Capacités numériques physique

Lycée Fénelon MP
Physique-chimie - Capacités numériques 1/ 15
Physique-chimie - Capacités numériques
Table des matières
1 Calcul d’intégrale
2
2 Méthode d’Euler
3
3 Méthode dichotomique
3
4 Méthode de Monte-Carlo
4
5 Exercices
5.1 Filtre de Sallen-Kay . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Effets non linéaires sur un pendule simple
5.3 Solubilité du carbonate de magnésium . .
5.4 Synthèse du trioxyde de soufre . . . . . . .
5.5 Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . .
5.6 Carte de champ . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Incertitudes et processus de Monte Carlo .
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1
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5
5
7
9
10
11
13
15
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Physique-chimie - Capacités numériques 2/ 15
1 Calcul d’intégrale
La calcul d’une intégrale définie de la forme :
Z
Iu,v ( f ) =
v
f (t )dt
u
où f est une fonction continue sur le segment [u, v] à valeurs dans R, est un problème classique intervenant
dans de nombreux domaines, qu’ils soient scientifiques ou non. Cette évaluation peut cependant s’avérer difficile voire impossible en pratique car il n’est pas toujours possible de déterminer une primitive de la fonction
f , même en utilisant les techniques de changement de variable ou d’intégration par parties.
1. Méthode des rectangles
La méthode des rectangles consistent à considérer une subdivision (u 0 , u 1 , . . . , u n ) de [a, b] de pas régulier et à utiliser la linéarité de l’intégrale :
Z
I( f ) =
b
a
f (t )dt =
n−1
X Z uk+1
f (t )dt
k=0 u k
pour approcher chacune des intégrales Iuk ,uk+1 ( f ) par
(u k+1 − u k ) f (u k ) =
¶
µ
b−a
b−a
f a +k
n
n
Autrement dit, cette méthode consiste à approcher I( f ) par :
µ
¶
X
b − a n−1
b−a
f a +k
n k=0
n
2. Méthode du point milieu
Elle consiste à appliquer la méthode du point milieu à une subdivision de pas régulier du segment [a, b],
Z b
ce qui revient à approcher I( f ) =
f (t )dt par :
a
µ
µ
¶
¶
X
b − a n−1
1 b−a
f a+ k+
n k=0
2
n
3. Méthode des trapèzes
Elle consiste à appliquer la méthode du trapèze à une subdivision de pas régulier du segment [a, b], ce
Z b
f (t )dt par :
qui revient à approcher I( f ) =
a
Ã
Ã
!
!
n
X f (u k ) + f (u k+1 ) b − a n−1
X
X
X
b − a n−1
b − a n−1
f (b) − f (a)
=
f (u k ) +
f (u k ) =
f (u k ) +
n k=0
2
2n k=0
n
2
k=1
k=0
¶
µ
X
b − a n−1
b − a f (b) − f (a)
b−a
=
+
f a +k
×
n k=0
n
n
2
Autrement dit, la méthode du trapèze apparaît comme une méthode du rectangle à qui on a ajouté un
b − a f (b) − f (a)
terme correctif
×
.
n
2
2
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Physique-chimie - Capacités numériques 3/ 15
2 Méthode d’Euler
La méthode d’Euler explicite est une méthode itérative qui permet de déterminer numériquement une solution approchée de l’équation différentielle y ′ (t ) = F (y(t ), t ), sur l’intervalle [t 0 , t f ], avec la condition initiale
y (t 0 ) = y 0 . On part de la formule du taux d’accroissement
y ′ (t ) = lim
h 7→0
y(t + h) − y(t )
h
En fixant
µ un pas de¶ résolution h très petit, on effectue une subdivision régulière de l’intervalle de [t 0 , t f ] en n
t f − t0
telle que
points n =
h
n
[
[t 0 , t f ] =
[x i , x i +1 ] où x i = t 0 + i h
i =1
On obtient alors une approximation de proche en proche de la fonction y à partir de la relation de récurrence
suivante
¢
¡
y k+1 = y k + F y k , t k × h
3 Méthode dichotomique
¡
¢
Soit une fonction continue f : [a, b] → R telle que f (a) et f (b) soient de signes opposés f (a) f (b) ≤ 0 . Le
théorème des valeurs intermédiaires assure alors qu’il existe unµ réel c¶∈ [a, b] tel que f (c) = 0.
a +b
Le principe de la recherche dichotomique consiste à calculer f
. Suivant le signe de cette quantité l’une
2
des deux relations est nécessairement vérifiée :
¶
µ
¶
µ
a +b
a +b
≤ 0 ou f
f (b) ≤ 0
f (a) f
2
2
·
¸
a +b
Le premier cas assure l’existence d’une racine dans l’intervalle a,
, le second dans l’intervalle
2
·
¸
a +b
, b , ramenant dans chacun des deux cas la recherche à un intervalle d’amplitude moitié moins grande.
2
L’algorithme de recherche consiste donc à itérer deux suites (u n )n∈N et (v n )n∈N définies par les valeurs initiales
u 0 = a et v 0 = b et la relation de récurrence :
½
(u n+1 , v n+1 ) =
(u n , m)
(m, v n )
si f (u n ) f (m) ≤ 0
sinon
avec m =
un + v n
2
La validité de cet algorithme est assurée par l’invariant : ∀n ∈ N, f (u n ) f (v n ) ≤ 0, qui assure pour tout n ∈ N
l’existence d’une racine dans l’intervalle [u n , v n ].
Il reste à choisir la condition de terminaison de cet algorithme. Sachant que u n est une approximation par
défaut d’une racine de f et v n une approximation par excès, on choisit une valeur ε > 0 et on retourne w n =
un + v n
dès lors que v n −u n ≤ 2ε. De la sorte, on est assuré qu’il existe une racine c de f vérifiant : |w n − c| ≤ ε.
2
3
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4 Méthode de Monte-Carlo
Le terme méthode ou processus de Monte-Carlo désigne une famille de méthodes algorithmiques visant à
calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires, c’est-à-dire des techniques
probabilistes.
La méthode la plus classique consiste, pour une unique mesure x dont la précision varie à ∆x près, à générer un nombre fini n de valeurs aléatoires suivant une loi uniforme dans l’intervalle [x − ∆x, x + ∆x] pour en
déduire un écart-type.
En effet, supposons que l’ensemble des valeurs mesurée peut être modélisé par une variable aléatoire X ayant
une densité de probabilité uniforme f sur l’intervalle [m − a, m + a]. f est alors définie par

