Cours de Topologie L3Math: Espaces Topologiques et Bases

Universit´ e Cheikh Anta Diop de Dakar
Facullt´ e des Sciences et Techniques
Licence de math´ ematiques sp´ ecialit´ e enseignement
1/ 63 2016-2017
Semestre 1
2016-201
L3Math
Topologie
Farba Faye FST/UCAD
Ce qui faisait de Jean Dieudonn´e le serviteur rˆev´e d’une grande tˆache, que ce soit au sein de Bourbaki
ou dans la collaboration qui a ´et´e la nˆotre pour un autre grand travail de fondations, ´etait la g´en´erosit´e,
l’absence de toute trace de vanit´e, dans son travail et dans les choix de ses grands investissements.
Constamment je l’ai vu s’effacer derri`ere les tˆaches dont il s’est fait le serviteur, leur prodiguant sans
compter une ´energie in´epuisable, sans y chercher aucun retour. Nul doute que sans rien y chercher, il
trouvait dans son travail et dans la g´en´erosit´e mˆeme qu’il y mettait une pl´enitude et un ´epanouissement,
que tous ceux qui le connaissent ont dˆu sentir.
Alexandre Grothendieck
I : STRUCTURES TOPOLOGIQUES
1. Espaces topologiques
1.1. D´efinitions et premiers exemples.
Soit Xun ensemble non vide et notons P(X) l’ensemble des parties de X.
Une topologie sur Xest la donn´ee d’un sous-ensemble τde P(X) v´erifiant les propri´et´es
suivantes :
o1:Xet ∅appartiennent `a τ.
o2: Si σest une partie finie de τ, alors \
Ω∈σ
Ω appartient `a τ.
o3: Si σest une partie quelconque de τ, alors [
Ω∈σ
Ω appartient `a τ.
D´efinition 1.
La propri´et´e o2se traduit par : l’intersection d’une famille finie d’´el´ements de τest un ´el´ements de τ. On
dit alors que τest stable par intersection finie.
La propri´et´e o3se traduit par : la r´eunion d’une famille quelconque d’´el´ements de τest un ´el´ements
de τ. On dit alors que τest stable par r´eunion quelconque.
Exercice 1. D´emontrer que o2est ´equivalente `a : l’intersection de deux ´el´ements de τest un ´el´ement de
τ.
R´eponse : (?)
Le couple (X, τ) s’appelle un espace topologique et les ´el´ements de τdes ouverts.
D´efinition 2.
Exemple 1.
1. τG={X, ∅} est une topologie sur X: c’est la topologie grossi`ere.
2. τD=P(X) est une topologie sur X: c’est la topologie discr`ete.
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L3Math Farba Faye FST/UCAD Semestre 1
3. Si X={a, b, c}alors τ={X, ∅,{a}} est une topologie sur X.
4. Pour tout r´eel rposons Ir=]r, +∞[.
a. τ={R,∅}∪{Ir, r ∈Q}n’est pas une topologie sur R.
En effet [
r>√2
Ir=I√2est une r´eunion d’´el´ements de τqui n’appartient pas `a τ.
b. {R,∅} ∪ {Ir, r ∈R}en est une(?) .
Soient τ1et τ2deux topologies sur un ensemble non vide X.
On dit que τ1est moins fine que τ2si τ1⊂τ2.
On dit que τ1et τ2sont comparables si τ1⊂τ2ou τ2⊂τ1.
D´efinition 3.
Par exemple, si τest une topologie quelconque sur Xalors τG⊂τ⊂τD.
1.2. Ferm´es d’une topologie.
Soit (X, τ) un espace topologique. Une partie Γ de Xest ferm´ee pour τsi et seulement si le
compl´ementaire Γcde Γ appartient `a τ.
D´efinition 4.
On a les propri´et´es suivantes(?) :
f1:Xet ∅sont ferm´es.
f2: Si (Γi)i∈Iest une famille quelconque de ferm´es, alors \
i∈I
Γiest ferm´e.
f3: Si (Γi)i∈Iest une famille finie de ferm´es, alors [
i∈I
Γiest ferm´e.
On peut d´efinir une topologie sur Xpar la donn´ee d’une famille de parties de Xv´erifiant les
propri´et´es f1, f2et f3.
Les ´el´ements de cette famille sont alors appel´es des ferm´es et les compl´ementaires dans Xdes
´el´ements de cette famille sont les ouverts.
Remarque 1.
1.3. Sous-espace topologique.
Soit (X, τ) un espace topologique et Aune partie non vide X. L’ensemble
τA={Ω∩A, Ω∈τ}
est une topologie sur A.
On l’appelle topologie induite par τsur Aet on dit que le couple (A, τA) est un sous-espace
topologique de (X, τ).La partie Ω ∩Ade Aest appel´ee la trace de Ω sur A
Th´eor`eme et d´efinition 1.
D´emonstration. - vide ∈τA.
-A∈τAcar c’est la trace de X(qui appartient `a τ) sur A.
