Réduction. Sous-espaces stables. [http mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 29 décembre 2015 Enoncés 1

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Réduction
Sous-espaces stables
Exercice 1 [ 00755 ] [Correction]
Soient uet vdeux endomorphismes d’un K-espace vectoriel E.
On suppose que uet vcommutent, montrer que Im uet ker usont stables par v.
Que dire de la réciproque ?
Exercice 2 [ 00756 ] [Correction]
Montrer qu’un endomorphisme fd’un K-espace vectoriel Ecommute avec un
projecteur psi, et seulement si, les espaces Im pet ker psont stables par f.
Exercice 3 [ 01722 ] [Correction]
Soient Eun K-espace vectoriel et fet gdeux endomorphismes de Etels que
f◦g=g◦f.
a) Montrer que ker fet Im fsont stables par gi.e. g(ker f)⊂ker fet
g(Im f)⊂Im f
b) En déduire que, si pest un projecteur de E, on a :
pet fcommutent si, et seulement si, Im pet ker pstables par f.
Exercice 4 [ 00758 ] [Correction]
Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
On pose
N=
∞
[
p=0
ker upet I=
∞
\
p=0
Im up
a) Montrer qu’il existe n∈Ntel que N= ker unet I= Im un.
b) Établir que Net Isont des sous-espaces vectoriels supplémentaires stables
par uet tels que les restrictions de uàNet Isoient respectivement
nilpotente et bijective.
c) Réciproquement on suppose E=F⊕Gavec Fet Gsous-espaces vectoriels
stables par utels que les restrictions de uàFet Gsoient respectivement
nilpotente et bijective. Établir F=Net G=I.
Exercice 5 [ 00216 ] [Correction]
Soient u∈ L(E)(avec dim E < +∞) nilpotent et p∈N∗tel que up= 0.
a) Établir que pour tout k∈ {1, . . . , p}, il existe un sous-espace vectoriel Fkde
Etel que
ker uk= ker uk−1⊕Fk
b) Établir que E=F1⊕ ··· ⊕ Fp.
c) Observer que la matrice de udans une base adaptée à la somme directe
ci-dessus est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls.
Exercice 6 [ 03459 ] [Correction]
Soient Eun R-espace vectoriel de dimension finie nnon nulle et f∈ L(E)
vérifiant f2=−IdE.
a) Soit a∈Enon nul. Montrer que la famille (a, f(a)) est libre.
On pose F(a) = Vect (a, f(a)).
b) Montrer qu’il existe des vecteurs de E a1, . . . , apnon nuls tels que
E=F(a1)⊕ ··· ⊕ F(ap)
c) En déduire que la dimension de Eest paire et justifier l’existence d’une base
de Edans laquelle la matrice de fest simple.
Exercice 7 [ 03205 ] [Correction]
Soient Eun R-espace vectoriel de dimension finie et uun endomorphisme de E
vérifiant
u3+u= 0
a) Montrer que l’espace Im uest stable par u.
b) Pour x∈Im u, calculer u2(x)
c) Soit vl’endomorphisme induit par usur Im u.
Montrer que vest un isomorphisme.
d) En déduire que le rang de l’endomorphisme uest un entier pair.
Exercice 8 [ 00757 ] [Correction]
Déterminer les sous-espaces vectoriels stables pour l’endomorphisme de dérivation
dans K[X].
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Exercice 9 [ 03462 ] [Correction]
[Endomorphisme cyclique] Soient uendomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede
dimension finie n≥2.
On suppose que Eest le seul sous-espace vectoriel non nul stable par u.
a) L’endomorphisme upossède-t-il des valeurs propres ?
b) Montrer que pour tout x∈E\ {0E}, la famille (x, u(x), . . . , un−1(x)) est une
base de E.
Quelle est la forme de la matrice de udans cette base ?
c) Montrer que cette matrice ne dépend pas du choix de x.
Exercice 10 [ 00759 ] [Correction]
Soient uet vdeux endomorphismes d’un K-espace vectoriel de dimension n∈N∗.
On suppose u◦v=v◦uet vnilpotent.
On désire montrer
det(u+v) = det u
en raisonnant par récurrence sur la dimension n≥1.
a) Traiter le cas n= 1 et le cas v= 0.
b) Pour n≥2et v6= 0, former les matrices de uet vdans une base adaptée à
Im v.
c) Conclure en appliquant l’hypothèse de récurrence aux restrictions de uet v
au départ de Im v.
Exercice 11 [ 03116 ] [Correction]
Soient Eun espace vectoriel de dimension finie et u∈ L(E)nilpotent.
Soit Sun sous-espace vectoriel de Estable par uet tel que
E=S+ Im u
Montrer que S=E.
Exercice 12 [ 00760 ] [Correction]
Soit E=E1⊕E2un K-espace vectoriel. On considère
Γ = {u∈ L(E)|ker u=E1et Im u=E2}
a) Montrer, pour tout ude Γque ˜u=uE2est un automorphisme de E2.
