Nombres Complexes : Cours BIOF (PC/SVT)

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Prof :EL MOUNTASSIR Deuxième Année BIOF
(PC/SVT)
Forme algébrique d’un nombre complexe/Opérations dans :
/Z a ib a etb    
avec
i
est un nombre imaginaire qui vérifie
21i
.
Z a ib
est la Forme Algébrique du nombre complexe
Z
avec :
ReaZ
appelée la partie réel de
Z
;
ImbZ
appelée la partie imaginaire de
Z
.
Soient
Z
et
Z
deux nombres complexes :
0 Re Im 0Z Z Z   
Re ReZ Z Z Z
et
Im ImZZ
Im 0ZZ  
Re 0Z i Z  
Soient
Z a ib
et
Z a ib
deux nombres complexes ou
;b;a a etb
sont des réels:
z z a ib a ib a a b b i
z a ib a ib      
z z a ib a ib aa bb ab ab i
2 2 2 2 2 2
11 a ib a ib a b i
Z a ib a ib a ib a b a b a b
2 2 2 2 2 2
1Z a ib aa bb ba ab
Z a ib i
Z Z a b a b a b
22
2 2 2 2 2 2
2 2 2Z a ib a abi bi a abi b a b abi          
222
2z z z zz z
222
2z z z zz z
22
z z z z z z
33 2 2 3
33z z z z z zz z
33 2 2 3
33z z z z z zz z
3 3 2 2
z z z z z zz z
3 3 2 2
z z z z z zz z
Les Nombres Complexes
Partie 1 :

2
Conjugué et Module d’un nombre complexe:
Soit
Z
un nombre complexe de forme algébrique :
Z x iy
avec
2
;xy
Le conjugué de
Z
est le nombre complexe :
Z x iy
Le module de
Z
est le nombre réel positif :
22
Z Z Z x y   
Propriétés du Conjugué
Propriétés du Module
z z z z
z z z z
(L’inégalité triangulaire)
z z z z
z z z z
zz
zz
0z
z
z
zz
0z
n
n
zz
n
n
n
zz
n
NB :
z z z  
et
z i z z   
et
z z z  
Représentations géométriques-Argument d’un nombre complexe:
Soit
Z
un nombre complexe de forme algébrique :
Z x iy
avec
2
;xy
et un point M de
coordonnées
;xy
dans un repère
O;u;v
:
On dit que le point M est l’image de Z est on note
Mz
et inversement on dit que Z est
l’affixe de M et on note
M
Z
;
On dit que le vecteur
OM
est l’image de Z est on note
OM z
et inversement on dit que Z
est l’affixe de M et on note
OM
Z
.
On appelle argument de
Z
toute mesure en radian de l’angle orienté
;u OM
et on note
arg z
on écrit :
arg ; 2z u om
Propriétés :
L’affixe du vecteur
AB
est :
BA
AB
Z z z
;
B A D C
AB CD
AB CD Z Z Z Z Z Z      
;
La distance AB est :
B A A B
AB Z Z Z Z
;
;2
CD
BA
ZZ
AB DC arg ZZ
;
L’affixe du point I milieu du segment
AB
est :
2
AB
IZZ
Z
;
Partie 2 :
Partie 3 :

3
Alignement de trois points :
 Méthode 1 :
(A ;B et C sont alignés)
:k AB kAC   
:ZAB AC k kZ   
:ZB A C A k Z k Z Z     
ZBA
CA
Z
ZZ
 Méthode 2 :
(A ; B et C sont alignés)
arg BA
CA
ZZ k
ZZ
avec
k
Parallélisme de deux droites:
 Méthode 1 :
B A D C
AB CD Z Z k Z Z   
 Méthode 2 :
arg BA
DC
ZZ
AB CD k
ZZ
;
k
Orthogonalité de deux droites :
arg 2
BA
DC
ZZ
AB CD k
ZZ
avec
k
Triangle Isocèle :
ABC triangle isocèle
1
BA
CA
ZZ
ZZ
Triangle Rectangle :
ABC triangle rectangle en A
arg 2
BA
CA
ZZ
ZZ
Triangle Rectangle et Isocèle:
ABC triangle rectangle en A et isocèle
1
BA
CA
ZZ
ZZ
et
arg 2
BA
CA
ZZ
ZZ
Triangle Equilatéral:
ABC triangle équilatéral
1
BA
CA
ZZ
ZZ
et
arg 3
BA
CA
ZZ
ZZ
Les différents Types de Triangles

4
Nombres Complexes et ensemble de points :
L’ensemble des points M d’affixe Z tel que :
A
Z Z r
avec
0r
est le cercle de centre A et de rayon r ;
AB
Z Z Z Z  
est la médiatrice de
AB
Soient A ;B ;C et D quatre points du plan :
Les points A ; B ; C et D sont cocyclique (c’est-à-dire appartient au même cercle)
si et seulement si :
BC
DA
B A D C
ZZ
ZZ
Z Z Z Z
Nombres Complexes et Forme Géométrique:
Pour Montrer qu’ABCD est
un Parallélogramme
Méthode1 : Montrer que
AB DC
Méthode 2 : Montrer que
22
AC BD
ZZ ZZ
(
AC et BD
ont le même milieu)
Pour Montrer qu’ABCD est
Un Losange
Méthode1 : Montrer qu’ABCD est un parallélogramme ayant deux
côtés consécutifs de même longueur (par exemple AB = BC)
Méthode 2 : Montrer qu’ABCD est un parallélogramme ayant ses
diagonales perpendiculaires.
Pour Montrer qu’ABCD est
Un Rectangle
Méthode1 : Montrer qu’ABCD est un parallélogramme ayant un angle
droit
Méthode 2 : Montrer qu’ABCD est un parallélogramme ayant ses
diagonales
de même longueur (
C A D B
Z Z Z Z  
)
Pour Montrer qu’ABCD est
Un Carré
Il faut montrer qu’ABCD est un losange et un rectangle
Propriétés de l’Argument:
Soient
Z
et
Z
deux nombres complexes non nuls :
arg arg arg 2Z Z Z Z
arg arg arg 2
ZZZ
Z
1
arg arg 2Z
Z
arg arg 2
n
Z n Z

5
arg arg 2ZZ
et
arg arg 2ZZ
Cas particuliers de l’Argument d’un nombre complexe:
arg 0 2ZZ
arg 2ZZ
arg 2
2
Z i Z
arg 2
2
Z i Z
Forme Trigonométrique et Forme Exponentielle d’un nombre complexe non nul:
Pour tout nombre complexe
Z
non nul :
La forme Trigonométrique de
Z
est :
cos sinZ Z i
avec est l’argument de
Z
La forme Exponentielle de
Z
est :
i
Z Z e
avec est l’argument de
Z
Cas particuliers :
0
22
; ;1 ; 1
ii
ii
i e i e e e
Formules d’Euler :
Pour tout x de on a :
sin 2
ix ix
ee
xi
cos 2
ix ix
ee
x
Formule de Moivre:
: cos sin cos sin
n
n i n i n
C’est-à-dire :
n
i in
ee
Partie 4: