Capacités numériques physique

Lycée Fénelon MP Physique-chimie - Capacités numériques 1/ 15
Physique-chimie - Capacités numériques
Table des matières
1 Calcul d’intégrale 2
2 Méthode d’Euler 3
3 Méthode dichotomique 3
4 Méthode de Monte-Carlo 4
5 Exercices 5
5.1 Filtre de Sallen-Kay . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
5.2 Effets non linéaires sur un pendule simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
5.3 Solubilité du carbonate de magnésium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
5.4 Synthèse du trioxyde de soufre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
5.5 Équation de la chaleur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
5.6 Carte de champ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
5.7 Incertitudes et processus de Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
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1 Calcul d’intégrale
La calcul d’une intégrale définie de la forme :
Iu,v(f)=Zv
u
f(t)dt
où fest une fonction continue sur le segment [u,v] à valeurs dans R, est un problème classique intervenant
dans de nombreux domaines, qu’ils soient scientifiques ou non. Cette évaluation peut cependant s’avérer dif-
ficile voire impossible en pratique car il n’est pas toujours possible de déterminer une primitive de la fonction
f, même en utilisant les techniques de changement de variable ou d’intégration par parties.
1. Méthode des rectangles
La méthode des rectangles consistent à considérer une subdivision (u0,u1,...,un)de [a,b] de pas régu-
lier et à utiliser la linéarité de l’intégrale :
I(f)=Zb
a
f(t)dt=
n−1
X
k=0Zuk+1
uk
f(t)dt
pour approcher chacune des intégrales Iuk,uk+1(f) par
(uk+1−uk)f(uk)=b−a
nfµa+kb−a n¶
Autrement dit, cette méthode consiste à approcher I(f) par :
b−a
n
n−1
X
k=0
fµa+kb−a
n¶
2. Méthode du point milieu
Elle consiste à appliquer la méthode du point milieu à une subdivision de pas régulier du segment [a,b],
ce qui revient à approcher I(f)=Zb
a
f(t)dtpar :
b−a
n
n−1
X
k=0
fµa+µk+1
2¶b−a n¶
3. Méthode des trapèzes
Elle consiste à appliquer la méthode du trapèze à une subdivision de pas régulier du segment [a,b], ce
qui revient à approcher I(f)=Zb
a
f(t)dtpar :
b−a
n
n−1
X
k=0
f(uk)+f(uk+1)
2=b−a 2nÃn−1
X
k=0
f(uk)+
n
X
k=1
f(uk)!=b−a
nÃn−1
X
k=0
f(uk)+f(b)−f(a)
2!
=b−a
n
n−1
X
k=0
fµa+kb−a
n¶+b−a n×f(b)−f(a) 2
Autrement dit, la méthode du trapèze apparaît comme une méthode du rectangle à qui on a ajouté un
terme correctif b−a
n×f(b)−f(a) 2.
2

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2 Méthode d’Euler
La méthode d’Euler explicite est une méthode itérative qui permet de déterminer numériquement une so-
lution approchée de l’équation différentielle y′(t)=F(y(t),t), sur l’intervalle [t0,tf], avec la condition initiale
y(t0)=y0. On part de la formule du taux d’accroissement
y′(t)=lim
h7→0
y(t+h)−y(t)
h
En fixant un pas de résolution htrès petit, on effectue une subdivision régulière de l’intervalle de [t0,tf]en n
points µn=tf−t0
h¶telle que
[t0,tf]=
n
[
i=1
[xi,xi+1]où xi=t0+ih
On obtient alors une approximation de proche en proche de la fonction yà partir de la relation de récurrence
suivante
yk+1=yk+F¡yk,tk¢×h
3 Méthode dichotomique
Soit une fonction continue f: [a,b]→Rtelle que f(a) et f(b) soient de signes opposés ¡f(a)f(b)≤0¢. Le
théorème des valeurs intermédiaires assure alors qu’il existe un réel c∈[a,b] tel que f(c)=0.
Le principe de la recherche dichotomique consiste à calculer fµa+b
2¶. Suivant le signe de cette quantité l’une
des deux relations est nécessairement vérifiée :
f(a)fµa+b
2¶≤0 ou fµa+b 2¶f(b)≤0
Le premier cas assure l’existence d’une racine dans l’intervalle ·a,a+b
2¸, le second dans l’intervalle
·a+b
2,b¸, ramenant dans chacun des deux cas la recherche à un intervalle d’amplitude moitié moins grande.