Soit φ: Γ →GL(E2)définie par φ(u) = ˜u.
b) Montrer que ◦est une loi interne dans Γ.
c) Montrer que φest un morphisme injectif de (Γ,◦)dans (GL(E2),◦).
d) Montrer que φest surjectif.
e) En déduire que (Γ,◦)est un groupe. Quel est son élément neutre ?
Exercice 13 [ 02897 ] [Correction]
On note E=C(R,R)et on pose, pour toute f∈Eet tout x∈R,
T f(x) = f(x) + Zx
0
f(t) dt
a) L’opérateur Test-il un automorphisme de E?
b) Existe-t-il un sous-espace vectoriel de Ede dimension finie impaire et stable
par T?
Exercice 14 [ 04132 ] [Correction]
Une matrice A= (ai,j )∈ Mn(R)est dite magique s’il existe un réel svérifiant
∀i∈J1 ; nK,
n
X
j=1
ai,j =set ∀j∈J1 ; nK,
n
X
i=1
ai,j =s
On note Ula colonne U=t1··· 1∈ Mn,1(R).
a) Montrer que la matrice Aest magique si, et seulement si, il existe des réels λ
et µvérifiant
AU =λU et tUA =µtU
Que dire alors des réels λet µ?
b) On introduit les espaces D= Vect(U)et H={X∈ Mn,1(R)|tUX = 0}.
Pourquoi peut-on affirmer que ces espaces sont supplémentaires ?
c) Montrer qu’une matrice Ade Mn(R)est magique si, et seulement si, elle
laisse stable les espaces Det H.
d) En déduire que la dimension de l’espace de matrices magiques de Mn(R).
Matrices semblables
Exercice 15 [ 00721 ] [Correction]
Soit A∈ M3(R)vérifiant A2= 0 et A6= 0.
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Établir que Aest semblable à la matrice
B=
000
100
000
Exercice 16 [ 00722 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(K)vérifiant
An−16=Onet An=On
Établir que Aest semblable à la matrice
B=
0 1 (0)
......
...1
(0) 0
Exercice 17 [ 00723 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(K)une matrice non nulle telle que les espaces Im Aet ker Asoient
supplémentaires.
Montrer que la matrice Aest semblable à une matrice de la forme
A00
0 0avec A0∈GLr(K)
Exercice 18 [ 00724 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(K)une matrice telle que A2= 0 et de rang r > 0.
Montrer que Aest semblable à
B=0Ir
0 0 .
Exercice 19 [ 00725 ] [Correction]
Soit A∈ M3(R)non nulle vérifiant
A3+A=O3
Montrer que Aest semblable à la matrice
0 0 0
0 0 −1
0 1 0 
Exercice 20 [ 00726 ] [Correction]
Soit M∈ M4(R)telle que M2+I= 0.
Montrer que Mest semblable à la matrice
0−1 0 0
1000
000−1
0010
Exercice 21 [ 00728 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(R)de trace nulle.
Montrer que Aest semblable à une matrice de la forme
0∗
...
∗0
Exercice 22 [ 03136 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(K)une matrice de rang 1.
a) Montrer que Aest semblable à une matrice dont les n−1premières colonnes
sont nulles.
b) En déduire
A2= tr(A).A et det(In+A) = 1 + tr A
Exercice 23 [ 02382 ] [Correction]
Quelles sont les matrices carrées réelles d’ordre nqui commutent avec
diag(1,2, . . . , n)et lui sont semblables ?
Exercice 24 [ 02691 ] [Correction]
Soient Aet Bdans Mn(R)semblables sur C. Montrer que Aet Bsont semblables
sur R.
Exercice 25 [ 03032 ] [Correction]
Soit f:Mn(C)→Cnon constante telle que :
∀(A, B)∈ Mn(C)2, f (AB) = f(A)f(B)
Pour A∈ Mn(C), prouver l’équivalence :
Ainversible ⇐⇒ f(A)6= 0
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Exercice 26 [ 01322 ] [Correction]
Soit A∈ M3(R)non nulle vérifiant A2=O3.
Déterminer la dimension de l’espace
C={M∈ M3(R)|AM −MA =O3}
Exercice 27 [ 03778 ] [Correction]
Les matrices suivantes sont-elles semblables ?
A=
3 6 −5−2
−1−6 5 −2
−1−10 8 −3
0−3 2 0
et B=
12621
0 2 2 5
0 0 3 2
0 0 0 5
Exercice 28 [ 02541 ] [Correction]
Soit Gune partie de Mn(R)non réduite à la matrice nulle.
On suppose que (G, ×)est un groupe. Montrer qu’il existe r∈N∗tel que le
groupe (G, ×)soit isomorphe à un sous-groupe de (GLr(R),×).
Etude théorique des éléments propres d’un endo-
morphisme
Exercice 29 [ 00763 ] [Correction]
Soit fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Ede dimension finie.
Montrer
0/∈Sp(f)⇐⇒ fsurjectif
Exercice 30 [ 00762 ] [Correction]
Soient fun endomorphisme d’un K-espace vectoriel et n∈N∗. On suppose que
0∈Sp(fn).