 1 si x ∈ [m − a, m + a]
∀x ∈ R, f (x) = 2a

0 sinon
L’espérance de X vaut :
E(X ) =
Z
+∞
−∞
Z
x f (x)dx =
m+a
m−a
·
x f (x)dx =
x2
4a
¸m+a
=
m−a
¤
1 £
(m + a)2 − (m − a)2 = m
4a
On retrouve bien la valeur centrale de l’intervalle. Le calcul de la variance de X en découle :
· 3 ¸m−a
Z m+a
¡ ¢
1
a2
x
V(X ) = E X 2 − E (X )2 =
x 2 f (x)dx − m 2 =
=
×
2a
3 m+a
3
m−a
L’écart-type de X, et donc l’incertitude-type cherchée, vaut :
u(x) = σ (X ) =
p
4
a
V(X ) = p
3
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5 Exercices
5.1 Filtre de Sallen-Kay
1. Filtre RC classique
On considère le quadripôle suivant
R1
R2
C
e(t )
a. Montrer que la fonction de transfert associée est H ( j ω) =
s(t )
1
1
ω où ω0 = C (R 1 + R 2 )
1+ j
ω0
b. En déduire que s obéit à l’équation différentielle suivante
s ′ (t ) + ω0 s(t ) = ω0 e(t )
Justifier que s(0) =
q0
où q 0 désigne la charge initiale du condensateur.
C
2. Résolution numérique de l’équation différentielle d’ordre 1
On suppose que e est de la forme e(t ) = E cos(ωt ).
a. Ecrire les instructions permettant d’importer les modules M ATH, M ATPLOTLIB. PYPLOT et N UMPY.
b. Les valeurs de ω, ω0 et E sont définies globalement de la manière suivante
w = 10
w0 = 1
E = 2
Compte tenu du fait que la méthode d’Euler construit itérativement la fonction s, rédiger une fonction F
qui prend en argument la valeur s k de la fonction s à l’instant t k et telle que F( SK , TK ) renvoie la la valeur de
s ′ (t k ).
c. Ecrire une fonction E ULER qui prend en argument F, y0 telle que y(0) = y0, le nombre de points pour la
subdivision n et a, b tels que y soit définie sur l’intervalle [a, b] et qui renvoie l’approximation de y ainsi que
l’ensemble des points sur laquelle y a été approximée.
d. La solution exacte est de la forme
µ
−t /τ
s(t ) = e
s(0) −
¶
E
E
+
(cos(ωt ) + ωτ sin(ωt ))
1 + ω2 τ2
1 + ω2 τ2
où τ =
1
ω0
Ecrire une fonction S _ EXACT qui prend en argument t et s(0) et qui renvoie la valeur exacte de s(t ).
e. Ecrire une procédure AFFICHE qui prend en argument a, b tels que s soit définie sur l’intervalle [a, b], le
nombre de points n et y0. Elle affiche les courbes des fonctions s approximée et s exacte (discrétisée sur
n × n points).
Choisir un nombre de points n et tester le programme pour les valeurs numériques suivantes : a = 0, b =
10, y0 = 2. Pour quelle valeur de n obtient-on une approximation "satisfaisante" ?
3. Filtre de Sallen-Kay
On complète le circuit par un amplificateur non inverseur
5
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C1
R1
▷∞
R2
+
−
Ra
C2
e(t )
s(t )
Rb
a. Montrer que la fonction de transfert associée au circuit est
H ( j ω) =
K
1 + j ω [C 2 (R 1 + R 2 ) + R 1C 1 (1 − K )] − ω2 R 1C 1 R 2C 2
où K = 1 +
Ra
Rb
b. Montrer que s obéit à l’équation différentielle
d2 s
+
dt2
ω0 ds
+ ω20 s = ω20 K e
Q dt
Préciser les valeurs de ω0 et Q en fonction de K , R 1 , R 2 ,C 1 et C 2 .
4. Résolution numérique de l’équation différentielle d’ordre 2
On suppose que e(t ) = 0, l’équation différentielle devient
d2 s
ω0 ds
+ ω20 s = 0
Q dt
µ
¶
µ
¶
ds
s(t )
s(0)
et Y tel que Y (t ) =
et Y (0) = Y0 =
.
On pose h =
h(t )
h(0)
dt
On cherche à mettre l’équation différentielle sous la forme
dt2
+
dY
= G(Y (t ), t )
dt
Pour chaque instant t i , une valeur approchée Yi de la solution Y (t i ) de l’équation différentielle est recherchée.
On utilisera 3 tableaux : T (temps), S (solution) et H (sa dérivée) comportant chacun n valeurs.
