalités de Bessel et Parseval ................. 17
2.5 Opérateurs compacts ....................... 21
2.6 Opérateurs intégraux de Hilbert-Schmidt ............ 24
2.7 Théorème spectral pour les opérateurs compacts ........ 25
3 Théorèmes classiques d’analyse 29
3.1 Le théorème de Hahn-Banach .................. 29
3.2 Théorème de l’application ouverte ................ 31
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ii TABLE DES MATIÈRES

Introduction
On va parler d’espaces vectoriels normés et d’applications linéaires conti-
nues entre ces espaces. Les plus intéressant sont de dimension infinie donc on
va principalement parler d’iceux. L’étude de ces objets peut être vue comme
de l’algèbre linéaire en dimension infinie.
Un exemple d’application : l’équation de la
corde vibrante
∂2u
∂t2(x, t) = α∂2u ∂x2(x, t)
u(0, t) = u(1, t) = 0
On sépare les variables et on arrive à l’équation u(x, t) = f(x)g(t) et
f′′ (x)
f(x)=αg′′(t) g(t).
Donc f′′(x)
f(x)=C1et αg′′(t) g(t)=C2.
Les conditions au bord donnent des contraintes sur C1et C2.
Généralisation
Plus généralement, des équations de physique donnent lieu à des pro-
blèmes dits de Sturm-Liouville du type :
f′′(x) + q(x)f(x) = λf(x)
R1f=α1f(0) + β1f′(0) = 0
R2f=α2f(1) + β2f′(1) = 0
avec qune fonction continue, α1,α2,β1et β2des réels donnés et λun para-
mètre à déterminer.
Soit f1,f2un système fondamental de solutions de l’équation différentielle
linéaire f′′ +qf = 0.
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