Corrige exos chaleur

Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
1
Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur
Laboratoire de Technologie des Poudres
Prof H.Hofmann
Corrigés (1- 21, Chaleur)
Exercice 1
2
300 /qkWm=
max 50
.
,?
ecm
kconst
ke
=
=
=
avec
équ. 3.14 et 3.15
e
x
T1
T2
Problèm e
T
x
T1
T2
e
0
T= T1-(T1-T2) x/e
S olution
5m2 k ?
T1= 700°C
T2= 20°C
e
()
[]
21
12 1
3
2
max
(T -T )
et T(x) = x + T
e
q = 300 10 680
441,2
441,2 0,5 220 /
On cherche donc un matériau ayant une conductivité
thermique k 220 [W/mK]
Cu, Al, Zn pas possible
Pk
qTT
Se
k
e
kW
emC
kWmC
== −
⋅=⋅
⎡⎤
=⎢⎥
°
⎣⎦
=⋅= °
≤
()
[]
()
[]
()
[]
350
350
350
(voir Fig 7.9)
Acier doux k 33 / ; 7,5
Acier inox. k 20 / ; 4,5
Magnésie k 3 / ; 0,68
C
C
C
WmC e cm
WmC e cm
WmC e cm
°
°
°
=°=
=°=
š =

Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
2
Exercice 2
()
()
[]
[]
()
()
()
()
()
2
1
2
1
1
2
1
2
1
21
12
1
01
01
21
2
1
0
21
22
11
02 2 01 1
21
22
1
02 1 2 1
21
1 (équ.3.34)
avec k
1
12
122
12
x
T
moyen T
T
mT
T
mT
T
mT
T
mT
m
m
m
kkTdT
TT
kTT
Tx T x
e
k
TkkT
kkkTdT
TT
k
kkTT
TT
kk
kkTTkTT
TT
k
kkTTTT
TT
kk
=−
−
=− ⋅ ⋅
=+⋅
=+
−
⎡⎤
=+
⎢⎥
−⎣⎦
⎡⎤
=+−−
⎢⎥
−⎣⎦
⎡⎤
=−+−
⎢⎥
−⎣⎦
=
∫
∫
1
021
()
2
kTT++
autre interprétation (plus « mathématique ») :
de k(T) = k0 + k1T on tire le « vrai » k0 (le « b » de y = ax + b)
k0 = k(T) – k1T = 0.55 – 0.025x200 = -4.45
pour se ramener à un graphique « simple »
il faut ramener l’origine à zéro :
on a donc :
k(T) = -4.45+0.025 T et on trouve pour
km= -4.45+(0.025/2)1200=10.55
(avant on avait k=k0+k1(T-200))
()()
()
()()
()
()()
()()
200
1000
()
1000
0,025
0,55 1000 200 200 200 10,55 [ ]
2
0,55 0,0125 1000 200 ( ) 200
10,55 (1000 200)
( ) 1000 10,55 0,0125 1000 200 ( ) 200
10,55 800
1000 0,55 0,0125 ( ) 200 800
m
Tx
m
W
kmC
kTx
Tx x
Tx
x
Tx
=+ −+− = °
=+ −+ −
−
=− ⋅=
+−+−
⎡⎤
⎣⎦
⋅
=− ⋅
+−+
⎡⎤
⎣⎦
k
T
200 1000
k = f(T)
T
0.55
0
-4.45
200
k(T) = k0 + k1T
1000
200
k
T
x
0

Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
3
0
200
400
600
800
1000
1200
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Distance x (m)
Temperature (°C)
k = constant
k= k
0
+ k
1
T
x (m) T (°C)
0 1000
0,48 800
0,73 600
0,92 400
1 200

Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
4
Exercice 3
()
()
12
2
b)
16,91
2 500 300 67,6
0,1
33,8
k
PS TT
e
PkW
PkW
qSm
=⋅⋅ −
=⋅ − =
==
c) équ. 7.34
() ( )
()
()
01
1 18,8 1 0,064 17,6
17,6
2 200 70,4
0,1
eff c W
kk P mC
k
PqSS TT
e
PkW
=−=⋅− = °
=⋅= −
=⋅ =
Exercice 4
5,0% du poids céramique 6,4 % vol.≡
a) k composite (équation 7.33)
1/
12 2/ 1
1/
1/1
0,899 16,91
cd
dcd
comp c
cd
dcd
comp acier
kk
Vkk
kk kk
Vkk
W
kk mC
⎡⎤
⎛⎞
−
+
⎢⎥
⎜⎟
+
⎝⎠
⎢⎥
=⎢⎥
⎛⎞
−
⎢⎥
−⎜⎟
+
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
=⋅ = °
01 12 2 0
00
00 2
00
11
2
On calcule pour le cas régime stationnaire:
'
q11
'
' 500 20
soit: q = 1371
0,1
11
11
'20 1 5
500
De plus, 1371 d'où 431
120
20
et 1371 d'où
15
TTTT TT cste
e
hh
k
TT W
em
hkh
TTC
T
−− −
=== =
−−
==
++ ++
−==°
−=2
294TC=°
6g =1cm3 5g = 0.833cm3
7.8g = 1cm3 95g = 12.18cm3
Avec les indices suivants :
c = phase continue
d = phase dispersée
V
i = volume de la phase i
Vd = 0.833
12.18+0.833
= 0.0640
e
T0
h0
T1
T2
T’0
h'0

Exercices de Phénomènes de Transfert de Chaleur : Corrigés
5
2
12
12
Si maintenant = 20 cm:
500-20
' = 1066
0,2
11
20 1 5
' 446 et ' 233
Ainsi q a diminué de 23% (et non de moitié), T a augmenté et T diminué.
Ces résultats sont loin d'être intuitifs.
e
W
qm
TCTC
=
++
=° =°
Exercice 5
a)Briques réfractaires Isolant
On a donc :
b) Briques réfractaire : Isolant réfractaire :
Isolant :
Avec à nouveau :
Nous trouvons :
On se rend compte qu'il convient de se méfier des solutions intuitives ou "évidentes" et qu'il vaut
mieux les étayer par un calcul, même approximatif.
1
1
10
1
ecm
W
kmC
=
=⋅°
2
2
13
2
0,1 .
1100 , 20
ecm
W
kmC
TCTC
=
=°
=
°=°
2
22
1100-20
Ici, q = 3600
0,1 0,02
10,1
1100
et donc q = 3600 d'où 740
0,11
W
cste m
TTC
==
+
−
==°
2
2
3
0,5 .
ecm
W
kmC
=
=°
3
3
2
0,1 .
ecm
W
kmC
=
=°
T
1=1100°C,T 4=20°C
2
22
1100 20
'3273
0,07 0,03 0,02
10,50,1
'0,91
1100 '
et 3273 d'où ' 870 ,
0,071
W
qm
qq
TTC
−
==
++
≈
−
==°
()
23 332
''
de plus 3273 = , donc ' 674 ' .
0,030,5
TT TCTT −=° <
1
1
7
1/
ecm
kWmC
=
=°
a)
T1T2
T3
T1T’2
T3
T4
e1e2e2
e1e3
b)