a. Déterminer la fonction G(Y (t ), t ).
b. Donner la relation de récurrence qui lie Yi +1 à Yi ,G (t i , Yi ) et au pas de calcul que l’on nomme désormais η.
c. Les valeurs de ω0 et Q sont définies globalement de la manière suivante
w0 = 6
Q = 8
Proposer une fonction G qui prend en argument Yi la valeur du vecteur Y au temps discrétisé t i , ti la valeur
du temps discrétisé et qui retourne la valeur de G (Yi (t i ) , t i ).
d. Proposer une fonction E ULER 2 qui prend comme arguments Y INI un tableau à 2 dimensions contenant Y0
la condition initiale, N le nombre de points et a, b tels que s soit définie sur [a, b]. Cette fonction retourne
les tableaux T,U et H .
e. Représenter graphiquement u en fonction de t sur l’intervalle [0, 30] puis ajouter le portrait de phase du
système (u̇ en fonction de u) une fois que l’approximation est bonne.
Tester le programme avec les valeurs n suivantes : 100, 500, 1000 et 2000 puis 10 000.
Quelle remarque peut-on faire ?
6
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5.2 Effets non linéaires sur un pendule simple
On étudie un pendule simple rigide : point matériel de masse m attaché à une tige, de masse négligeable, dans le
référentiel terrestre supposé galiliéen.
Une simulation numérique du comportement de ce pendule permet d’appréhender quelques effets des
non-linéarités sur le comportement d’un oscillateur. Ici, on cherche à illustrer la perte d’isochronisme et cela conduit
à résoudre numériquement une équation différentielle du deuxième ordre non-linéaire.
−
u→z
O
θ
−
ℓ →
T
−
u→
θ
M
→
−
P
−
u→r
F IGURE 1 – Schéma du modèle
1. Etablir l’équation différentielle vérifiée par θ. Pour la suite du problème on travaillera avec l’équation différentielle adimensionnée suivante :
d2 θ
= − sin(θ)
dt 2
2. Lorsqu’une équation différentielle est du deuxième ordre, il faut modifier son écriture pour obtenir un système
de deux équations différentielles couplées du premier ordre, vérifées par les grandeurs θ̇ et θ.
µ
¶
µ
¶
θ(t )
θ(0)
On pose alors X tel que X (t ) =
et X (0) = X 0 =
θ̇(t )
θ̇(0)
dX
= F (X (t ), t )
dt
3. Ecire un programme python qui permet de résoudre l’équation différentielle en utilisant le vecteur F (X , t ).
On aura préalablement importé les bibliothèques suivantes :
Déterminer la fonction F (X (t ), t ) telle que
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from math import*
4. Tracer pour différentes conditions initiales (angle nul au départ, vitesse initale seule à varier) le graphe donnant
l’évolution de θ en fonction du temps.
Mettre en évidence les effets non linéaires ainsi qu’une transition entre le mouvement oscillatoire et le mouvement révolutif.
5. Vérifier les résultats pour une trajectoire donnée en utilisant la fonction O DEINT de la bibliothèque S CIPY. INTEGRATE,
dont le fonctionnement est expliqué ici (aide mémoire des oraux du concours Centrale).
On souhaite maintenant étudier les effets non-linéaire à partir de l’estimation numérique de la période T des
oscillations. On se place dans le cas où on lâche le pendule avec un angle θ0 et une vitesse initiale nulle.
6. En utilisant la conservation de l’énergie mécanique du pendule, montrer que la période T du mouvement
s’écrit
Z θ0
4
T=
dθ
p
0
2(cos θ0 − cos θ)
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7. Remarque : pour calculer l’intégrale, utiliser la fonction QUAD de de la bibliothèque S CIPY. INTEGRATE.