- Soit ω1et ω2deux ´el´ements de τA.Il existe Ω1et Ω2dans τtels que ω1= Ω1∩Aet ω2= Ω2∩A.

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Alors ω1∩ω2= (Ω1∩A)∩(Ω2∩A) = (Ω1∩Ω2)∩A) c’est donc un ´el´ement de τAcar Ω1∩Ω2appartient
`a τ.
- Soit (ωi)i∈Iune famille d’´el´ements de τA.Pour chaque indice i, il existe Ωidans τtel que ωi= Ωi∩A.
Alors [
i∈I
ωi=[
i∈I
(Ωi∩A) = [
i∈I
Ωi∩Ac’est donc un ´el´ement de τAcar [
i∈I
Ωiappartient `a τ. 
Exercice 2.
1. Montrer que les ferm´es de τAsont les traces sur Ades ferm´es de τ.
2. On munit Rde la topologie usuelle( c’est `a dire la topologie dont les ouverts sont les r´eunions
d’intervalles ouverts). On munit A= [0,3[ de la topologie induite. Dire si les parties de Asuivantes sont
ouvertes, ferm´ees, ni l’un ni l’autre :
[0,1[,[0,1],[1,2[,]1,3[,[1,3[,[0,1[∩Q.
3. Soit Xun espace topologique, A⊂B⊂Xdes parties non vides. Montrer τA= (τB)A
R´eponse :
1. Soit γun ferm´e pour la topologie τA.
Alors, γest une partie de Aet γc
A, compl´ementaire de γpar rapport `a Aappartient `a τA. Il existe donc
Ω dans τtel que γc
A= Ω∩A; on en d´eduit, en compl´ementant par rapport Aque : γ=A\(Ω∩A) = Ωc∩A
trace du ferm´e Ωcsur A.
2. (?)
3. (?)
2. Base d’une topologie
2.1. D´efinition.
Soit (X, τ) un espace topologique. Une partie Bde τest une base pour τsi tout ´el´ement de
τest r´eunion d’´el´ements de B:
∀Ω∈τ, ∃C⊂B|Ω = [
U∈C
U
D´efinition 5.
Soit (X, τ) un espace topologique, Bune base pour τ. Alors on a les deux propri´et´es suivantes.
— i) ∅ ∈ Bet X=[
U∈B
U
— ii) Si B1et B2sont des ´el´ements de Balors B1∩B2est une r´eunion d’´el´ements de B
Propri´et´es 1 (Propri´et´e d’une base).
D´emonstration. C’est une cons´equence directes des d´efinitions. 
Soit Xun ensemble non vide et Bune base pour P(X) v´erifiant les deux propri´et´es pr´ec´edentes.
Alors il existe une et une seule topologie sur Xadmettant Bcomme base.
Proposition 1 (Caract´erisation d’une base).

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D´emonstration. a. Unicit´e. Soit τ1τ2deux topologies sur Xadmettant Bcomme base.
Soit Ω un ´el´ement de τ1.
Il existe une partie Cde Btelle que Ω = [
U∈C
U.
La relation C⊂B⊂τ2entraine [
U∈C
U⊂τ2c’est `a dire Ω appartient `a τ2. Par cons´equent τ1⊂τ2.
Un raisonnement analogue montre que τ2⊂τ1.Par cons´equent τ1=τ2.
b. Existence. Notons τl’ensemble des parties de Xqui sont des r´eunions d’´el´ements de B:τ=
(Ω⊂Xv´erifiant : ∃C⊂B|Ω = [
U∈C
U). On va montrer que τest une topologie ayant Bcomme base.
∅et Xappartiennent `a Bd’apr`es la propri´et´e i).
Soient Ω1et Ω2deux ´el´ements de τc’est `a dire tels qu’il existe des parties C1et C2de Bv´erifiant
Ω1=[
U∈C1
Uet Ω2[
U∈C2
V. Alors Ω1∩Ω2=[
(U,V )∈C1×C2
U∩V.
Or, d’apr`es la propri´et´e ii), pour chaque couple (U, V ) dans C1×C2, U ∩Vest une r´eunion d’´el´ements
de B, donc Ω1∩Ω2est une r´eunion d’´el´ement de B.
Soient Soit Cune partie de τ. Il faut montrer que Ω = [
U∈C
Uest un ´el´ement de τ. Mais, comme tout
´el´ement Ude Cest une r´eunion d’´el´ements de B, Ω est une r´eunion d’´el´ements de B.
Ainsi, τest une topologie sur X, et la d´efinition mˆeme de τmontrer que Ben est une base. 
2.2. Topologie produit. Soit (X, τ) et (X′, τ′) deux espaces topologiques. L’ensemble B=τ×τ′v´erifie
les deux propri´et´es caract´eristiques d’une base de topologie. En effet :
∅=∅ × ∅ appartient `a B.
