ARITHMETIQUE
I. Multiples et diviseurs (rappels)
1. Définitions
Définition : Soient a, b et n trois nombres entiers positifs non nuls tels que n = a x b.
Les nombres a et b sont des diviseurs de n.
Le nombre n est un multiple des nombres a et b.
Exemples
- Quels sont les diviseurs de 24 ? 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 et 24
- Quels sont les diviseurs de 60 ? 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 et 60
- Quels sont les diviseurs de 31 ? 1 et 31
- Donner des multiples de 4 : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 400 ; 524 ; 6 896 ; etc
- Donner des multiples de 12 : 12 ; 24 ; 132 ; 8 340 ; etc
Propriété : Tout nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et lui-
même.
2. Critères de divisibilité
Propriétés : - Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8, alors il est divisible par 2.
- Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ou 5, alors il est divisible par 5.
- Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, alors il est divisible par 10.
- Si le nombre composé des deux derniers chiffres d’un nombre entier est divisible par 4, alors ce
nombre est divisible par 4 (exemples : 1728, 3640, 7892, 62 104, 78 000, 6 325 432, etc).
- Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 3, alors ce nombre est divisible par 3
(exemples : 123 ; 651).
- Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 9, alors ce nombre est divisible par 9
(exemple : 8 217).
II. Nombres premiers
Définition : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs est appelé un nombre
premier . Ses deux seuls diviseurs sont 1 et lui-même.
Exemples :
Donner les diviseurs de 17 : 1 et 17. Ce sont les seuls donc 17 est un nombre premier.
Donner les diviseurs de 2 : 1 et 2. Ce sont les seuls donc 2 est un nombre premier.
Donner les diviseurs de 6 : 1 ; 2 ; 3 ; 6. Il a quatre diviseurs, 6 n'est donc pas un nombre premier.
Donner tous les nombres premiers inférieurs à 30 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 et 29.
Remarques :
•1 n’admet qu’un seul diviseur : lui-même. Ce n’est donc pas un nombre premier.
•2 est le seul nombre premier à être pair.
Définition : Deux nombres sont premiers entre eux si le plus grand diviseur qu'ils ont en commun
est 1.
Exemple : 25 et 32 sont-ils premiers entre eux ?
Pour le savoir, écrivons la liste de leurs diviseurs :
•Diviseurs de 25 : 1 ; 5 ; 25
•Diviseurs de 32 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32
Leur Plus Grand Diviseur Commun (noté PGCD) est 1, donc 25 et 32 sont premiers entre eux.
III. Décomposition en facteurs premiers
Propriété : Tout nombre entier positif strictement supérieur à 1 admet une unique décomposition en
facteurs premiers.
Exemple et méthode :
IV. Fractions irréductibles
Définition : Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, alors cette
fraction est irréductible (on ne peut plus la simplifier).
Méthode 1 : Pour rendre irréductible une fraction (pour la simplifier), il suffit de diviser son
numérateur et son dénominateur par leur PGCD (Plus Grand Diviseur Commun).
Exemple : Simplifier au maximum la fraction
221
323
.
Première étape : On fait la liste des diviseurs de 221 : 1 ; 2 ; 13 ; 17 ; 221.
Deuxième étape : On fait la liste des diviseurs de 323 : 1 ; 17 ; 19 ; 323.
Troisième étape : On remarque que le plus grand diviseur commun aux deux listes est 17.
En effet 221 = 13 x 17 et 323 = 19 x 17.
Quatrième étape : On peut alors simplifier la fraction :
221
323 =13×17
19×17 =13
19
13 et 19 sont premiers entre eux donc la fraction est irréductible.
Méthode 2 : Pour simplifier une fraction, on peut décomposer son numérateur et son dénominateur
en produit de facteurs premiers puis barrer les facteurs communs aux deux.
Exemple : Simplifions la fraction
140
60
.
Décomposition en facteurs premiers de 140 : Décomposition en facteurs premiers de 60 :
(remplir ensemble en cachant la suite)
Donc 140 = 2² x 5 x 7 Donc 60 = 2² x 3 x 5
On peut maintenant simplifier la fraction :
140
60 =22×5×7
22×3×5
=7
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