Ecrire un programme python qui permet d’estimer numériquement la période du pendule simple pour une θ0
de départ.
π
Montrer que dès que θ0 atteint la valeur
, il existe une différence de l’ordre du pourcent entre la période T0
10
aux petits angles et la période exacte.
8. Retrouver le résultat précédent en évaluant numériquement l’intégrale à l’aide de la méthode des rectangles.
Ã
!
¡ 2¢
θ02
9. Formule de Borda - Montrer que T = T0 1 +
+ o θ0
16
10. Ecrire un programme python qui permet de tracer les deux graphes suivants : période T du pendule évaluée
numériquement, période T du pendule en fonction de l’angle de départ (utilisant la formule de Borda).
8
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5.3 Solubilité du carbonate de magnésium
1. Préliminaires sur la solubilité
a. Ecrire la réaction de dissolution du carbonate de magnésium MgCO3(s) dans l’eau pure.
b. En négligeant les propriétés acido-basiques de l’ion carbonate CO3 2 – (aq) , déterminer la solubilité s du carbonate de magnésium dans l’eau pure en fonction de son produit de solubilité K s .
L’hypothèse précédente est en réalité un peu grossière. En tenant cette fois compte des propriétés de l’ion
carbonate CO3 2 – (aq) , on peut montrer que la solubilité s du carbonate de magnésium dans l’eau pure vaut
Ks
s=
+
s
s
Ke K s
sK a
où K e = 10−14 , K a = 10−10,3 et K s = 3, 5 × 10−8
2. Résolution numérique par dichotomie
a. Déterminer une fonction f que s annule. Implémenter en python son analogue F.
b. On introduit l’intervalle de résolution, ainsi qu’un écart d’approximation ε, de la manière suivante
a = 0.0001
b = 0.0005
eps = 10**(-7)
Dans quel intervalle propose-t-on de chercher la solubilité ?
c. Ecrire une fonction D ICHO telle que l’appel D ICHO(F, a, b, eps) renvoie une valeur approché à ε près de s.
Préciser quelle modification apporter pour que la valeur par défaut de ε soit de 10−12 .
d. Tester le programme. Quelle valeur produit-il ? Commenter l’écart entre la valeur obtenue à la question 1. a.
e. Déterminer la complexité de cette fonction si ε = 10−p pour p ∈ N quelconque.
9
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5.4 Synthèse du trioxyde de soufre
La production d’acide sulfurique s’effectue aujourd’hui essentiellement par hydratation du trioxyde de soufre.
Celui-ci est produit par oxydation du dioxyde de soufre par le dioxygène en présence d’un catalyseur. L’équation de la
réaction modélisant cettle transformation est la suivante :
SO2(g) + O2(g) − 2 SO3(g)
On utilise la relation suivante donnant la constante thermodynamique d’équilibre en fonction de la température :
198 × 103 − 188T
K = exp
8, 31T
◦
µ
¶
On se place dans les conditions expérimentales suivantes :
- Pression totale : 1 bar
- Quantités de matière initiales : 2 mol de dioxyde de soufre et 1 mol de dioxygène
- Température comprise entre 600 et 1500K
1. Relier la constante d’équilibre chimique K ◦ à l’avancement ξ de la réaction à l’équilibre.
2. Pour une température T quelconque, écrire un programme python qui détermine l’aide de la méthode de dichotomie l’avancement ξ de la réaction à l’équilibre.
3. Ecrire une fonction AVANCEMENT _ EXACT qui retrouve le résultat précédent en utilisant la fonction bisect de la
bibliothèque scipy.optimize.
4. Tracer l’avancement du système en fonction de la température sur l’intervalle [600, 1500].
10
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5.5 Équation de la chaleur
On considère l’équation de la chaleur
 2
1 ∂T
∂ T