Montrer que 0∈Sp(f).
Exercice 31 [ 00764 ] [Correction]
Soit uun automorphisme d’un K-espace vectoriel E.
Établir
Sp u−1=λ−1|λ∈Sp u
Exercice 32 [ 00765 ] [Correction]
Soient Eun K-espace vectoriel, u∈ L(E),a∈GL(E)et v=a◦u◦a−1.
Comparer Sp uet Sp vd’une part, Eλ(u)et Eλ(v)d’autre part.
Exercice 33 [ 00766 ] [Correction]
Soit uun endomorphisme d’un K-espace vectoriel Etel que tout vecteur non nul
en soit vecteur propre.
Montrer que uest une homothétie vectorielle.
Exercice 34 [ 00042 ] [Correction]
Soient u,vdeux endomorphismes d’un espace vectoriel.
a) Si λ6= 0 est valeur propre de u◦v, montrer qu’il l’est aussi de v◦u.
b) Pour P∈E=R[X], on pose
u(P) = P0et v(P) = ZX
0
P(t) dt
ce qui définit des endomorphismes de E. Déterminer
ker(u◦v)et ker(v◦u)
c) Montrer que la propriété de la première question reste valable pour λ= 0 si
l’espace Eest de dimension finie.
Exercice 35 [ 02544 ] [Correction]
Soient uet vdeux endomorphismes d’un R-espace vectoriel Ede dimension finie.
Montrer que si λest valeur propre de u◦valors λest aussi valeur propre de v◦u.
Crochet de Lie
Exercice 36 [ 00775 ] [Correction]
Soient A, B ∈ Mn(R)vérifiant AB −BA =A.
a) Calculer AkB−BAkpour k∈N.
b) À quelle condition la matrice Akest-elle vecteur propre de l’endomorphisme
M7→ MB −BM de Mn(R)?
c) En déduire que la matrice Aest nilpotente.
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Exercice 37 [ 02719 ] [Correction]
Soient fet gdeux endomorphismes d’un C-espace vectoriel Ede dimension finie
n≥1tels que
f◦g−g◦f=f
a) Montrer que fest nilpotent.
b) On suppose fn−16= 0. Montrer qu’il existe une base ede Eet λ∈Ctels que :
Matef=
0 1 (0)
......
...1
(0) 0
et
Mateg= diag(λ, λ + 1, . . . , λ +n−1)
Exercice 38 [ 02441 ] [Correction]
Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, u, v dans L(E)et a, b
dans C. On suppose
u◦v−v◦u=au +bv
a) On étudie le cas a=b= 0.
Montrer que uet vont un vecteur propre en commun.
b) On étudie le cas a6= 0,b= 0.
Montrer que uest non inversible.
Calculer un◦v−v◦unet montrer que uest nilpotent.
Conclure que uet vont un vecteur propre en commun.
c) On étudie le cas a, b 6= 0.
Montrer que uet vont un vecteur propre en commun.
Exercice 39 [ 02868 ] [Correction]
Soient Eun C-espace vectoriel de dimension finie non nulle, (a, b)∈C2,fet g
dans L(E)tels que
f◦g−g◦f=af +bg
Montrer que fet gont un vecteur propre commun.
Exercice 40 [ 02395 ] [Correction]
Soit Eun espace vectoriel complexe de dimension finie non nulle. Soient uet v
des endomorphismes de E; on pose [u;v] = uv −vu.
a) On suppose [u;v]=0. Montrer que uet vsont cotrigonalisables.
b) On suppose [u;v] = λu avec λ∈C∗. Montrer que uest nilpotent et que uet
vsont cotrigonalisables.
c) On suppose l’existence de complexes αet βtels que [u;v] = αu +βv.
Montrer que uet vsont cotrigonalisables.
Exercice 41 [ 00829 ] [Correction]
Soient fet gdeux endomorphismes d’un K-espace vectoriel Etels que
f◦g−g◦f=I.
a) Montrer que, pour tout entier n≥1, on a fn◦g−g◦fn=nfn−1.
b) En dimension finie non nulle, montrer qu’il n’existe pas deux
endomorphismes fet gtels que f◦g−g◦f=I.
c) Montrer que dans E=K[X]les endomorphismes fet gdéfinis par
f(P) = P0et g(P) = XP conviennent.
Exercice 42 [ 00828 ] [Correction]
Soient Eun espace vectoriel réel de dimension finie, fet gdeux endomorphismes
de Evérifiant
f◦g−g◦f=f
a) Calculer
fn◦g−g◦fn
b) Soit Pun polynôme. Montrer que si P(f)=0alors f◦P0(f)=0.
c) En déduire que fest un endomorphisme nilpotent.
Exercice 43 [ 03031 ] [Correction]
Soit A∈ Mn(C). On considère l’endomorphisme Tde Mn(C)défini par
T(M) = AM −MA
a) On suppose que la matrice Aest nilpotente.
Montrer que l’endomorphisme Test aussi nilpotent.
b) Réciproque ?
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