Introduction à la Physique des Plasmas

Université Paris-Sud 11
Master 1 Physique Appliquée et Mécanique
Introduction à la Physique des Plasmas
Jean-Luc Raimbault
Laboratoire de Physique des Plasmas
[email protected]
2010 - 2011
Physique des plasmas et applications (3 ECTS)
Master 1 de Physique Appliquée et Mécanique
http ://www.masterpam.u-psud.fr/
Cours (14h) : Jean-Luc Raimbault,
[email protected]
Travaux dirigés (14h) : Kevin Cassou et Olivier Guilbaud
[email protected] et [email protected]
Résumé
A haute température, la dissociation puis l’ionisation des gaz conduit à la
création de charges libres qui constituent un nouvel état de la matière : le
plasma. La physique des plasmas se situe en amont d’applications technologiques importantes, comme les procédés plasmas utilisés dans l’industrie microélectronique ou les propulseurs plasmas envisagés pour les missions d’exploration spatiale lointaine. C’est également la partie de la physique permettant
de comprendre les mécanismes de production d’énergie étudiés dans les programmes de recherche internationaux sur la fusion thermonucléaire par confinement magnétique (ITER) ou inertiel.
Dans ce cours, la physique des plasmas est introduite dans la description la
plus simple qui consiste à coupler les équations de Maxwell avec les équations
de la mécanique des fluides. Les principaux ordres de grandeurs et quelques
mécanismes physiques sous-jacents sont obtenus dans ce cadre, et illustrés par
diverses applications fondamentales et technologiques des plasmas.
Prérequis
Avoir suivi un module d’introduction à la mécanique des fluides et un module
d’introduction à l’électromagnétisme, tous deux de niveau L3.
Sommaire du cours et des tds
Introduction à la physique des plasmas.
Rappels de théorie cinétique des gaz, d’électromagnétisme et de mécanique des
fluides.
Modélisation fluide des plasmas. Ecrantages, plasmas collisionnels et non collisionnels.
Relaxations électroniques et ioniques : ondes dans les plasmas.
Equilibre magnétohydrodynamique.
Mouvement cyclotronique et dérives électriques.
Résumé : longueurs, fréquences et vitesses caractéristiques dans les plasmas.
La physique des plasmas et ses applications.
Bibliographie sélective
Cours
- Plasmas Physics and Controlled Fusion, F. F. Chen, Plenum Press, 1984.
(Niveau L3-M1-M2)
- Plasmas Dynamics, R. O. Dendy, Oxford Academic Press, 1990.
(Niveau L3-M1)
- Physique des plasmas : J.-L. Delcroix, Editions de Physique, 1994.
(Niveau M1-M2)
- Fundamentals of Plasma Physics, J. A. Bittencourt, Springer, 2004.
(Niveau L3-M1-M2)
- Physique des Plasmas, J.-M. Rax, Dunod, 2005.
(Niveau M1-M2)
- Basic Plasma Physics, B. Browning, Ed. Lulu, 2008.
(Niveau L3-M1)
Vulgarisation
- All about Lightning, M. A. Uman, Dover, 1986.
(Eclairs et Foudre)
- L’énergie des Etoiles, P.-H. Rebut, Ed. Odile Jacob, 1999.
(Orienté Plasmas de fusion thermonucléaire)
- L’univers des Plasmas, P. Bradu, Flammarion, 2002.
(Généralités sur les applications des plasmas)
- L’état Plasma : le feu de l’Univers, T. Lehner, Vuibert, 2004.
(Orienté Plasmas Astrophysiques)
- L’énergie bleue, G. Laval, Ed. Odile Jacob, 2007.
(Histoire de la fusion thermonucléaire)
- The plasma universe, C. Suplee, Cambridge University Press, 2009.
(Applications des plasmas avec illustrations)
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Chapitre 1
Introduction
Un plasma est un gaz ionisé. Comme tel, il est donc constitué en général
d’électrons, d’ions, d’espèces atomiques ou moléculaires neutres et de photons.
Un gaz ionisé étant obtenu par apport d’énergie à un gaz, les plasmas sont souvent présentés comme un “4ème état” de la matière, faisant suite aux phases
solide, liquide et gazeuse :
solide
=⇒
△E
liquide
=⇒
△E
gaz
=⇒
∆E
plasma,
le passage d’un état à l’autre étant réalisé par un certain apport d’énergie ∆E.
Génération et maintien des plasmas
A la différence des gaz neutres, les plasmas, du fait de leur caractère chargé, sont
sensibles à l’action des forces électromagnétiques. Un gaz contenant toujours
quelques charges libres (ne serait-ce que par l’effet du rayonnement cosmique),
l’application d’un champ électrique peut communiquer une énergie suffisante
aux particules les plus mobiles, les électrons, qui produisent une paire électronion par collisions sur les espèces neutres selon le schéma réactionnel :
e− + n −→ i + 2e−
où n désigne un atome ou une molécule neutre et i un ion. L’électron supplémentaire
produit peut à son tour être accéléré par le champ électrique et entrer en collision avec un neutre, de sorte que l’on peut ainsi produire un plasma de densité
finie par ce mécanisme d’avalanche électronique (cf. TD). La génération des
plasmas par apport d’énergie électromagnétique n’est pas le seul processus de
création des plasmas. L’apport direct de chaleur par élévation de la température
(plasmas thermiques) ou par absorption de photons énergétiques (photoionisation) sont 2 autres exemples de processus générateurs de plasmas. L’ordre de
grandeurs des énergies d’ionisation des atomes étant de l’ordre de quelques eV
(pour les halogènes, sauf l’hydrogène) à la dizaine d’eV (pour les gaz rares),
l’ordre de grandeur de l’énergie à apporter pour produire un plasma est de
l’ordre de l’eV, soit 11 600 Kelvin.
5
6
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Outre la question de génération des plasmas que nous venons de discuter brièvement,
se pose la question essentielle de maintien du plasma. Dans les grandes lignes
l’analyse de cet aspect résulte d’une problématique gains/pertes. Les espèces
chargées sont créées en volume par ionisation mais perdues par diffusion (induites par les collisions ou la turbulence) vers les parois du réacteur (donc en
surface), et éventuellement perdues également en volume si des mécanismes de
recombinaisons de charges sont possibles dans le plasma étudié. Le maintien du
plasma sur des temps suffisamment longs passe par cet équilibre.
Plasmas de laboratoire : plasmas froids
Les plasmas faiblement ionisés (ou plasmas froids ou décharges électriques) sont
créés au sein de réacteurs initialement remplis de gaz neutres et alimentés par
une source extérieure d’énergie électromagnétique. Les paramètres extérieurs
de contrôle d’une décharge comprennent donc le choix d’un gaz à une pression
déterminée, les diverses longueurs qui fixent la géométrie du réacteur choisi,
et les grandeurs physiques caractéristiques de la source d’énergie (fréquence
caractéristique d’alimentation, tension d’alimentation ou puissance absorbée
par le dispositif) (cf. Figure).
Gaz, p
Energie
électromagnétique
Volume
Figure 1.1 – Schéma de principe d’un réacteur à plasma
La nature des gaz utilisés dépend de l’application visée ; parmi les plus simples,
on peut citer, l’argon ou le xénon, souvent utilisés comme gaz modèles pour
les études académiques, l’oxygène moléculaire, O2 , et le fluorure de bore, BF3
utilisés respectivement pour la croissance de films d’oxyde de silicium ou de
dépôt de bore sur des substrats de silicium.
Les gaz sont utilisés sur une large gamme de pression, typiquement du mTorr
à la pression atmosphérique. Les unités courantes sont le Torr et le bar. On
rappelle les correspondances :
1 atm
1 bar
1 Torr
= 1.013 105 Pa = 760 Torr,
= 105 Pa,
= 133.3 Pa.
Plusieurs types de réacteurs, qui correspondent à différentes façons de coupler
l’énergie électromagnétique au plasma ont été imaginés. Par exemple, dans les
réacteurs dits capacitifs, une différence de potentiel, continue ou variable dans
le temps est directement appliquée entre deux électrodes qui donne naissance à
un champ électrique agissant sur les charges dans le plasmas. Dans les réacteurs
dits inductifs, on fait circuler un courant variable dans une des électrodes qui
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crée un champ magnétique variable et donc un champ électrique également
variable par induction.
Selon le type de réacteur utilisé, les densités électroniques (ou ioniques) observées sont de l’ordre de 109 à 1012 particules par cm3 (voire davantage pour
les microdécharges où l’une au moins des dimensions du dispositif est micrométrique). Ces densités sont souvent très faibles par rapport à la densité des
neutres qui sont les espèces majoritaires. Dans la plupart des plasmas froids, les
taux d’ionisation sont très faibles, de 10−5 à 10−1 . On a donc en général pour
le taux d’ionisation α :
α≡
ne
ne
≈
≪ 1 plasmas faiblement ionisé
ne + nn
nn
Du fait du rapport des masses, les transferts de quantité de mouvement ou
d’énergie sont très faibles des électrons vers les neutres, et très efficaces (masses
voisines) entre les ions et les neutres. En conséquence, les températures des
espèces légères (électrons) et des espèces lourdes (ions, neutres) sont très différentes
au sein d’un plasma froid (au moins à basse pression sur des échelles de temps
suffisamment courtes) : les plasmas froids ne sont pas des milieux à l’équilibre
thermodynamique, les températures des ions et du gaz sont voisines, et d’un à
2 ordres de grandeurs plus faibles que la température des électrons :
Ti ≈ T n
et
Ti
≪ 1 plasmas hors-équilibre
Te
Le raisonnement qui précède vaut pour les plasmas d’assez basses pressions
Figure 1.2 – Température électronique, Te , et température du gaz, Tg , en
fonction de la pression au sein d’un plasma d’argon.
où les collisions restent suffisamment peu nombreuses. En se rapprochant de la
pression atmosphérique et au-delà, le faible transfert de quantité de mouvement
entre électrons et atomes est compensé par le taux élevé des collisions et les
8
CHAPITRE 1. INTRODUCTION
températures des espèces légères et lourdes tendent à s’égaliser : les plasmas
sont alors à l’équilibre thermodynamique 1 (cf. Figure).
Plasmas de laboratoire : plasmas chauds
Dans d’autres dispositifs, comme ceux à confinement magnétique (Tokamaks),
à confinement par lasers (fusion inertielle) ou par compression magnétique (Zpinch), les plasmas sont créés à plus hautes densités et beaucoup plus haute
température électronique (on parle de plasmas chauds).
Dans les tokamaks par exemple, le confinement du plasma est obtenu par de
forts champs magnétiques dont les lignes de courant s’entourent sur un tore
(cf. Figure). Les particules chargées du plasma suivent ces lignes de champ et
restent ainsi confinées un certain temps.
Figure 1.3 – Configuration Tokamak pour les plasmas de fusion magnétique.
Les lignes bleues représentent les lignes de champ magnétique.
L’objectif recherché dans ce genre de dispositifs est la création d’énergie par fusion thermonucléaire contrôlée d’éléments légers, principalement selon la réaction :
2
D +3 T −→ α + n + 17.5 MeV
On peut montrer que cette réaction ne peut s’entretenir que pour des températures
de l’ordre du keV. A ces températures le plasma est complètement ionisé (α ≈
1), les densités observées dans les tokamaks en fonctionnement sont de l’ordre
de 1012 à 1013 particules par cm3 . Les difficultés associées au développement de
tels dispositifs sont à la fois technologiques (génération de champs magnétiques
intenses et stables, tenue des matériaux au flux de neutrons ...) et scientifiques
(le problème majeur de la stabilité du plasma sur des échelles de temps suffisamment longues passe par la maı̂trise des phénomènes de turbulences observées
dans ces conditions expérimentales).
1. On peut également s’approcher de l’équilibre thermodynamique en augmentant la densité d’énergie déposée dans le milieu. Dans cette dernière situation, les atomes restituent
l’énergie aux électrons par collisions dites superélastiques.
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Plasmas naturels : plasmas spatiaux
Mis à part ces plasmas créés en laboratoires (plasmas artificiels), il existe des
plasmas naturels. Dans le voisinage de la terre, on peut mentionner les éclairs,
les aurores boréales ou l’ionosphère. Dans l’espace, les environnements ou les
intérieurs stellaires constituent d’autres exemples de plasmas présents dans
l’univers. Le soleil, par exemple, génère un plasma très conducteur, le vent solaire, qui progresse à quelques centaines de km/s dans l’espace interplanétaire.
Quand le vent solaire rencontre le champ magnétique terrestre, il subit une
déviation et génère une onde de choc. Face au soleil, le champ se trouve comprimé, alors qu’il est étiré sous forme d’une longue queue magnétique du côté
opposé (cf. Figure). Pour donner une idée de la variété des plasmas naturels
Figure 1.4 – Interaction du vent solaire avec la magnétosphère terrestre.
et artificiels, quelques-uns d’entre eux sont regroupés dans le plan température
électronique-densité électronique (cf. Figure). On notera que les températures
et densités varient respectivement sur 8 et 25 ordres de grandeurs.
Figure 1.5 – dd
Figure 1.6 – Diagramme température électronique- densité électronique pour
quelques plasmas.
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Modélisation des plasmas
Par ordre de complexité et d’exactitude les plasmas peuvent être modélisés à
trois niveaux : fluide, cinétique ou particulaire (précinétique) :
– Dans une modélisation particulaire, la position et l’impulsion de chaque particule du plasma sont suivies au cours de leurs évolutions dans le temps. Les
équations du mouvement de chaque particule sont donc celles de Newton
(pour un plasma classique) :
dxi
= vi ,
dt
dvi
qi
=
(e + vi × b)
dt
mi
où e et b sont les champs électriques et magnétiques microscopiques. La
résolution de ces équations supposent la connaissance de ces champs qui sont
solutions des équations de Maxwell écrites au niveau microscopique. Les densités de charges et de courants, qui sont les sources de ces équations de Maxwell, dépendent elles-mêmes des positions et vitesses des particules. Dans
cette approche, on doit donc suivre à la fois les trajectoires des particules
et résoudre les équations de Maxwell pour une densité finie de particules.
Dans un deuxième temps, des moyennes spatiales ou/et temporelles doivent
être effectuées pour remonter aux grandeurs physiques macroscopiques mesurables. Cette voie peut être suivie à l’aide de simulations numériques qui
utilisent des méthodes approximatives afin de traiter un nombre suffisant de
particules.
– Dans une modélisation cinétique, on adopte un point de vue probabiliste. La
grandeur centrale est la fonction de distribution à un corps, f( r, v, t), telle que
f( r, v, t)d3 rd3 v dénombre le nombre de particules dans le volume d3 rd3 v de
l’espace des phases. f1 vérifie une équation d’évolution, l’équation cinétique,
qui s’écrit formellement :
∂f1
∂f1
F ∂f1
δf1
+ v.
+ .
=
,
∂t
∂r
m ∂v
δt
où F = q(E+v×B) avec E et B les champs moyens électriques et magnétiques
qui sont solutions des équations de Maxwell macroscopiques. Le membre de
droite de l’équation cinétique correspond à une contribution due aux collisions et prend une forme qui dépend de la nature des particules considérées.
Dans un plasma, il existe une fonction de distribution (et donc une équation
cinétique) par composante (électrons, ions, neutres). Les différentes équations
cinétiques sont couplées. La résolution de ces équations par des méthodes analytiques ou numériques permet ensuite de calculer les grandeurs physiques
macroscopiques. Cette approche relève d’enseignements spécialisés et ne sera
pas discutées dans ce cours.
– Dans une approche fluide que nous présenterons dans ce cours, on traite le
plasma comme un fluide chargé réactif à plusieurs composantes. Le problème
se ramène donc à résoudre simultanément les équations de Maxwell et les
équations de la mécanique des fluides adaptées aux plasmas. Cette approche,
très physique, est pertinente sur des échelles de temps et de longueurs mésoscopiques,
c’est-à-dire, entre les échelles microscopiques et macroscopiques. Par rapport à l’approche cinétique, toute information dans l’espace des vitesses des
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particules est perdue : les divers champs solutions des équations, champs
électromagnétiques, de vitesses, de pression, de densité ... sont des fonctions des seules variables r et t. Aucun procédé de moyenne n’est nécessaire,
les grandeurs physiques macroscopiques sont directement les solutions des
équations.
Quel que soit le niveau de description retenu, l’originalité, la difficulté et la
richesse de la physique des plasmas tient essentiellement dans cette nécessaire
approche auto-cohérente qui traite la dynamique des particules et des champs
sur un pied d’égalité.
Applications des plasmas
La principale application des plasmas chauds, encore en développement, consiste
en la production d’énergie par fusion thermonucléaire contrôlée d’éléments légers.
Compte tenu des températures d’amorçages nécessaires aux réactions de fusion,
l’utilisation de réacteurs à parois matérielles n’est pas envisageable, de sorte que
le confinement par champs magnétiques (Tokamaks) ou par laser (fusion inertielle) semble une des seules voies possibles de production d’énergie par fusion.
En outre, les éléments impliqués, essentiellement le deutérium et le tritium, sont
disponibles en quantité abondante et ne produisent que des déchets faiblement
radioactifs et pas de CO2 .
Les autres applications des plasmas peuvent être classifiées schématiquement en
considérant le plasma comme un convertisseur de l’énergie électromagnétique
reçue en diverses autres formes d’énergie (cf. Figure). Citons en particulier :
– la conversion énergie électromagnétique/énergie lumineuse où l’on tente d’optimiser un processus d’excitation électronique particulier qui conduira à l’émission
de photons (éclairage, écrans à plasmas, lasers X à plasma ...)
– la conversion énergie électromagnétique/énergie cinétique où le plasma est
utilisé en tant que source de particules chargées (sources d’ions, faisceaux
d’électrons, propulsion ionique ...)
– la conversion énergie électromagnétique/énergie chimique où l’on exploite le
fait qu’un plasma peut être la source d’espèces chimiquement actives (traitement des matériaux, stérilisation, dépollution ...)
Figure 1.7 – Processus de conversion d’énergie par plasmas.
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CHAPITRE 1. INTRODUCTION
Chapitre 2
Collisions dans les gaz et les
plasmas
Section efficace et taux de collision
Fréquence de collision et libre parcours moyen
Fonction de distribution des vitesses
Diffusion
2.1
Section efficace et taux de collision
On entend par collision entre particules tout mécanisme d’interaction, de contact
ou à distance, qui modifie les trajectoires initiales des particules. La quantité
de mouvement totale est un invariant dans les collisions, mais les déviations
de trajectoires s’accompagnent d’un transfert de quantité de mouvement, et
éventuellement d’énergie cinétique (dans le cas des collisions dites inélastiques),
d’une des particules vers l’autre.
Notons génériquement 1 et 2 les 2 types de particules (éventuellement identiques) entrant en collisions selon un schéma de réaction bien défini :
1+2
−→
···
~v1
~v2
Le nombre de particules de type 1 entrant en collisions avec les particules de
type 2, par unité de temps et de volume doit être proportionnel au flux relatif
des particules de type 1, n1 |v1 − v2 |, et à la densité des particules de type 2, n2 .
Le coefficient de proportionnalité (homogène à une surface) est, par définition,
la section efficace totale σ12 de la réaction 1-2 :
dn1
= σ12 n2 n1 v12
dt
où on a noté par commodité v12 ≡ |v1 − v2 | le module de la vitesse relative des
13
14
CHAPITRE 2. COLLISIONS DANS LES GAZ ET LES PLASMAS
particules 1 . On notera qu’en général, la section efficace dépend de cette vitesse
relative.
La quantité
K12 ≡ σ12 v12
est connue sous le nom de taux de collision (en m3 s−1 ).
Le calcul des sections efficaces et a fortiori des taux de collisions est un exercice
délicat dont le résultat dépend très directement du potentiel d’interaction des
particules entre elles, et nécessite parfois un calcul quantique. Le seul cas trivial
est celui des collisions de type “sphères dures”, telles qu’on peut les imaginer
en première approximation, lors d’une collision entre 2 atomes neutres non
polarisables. Soient R1 et R2 , les rayons respectifs des atomes qui entrent en
collision. Celle-ci ne peut avoir lieu que si leur paramètre d’impact n’excède pas
R1 + R2 .
2R1
2R2
R1 + R 2
La section efficace σ12 (efficace pour la collision !) correspondante s’écrit donc
simplement :
σ12 = π (R1 + R2 )2 (sphères dures)
Comme les dimensions atomiques sont de l’ordre de l’Angström, on voit que les
sections efficaces sont de l’ordre de quelques 10−19 -10−20 m2 . Le barn est l’unité
de section efficace : 1 b ≡ 10−28 m2 (plutôt utilisé en physique nucléaire).
Les sections efficaces de type sphères dures peuvent être utilisées en première
approximation comme modèles des sections efficaces de collisions entre électrons
et neutres ou entre ions et neutres, qui sont les collisions dominantes dans le cas
des plasmas faiblement ionisés. Dans le cas des collisions électrons-neutres, R1 +
R2 ≈ Rn tandis que pour les collisions ions-neutres, on a approximativement
R1 + R2 ≈ 2Rn :
σen ≈ πRn2
σin ≈ 4πRn2
Dans le cas des plasmas fortement ionisés les collisions dominantes sont les
collisions entre électrons et ions qui sont intrinsèquement de nature coulombiennes. Les ions très massifs par rapport aux électrons, ont une dynamique
beaucoup plus lente, et on considérera pour simplifier un électron d’impulsion
me v, de charge −e, qui s’approche d’un ion immobile +Ze. La force de Coulomb Fei = −Ze2 /(4πǫ0 r2 ) dévie la trajectoire de l’électron et le transfert de
quantité de mouvement sur l’intégralité de la trajectoire s’écrit :
Z
Z
Ze2
r(t)
△(me v) = Fei dt = −
dt
4πǫ0
r(t)3
1. On peut éventuellement introduire un signe moins si l’on considère que les particules 1
sont détruites dans la réaction.
2.2. FRÉQUENCE DE COLLISIONS ET LIBRE PARCOURS MOYEN
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Ce calcul, bien que faisable, est difficile et on se contentera d’un ordre de grandeur. Soit L la longueur effective à partir de laquelle nous calculerons la section efficace par la formule σei = πL2 . Physiquement, L doit être comprise
entre un rayon atomique et la longueur de Debye au-delà de laquelle les forces
coulombiennes sont négligeables (cf. écrantage électrostatique, chapitre sur la
modélisation fluide). Pour déterminer cette longueur, il suffit de remarquer que
la durée de l’interaction, τ , est de l’ordre de τ ≈ L/v, et que le transfert d’impulsion étant nécessairement proportionnel à l’impulsion initiale, on peut écrire,
△(me v) = α(me v) où α est un coefficient de proportionnalité. On en déduit
donc
△(me v) = α(me v) ≈ Fei × τ =
Ze2
L
×
2
4πǫ0 L
v
⇔
L≈
1
Ze2
4πǫ0 αme v 2
On en déduit donc l’expression approchée de la section efficace de collision
coulombienne :
σei ∼ L2 ∼ v −4
On notera que cette distance effective L est reliée à la longueur de Landau 2
qui est la distance pour laquelle l’énergie potentielle coulombienne est égale à
l’énergie cinétique moyenne (i.e. l’énergie thermique) :
1
e2
= h mv 2 i ∼ kB T
4πǫ0 λL
2
⇔
λL =
e2
4πǫ0 kB T
On en déduit donc que hσei i ∼ hL2 i ∼ λ2L .
Une section efficace peut être associée à chaque type de collision, dépendant
des particules impliquées (atomes, molécules, ions, électrons ...), de leur loi
d’interaction (de contact, de polarisation, coulombienne ...), des processus de
conservation d’énergie considérées (élastiques, inélastiques). Le calcul effectif
de ces sections efficaces est en général très difficile, mais un grand nombre de
sections efficaces de collisions sont connues au moins expérimentalement.
2.2
Fréquence de collisions et libre parcours moyen
Le rapport dn1 /n1 peut s’interpréter (à une constante de proportionnalité près)
comme une probabilité de collision pendant le temps dt. La probabilité de
libre parcours, c’est-à-dire de non-collision pendant le même temps dt est donc
1 − n2 σ12 v12 dt. Si les libres parcours pendant des temps dt successifs sont des
événements indépendants 3 , alors la probabilité de libre parcours pendant le
temps t = N dt vaut donc :
t N
p(t) = Cte lim 1 − n2 σ12 v12
= Cte e−ν12 t ,
N →∞
N
2. Les physico-chimistes la nomme longueur de Bjerrum
3. On rappelle que la probabilité que 2 événements A et B se réalisent tous deux T
est égal
au produit des probabilités de chaque événement si ceux-ci sont indépendants : p(A B) =
p(A)p(B).
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CHAPITRE 2. COLLISIONS DANS LES GAZ ET LES PLASMAS
où on a introduit la fréquence de collision ν12 ≡ n2 σ12 v12 ≡ n2 K12 . Il est
préférable de normaliser cette probabilité à l’unité, ce qui donne :
p(t) = ν12 e−ν12 t
(libre parcours de durée t)
On en déduit aussitôt le temps moyen entre 2 collisions :
Z +∞
1
t ν12 e−ν12 t dt =
t≡
ν
12
0
Compte tenu de ce résultat, ν12 peut être interprétée comme une fréquence de
collision, sa relation à la section efficace étant donnée par la relation importante :
1
≡ ν12 = n2 σ12 v12 = n2 K12 ,
t
La distance relative parcourue pendant le temps dt vaut dx = v12 dt. La relation
de définition de la section efficace peut donc se récrire sous la forme :
dn1
= σ12 n2 n1 .
dx
La probabilité de collision dans l’intervalle dx est donc proportionnelle à n2 σ12 dx.
La même démarche que ci-dessus permet d’introduire une probabilité de libre
parcours sur la distance x :
p(x) =
1 −x/λ12
e
λ12
(libre parcours de longueur x)
où λ12 = (n2 σ12 )−1 . On en déduit l’expression du libre parcours moyen des
collisions 1-2 :
1
x ≡ λ12 =
n2 σ12
2.3
Fonction de distribution des vitesses
Dans les gaz, les vitesses des particules ne sont pas toutes identiques mais
distribuées en suivant une loi de probabilité que l’on appelle fonction de distribution des vitesses. Toutes les grandeurs physiques que nous avons définies
ci-dessus dépendent des vitesses et doivent donc en général être moyennées à
l’aide de ces fonctions de distributions. On montre en physique statistique, que
la loi de distributions des vitesses dans un système à l’équilibre thermodynamique suit, à la température T , la loi dite de Maxwell qui s’écrit :
f (v) =
m
2πkB T
3/2
2
e
mv
− 2k
T
B
On vérifiera que cette distributions est bien normalisée 4 , c’est à dire que
1.
4. Rappel :
Z
2
e−αx dx =
R
p
π/α
pour
α > 0.
R
R3
f (v) dv =
2.3. FONCTION DE DISTRIBUTION DES VITESSES
17
Les moments successifs de la loi de distribution des vitesses sont associés à des
grandeurs physiques importantes comme la vitesse moyenne, V, la température
cinétique, Tc ou l’énergie cinétique moyenne, Ec . Ainsi :
Z
vf (v) dv,
V = hvi ≡
R3
Z
m
m
2
(v − V)2 f (v) dv,
Tc =
h(v − V) i ≡
3kB
3kB R3
Z
1
1
2
mv2 f (v) dv
Ec = h mv i ≡
2
R3 2
Ces définitions sont générales et s’appliquent quelles que soient les fonctions de
distribution, à l’équilibre ou hors-équilibre. Dans le cas de la distribution de
Maxwell, donc à l’équilibre thermodynamique, on vérifiera que :
V = 0,
Tc = T,
3
hEc i = kB T
2
Dans cette situation, la vitesse moyenne des particules est nulle (on parlera de
vitesse moyenne ou de vitesse fluide dans la suite) et la température cinétique
s’identifie avec la température thermodynamique. L’énergie cinétique moyenne
permet d’obtenir un ordre de grandeur de la vitesse quadratique moyenne, vq :
vq ≡
p
hv2 i
=
r
3kB T
m
Il ne faut pas confondre la vitesse moyenne, V, qui est une vitesse dirigée dans
le sens de l’écoulement du fluide, avec la vitesse quadratique moyenne (on dira
aussi vitesse thermique) qui est une des façons 5 de mesurer la vitesse non dirigée, isotrope, due à l’agitation thermique. Bien que les formules qui précédent
ne soient strictement valables que pour des systèmes à l’équilibre, elles sont
souvent utilisées, même dans les milieux hors-équilibre car elles donnent souvent des ordres de grandeurs acceptables, ainsi que des lois d’échelles correctes
(retenir en particulier l’évolution de la vitesse thermique en (T /m)1/2 ).
Dans un plasma à l’équilibre thermodynamique avec une température de quelques
eV, la vitesse quadratique moyenne est de l’ordre du million de m/s pour les
électrons et seulement de quelques dizaines de milliers de m/s pour les ions plus
massifs. Dans un plasma froid hors-équilibre, où les ions et les neutres sont plus
froids et ont une température de l’ordre de quelques centaines de Kelvin, les
ions ont des vitesses thermiques de quelques centaines de m/s.
A titre d’illustration, en utilisant les expressions des sections efficaces trouvées
plus haut, on pourra vérifier que les fréquences de collision moyennes, obtenues
en moyennant sur la fonction de distribution des vitesses hν12 i = n2 hσ12 v12 i
5. Une autre, très proche, consiste à calculer la moyenne des modules de la vitesse. On
trouve :
1/2
8kB T
.
h|~v |i =
πm
18
CHAPITRE 2. COLLISIONS DANS LES GAZ ET LES PLASMAS
ont les dépendances suivantes en densités et températures :
νen ∼ nn hve i ∼ nn Te1/2 ,
1/2
νen ∼ nn hvi i ∼ nn Ti
νei ∼
2.4
ni hve−3 i
∼
,
ni Te−3/2
Diffusion
En 1828 le botaniste Brown fut le premier à étudier d’une façon systématique
le mouvement erratique de grains de pollen en suspension dans un liquide. Il
put montrer que le mouvement dépendait de la masse des particules en suspension mais pas de leur nature. A la fin du même siècle, on commença à
formuler l’hypothèse que ce mouvement désordonné résultait peut-être des collisions avec les constituants microscopiques de la matière, c’est-à-dire avec les
molécules. L’étude du mouvement brownien allait ainsi se trouver au cœur de la
problématique sur la validité de l’hypothèse atomique. Dans un article célèbre
de 1905, Einstein a proposé une étude du mouvement brownien qui allait donner lieu à une série de travaux sur les aspects statistiques du phénomène de
diffusion.
Figure 2.1 – Mouvement brownien d’une particule dans l’eau d’après un dessin
de Jean Perrin.
Au-delà du mouvement brownien lui-même, on parle de diffusion, chaque fois
que la dynamique de la particule étudiée correspond à une suite de déplacements
interrompus par des collisions qui réinitialisent les conditions initiales du mouvement. Le phénomène de diffusion peut-être appréhendé par une approche
macroscopique ou microscopique que nous rappellons succinctement dans ce
qui suit.
2.4.1
Approche macroscopique
A l’échelle macroscopique, nous assimilons l’ensemble des particules à un fluide
de densité n(x, t), de pression p(x, t) et de vitesse moyenne v(x, t), que nous
19
2.4. DIFFUSION
décrivons par les équations de l’hydrodynamique 6
n(x, t) m
Dv(x, t)
Dt
= −
∂p(x, t)
− mν n(x, t)v(x, t),
∂x
où ν est la fréquence de collisions des particules. (le poids ou toute force
extérieure est négligé dans cette approche : il ne s’agit pas de décrire la sédimentation
des particules). S’il s’agit d’un milieu dilué de particules, on peut supposer que
la loi des gaz parfaits est vérifiée de sorte que :
Dv(x, t)
kB T 1 ∂n(x, t)
+ νv(x, t) = −
,
Dt
m n(x, t) ∂x
Au temps longs, plus précisément pour νt ≫ 1, le régime transitoire est amorti,
et on en déduit que la densité de flux de particules Γ(x, t) ≡ n(x, t)v(x, t) s’écrit
en régime stationnaire
Γ(x, t) ≡ n(x, t)v(x, t) = −
kB T ∂n(x, t)
,
mν
∂x
Le coefficient de diffusion, D, en m2 s−1 , est obtenu par identification avec la
loi empirique de Fick Γ = −D ∂n/∂x, soit
D=
kB T
mν
qui est connue comme l’équation d’Einstein-Smoluchowski. Cette relation constitue un cas particulier du théorème de fluctuation-dissipation 7 . Il ne faut pas
oublier que cette relation ne peut être utilisée qu’aux échelles de temps suffisamment longues (νt ≫ 1), c’est-à-dire lorsque de nombreuses collisions ont eu
lieu.
2.4.2
Approche microscopique
Nous présentons maintenant l’approche microscopique du coefficient de diffusion proposée par Einstein en 1905. Compte tenu du mouvement erratique des particules en
suspension (cf. Fig. 2.1), une approche fondée sur la résolution des équations de Newton
semble difficilement envisageable 8 . Einstein saute donc franchement le pas et propose
de remplacer les équations déterministes de Newton par une approche entièrement probabiliste. En d’autres termes l’évolution temporelle n’est plus décrite par une équation
différentielle, mais par une prescription purement probabiliste, alternance de mouvements libres (sans force extérieure appliquée) et de chocs qui modifient la trajectoire.
La nouvelle direction prise par la particule après un choc étant aléatoire, on parle, en
termes imagés, de marches aléatoires pour de tels processus.
6. Notez que l’expression usuelle du terme de dissipation en mécanique des fluides est
− ηρ △v ; nous utilisons ici une forme approchée.
7. En absence de diffusion, par exemple à température nulle, mais en présence d’une force
extérieure, F , (par exemple la gravité), la vitesse limite satisfait l’équation v = µ F où µ ≡
(mν)−1 est un coefficient qu’on appelle la mobilité. L’équation d’Einstein-Smoluchowski s’écrit
donc d’une façon un peu plus universelle sous la forme D = µ kB T .
8. Parlant des trajectoires qu’il observe, Jean Perrin fait remarquer que “ c’est un cas où il
est vraiment naturel de penser à ces fonctions continues sans dérivées que les mathématiciens
ont imaginées .. ”
20
CHAPITRE 2. COLLISIONS DANS LES GAZ ET LES PLASMAS
Einstein introduit un temps τ , considéré comme très petit par rapport au temps caractéristique sur lequel on effectue la mesure, mais cependant suffisamment grand pour
pouvoir considérer que les mouvements des particules sur deux intervalles de temps
consécutifs τ sont mutuellement indépendants. Il s’agit donc du temps caractéristique
de décorrélation des événements microscopiques successifs, c’est-à-dire des chocs 9 .
Soit donc ϕ(∆, τ ) la densité de probabilité de déplacement telle que
n(x, t) ϕ(∆, τ )d∆
compte le nombre de particules par unité de volume qui se déplacent, à l’instant t, de
la position x à une position comprise entre x + ∆ et x + ∆ + d∆, dans le temps τ .
ϕ(∆, τ ) est supposée normalisée et symétrique :
Z
ϕ(∆, τ )d∆ = 1, ϕ(∆, τ ) = ϕ(−∆, τ ),
R
et ϕ(∆, τ ) ne diffère de 0 que pour de très petites valeurs de ∆ (c’est-à-dire que les
grands sauts sont supposés peu probables). L’équation d’évolution de la densité s’écrit
Z
n(x, t + τ ) =
n(x − ∆, t)ϕ(∆, τ )d∆
R
qui traduit le fait que toutes les particules situées en x à l’instant t + τ , proviennent
de déplacements incompatibles 10 de durée τ , issus de x − ∆ et à l’instant t.
Cependant ∆ et τ sont supposé petits (par rapport aux échelles spatiales et temporelles
d’observation) de sorte qu’on peut développer les 2 expressions :
∂n
+ O(τ 2 ),
∂t
∂n ∆2 ∂ 2 n
= n(x, t) − ∆
+
+ O(∆3 ),
∂x
2 ∂x2
n(x, t + τ ) = n(x, t) + τ
n(x − ∆, t)
En substituant dans l’équation d’évolution et en utilisant les propriétés de ϕ, on trouve
immédiatement
∂n(x, t)
∂t
= D(ϕ)
∂ 2 n(x, t)
,
∂x2
où on a défini le coefficient de diffusion par la relation
Z
h∆2 iϕ
1
∆2 ϕ(∆, τ )d∆ =
D(ϕ) ≡
2τ R
2τ
(2.1)
(2.2)
Ces 2 relations sont remarquables à plus d’un titre. Premièrement, on reconnait dans
l’équation (2.1) l’équation de diffusion obtenue dans le cadre macroscopique en combinant l’équation de Fick et l’équation de conservation du nombre de particules. Cela
permet d’identifier D(ϕ) comme le coefficient de diffusion habituel D. Deuxièmement,
cette approche probabiliste nous fournit une nouvelle définition du coefficient de diffusion, directement reliée aux trajectoires des particules.