(x, t ) −
=0

∂x 2
D ∂t
T (x, 0) = T0 (x)
pour tout x > 0



T (0, t ) = T (L, t ) = T
pour tout t > 0
ext
où T est définie sur [0, L] × [0, +∞ [ et T0 est définie sur [0, L] représentant la température d’une tige dont les
extrémités sont maintenues à température constante.
1. Discrétisation : schéma de Crank-Nicholson
Pour résoudre numériquement cette équation,
et l’esapce en formant une subdivision
¡
¢ on discrétise leNtemps
∈ [0, t f ] t +1 × [0, L]Nx +1 .
régulière t n , x j
0≤ j ≤N x
0≤n≤N t
On note ∆t =
tf
Nt
le pas en temps et ∆x =
¡
¢
L
le pas en espace. T jn désigne la valeur approchée de T x j , t n .
Nx
a. Soit f ∈ C 2 (I , K), montrer que
f ′′ (x) =
b. Donner une expression approchée de
c. On approxime la valeur de
f (x − h) − 2 f (x) + f (x + h)
+ o (1)
h→0
h2
∂T
(x j , t n ).
∂t
∂2 T
(x j , t n ) par la moyenne en t n et t n+1 , c’est à dire que
∂x 2
µ
¶
∂2 T
1 ∂2 T
∂2 T
(x j , t n ) ≈
(x j , t n ) + 2 (x j , t n+1 )
∂x 2
2 ∂x 2
∂x
, ∆t , ∆x et D.
, T jn+1 , T jn+1
Donner alors une équation liant T jn−1 , T jn , T jn+1 , T jn+1
+1
−1
d. On pose α =
D∆t
2 (∆x)2
. Vérifier que pour tout j ∈ ‚1, N x − 1ƒ,
n
n
n
n+1
− αT jn+1
−αT jn+1
+1 = αT j −1 + (1 − 2α)T j + αT j +1
−1 + (1 + 2α)T j
e. Écrire une fonction M ATRICE telle que M ATRICE ( M , A , B ) renvoie un tableau de taille (m + 1) × (m + 1) de la
forme


1
0
(0)
a

b
a




..
..
..


.
.
.





a
b
a
(0)
0
1
 n
T0
Tn 

1 

f. On note T (n) = 
 ..  la distribution de températures au temps t n . Que valent le premier et le dernier cœf . 
T Nnx
ficients ? Que vaut T (0) ?
11
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g. Montrer que, si on connaît T (n) , on détermine T (n+1) en résolvant un système AT (n+1) = BT (n) où A et B
sont de la forme :




1
0
(0)
1
0
(0)
 −α 1 + 2α −α

 α 1 − 2α α









.
.
.
.
.
.




