[Texte]
BAC D TOGO 2000-2019
ALLOH YAOVI ROBERT
TERMINALE S MATHEMATIQUES
ENSEIGNANT DE PHYSIQUE (TG)
©2020 La connaissance est une force.
(+228) 92 60 69 35 / 98 85 98 47
Auteur : ALLOH Yaovi Robert
Professeur de Sciences Physiques au TOGO
COLLECTION
LA CONNAISSANCE EST UNE FORCE
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ENSEIGNANT DE PHYSIQUE
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
, on considère l’application qui, au
point d’affixe associe le point d’affixe défini par : où désigne un nombre
complexe.
1- Déterminer l’ensemble des nombres complexes pour lesquels est une translation ; caractériser pour
chacune des valeurs trouvées.
2- Déterminer l’ensemble des complexes pour lesquels est une rotation d’angle de mesure
; caractériser
pour chacune des valeurs trouvées.
3- Caractériser lorsque
.
Soit la fonction définie sur par
et soit sa représentation graphique dans le plan muni
d’un repère orthonormé .
1-a) Etudier le sens de variation de et établir son tableau de variation.
b) Tracer dans le repère .
2- On considère l’aire de la partie du plan comprise entre et les droites d’équations respectives
, où est un réel strictement supérieur à 1.
Calculer en fonction de .
3- On considère la suite de réels strictement supérieurs à 1 dont le premier terme est . Soit
les aires des parties .
a) Calculer en fonction de pour que la suite soit arithmétique de raison
.
b) Calculer en fonction de pour que la suite soit géométrique de raison
.
Calculer .
A/ On considère la fonction définie sur par .
1-a) Etudier le sens de variation de et dresser son tableau de variations.
b) Tracer la courbe représentative de dans le plan muni d’un repère orthonormé .
2- Montrer que pour tout de , vérifie la relation :
3- On considère l’équation différentielle : .
a) On pose pour tout réel où est une fonction au moins deux fois dérivables sur .
Démontrer que est solution de si et seulement si, pour tout réel
b) Résoudre l’équation différentielle et déterminer les solutions de est une fonction réelle
quelconque).
c) Démontrer que les conditions initiales où sont des réels, déterminer une
solution unique de .
B/ Pour nombre réel donné, on considère les fonctions .
1- Démontrer qu’il existe des valeurs de définies dans A/3-c) pour lesquelles est solution de
2- On suppose dans la suite que
a) Discuter suivant les valeurs de les limites de en .
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b) Etudier suivant les valeurs de , le sens de variations de et faire dans chaque cas le tableau de variations.
c) On appelle la courbe représentative de dans le repère orthonormé . Tracer sur la figure
précédente la courbe
.
d) Déterminer une équation cartésienne de l’ensemble des points du plan par lesquels il passe au moins
une courbe tel que la tangente en à soit parallèle à l’axe des abscisses.
3- Montrer que pour tout de l’équation a deux solutions et que la solution non
nulle a même signe que .
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Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher et numérotées de 1 à 10. On tire simultanément 4 boules
de l’urne.
1- Combien y a-t-il de tirages possibles ?
2- Soit la variable aléatoire : ‘’nombre de boules portant un numéro impair parmi les 4 boules tirées’’.
Déterminer la loi de probabilité de , son espérance mathématique et son écart-type.
3- On considère la variable aléatoire égale au plus grand numéro obtenu en effectuant le tirage simultané de
4 boules.
a) Déterminer la loi de probabilité de
b) En déduire que :
.
Soit l’application :
et désignent, dans le plan complexe rapporté au repère orthogonal
les points d’affixes
respectives et (unité de longueur : ).
1- Soit le nombre complexe .
Calculer et placer sur une figure les points A d’affixes et d’affixe .
2- Montrer que l’équation possède dans une unique solution .
3- Soit le point d’affixe .
a) Calculer
pour
b) Montrer que, pour tout point différent de le triangle est un triangle rectangle isocèle dont on
précisera le sommet de l’angle droit.
En déduire une construction du point connaissant un point du plan. Faire cette construction.
4-a) Démontrer que l’ensemble des points du plan tels que sont alignés et le cercle de
diamètre .
b) Vérifier que le point A défini au 1- appartient à . Tracer dans le repère précédent.
Soit la fonction numérique définie par :
et la courbe représentative de dans un
repère orthonormal (unité graphique : ).
Partie A
1- Déterminer l’ensemble de définition et étudier la parité de .
2- Montrer que pour tout , on a :
.
3- Calculer les limites de en et en .
4-a) Montrer que la droite d’équation
est asymptote à la courbe de en .
b) Etudier la position de par rapport à .
c) Déterminer les autres asymptote à la courbe .
Partie B
1- Résoudre dans l’inéquation : .
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2- Déterminer la fonction dérivée de et dresser le tableau de variation de .
3- Tracer ainsi que ses asymptotes dans le repère .
4- Déterminer l’intersection de et de la droite d’équation où est un paramètre réel.
Partie C
Soit un entier naturel supérieur à 1. On définit :
.
1-a) A l’aide de la courbe représentative de , donner une interprétation graphique du nombre .
b) Prouver que
pour tout supérieur à 1.
c) Calculer les limites de lorsque tend vers 1 et lorsque tend vers .
2- On considère .
A l’aide de la courbe de , donner une interprétation graphique du nombre . Calculer .
3- Calculer en , l’aire de la partie du plan limitée par la courbe , la droite d’équation
et les droites d’équation .
Déterminer la limite de lorsque tend vers .
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