Jusqu’à présent les déplacements des particules étaient repérés par rapport à un seul
et même système de coordonnées. Comme les mouvements de chaque particule sont
9. Cette hiérarchie de temps bien séparés est caractéristique de toutes les approches
théoriques des phénomènes hors d’équilibre. L’échelle de temps τ définie par Einstein
est ce qu’on appelle aujourd’hui une échelle mésoscopique, intermédiaire entre les échelles
microscopiques et macroscopiques : ν −1 (micro : collisions) ≪ τ (méso : diffusion) ≪
T (macro : observation).
10. au sens des événements incompatibles en probabilité ; c’est la raison de la somme sur ∆.
21
2.4. DIFFUSION
indépendants, on peut tout aussi bien repérer le mouvement par rapport à un système
de coordonnées dont l’origine coı̈ncide avec la position de chaque particule à l’instant t = 0 11 . Si N est le nombre total de particules diffusantes, P (x, t) ≡ n(x, t)/N
représente la densité de probabilité conditionnelle de trouver la particule considérée en
x à l’instant t, sachant qu’elle était en 0 à t = 0. La condition de normalisation et la
condition initiale de P sont données par
Z
P (x, t) dx = 1 et P (x, 0) = δ(x),
R
la dernière égalité 12 traduisant la certitude que l’on a de trouver la particule en x = 0.
Comme P satisfait l’équation (2.1) par définition, on a maintenant un problème bien
posé dont la solution s’écrit (le vérifier)
P (x, t) = √
2
1
e−x /4Dt
4πDt
PHx,tL
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-4
-2
2
4
x
Figure 2.2 – Probabilité de diffusion pour plusieurs valeurs de t.
A t fixé, la probabilité obtenue est donc une gaussienne, ce à quoi on pouvait s’attendre
compte-tenu de l’hypothèse de chocs (ou de déplacements) sans corrélations. Ce qui est
plus intéressant, comme le fait remarquer Einstein, est la façon dont, temps, position
et coefficient de diffusion sont associés dans l’exposant de la gaussienne. Il est en effet
clair (faites-le !) que le déplacement quadratique moyen vaut :
Z
< x2 >≡
x2 P (x, t) dx = 2Dt
R
Pour un mouvement diffusif, la distance moyenne parcourue au bout d’un temps t n’est
pas proportionnelle au temps, mais seulement à la racine carrée du temps écoulé. Les
11. Cette approche correspond au point de vue Lagrangien de la mécanique des milieux
continus, tandis que l’approche précédente constituait le point de vue Eulérien.
12. On
R rappelle que δ est la “fonction” telle que δ(x) = 0 pour tout x 6= 0 et qui vérifie en
outre R δ(x) dx = 1.
22
CHAPITRE 2. COLLISIONS DANS LES GAZ ET LES PLASMAS
mouvements diffusifs sont donc des mouvements nettement plus lents que les mouvements propagatifs. Ce résultat nous donne donc une nouvelle expression pour le coefficient de diffusion (à une dimension d’espace) directement reliées aux trajectoires des
particules :
< x2 >
.
D=
2t
Il faut rappeler que la nature même du mouvement diffusif suppose qu’un grand nombre
de chocs ait eu lieu, et donc que cette formule n’est utilisable qu’à suffisamment grandes
échelles.
En identifiant les expressions macroscopique D = kB T /(mν) et microscopique D =<
x2 > /(2t) du coefficient de diffusion, Einstein proposa une nouvelle détermination du
nombre d’Avogadro NA à partir de la formule
NA =
RT /f
RT /f
=
D
< x2 > /2t
où R est la constante des gaz parfaits. En 1912, dans une série d’expériences de grande
précision, Jean Perrin mesura les coefficients de diffusion de petites sphères de gommegutte en suspension dans de l’eau, et utilisa la formule d’Einstein pour déterminer une
valeur du nombre d’Avogadro qu’il trouva en bon accord avec les valeurs connues à
l’époque. Cette vérification expérimentale fut une des expériences qui contribuèrent à
confirmer la structure atomique, discontinue, de la matière. Elle valut à Jean Perrin le
prix Nobel de Physique en 1926.
Chapitre 3
Rappels d’Electrodynamique
Les équations de Maxwell
Remarques
Dans un plasma l’existence des charges électriques qui le constituent, ne peut
être considérée indépendamment des champs électriques et magnétiques qui
règnent en son sein. Une des caractéristiques de cette discipline est la nécessité
de traiter sur un pied d’égalité la dynamique des particules et celles des champs.
Nous commençons par rappeler succinctement les équations de Maxwell de
l’Electromagnétisme dans ce chapitre.
3.1
Les équations de Maxwell
Les 2 sources du champ électrique sont les charges libres et les champs magnétiques
dépendants du temps, ce que traduisent respectivement les relations de MaxwellGauss et de Maxwell-Faraday :
ρ
,
ǫ0
∂B
∇×E = −
∂t
∇. E =
où ρ est la densité de toutes les charges électriques du plasma.
En utilisant les théorèmes d’analyse vectorielle 1 , ces équations locales, valables
en tout point de l’espace, peuvent être écrite dans une région finie de l’espace,
sous la forme du théorème de Gauss et de la loi de Faraday :
I
E. dS,
(3.1)
Q = ǫ0
S
I
∂Φ
E. dL,
(3.2)
= −
∂t
C
où Q est laRcharge électrique totale comprise dans le volume limité par la surface
S, et Φ ≡ S B. dS, le flux du champ magnétique à travers la surface S limitée
par le contour C.
1. Celui de la divergence et de Stokes.
23
24
CHAPITRE 3. RAPPELS D’ELECTRODYNAMIQUE
Il n’existe pas de monopôle magnétique, et les 2 sources du champ magnétique
sont les charges en mouvement (de densité de courant J) et les champs électriques
dépendant du temps. C’est le contenu des 2 autres relations de Maxwell :
∇. B = 0,
∇ × B = µ0 J + µ0 ǫ0
∂E
∂t
On peut également écrire des formes intégrées qui correspondent, pour des
champs indépendants du temps, aux théorèmes du flux et d’Ampère :
0 =
µ0 I =
I
IS
B. dS,
(3.3)
B. dL,
(3.4)
C
R
où I ≡ S Jtot . dS avec Jtot = J + ǫ0 ∂E
∂t est le courant total traversant la surface
S limitée par le contour C.
En utilisant le fait que la divergence d’un rotationnel est toujours nulle, on
établit facilement la relation de conservation de la charge à partir des équations
précédentes. Cette équation s’écrit sous forme locale ou globale de la façon
suivante :
∂ρ
+ ∇. J = 0,
∂tI
∂Q
+
∂t
(3.5)
J. dS = 0.
(3.6)
S
En d’autres termes, les variations temporelles de charge électrique au sein d’un
volume sont compensées par les charges qui traversent la surface limitant le
volume.
On remarquera que les équations de Maxwell ont été écrites ici dans le vide, ce
qui correspond à la situation typique pour les plasmas. ǫ0 et µ0 sont en effet
les constantes diélectrique et perméabilité magnétique du vide, qui vérifient la
relation bien connue :
µ0 ǫ0 c2 = 1,
où c est la vitesse de la lumière dans le vide.
Soulignons que les équations précédentes doivent être complétées par des conditions aux limites adéquates qui dépendent du problème étudié. Pour terminer,
on rappelle dans un tableau synthétique les unités courantes associées aux grandeurs électromagnétiques.
ǫ0 F.m−1
µ0 H.m−1
ρ C.m−3
J
A.m−2
E V.m−1
B T
25
3.2. REMARQUES
3.2
Remarques
1. Les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère peuvent être interprétées comme des équations d’évolution des champs E et B sous la
forme :
∂B(r, t)
∂t
∂E(r, t)
∂t
= −rot E(r, t),
=
1
1
rot B(r, t) −
J(r, t)
ǫ0 µ0
ǫ0
En tant qu’équations d’évolution, ces 2 équations doivent être complétées
par des conditions initiales sur les champs E et B.
En utilisant la relation de conservation de la charge et le fait que la divergence d’un rotationnel est nulle, les 2 équations d’évolution se récrivent :
∂
(divB) = 0,
∂t
∂
ρ
= 0,
divE −
∂t
ǫ0
Les 2 équations de Maxwell sur la divergence sont donc obtenues en fixant
les conditions initiales suivantes :
div E(r, 0) =
ρ(r, 0)
ǫ0
et div B(r, 0) = 0
de sorte que si ces relations sont satisfaites à l’instant initial, elles le
demeurent aux temps ultérieurs.
Il est donc équivalent de se donner les 4 équations de Maxwell, ou les
2 équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère complétées par des
conditions initiales adaptées.
2. En physique des plasmas, comme on l’a indiqué plus haut, les sources
(ρ, J) ou les champs (E, B) ne constituent pas des données indépendantes,
mais sont reliées de façon complexe par les équations de la dynamique
des charges électriques (i.e. les équations de l’hydrodynamique appliquées
aux plasmas). Lorsque celles-ci permettent d’exprimer les sources en fonctions des champs, les équations d’évolution résultantes pour les champs
prennent en général la forme d’équations aux dérivées partielles fortement non linéaires. Une bonne partie de la difficulté et de la richesse de
la physique des plasmas vient de cette auto-cohérence imposée entre la
dynamique des particules et des champs.
26
CHAPITRE 3. RAPPELS D’ELECTRODYNAMIQUE
Chapitre 4
Rappels de Mécanique des
Fluides
Comme on l’a dit plus haut, un plasma peut être considéré comme un fluide à
plusieurs composantes. Les diverses composantes sont les électrons, les différentes
espèces d’ions, et éventuellement les neutres. A la différence des fluides neutres
où la force extérieure dominante est la gravité, la force à prendre en compte
pour les plasmas est la force électromagnétique :
F = q (E + V × B)
On rappelle dans ce chapitre les équations de bilan de la mécanique des fluides
qui devront être appliquées à chacune des espèces constituant le plasma. Ces
équations peuvent être dérivées directement à l’échelle mésoscopique (cf. cours
de mécanique des fluides) ou par le calcul des premiers moments de l’équation
de Boltzmann (cf. cours de théorie cinétique).
Lorsque l’approche hydrodynamique est valide 1 , un état thermodynamique est
défini, par composante α (α = e, i, n), par la donnée de 2 champs scalaires :
la densité nα (r, t) et la température 2 Tα (r, t), et un champ vectoriel : la vitesse fluide Vα (r, t). Ces grandeurs sont des fonctions supposées lentement variables de la position r et du temps t. Elles rendent compte du comportement
d’un nombre élevé de particules microscopiques, quoique suffisamment faible à
l’échelle du problème étudié pour apprécier les variations spatiales et temporelles (notion de particule fluide et d’échelle mésoscopique). En d’autres termes,
les propriétés des constituants microscopiques sont moyennées sur une échelle
spatiale, ǫ, intermédiaire entre le libre parcours moyen, λ, des constituants microscopiques et l’échelle macroscopique, L, à laquelle on décrit le problème
étudié :
λ ≪ ǫ ≪ L.
Les diverses composantes d’un plasma pouvant être créés et détruites (par ionisation, recombinaison ...), les plasmas sont assimilables à des fluides réactifs. Il
1. Ce point ne peut être assuré que par la physique statistique.
2. ou la pression scalaire définie par la relation pα (r, t) = nα (r, t) kB Tα (r, t).
27
28
CHAPITRE 4. RAPPELS DE MÉCANIQUE DES FLUIDES
en découle que le formalisme présenté dans ce chapitre s’apparente davantage
à celui de l’aérothermochimie (comme en physico-chimie de la combustion par
exemple), qu’à celui utilisé pour les fluides neutres à une seule composante.
4.1
Rappel sur les équations de bilan
Dans cette section, on rappelle comment on dérive une équation de bilan dans le cas
simple d’une grandeur scalaire unidimensionnelle. La généralisation aux grandeurs vectorielles et à plusieurs dimensions d’espace ne pose pas de difficultés, et sera appliquée
dans les sections suivantes aux bilans de particules, de quantité de mouvement et
d’énergie.
