ARITHMETIQUE I. Multiples et diviseurs (rappels) 1. Définitions Définition : Soient a, b et n trois nombres entiers positifs non nuls tels que n = a x b. Les nombres a et b sont des diviseurs de n. Le nombre n est un multiple des nombres a et b. Exemples - Quels sont les diviseurs de 24 ? 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 et 24 - Quels sont les diviseurs de 60 ? 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 10 ; 12 ; 15 ; 20 ; 30 et 60 - Quels sont les diviseurs de 31 ? 1 et 31 - Donner des multiples de 4 : 4 ; 8 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 400 ; 524 ; 6 896 ; etc - Donner des multiples de 12 : 12 ; 24 ; 132 ; 8 340 ; etc Propriété : Tout nombre entier strictement supérieur à 1 admet au moins deux diviseurs : 1 et luimême. 2. Critères de divisibilité Propriétés : - Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, 2, 4, 6 ou 8, alors il est divisible par 2. - Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0 ou 5, alors il est divisible par 5. - Si un nombre entier a pour chiffre des unités 0, alors il est divisible par 10. - Si le nombre composé des deux derniers chiffres d’un nombre entier est divisible par 4, alors ce nombre est divisible par 4 (exemples : 1728, 3640, 7892, 62 104, 78 000, 6 325 432, etc). - Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 3, alors ce nombre est divisible par 3 (exemples : 123 ; 651). - Si la somme des chiffres d’un nombre entier est divisible par 9, alors ce nombre est divisible par 9 (exemple : 8 217). II. Nombres premiers Définition : Un nombre entier positif qui admet exactement deux diviseurs est appelé un nombre premier. Ses deux seuls diviseurs sont 1 et lui-même. Exemples : Donner les diviseurs de 17 : 1 et 17. Ce sont les seuls donc 17 est un nombre premier. Donner les diviseurs de 2 : 1 et 2. Ce sont les seuls donc 2 est un nombre premier. Donner les diviseurs de 6 : 1 ; 2 ; 3 ; 6. Il a quatre diviseurs, 6 n'est donc pas un nombre premier. Donner tous les nombres premiers inférieurs à 30 : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 et 29. Remarques : • 1 n’admet qu’un seul diviseur : lui-même. Ce n’est donc pas un nombre premier. • 2 est le seul nombre premier à être pair. Définition : Deux nombres sont premiers entre eux si le plus grand diviseur qu'ils ont en commun est 1. Exemple : 25 et 32 sont-ils premiers entre eux ? Pour le savoir, écrivons la liste de leurs diviseurs : • Diviseurs de 25 : 1 ; 5 ; 25 • Diviseurs de 32 : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 Leur Plus Grand Diviseur Commun (noté PGCD) est 1, donc 25 et 32 sont premiers entre eux. III. Décomposition en facteurs premiers Propriété : Tout nombre entier positif strictement supérieur à 1 admet une unique décomposition en facteurs premiers. Exemple et méthode : IV. Fractions irréductibles Définition : Si le numérateur et le dénominateur d’une fraction sont premiers entre eux, alors cette fraction est irréductible (on ne peut plus la simplifier). Méthode 1 : Pour rendre irréductible une fraction (pour la simplifier), il suffit de diviser son numérateur et son dénominateur par leur PGCD (Plus Grand Diviseur Commun). 221 . 323 Première étape : On fait la liste des diviseurs de 221 : 1 ; 2 ; 13 ; 17 ; 221. Deuxième étape : On fait la liste des diviseurs de 323 : 1 ; 17 ; 19 ; 323. Troisième étape : On remarque que le plus grand diviseur commun aux deux listes est 17. En effet 221 = 13 x 17 et 323 = 19 x 17. Exemple : Simplifier au maximum la fraction 221 13×17 13 = = 323 19×17 19 13 et 19 sont premiers entre eux donc la fraction est irréductible. Quatrième étape : On peut alors simplifier la fraction : Méthode 2 : Pour simplifier une fraction, on peut décomposer son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers puis barrer les facteurs communs aux deux. 140 . 60 Décomposition en facteurs premiers de 140 : Exemple : Simplifions la fraction Décomposition en facteurs premiers de 60 : (remplir ensemble en cachant la suite) Donc 140 = 2² x 5 x 7 Donc 60 = 2² x 3 x 5 On peut maintenant simplifier la fraction : 140 22 ×5×7 7 = 2 = 60 2 ×3×5 3 Fin du chapitre