..
..
..
..
..
..
A=
 et B = 







−α 1 + 2α −α 
α 1 − 2α α 
(0)
0
1
(0)
0
1
en posant T00 = T N0 x = Text .
h. Écrire une fonction C RANK N ICHOLSON telle que C RANK N ICHOLSON (L, T F, D, T0, T EXT, N X , N T ) retourne
le tableau T dont les colonnes sont les T (n) .
Remarque : on utilisera ici l’aide mémoire sur le calcul matriciel distribué par le concours Centrale lors des
épreuves orales. Il est disponible ici.
£
¤
i. Tracer les solutions approchées pour x ∈ [0, L] et t ∈ 0, t f , en prenant T0 ≡ 100, L = 1, D = 1, t f = 0, 5, Text =
20, N t = 1000, N x = 50.
2. Solution exacte
Le problème admet comme unique solution
¶ ³ ´2
kπ
− kπ D t
x e L
c k sin
T (x, t ) = Text +
L
k=1
+∞
X
avec
ck =
2
L
L
Z
µ
sin
0
µ
¶
kπ
s (T0 (s) − Text ) ds
L
a. Écrire une fonction C OEFF telle que C OEFF ( K ,T0 ,L ,T EXT ) renvoie une valeur approchée de c k .
Remarque : l’intégration se fera par la méthode de votre choix.
b. Écire une fonction T EXACT telle que T EXACT ( T0, N , L, D, X , T ) renvoie une approximation de T (x, t ) correspondant à la somme partielle d’indice n.
£
¤
c. Tracer sur un même graphe la température en fonction de x ∈ [0, L] pour divers temps t ∈ 0, t f , en prenant
T0 ≡ 100, L = 1, D = 1, Text = 20 et t f = 0, 5.
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Physique-chimie - Capacités numériques 13/ 15
5.6 Carte de champ
Une charge ponctuelle q crée un potentiel électrostatique en un point M de distance r tel que
V (M ) =
q
4πε0 r
Dans le cas où n différentes charges q i sont situées à des distances r i d’un point M , le potentiel devient, par théorème
de superposition :
n
X
qi
V (M ) =
i =1 4πε0 r i
On considère un domaine du plan D, de dimension 100 µm × 100 µm. On choisit de modéliser le potentiel par un
tableau N UMPY de dimension 100 × 100. L’accès au potentiel dans le carré compris entre les ordonnées 3 µm et 4 µm
et les abscisses 46 µm et 47 µm est donné par la case d’indice i = 3 et j = 46. L’accès à cette case peut se faire des deux
manières suivantes :
>>> V[3,46]
>>> V[3][46]
Une charge est modélisée par un dictionnaire. Une charge q 1 de position (i , j ) se verra attribuer le dictionnaire suivant.
d2 = {"charge" : q1, "case" : (i,j)}
Une distribution de charges est modélisée par une liste de charges, à fortiori une liste de dictionnaires.
Dans tout le problème, on travaille avec l’unique distribution de charges suivante :
e = 1.6 * 10**(-19)
d1 = {"charge" : -e, "case" : (40,40)}
d2 = {"charge" : 2*e, "case" : (60,60)}
d3 = {"charge" : -e, "case" : (60,30)}
distribution = [d1,d2,d3]
1. Potentiel électrostatique
On importe numpy de la manière suivante :
import numpy as np
a. Rédiger une fonction V ISU telle que V ISU ( DISTIB ) permette de visualiser la distribution de charges dans le
domaine D.
On pourra utiliser la fonction I MSHOW du module M ATPLOTLIB. PYPLOT.
b. Rédiger une fonction D ISTANCE telle que D ISTANCE ( CHARGE , I , J ) renvoie la distance de la charge au point
de cordonnées (i,j).
c. Rédiger une fonction P OTENTIEL telle que P OTENTIEL ( CHARGE , I , J ) qui renvoie la valeur du potentiel électrostatique créé par la charge au point de cordonnées (i , j ).
d. Pourquoi ne peut-on pas calculer directement le potentiel aux points où sont situées les charges ?
Rédiger une fonction P OSITIONS qui renvoie la liste des positions des charges d’une distribution.
e. Rédiger une fonction C ALCUL _ POTENTIEL telle que C ALCUL _ POTENTIEL ( DISTRIB ) renvoie le potentiel en
tout point du plan D. Par convention, le potentiel vaut 0 aux points des charges.
On affichera le résultat de la manière suivante :
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V = calcul_potentiel(distribution) #On conservera la valeur de V pour la suite
plt.clf()
plt.imshow(V,cmap="winter")