Pour fixer les idées, considérons comme grandeur scalaire, le nombre N (t) de particules
contenues dans un intervalle [a(t), b(t)], dont la longueur b(t) − a(t) peut varier avec le
temps. Dans cette approche unidimensionnelle, les particules peuvent s’écouler le long
~ (x, t). Introduisons la densité de particules n(x, t) qui
de l’axe 0x avec une vitesse V
comptabilise le nombre de particules par unité de longueur. On peut donc écrire :
Z b(t)
n(x, t) dx
N (t) ≡
a(t)
Si le nombre de particules N se conserve au cours du temps, l’équation de bilan sur N
s’écrit simplement :
dN
=0
dt
S’il y a création de particules à l’intérieur de [a(t), b(t)] (par ionisation, réaction chimique ...), l’équation de bilan dans ce cas plus général s’écrit :
dN
dt
=
dNin
dt
où dNin est le nombre de particules apparaissant ou disparaissant dans l’intervalle
pendant le temps dt.
Explicitons dN/dt. Par application du théorème de Leibnitz, on trouve aussitôt :
d
dN
=
dt
dt
Z
b(t)
n(x, t) dx = n (b(t), t)
a(t)
da
db
− n(a(t), t)
+
dt
dt
Z
b(t)
a(t)
∂n(x, t)
dx
∂t
Les 2 premières contributions correspondent aux particules qui sortent ou entrent par
les extrémités de l’intervalle [a(t), b(t)] pendant le temps dt, tandis que la dernière
contribution est due aux variations temporelles de la densité à l’intérieur de l’intervalle.
Introduisons le flux 3 de particules
Γ(x, t)
≡ n(x, t)V (x, t)
Rb
Lorsque Γ a des dérivées partielles continues, a ∂Γ
∂x dx = Γ(b, t) − Γ(a, t), et on peut
donc écrire :
Z b(t) ∂Γ(x, t) ∂n(x, t)
dN
dx,
=
+
dt
∂x
∂t
a(t)
où on a supposé que les vitesses de déplacement des extrémités de l’intervalle da/dt et
db/dt sont égales aux vitesses des particules V (a(t), t) et V (b(t), t) en ces points.
3. A 1D, le flux est un débit !
29
4.2. BILAN DE MASSE ET DE CHARGE
Introduisons, la densité de particules créées ou perdues par unité de temps, S(x, t), on
a donc
Z b(t)
dNin (t)
S(x, t) dx
≡
dt
a(t)
S(x, t) est positif si les particules sont créées, négatif dans le cas contraire. L’équation
de bilan peut donc s’écrire sous forme intégrale :
Z b(t) ∂n(x, t) ∂Γ(x, t)
+
− S(x, t) dx = 0
∂t
∂x
a(t)
Cette égalité étant vérifiée ∀ a(t) < b(t), si S est également continue, on obtient
l’équation de bilan de N (ou la loi de conservation associée à N ), sous la forme (locale)
de l’équation aux dérivées partielles :
∂n(x, t) ∂Γ(x, t)
+
∂t
∂x
= S(x, t)
Le même type de raisonnement appliqué à un volume fermé Ω(t), conduit à la généralisation :
Z
Z
∂ (n(r, t))
d
3
n(r, t) d r =
+ ∇.Γ(r, t) d3 r,
dt Ω(t)
∂t
Ω(t)
et donc,
∂n(r, t)
+ ∇.Γ(r, t) = S(r, t)
∂t
où Γ(r, t) ≡ n(r, t)V(r, t) est le flux de particules.
4.2
Bilan de masse et de charge
On peut directement appliquer les résultats de la section précédente au nombre
de particules Nα d’une espèce donnée α. On en déduit aussitôt la forme correspondante de l’équation de bilan :
∂nα
+ ∇. (nα Vα ) = Sα ,
∂t
où Sα est la densité de particules créées (Sα > 0) ou détruites (Sα < 0) par
unité de temps dont la forme sera discutée plus loin.
On notera qu’en régime stationnaire (∂t nα = 0), la conservation du nombre de
particules d’une espèce donnée dans un volume quelconque du plasma, implique
que la création en volume des particules est compensée par un flux de particules
sortant par les surfaces limitant ce volume :
Z
I
Z
∇. (nα Vα ) d3 r =
Γα .dS =
Sα d3 r .
V
S
V
En utilisant la relation vectorielle
∇. (nα Vα ) = (Vα .∇) nα + nα (∇. Vα )
on peut obtenir la forme équivalente :
Dα n α
Dt
= −nα (∇. Vα ) + Sα ,
(4.1)
30
CHAPITRE 4. RAPPELS DE MÉCANIQUE DES FLUIDES
où on a introduit l’opérateur de dérivée particulaire Dα /Dt :
Dα
Dt
∂
+ (Vα .∇)
∂t
≡
Le bilan des espèces s’accompagne bien sûr d’un bilan de masses des espèces
ainsi que d’un bilan de charges dans le cas des composantes du plasmas (α = e, i)
qui sont chargées :
∂ (nα mα )
+ ∇. (nα mα Vα ) = mα Sα ,
∂t
∂ (nα qα )
+ ∇. (nα qα Vα ) = qα Sα ,
∂t
(4.2)
(4.3)
L’équation de bilan de masses est l’équation usuellement utilisée pour les fluides
neutres (avec Sα ≡ 0). On remarquera également que le bilan de charges met
en jeu la la densité de courant Jα ≡ nα qα Vα .
4.3
Bilan de quantité de mouvement
L’équation de bilan de la quantité de mouvement Pα repose sur l’application
du principe fondamental de la dynamique à un volume de contrôle Ω(t) :
dPα
= Fα +
dt
Z
[mα Uα (r, t) Sα (r, t)] d3 r,
(4.4)
Ω(t)
où Fα est l’ensemble des forces extérieures s’appliquant au volume considéré
et sur la surface de celui-ci 4 , et où le 2ème terme correspond à la quantité
de mouvement créée ou détruite pendant le temps dt, dans l’hypothèse où les
particules sont créées avec la vitesse Uα .
Introduisons une densité volumique de quantité de mouvement, nα (r, t) mα Vα (r, t)
de sorte que :
Z
[nα (r, t) mα Vα (r, t)] d3 r
Pα (t) ≡
Ω(t)
Chacune des coordonnées du vecteur nα (r, t) mα Vα (r, t) est une grandeur scalaire pour laquelle on peut appliquer les résultats de la section précédente. La
ième coordonnée s’écrit sous la forme :
d
dt
Z
3
(nα mα Vαi ) d r =
Ω(t)
Z
Ω(t)
∂ (nα mα Vαi )
+ ∇. (nα mα Vαi V) d3 r,
∂t
4. Ces forces de contact sont spécifiques aux milieux continus
4.3. BILAN DE QUANTITÉ DE MOUVEMENT
31
La relation vectorielle correspondante s’écrit 5 :
Z
Z
∂ (nα mα Vα )
d
3
(nα mα Vα ) d r =
+ ∇. (nα mα Vα ⊗ Vα ) d3 r(4.5)
dt Ω(t)
∂t
Ω(t)
ou de façon équivalente 6 :
Z
Z
Dα V α
d
3
(nα mα Vα ) d r =
nα mα
+ Sα mα Vα d3 r (4.6)
dt Ω(t)
Dt
Ω(t)
Les forces extérieures à considérer dans un milieu continu sont de deux types :
les forces de volume (comme la force de pesanteur, les forces électromagnétiques
...) et les forces de contact (comme la pression). La force totale s’exerçant sur
la composante α du fluide qui en résulte s’écrit :
Z
[nα Fα + ∇.Πα ] d3 r
(4.7)
Fα =
Ω(t)
où Fα est la force volumique et Πα le tenseur des contraintes.
Dans le cadre des plasmas, les forces extérieures dominantes comprennent la
force électromagnétique et les forces de frictions entre les différentes composantes du fluide 7 :
X
ναβ (Vα − Vβ )
Fα ≡ qα (E + Vα × B) − mα
β6=α
où les coefficients ναβ sont homogènes à des fréquences de transfert d’impulsion
entre les composantes du fluide, et seront précisés dans la suite.
Lorsque le fluide est au repos 8 , le tenseur des contraintes se réduit au tenseur de pression (cinétique), dont l’origine est liée à l’agitation thermique des
molécules. Lorsque le fluide est en mouvement, l’interaction entre les couches
fluides voisines introduit une contribution supplémentaire qui correspond, pour
les fluides neutres, aux contributions de viscosité dues aux gradients de vitesse
dans l’écoulement (termes de Navier-Stokes). Pour les plasmas, sauf éventuellement
pour la composante neutre, les seuls termes de dissipation retenus sont les forces
de friction inter-fluide déjà pris en compte dans l’expression de Fα . Dans le cas
5. On rappelle que c = a ⊗ b représente le produit tensoriel des vecteurs a et b (on dit
aussi produit dyadique). c est un tenseur d’ordre 2, dont les composantes sont définies par la
relation :
cij ≡ ai bj
La divergence d’un tenseur t quelconque est un vecteur, dont les composantes sont définies
par la relation :
X ∂tij
(∇. t)j ≡
∂xi
i
6. En utilisant l’identité :
∇. [nα Vα ⊗ Vα ] = nα (Vα .∇) Vα + Vα ∇. (nα Vα )
et l’équation de bilan de particules.
7. La force de pesanteur peut jouer un rôle pour certains plasmas stellaires.
8. ou à une seule dimension d’espace.
32
CHAPITRE 4. RAPPELS DE MÉCANIQUE DES FLUIDES
des plasmas isotropes (ce qui n’est pas le cas en présence de forts champs
magnétiques), la pression cinétique est un tenseur diagonal 9 et on peut donc
poser :
Πα ≡ pα I,
(4.8)
où I est le tenseur identité et pα (r, t) la pression partielle scalaire due à la
composante α.
En utilisant les équations (4.5), (4.6) et (4.8), l’équation locale de bilan de
quantité de mouvement peut s’écrire sous les 2 formes équivalentes
∂ (nα mα Vα )
+ ∇. [nα (mα Vα ) ⊗ Vα ] = −∇pα + nα Fα + mα Uα Sα ,
∂t
Dα V α
= −∇pα + nα Fα − mα (Vα − Uα ) Sα ,
mα nα
Dt
Rappelons que Uα est la vitesse avec lesquelles les particules sont créées ou
détruites. Lorsque cette vitesse est plus faible que la vitesse moyenne d’entraı̂nement du fluide Vα , les particules créées (Sα > 0) ralentissent le fluide
en écoulement (d’où le signe négatif). Lorsque les particules sont créées (ou
détruites) à la même vitesse que la vitesse d’entraı̂nement du fluide (i.e. Vα =
Uα ) , il n’y a pas de contribution au bilan de quantité de mouvement lorsqu’on
suit les particules dans leur mouvement (2ème équation).
4.4
Fermeture des équations de bilans
Les 2 équations de bilan, de particules et d’impulsion dépendent, par composante, de 3 variables dynamiques, les 2 champs scalaires de densités nα (r, t)
et de pressions pα (r, t), et du champ vectoriel de vitesses Vα (r, t). Cela fait 5
inconnues scalaires pour 4 équations (l’équation de bilan de particules et les 3
composantes de l’équation de bilan de quantité de mouvement). Le problème
n’est donc pas soluble en l’état. Dans l’approche traditionnelle utilisée en thermodynamique, on introduit une équation de bilan supplémentaire : l’équation
de bilan d’énergie. Cette équation introduit à son tour une nouvelle inconnue, le
flux de chaleur, que l’on relie aux autres inconnues par une considération thermodynamique (par exemple la loi de Fourier ou une hypothèse d’adiabacité).
Ce chemin peut également être suivi dans le cadre de l’étude des plasmas, mais
il est plus simple d’introduite la contrainte thermodynamique au niveau de
l’équation de bilan de quantité de mouvement. Les plasmas étant des milieux
dilués, on peut utilise l’équation d’état des gaz parfaits sous la forme 10 :
pα = nα (kB Tα )
(4.9)
9. Avec la conséquence que si le tenseur est diagonal, sa divergence se réduit à un gradient :
∇. Πα = ∇. [pα I] ≡ ∇pα
10. L’utilisation, lorsque le fluide est en mouvement, d’une équation valable pour une situation à l’équilibre thermodynamique, correspond à l’hypothèse d’équilibre thermodynamique
local.