[
Ω×Ω′∈B
Ω×Ω′=(?) [
Ω∈τ
Ω!× [
Ω′∈τ
Ω′!=X×X′
(Ω ×Ω′)∩(Γ ×Γ′) = (?) (Ω ∩Γ) ×(Ω′∩Γ′) est une r´eunion d’´el´ements de B(c’est mˆeme un ´el´ement
de B).
Soit (X, τ) et (X′, τ′) deux espaces topologiques.
La topologie produit de X×X′est l’unique topologie sur cet ensemble ayant pour base τ×τ′.
Elle sera not´ee τ⊗τ′
Les ´el´ements de τ×τ′sont appel´es ouverts ´el´ementaires de la topologie produit.
D´efinition 6.
2.3. Premiers Exemples.
1. On prend X=R. Pour tout a≤b, on note Ia,b l’ intervalle ouvert ]a, b[. L’ensemble B={Ia,b, a ≤
b∈R}est base d’une unique topologie τusur Rcar il v´erifie les propri´et´es i) et ii). Les ´el´ements de cette
topologie, appel´ee topologie usuelle de Rsont donc les r´eunions d’intervalles ouverts.
2. On prend X=R. Pour tout a≤b, on pose Sa,b = [a, b[. L’ensemble B={Sa,b, a ≤b∈R}est
base d’une unique topologie τSsur Rcar il v´erifie les propri´et´es i) et ii). C’est la topologie de Sorgenfrey
lower limit topology en anglais.
3. On prend X=R.On pose K={1
n, n ∈N∗}. Pour tout a≤b. L’ensemble B={Ia,b, a ≤b∈
R} ∪ {Ia,b \K, a ≤b∈R}est base d’une unique topologie τKsur Rcar il v´erifie les propri´et´es i) et ii).
C’est la topologie de Smirnov de la suite supprim´ee .
Exercice 3.
1. a. V´erifier que pour tout a < b ∈R, Sa,b est `a la fois ouvert et ferm´e pour τS.
b. V´erifier Kn’est ni ouvert ni ferm´e pour τu, mais qu’il est ferm´e pour τK.

Topologie 5 /63 2016-2017
L3Math Farba Faye FST/UCAD Semestre 1 5
2. a. Montrer que τKet τSsont plus fines que τu.
b. Montrer que τKet τSne sont pas comparables.
3. On prend X=R. Pour tout a≤b, on pose Fa,b = [a, b]. Montrer que l’ensemble B={Fa,b, a ≤b∈R}
est base de topologie sur R. Quelle est cette topologie ?
3. Topologie engendr´ ee
Comme pour les sous-espaces vectoriels, la r´eunion de deux topologies n’est pas en g´en´eral une topologie
mais l’intersection de deux topologies est une topologie(?) .
A´etant une partie non vide P(X), il existe une topologie contenant A, par exemple la topologie
discr`ete. L’ensemble de toutes les topologies sur Xqui contiennent Aest donc non vide ; aussi peu-ton
parler de l’intersection de toutes ces topologies.
Soit Aune partie non vide P(X). On appelle topologie engendr´ee par Al’intersection de toutes
les topologies sur Xqui contiennent A. On la notera τA.
D´efinition 7.
τA, intersection de toutes les topologies contenant Aest donc la plus petite ( c’est `a dire la moins fine
) contenant A.
Soit Aune partie non vide P(X) et notons A1l’ensemble {Intersections finies d’´elments de A}.
Alors B={X, ∅} ∪ A1est une base pour la topologie τA
Proposition 2.
D´emonstration. Bv´erifie les deux propri´et´es caract´eristiques d’une base, il existe donc une unique topo-
logie τayant Bcomme base.
Montrons que τ=τA.
τest une topologie contenant Adonc τA.
A´etant contenue dans τA,par stabilit´e par intersection finie, A1(donc B) est contenue dans τA. La
relation B⊂τAentraine τ⊂τA.
Si Best base d’une topologie τ, alors τB=τ.
Remarque 2.
Exercice 4 (Pr´elude).Soit Cl’ensemble des fonctions continues (au sens de L1) r´eelles sur [0,1]. Pour
toute x∈Cet r > 0 on d´efinit B(x, r) = {y∈C|Z1
0|x−y|< r}.
Montrer que la famille B={B(x, r), x ∈C, ε > 0} ∪ { vide}est une base de topologie.
R´eponse : - vide∈Bpar d´efinition.
- Soit xappartenant `a Xet posons rx= 1 + Z1
0|x(t)|dt. Alors x∈B(0, rx) ; donc X=[
x∈X
B(0, rx).
- Pour le reste voir la d´emonstration du th´eor`eme et d´efinition 2
Exercice 5.
1. a. Soient (Xi, τi)i∈I(Iensemble non vide) une famille d’espaces topologiques, X′un ensemble non
vide et (fi)i∈Iune famille applications Xi→X′.
Montrer que Γ∈X′|∀i∈I, f−1
i(Γ) ∈τiest une topologie sur X′. On l’appelle topologie finale as-
soci´ee `a la famille (fi)i∈I.