plt.contour(V,200,cmap="Oranges")
plt.show()
2. Champ électrostatique
⃗ au potentiel électrostatique V . De quelle équation de Maxa. Rappeler l’équation liant le champ électrique E
well découle cette propriété ?
b. Dans l’idée de la méthode d’Euler, donner une approximation de E x et E y en fonction de V [i , j ],V [i , j +
1],V [i + 1, j ] et d’un pas fixé h.
c. Rédiger une fonction C HAMP _E telle que C HAMP _E( DISTRIB ) renvoie la valeur du champ E en tout point du
plan D sous deux tableaux E x et E y.
d. Afficher votre carte de champ à l’aide des instructions suivantes :
import matplotlib
matplotlib.rcParams['figure.figsize']=[9,9]
Ex,Ey = champ_E(distribution)
plt.clf()
plt.imshow(V)
plt.contour(V,200,cmap = "Oranges")
plt.streamplot(np.linspace(0,99,100),np.linspace(0,99,100),Ex,Ey,
color="white",linewidth = 1)
plt.show()
Vous devriez obtenir une carte de ce type (j’ai ajouté une quatrième charge pour cette figure) avec des lignes
de champ orientées des charges positives vers les charges négatives :
F IGURE 2 – Carte de champ pour une distribution ponctuelle de 4 charges
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5.7 Incertitudes et processus de Monte Carlo
1. Incertitude de type A
On réalise n fois le même protocole pour obtenir l’ensemble des points expérimentaux (x i )i ∈‚1,nƒ . On note
l’incertitude-type u(x) de cet ensemble de mesures qui est évaluée en calculant son écart-type. On peut alors
estimer la grandeur par la moyenne x avec pour incertitude type u(x) que l’on peut calculer de la manière
suivante
σx
u(x) = p
n
a. Lors d’une expérience visant à mesurer la distance focale d’une lentille mince convergente par auto-collimation,
on a effectué 7 observations, en cm : 9.9 ; 10.1 ; 9.7 ; 9.9 ; 10.0 ; 10.2 ; 9.9. Calculer l’écart type de la série de valeurs.
s
n ¡
¢2
1 X
xi − x
On rappelle que pour un ensemble de n valeurs, σx =
n − 1 i =1
b. En déduire l’incertitude-type associée à la valeur moyenne.
c. Rédiger une fonction INCERTITUDE _ MOY telle que si X désigne un ensemble de valeurs alors INCERTITUDE _ MOY (X)
renvoie la valeur l’incertitude-type associée à la valeur moyenne.
Remarque : il peut être préférable, par soucis de simplicité, d’utiliser la bibliothèque N UMPY.
2. Incertitude composée
On estime la valeur de la distance focale image f ′ d’une lentille convergente en mesurant la position de l’objet
O A et la position de l’image associée O A ′ et en appliquant la relation de conjugaison de Descartes.
Dans ce cas, il n’y a pas de formule simple permettant de calculer l’incertitude-type sur f ′ en connaissant les
incertitudes-types sur O A et sur O A ′ .
a. Rédiger une fonction F OCALE telle que F OCALE ( OBJET, IMAGE ) renvoie la valeur de f ′ en fonction de la postion de O A et O A ′ .
b. En TP, un groupe a mesuré les valeurs suivantes : O A = −15cm et O A ′ = 30cm. La valeur de O A est mesurée
à 1cm près et O A ′ à 3cm près.
Rédiger une fonction M ONTE _C ARLO telle que M ONTE _C ARLO ( N ) génère une liste de n valeurs de f ′ selon
la méthode de Monte-Carlo "uniforme".
On aura, au préalable, rédigé les instructions suivantes :
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# Toutes les valeurs sont en cm
OA = -15
OAp = 30
DeltaOA = 1
DeltaOAp = 3
c. Rédiger les instructions permettant d’afficher 4 histogrammes pour différents n (successivement 100, 1 000,
10 000, 100 000) accompagnés des valeurs moyennes et des écarts-types qui correspondent à la liste des
tirages aléatoires obtenus selon la méthode Monte-Carlo.
La loi uniforme n’est pas la seule à être utilisée, parfois la modélisation se fera par loi normale. En revanche le
principe reste toujours le même : génération de valeurs aléatoires.
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