33
4.4. FERMETURE DES ÉQUATIONS DE BILANS
Cette relation introduit cependant un nouveau champ inconnu, le champ de
température Tα (r, t), ce qui ne résoud donc rien. Une façon de fermer les
équations consiste à introduire une hypothèse physique suffisamment forte qui
fixe le champ de pression.
Dans les situations où la pression au sein du fluide peut être négligée par rapport
aux autres contributions 11 :
pα → 0,
les 2 équations de conservation de la charge et de l’impulsion suffisent à déterminer
les champs de densités : nα , et de vitesses Vα .
Dans le cas contraire, la pression (ou la température) reste inconnue. Il faut
donc au moins une autre équation indépendante pour “fermer” l’ensemble des
équations, ce qui est facile lorsque les échelles de temps associées à la dynamique
des particules et à la diffusion de la chaleur sont bien séparées.
Considérons d’abord le cas d’une évolution isotherme du plasma (Tα uniforme),
c’est-à-dire que les gradients de température relaxent rapidement sur l’échelle
de temps étudiée, l’équation manquante s’écrit donc :
pα
= Cte
nα
ou
dpα = kB Tα dnα = Cα d(nα mα ),
où Cα ≡ (kB Tα /mα )1/2 est la vitesse isotherme du son.
Dans le cas opposé d’une évolution adiabatique où la chaleur n’a pas eu le temps
d’être transportée, la contrainte thermodynamique est la relation
pα n−γ
α = Cte
ou
dpα = γ kB Tα dnα = Cαγ d(nα mα ),
où γ = cp /cv est le rapport des chaleurs spécifiques à pression et volume
constants 12 , et où Cαγ ≡ (γkB Tα /mα )1/2 est la vitesse adiabatique du son. On
remarquera que ce dernier cas comprend le précédent pour la valeur particulière
γ = 1.
En résumé, il y a donc (au moins) 3 situations limites pour lesquelles on peut
fermer les équations de bilan de particules et de quantité de mouvement :
Approximation des plasmas froids
:
pα = 0,
Approximation isotherme
:
pα n−1
α = Cte,
Approximation adiabatique
:
pα n−γ
α = Cte.
11. Cette situation correspond à celle dite des plasmas froids, puisque une température nulle
implique une pression cinétique nulle.
12. Dans le cas des gaz parfaits à d dimensions, γ = (d + 2)/d.
34
CHAPITRE 4. RAPPELS DE MÉCANIQUE DES FLUIDES
Chapitre 5
Modélisation fluide des
plasmas
Nous présentons dans ce chapitre les équations du modèle fluide où le plasma est
assimilé à un fluide à plusieurs composantes en interaction. La résolution d’un
tel système dans les cas les plus généraux est fort complexe et passe souvent par
une résolution numérique. Nous étudions quelques cas limites, souvent obtenus
en dimension réduite, lorsque certains termes sont négligés. Cette approche, où
les approximations seront effectuées essentiellement sur l’équation de bilan de
quantité de mouvement, permet de dégager plusieurs idées physiques importantes caractéristiques du comportement des plasmas. Plusieurs illustrations de
cette modélisation fluide seront présentées dans les chapitres suivants.
5.1
Equations du modèle fluide
Dans le cadre d’une modélisation fluide, on assimile le plasma à un fluide chargé,
réactif et à plusieurs composantes. Le fluide qui modélise le plasma est multifluide car il comprend nécessairement les différentes composantes du plasma.
Un plasma étant globalement neutre, le nombre minimum de composantes est
de 2 : les électrons et une espèce ionique positive. Ainsi en est-il pour les plasmas
complètement ionisés. Dans le cas des plasmas faiblement ionisés, on peut être
amené à prendre en compte plusieurs types d’ions (éventuellement de charges
différentes et dans différents états d’énergies) ainsi que les atomes ou molécules
neutres 1 . Le fluide est également réactif en général puisque des réactions d’ionisation, recombinaison ... conduisent à des transformations des espèces les unes
dans les autres. Enfin, bien que le plasma soit globalement neutre, chacune de
ses composantes (sauf les espèces neutres) est porteur d’une charge électrique
et comme tel est soumis aux forces électromagnétiques.
Pour chaque composante α (électrons, ions, neutres), nous introduisons les variables dynamiques : densités, nα , pressions, pα , et vitesses moyennes Vα . En
outre règnent dans le plasma les champs électromagnétiques auto-cohérents E et
1. Nous verrons cependant dans un chapitre ultérieur qu’une réduction à un seul fluide
peut parfois être opérée et conduit alors à une formulation plus simple à un seule fluide (cf.
Magnétohydrodynamique).
35
36
CHAPITRE 5. MODÉLISATION FLUIDE DES PLASMAS
B qui résultent à la fois d’éventuels champs extérieurs appliqués et des champs
créés par le mouvement des charges dans le plasma. Toutes ces grandeurs physiques dépendent de la position r considérée au sein du plasma, et du temps
t.
L’ensemble des équations comprend les équations de bilans de matière et de
quantité de mouvement associées aux équations de Maxwell 2 , c’est-à-dire :
∂nα
+ ∇. (nα Vα ) = Sα ,
∂t
∂
+ Vα .∇ Vα = −∇pα + nα Fα − −mα (Vα − Uα ) Sα ,
mα nα
∂t
∂B
∇×E = −
,
∂t
∂E
,
∇ × B = µ0 J + µ0 ǫ0
∂t
auxquelles il convient d’ajouter des conditions initiales et aux limites adaptées.
Dans ces équations, on rappelle que Uα désigne la vitesse fluide de création ou
de destruction des particules de la composante α, et où la force extérieure, Fα ,
comprend généralement les forces électromagnétiques et de friction :
X
ναβ (Vα − Vβ )
Fα = qα (E + Vα × B) − mα
β6=α
Par ailleurs, les densités de charges et de courant sont définies par les relations
X
X
ρ≡
qα nα et J ≡
qα n α V α .
α
α
Tel quel, pour un système à N composantes, ce système comprend 4N + 6
équations pour les 5N + 6 champs inconnus, nα , pα , Vα , E et B. Pour clore le
système, il convient de rajouter les N équations de fermeture sur la pression
déjà discuté dans un chapitre précédent :
Approximation des plasmas froids
:
pα = 0,
Approximation isotherme
:
pα n−1
α = Cte,
Approximation adiabatique
:
pα n−γ
α = Cte.
Ce scénario cohérent consiste à ne retenir que les 2 premières équations de bilans (les 2 premiers moments de l’équation de Boltzmann). Une autre possibilité
consiste à retenir les 3 premières équations de bilan (matière, quantité de mouvemente et énergie). Cela rajoute une variable par composante, la température
Tα . En utilisant l’équation d’état des gaz parfaits, acceptables pour les milieux dilués, pα = nα kb Tα , on obtient alors un système de 6N + 6 équations
pour 6N + 6 inconnues. Cette alternative permet une discussion des profils de
température mais ne sera pas présentée dans ce cours.
2. Nous n’écrivons dans ce qui suit que les 2 équations de Maxwell-Ampère et MaxwellFaraday puisque les 2 autres équations sur les divergences peuvent être fixées par les conditions
initiales (cf. Rappels d’Electromagnétisme). Il pourra cependant apparaı̂tre plus commode
dans certains problèmes d’être redondant et d’utiliser explicitement l’équation de MaxwellGauss ∇.E = ρ/ǫ0 et l’équation ∇.B = 0.
5.2. PLASMAS COLLISIONNELS : MOBILITÉ ET DIFFUSION
5.2
37
Plasmas collisionnels : mobilité et diffusion
Lorsque le libre parcours moyen des particules chargées (électrons ou ions)
est faible devant les dimensions caractéristiques du plasmas, les espèces subissent de nombreuses collisions avant de ressentir toute accélération significative. Dans ces conditions, on peut raisonnablement négliger les forces d’inerties
devant les autres forces (friction, électromagnétiques et de pression), de sorte
que l’équation de bilan de quantité de mouvement de l’espèce α s’écrit :
X
ναβ (Vα − Vβ ) = 0
(5.1)
− ∇pα + nα qα (E + Vα × B) − mα nα
β6=α
Pour fixer les idées, limitons-nous aux cas des plasmas faiblement ionisés pour
lesquels les collisions dominantes sont les collisions ions-neutres et électronsneutres. La composante α représentant, soit les électrons, soit les ions, la seule
composante β à retenir est celle représentant les espèces neutres. Du fait que
ces dernières ne sont pas sensibles aux champs électromagnétiques, on pourra
en général considérer que la vitesse fluide des neutres est négligeable devant
celles des espaces chargées. Ici, on aura donc Vβ ≪ Vα de sorte que la force de
friction s’écrit :
X
ναβ (Vα − Vβ ) ≈ −mα nα να Vα
(plasmas faiblement ionisés)
−mα nα
β6=α
où on a posé ναn ≡ να puisque les seules collisions retenues sont avec les neutres.
L’équation (5.1) s’écrit donc :
Vα = −
5.2.1
1 ∇pα
qα
+
(E + Vα × B)
mα να nα
mα να
Plasmas collisionnels non-magnétisés
Considérons d’abord la situation sans champ magnétique : B ≡ 0. Les plasmas
étant des milieux dilués pour lesquels l’équation d’état pα = nα kB Tα s’applique,
l’équation de bilan de quantité de mouvement prend la forme dite de mobilitédiffusion :
∇Tα ∇nα
Vα = µα E − Dα
+
(5.2)
Tα
nα
où µα et Dα sont des coefficients de transports, respectivement appelés mobilité
et coefficient de diffusion :
µα ≡
qα
mα να
Dα ≡
kB Tα
mα να
Ces 2 coefficients ne sont pas indépendants mais reliés par la relation d’Einstein :
Dα
kB Tα
=
µα
qα
38
CHAPITRE 5. MODÉLISATION FLUIDE DES PLASMAS
qui est une des formes du théorème de fluctuation-dissipation.
L’équation de diffusion-mobilité montre explicitement que la vitesse fluide des
électrons ou des ions au sein d’un plasma collisionnel a pour origine commune
l’existence de gradients. Chacun des gradients éventuellement présents dans le
plasma : gradients de densité, de température ou de potentiel électrostatique
contribue à la vitesse fluide totale. On notera en outre que la direction de la
vitesse est celle des gradients (le sens dépend du signe de la charge pour les
termes de mobilité).
5.2.2
Plasmas collisionnels magnétisés
Lorsque le champ magnétique n’est pas nul, l’équation (5.2) ne donne plus
explicitement la vitesse qui apparaı̂t également dans la force de Laplace :
∇Tα ∇nα
+
(5.3)
Vα = µα (E + Vα × B) − Dα
Tα
nα
Néanmoins, on remarquera que cette équation est une équation vectorielle
algébrique et linéaire pour la vitesse (et pas différentielle non-linéaire comme
dans sa forme sans approximations). Elle peut donc être explicitement résolue.
Pour cela, on peut soit projeter cette équation sur 3 directions orthogonales
et exprimer les différentes composantes, ou procéder directement sur l’équation
vectorielle.
Vous montrerez en TD que Vα peut s’écrire explicitement comme somme de
3 contributions dans des directions orthogonales. (E, B) définissant un plan,
ces 3 directions sont : la direction du champ magnétique (notée k), la direction
orthogonale à B dans le plan (E, B) (notée ⊥), et la direction E × B (notée ×),
également appelée direction de Hall.
E
⊥
×
B, k
On trouve (en ignorant l’indice α pour simplifier l’écriture) :
V = Vk + V⊥ + V×
avec :
Vk
V⊥
V×
∇k T
∇k n
= µk Ek − Dk
+
T
n
∇⊥ T
∇⊥ n
= µ⊥ E⊥ − D⊥
+
T
n
∇⊥ n
∇⊥ T
+
= µ× E⊥ × b − D×
×b
T
n
5.2. PLASMAS COLLISIONNELS : MOBILITÉ ET DIFFUSION
39
où b est le vecteur normalisé donnant la direction du champ magnétique :
b ≡ B/ kbk. Dans ces expressions les coefficients de transport sont définis par
les relations suivantes :
µk
Dk
=
= 1,
µ
D
µ⊥
D⊥
1
=
=
,
µ
D
1 + (ωc /ν)2
µ×
D×
ωc /ν
=
=
.