L’algorithme de recherche consiste donc à itérer deux suites (un)n∈Net (vn)n∈Ndéfinies par les valeurs initiales
u0=aet v0=bet la relation de récurrence :
(un+1,vn+1)=½(un,m)si f(un)f(m)≤0
(m,vn)sinon avec m=un+vn
2
La validité de cet algorithme est assurée par l’invariant : ∀n∈N,f(un)f(vn)≤0, qui assure pour tout n∈N
l’existence d’une racine dans l’intervalle [un,vn].
Il reste à choisir la condition de terminaison de cet algorithme. Sachant que unest une approximation par
défaut d’une racine de fet vnune approximation par excès, on choisit une valeur ε>0 et on retourne wn=
un+vn
2dès lors que vn−un≤2ε. De la sorte, on est assuré qu’il existe une racine cde fvérifiant : |wn−c|≤ε.
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4 Méthode de Monte-Carlo
Le terme méthode ou processus de Monte-Carlo désigne une famille de méthodes algorithmiques visant à
calculer une valeur numérique approchée en utilisant des procédés aléatoires, c’est-à-dire des techniques
probabilistes.
La méthode la plus classique consiste, pour une unique mesure xdont la précision varie à ∆xprès, à géné-
rer un nombre fini nde valeurs aléatoires suivant une loi uniforme dans l’intervalle [x−∆x,x+∆x]pour en
déduire un écart-type.
En effet, supposons que l’ensemble des valeurs mesurée peut être modélisé par une variable aléatoire Xayant
une densité de probabilité uniforme fsur l’intervalle [m−a,m+a]. fest alors définie par
∀x∈R,f(x)=
1
2asi x∈[m−a,m+a]
0 sinon
L’espérance de Xvaut :
E(X)=Z+∞
−∞
x f (x)dx=Zm+a
m−a
x f (x)dx =·x2
4a¸m+a
m−a=1
4a£(m+a)2−(m−a)2¤=m
On retrouve bien la valeur centrale de l’intervalle. Le calcul de la variance de Xen découle :
V(X)=E¡X2¢−E(X)2=Zm+a
m−a
x2f(x)dx−m2=1
2a×·x3 3¸m−a
m+a=a2
3
L’écart-type de X, et donc l’incertitude-type cherchée, vaut :
u(x)=σ(X)=pV(X)=a
p3
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5 Exercices
5.1 Filtre de Sallen-Kay
1. Filtre RC classique
On considère le quadripôle suivant
e(t)
R1R2
Cs(t)
a. Montrer que la fonction de transfert associée est H(jω)=1
1+jω
ω0
où ω0=1
C(R1+R2)
b. En déduire que sobéit à l’équation différentielle suivante
s′(t)+ω0s(t)=ω0e(t)
Justifier que s(0) =q0
Coù q0désigne la charge initiale du condensateur.
2. Résolution numérique de l’équation différentielle d’ordre 1
On suppose que eest de la forme e(t)=Ecos(ωt).
a. Ecrire les instructions permettant d’importer les modules MATH, MATPLOTLIB.PYPLOT et NUMPY.
b. Les valeurs de ω,ω0et Esont définies globalement de la manière suivante
w= 10
w0 = 1
E= 2
Compte tenu du fait que la méthode d’Euler construit itérativement la fonction s, rédiger une fonction F
qui prend en argument la valeur skde la fonction sà l’instant tket telle que F(SK,TK) renvoie la la valeur de
s′(tk).
c. Ecrire une fonction EULER qui prend en argument F, y0 telle que y(0) =y0, le nombre de points pour la
subdivision net a,btels que ysoit définie sur l’intervalle [a,b]et qui renvoie l’approximation de yainsi que
l’ensemble des points sur laquelle ya été approximée.
d. La solution exacte est de la forme
s(t)=e−t/τµs(0)−E
1+ω2τ2¶+E 1+ω2τ2(cos(ωt)+ωτsin(ωt)) où τ=1 ω0
Ecrire une fonction S_EXACT qui prend en argument tet s(0) et qui renvoie la valeur exacte de s(t).
e. Ecrire une procédure AFFICHE qui prend en argument a,btels que ssoit définie sur l’intervalle [a,b], le
nombre de points net y0. Elle affiche les courbes des fonctions sapproximée et sexacte (discrétisée sur
n×npoints).
Choisir un nombre de points net tester le programme pour les valeurs numériques suivantes : a=0,b=
10, y0=2. Pour quelle valeur de nobtient-on une approximation "satisfaisante"?
3. Filtre de Sallen-Kay
On complète le circuit par un amplificateur non inverseur
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