µ
D
1 + (ωc /ν)2
où ωc ≡ qB/m est la fréquence cyclotron. La solution en présence de champ
magnétique est formellement analogue à celle sans champ magnétique, mais
avec des coefficients de transport qui dépendent de la direction considérée.
Plusieurs remarques découlent de ces expressions :
1. Le mouvement dans la direction du champ magnétique n’est pas modifié
par la présence du champ magnétique.
2. L’expression des coefficients de transport montre que l’importance des
contributions dans les directions ⊥ et × dépend du rapport ωc /ν, c’està-dire de l’importance relative de la force magnétique et de la force de
friction.
A collisionnalité fixée (i.e. à ν fixé) :
– La mobilité et la diffusion transverse ⊥ ont un comportement monotone
décroissant en fonction du champ magnétique : ce dernier a donc un
effet qui confine le plasma.
– Au contraire, la mobilité et la diffusion Hall × varient de façon non
monotone, croissant puis décroissant lorsque le champ magnétique augmente.
A fort champ magnétique :
– Les coefficients ⊥ sont proportionnels à ν (contrairement à D et µ qui
varient en ν −1 ).
– Les coefficients de Hall sont quant à eux indépendants de la fréquence
de collision.
3. Les termes proportionnels à µk , µ⊥ et D× dépendent du signe de la charge
électrique des particules étudiées, les autres contributions ont même sens
pour les électrons et pour les ions.
4. Le terme proportionnel à E⊥ × b s’appelle la vitesse de dérive de champs
croisés (même sens de dérive pour les électrons et les ions), les termes
proportionnels à ∇⊥ n×b et ∇⊥ T ×b sont appelés vitesses diamagnétiques
(sens opposé de mouvement pour les électrons et les ions).
Exemple : colonne cylindrique magnétisée
Pour illustrer ces résultats, considérons le cas d’une longue colonne cylindrique
de plasma soumis à un champ magnétique axial. Soit (er , eθ , ez ) le système de
coordonnées cylindriques associé. Le système étant invariant par translation le
long de Oz et par rotation autour de Oz, tous les gradients sont nécessairement
radiaux. C’est le cas du champ électrique (gradient de potentiel) généralement
dirigé vers la périphérie du cylindre. Au contraire, la densité du plasma est
maximale au centre, le gradient correspondant étant donc dirigé vers l’axe du
cylindre. Tant qu’on reste assez loin de la surface latérale qui confine le plasma,
40
CHAPITRE 5. MODÉLISATION FLUIDE DES PLASMAS
les gradients de température sont généralement faibles et on les négligera par
la suite. La situation est donc la suivante :
B = B k = B ez ,
E = E⊥ = E er ,
∇nα = ∇⊥ nα = −∇nα er ,
∇Tα ≈ 0
Les sens des différentes contributions des vitesses fluides, radiales et othoradiales, sont représentées sur la figure suivante.
E
−D×i ∇n⊥ n × b
B
⊙
µ×i E × b
µ⊥e E
B
⊙
−D⊥e ∇n⊥ n
B
⊙
∇n
µ⊥i E
−D×e ∇n⊥ n × b
−D⊥i ∇n⊥ n
µ×e E × b
La figure de gauche représente la configuration des champs et gradients étudiée.
La figure centrale représente les contributions de sens opposé pour les ions et
les électrons (radiales dues aux termes de mobilités ⊥ et azimuthales dues aux
contributions diamagnétiques). La figure de droite représente les contributions
de même sens pour les ions et les électrons (radiales dues aux termes de diffusion
⊥ et azimuthales dues aux dérives de champ croisés).
5.3
Plasmas non collisionnels : inertie et équilibre
Dans cette section, nous considérons les situations où le libre parcours moyen
des particules est grand devant la taille du système étudié. Dans ces conditions,
tous les termes de collisions sont négligeables, et l’équilibre se réalise, pour une
espèce donnée, par compensation des forces d’inertie, de pression et des forces
électromagnétiques :
∂
+ V.∇ V = −∇p + nq (E + V × B)
nm
∂t
Cette équation est encore bien compliquée aussi nous restreignons-nous dans la
suite au cas stationnaire (∂t ≡ 0), et isotherme (∇T ≡ 0), soit :
m (V.∇) V + kB T
∇n
+ q ∇ϕ − q V × B = 0,
n
(5.4)
où nous avons utilisé les relations E = −∇ϕ et p = n kB T et où nous avons
divisé par n. Bien que simplifiée, cette équation n’est cependant pas triviale dans
5.3. PLASMAS NON COLLISIONNELS : INERTIE ET ÉQUILIBRE
41
ces conséquences. On notera en particulier la présence du terme non-linéaire en
vitesse dû aux forces d’inertie.
On peut maintenant utiliser la relation vectorielle (V.∇) V = rotV × V +
∇ V 2 /2 qui montre que le produit scalaire de l’équation (5.4) par le vecteur
V conduit au résultat :
1
2
mV + kB T ln n + qϕ = 0
V.∇
2
On en déduit donc l’existence de l’invariant le long d’une ligne de courant :
1
mV 2 + kB T ln n + qϕ = Cte
2
Ce résultat constitue une forme particulière de la la formule de Bernouilli 3
qui s’applique aux fluides parfaits et l’équation (5.4) n’est autre que l’équation
d’Euler en présence des forces électromagnétiques. Bien que les lignes de courant
soient évidemment modifiées en présence de champ magnétique, il est cependant
remarquable que la forme générale de cet invariant se conserve en présence du
champ magnétique.
Selon les situations particulières du plasma ou selon la composante du plasma
(électrons ou ions) considérée, 2 des 3 termes peuvent être prépondérant par
rapport au 3ème, ce que nous détaillons dans ce qui suit.
5.3.1
Equilibre thermodynamique
Cette situation correspond au cas où l’énergie cinétique peut être négligée. C’est
le cas par exemple, dans le cas des plasmas froids, pour les électrons, dont les
très faibles masses tendent à rendre négligeable le terme d’origine inertiel. Les
électrons sont alors à l’équilibre entre eux, sans toutefois être en équilibre avec
les autres composantes du plasmas (ions et espèces neutres) qui possèdent en
général une température inférieure d’un à 2 ordres de grandeurs. Dans certaines
situations de plasmas chauds, les ions et les électrons peuvent se trouver à la
même température et donc l’équilibre thermodynamique est complet.
L’équation (5.5) s’écrit donc :
kB T ln n + qϕ = Cte,
ce qui traduit l’uniformité du potentiel électrochimique 4 le long des lignes de
courant. Soit n0 la densité là où le potentiel électrostatique s’annule, on aura
3. Dans le cas des fluides incompressibles comme l’eau (mais ce n’est pas le cas des plasmas
qui s’assimilent plutôt à des gaz !), la formule de Bernouilli s’écrit sous la forme légèrement
différente (chacun des termes est homogène à une densité d’énergie et non pas à une énergie) :
1
(nm)V 2 + p + (nq)ϕ = Cte
2
4. On rappelle que le potentiel chimique du gaz parfait est tel que µGP = kB T ln(nΛ3 ) où
Λ est la longueur d’onde thermique de la particule.
42
CHAPITRE 5. MODÉLISATION FLUIDE DES PLASMAS
donc
kB T ln n + qϕ = kB T ln n0
⇔
n(r) = n0 e−qϕ(r)/(kB T )
Il s’agit là d’une forme de la densité en e−E/(kB T ) qui correspond donc à la
relation d’équilibre de Boltzmann. Les composantes du plasma qui vérifient
cette équation sont appelées boltzmanniennes.
5.3.2
Mouvement inertiel
Supposons maintenant qu’il soit possible de négliger le terme proportionnel à la
température. Cette approximation est envisageable pour les ions au sein d’un
plasma partiellement ionisé. L’équation correspondante s’écrit :
1
mV 2 + qϕ = Cte
2
ce qui correspond à la conservation de l’énergie totale, somme des énergies
cinétique et potentielle. On notera que sous ces hypothèses, cette composante
du plasma ne se comporte plus comme un fluide mais comme une particule.
Comme nous l’avons déjà noté, en l’absence de température (ou de pression),
le caractère de milieu continu du fluide est perdu et devient particulaire. Soit
V0 la vitesse des particules où le potentiel s’annule, alors :
1
1
mV 2 + qϕ = mV02
2
2
⇔
q
V (r) = V0 1 − 2qϕ(r)/(mV02 )
Cette expression peut être comparée avec la vitesse de chute libre d’une masse
placée dans un champ de gravitation. Ici, c’est le potentiel électrostatique qui
freinera ou accélérera les charges en fonction de leur signe.
5.4
Remarques
Il ne faut pas perdre de vue que ce qui précède établit, sous certaines approximations, des relations fonctionnelles entre des grandeurs physiques qui ne sont
pas indépendantes. Aucune des relations précédemment obtenues n’ont permis
d’exprimer les grandeurs physiques en fonction de la position (et éventuellement
du temps), ce qui reste l’objectif d’une description complète des plasmas dans
une approche eulérienne. En effet, on a ici seulement exploité les conséquences
de certaines approximations sur la seule équation de bilan de quantité de mouvement, alors qu’une solution complète et auto-cohérente suppose de coupler
l’ensemble des équations de bilans et des équations de Maxwell.
Il n’en reste pas moins vrai que cette approche partielle permet déjà de souligner
les conséquences physiques importantes, et la différence des formalismes utilisés
en fonction de la plus ou moins grande collisionnalité du plasma étudié. Une approche plus complète qui conduira à l’expression des profils de densités, vitesses
fluides, potentiel électrostatique, et sera donnée dans les chapitres suivants.
Chapitre 6
Applications de la
modélisation fluide des
plasmas
Ecrantages
Equilibres magnétohydrodynamiques
Dans ce chapitre, nous présentons 2 applications simples de la modélisation
fluide des plasmas. La première concerne les phénomènes d’écrantages (électrique
et magnétique) abordés dans le cadre d’une modélisation à 2 fluides. La seconde présente une réduction des modèles multifluides à un seul fluide : la
magnétohydrodynamique.
6.1
Ecrantages
Dans les deux sections qui suivent, on considère un plasma perturbé par un
champ électrique ou un champ magnétique extérieurs. Du fait de la mobilité
des espèces, un plasma - comme tout milieu conducteur - tend à s’opposer à la
pénétration des champs extérieur. Les longueurs caractéristiques sur lesquelles
le champ électrostatique ou magnétique peut pénétrer (longueurs de Debye ou
de London) sont mises en évidence dans le cadre d’une modélisation fluide
simplifiée.
6.1.1
Ecrantage électrostatique
On se propose de comparer la distribution de potentiel électrostatique au voisinage d’un objet polarisé électriquement et immergé, soit dans le vide, soit dans
un plasma.
Supposons d’abord que le milieu environnant l’objet est le vide. Le potentiel
électrostatique ϕ est solution de l’équation de Poisson (de Laplace dans le cas
présent puisqu’il n’y a pas de charges) :
△ϕ = 0
43
44CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE LA MODÉLISATION FLUIDE DES PLASMAS
Pour simplifier, supposons que l’objet considéré est une plaque suffisamment
grande, le problème est invariant par translation dans les 2 directions parallèles
à la plaque, de sorte que le problème est unidimensionnel :
d2 ϕ
=0
d2 x
ϕ(x) = Ax + B
On en déduit donc que le potentiel suit une évolution linéaire dans le vide.
Considérons maintenant que le milieu environnant est un plasma complètement
ionisé 1 et que ses 2 composantes, électrons et ions, sont à l’équilibre thermodynamique à la même température T . Les densités s’écrivent donc (cf. chapitre
précédent) :
ne (r) = n0 e+eϕ(r)/(kB T )
et ni (r) = n0 e−eϕ(r)/(kB T )
où on a supposé que le plasma est quasi-neutre là où le potentiel électrostatique
s’annule.
En couplant ces 2 équations avec l’équation de Poisson ǫ0 △ϕ = −e(ni − ne ),
on obtient l’équation de Poisson-Boltzmann qui décrit l’évolution spatiale du
potentiel électrostatique :
eϕ
2en0
sinh
(6.1)
△ϕ = +
ǫ0
kB T
Il s’agit d’une équation différentielle non-linéaire du second ordre qui doit être
complétée par 2 conditions aux limites.
Avant de résoudre cette équation, il est important de noter que cette équation
est équivalente au système de trois équations différentielles suivante qui couplent,
sous certaines approximations, les 2 équations de bilan de quantité de mouvement pour les électrons et pour les ions ainsi qu’une seule des équation de
Maxwell, l’équation de Maxwell-Gauss :
−kB T ∇ne − ene E = 0,
−kB T ∇ni + eni E = 0,
e(ni − ne )
∇.E =
ǫ0
A l’aide de la relation E = −∇ϕ, on retrouve aisément l’équation de PoissonBoltzmann en éliminant les densités d’entre ces équations 2 . A tort ou à raison
(c’est au physicien de le dire !), ce système montre que l’équation de PoissonBoltzmann ne retient pas la dépendance temporelle, les éventuels effets magnétiques,
les forces d’inertie et de friction.
Revenant à l’équation (6.1), il convient tout d’abord de la normaliser. Il est
clair que eϕ/kB T , rapport de l’énergie potentielle électrostatique à l’énergie
1. L’étude est quasi-identique dans le cas d’un plasma partiellement ionisé où l’on pourra
considérer la distribution des ions comme uniforme et celle des électrons comme boltzmannienne.
2. Compte tenu des approximations effectuées, on remarquera que les équation de bilan de
particules ne sont pas utilisées dans cette approche, ce qui est une conséquence du fait que les
vitesses fluides n’apparaissent pas dans ces équations.
45
6.1. ECRANTAGES
thermique, est une grandeur sans dimension. Posons Φ ≡ eϕ/(kB T ) ; l’équation
(6.1) s’écrit donc en multipliant par e/kB T :
2e2 n0
sinh Φ
ǫ0 kB T
△Φ =
Le laplacien étant un opérateur homogène à l’inverse d’une longueur, on en
déduit aussitôt que la grandeur
λD ≡
r
ǫ0 kB T
e2 n0
est homogène à une longueur que l’on appelle la longueur de Debye 3 . Cette
longueur ne dépend pas seulement de constantes caractéristiques du milieu ou
des composantes du plasma, mais également - et surtout - de la densité et de
la température du plasma. Ainsi l’équation de Poisson-Boltzmann peut-elle se
réécrire :
△Φ = +κ2D sinh Φ
√
où nous avons posé κD ≡ 2/λD qui a les dimensions d’un nombre d’ondes
(m−1 ).
Pour montrer qu’en présence de plasma, le potentiel ne suit plus une évolution
linéaire, contentons-nous de linéariser l’équation précédente. Comme sinh x ≈,
on obtient aussitôt :
△Φ = +κ2D Φ
dont la solution s’écrit :
Φ(x) = Φ0 e−κD |x|
où Φ0 est le potentiel appliqué à la plaque supposée placée en x = 0. Le potentiel
chute donc exponentiellement en présence de plasma : on dit que le potentiel
(ou la charge) à laquelle est portée la plaque est écrantée par les charges mobiles présentes dans le plasma. Ce comportement n’est pas propre aux plasmas
mais est caractéristique des milieux où il existe des charges libres (conducteurs,
électrolyte ...).
6.1.2
Ecrantage magnétique
On vient de voir qu’un plasma s’oppose naturellement à toute présence de
champ électrique en son sein. Les charges électriques se réarrangent spatialement de façon à créer un champ électrique qui s’oppose au champ électrique
perturbateur, et qui tend ainsi à minimiser le champ électrique total résultant.
De la même façon, les charges libres dans un plasma tendent à s’organiser
en courants qui créent des champs magnétiques qui s’opposent à un champ
magnétique extérieur imposé au plasma. On parle d’effet diamagnétique du
plasma.
Pour le mettre en évidence, on considère un plasma homogène de densité n0 ,
isotherme, formé d’électrons mobiles de masse m et de charge −e, et d’un fond
3. Mise en évidence en 1923 par Debye et Hückel dans leur étude des électrolytes.
46CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE LA MODÉLISATION FLUIDE DES PLASMAS
neutralisant d’ions positifs que l’on supposera immobiles. Dans le cadre de la
description fluide des plasmas, on doit combiner les équations de Maxwell avec
l’équation du mouvement du fluide électronique.
m ∂t V = −eE − mνV,
∂B
∇×E = −
,
∂t
∂E
,
∇ × B = µ0 J + µ0 ǫ0
∂t
Dans l’équation du mouvement, on notera que le terme de pression est nul pour
ce plasma isotherme et homogène (∇p = kB Te ∇n ≡ 0), et que l’on a négligé
les termes non-linéaires d’inertie. La densité de courant, J, est due aux électrons
et s’écrit, J = −en0 V. En combinant les 2 équations de Maxwell (et l’égalité
toujours vérifiée ∇.B = 0), le système se ramène aux 2 équations :
1 2
∂ B = −µ0 ∇ × J,
c2 tt
∂t J + νJ = ǫ0 ωp2 E,
△B −
où nous avons introduit la fréquence plasma ωp2 ≡ n0 e2 /(mǫ0 ).
La densité de courant obéit à une équation différentielle temporelle du 1er ordre
qui peut être aisément résolue. On trouve (par la méthode de la variation de la
constante) :
J(r, t) = e
−νt
J(r, 0) +
ǫ0 ωp2
Z
t
′
e−ν(t−t ) E(r, t′ ) dt′
0
Comme ∇ × E = −∂t B, on a aussi :
µ0 ∇ × J(r, t) = µ0 e
−νt
ωp2
∇ × J(r, 0) − 2
c
Z
t
′
e−ν(t−t ) ∂t B(r, t′ ) dt′
0
Il est intéressant de considérer cette équation dans les 2 limites extrêmes de
forte collisionnalité (ν ≫ 1) et faible collisionnalité (ν ≪ 1). En utilisant la
′
propriété limν→∞ ν e−ν(t−t ) = δ(t − t′ ), on trouve :
µ0 ∇ × J(r, t) = µ0 ∇ × J(r, 0) −
µ0 ∇ × J(r, t) = −
1
∂t B(r, t)
DM
1
(B(r, t) − B(r, 0))
δL2
(ν ≪ 1)
(ν ≫ 1)
où on a introduit la longueur de London, δL et le coefficient de diffusion magnétique,
DM , définis par les relations :
δL ≡
c
ωp
et
DM ≡ δL2 ν =
où η = n0 e2 /(mν) est la conductivité électrique.
1
µ0 η
47
6.2. EQUILIBRES MAGNÉTOHYDRODYNAMIQUES
Les équations d’évolution spatio-temporelle du champ magnétique s’écrivent
donc dans ces 2 cas limites :
1 2
B(r, 0)
1
△ − 2 ∂tt
(ν ≪ 1)
− 2 B(r, t) = −µ0 ∇ × J(r, 0) −
c
δL
δL2
1 2
(ν ≫ 1)
DM △ − 2 ∂tt B(r, t) = ∂t B(r, t)
c
Aux fréquences utilisées, on peut généralement négliger le terme proportionnel
2 dont l’origine est le terme de courant de déplacement. Dans ces condià ∂tt
tions, dans le cas des plasmas non collisionnels, la structure de ces équations
met clairement en évidence une atténuation exponentielle du champ magnétique
sur une longueur caractéristique, la longueur de London c/ωP . Dans le cas oppposé des plasmas collisionnels, on assiste à une atténuation par un phénomène
de diffusion dû aux collisions sur une longueur caractéristique, la longueur de
Kelvin, λK :
p
λK ≡ DM /ω
6.2
Equilibres magnétohydrodynamiques
Dans le cadre de la magnétohydrodynamique (MHD), les écarts à la neutralité au sein du plasma sont supposés suffisamment faibles pour que, partant
de la modélisation usuelles à 2 fluides, un jeu de variables réduites puisse
être introduit, conduisant à décrire le plasma à l’aide d’un seul fluide effectif,
dont la mobilité est essentiellement due aux électrons et l’inertie due aux ions.
Nous donnons une brève application de ce formalisme aux cas des équilibres
magnétohydrodynamiques qui seront détaillés en TDs.
6.2.1
Bilan global de masse et de charge
Partons de l’équation de bilan de particules de la composante α (électrons, ions
ou neutres) :
∂t nα + ∇. (nα Vα ) = Sα
où on rappelle que Sα désigne le nombre de particules de l’espèces α créées ou
détruites par unité de volume et de temps au cours des collisions.
En multipliant cette équation par mα ou qα (masse ou charge des particules
constituant la composante α) , et en sommant sur α on obtient :
X
∂t
nα mα
α
∂t
X
α
!
n α qα
+ ∇.
!
X
nα mα Vα
α
+ ∇.
X
α
n α qα V α
!
=
!
=
X
mα Sα ,
X
qα Sα
α
α
48CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE LA MODÉLISATION FLUIDE DES PLASMAS
Or, la masse et la charge sont conservées dans toutes les réactions élémentaires
entre particules. Il en résulte que :
X
mα Sα =
α
X
qα Sα = 0
α
Par exemple, dans les réactions de recombinaison : e− +i+ → n ou d’ionisation :
e− + n → i+ + 2e− , on aurait :
Se = Si = −Sn = −Kr ne ni + KI ne nn ,
où Kr et KI sont les taux de recombinaison et d’ionisation.
Du faitPque me +
P
mi = mn et que qe +qi = 0 = qn , on en déduit bien que α mα Sα = α qα Sα =
0.
Dès lors, il convient d’introduire les variables collectives suivantes :
X
α
X
α
X
α
nα qα ≡ ρ,
nα mα Vα ≡ (nm) V,
X
α
nα mα ≡ nm,
X
α
nα ≡ n,
n α qα V α ≡ J
qui permettent de récrire les équations de bilans sous la forme simplifiée
∂t n + ∇. (nV) = 0,
∂t ρ + ∇.J = 0
Ainsi, à l’aide des variables collectives, ces équations apparaissent comme celles
d’un fluide unique.
La vitesse Vα de chaque composante est en général différente de la vitesse
moyenne V. Introduisons la vitesse de diffusion de la composante α, δVα ≡
Vα − V, telle que :
Vα ≡ V + δVα
On notera que par définition de V, on a :
courant total J s’écrit :
J = ρV +
X
P
α mα nα δVα
= 0, de sorte que le
nα qα δVα
α
Le premier terme est le courant de convection, le second le courant de diffusion.
6.2. EQUILIBRES MAGNÉTOHYDRODYNAMIQUES
6.2.2
49
Bilan global de quantité de mouvement
On suit la même démarche pour le bilan de quantité de mouvement. Le point
de départ est l’équation de bilan de la quantité de mouvement de la composante
α:
mα nα (∂t + Vα .∇) Vα = −∇pα + nα fα
où :
fα = qα (E + Vα × B) − mα
X
β6=α
ναβ (Vα − Vβ )
En remarquant que la somme de toutes les forces interparticulaires est nulle 4 :
P
α,β nα mα ναβ (Vα − Vβ ) ≡ 0, le bilan global de quantité de mouvement s’écrit
simplement :
X
mα nα (∂t + Vα .∇) Vα = −∇p + ρE + J × B
α
où on a introduit la pression totale, p :
X
p≡
pα
α
En utilisant la décomposition : Vα ≡ V + δVα , la force d’inertie s’écrit :
X
X
mα nα (∂t + Vα .∇) Vα = (nm) (∂t + V.∇) V +
mα nα δVα .δVα
α
α
P
puisque α mα nα δVα = 0. Si l’on néglige le dernier terme (termes quadratiques en δVα ), a priori faibles pour de petites fluctuations autour de la vitesse
moyenne, l’équation de bilan s’exprime seulement en fonction de variables collectives :
(nm) (∂t + V.∇) V = −∇p + ρE + J × B
Sur des échelles de longueurs supérieures à la longueur de Debye, on peut
considérer que le plasma est quasi-neutre : ρ ≈ 0. L’équation précédente se
simplifie sous la forme :
(nm) (∂t + V.∇) V = −∇p + J × B
Cette équation du mouvement doit être complétée par une équation sur J et
une équation sur B qui sont données respectivement par la loi d’Ohm et les
équations de Maxwell.
6.2.3
Equilibres MHD
On se restreint dans cette section aux conditions dans lesquels un équilibre peut
être réalisé dans le cadre de la description magnétohydrodynamique : on parle
d’équilibres MHD.
4. Il s’agit du principe des actions réciproques ou 3ème loi de Newton.
50CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE LA MODÉLISATION FLUIDE DES PLASMAS
En l’absence de mouvement, la vitesse fluide d’ensemble V ≡ 0. Les équilibres
MHD sont donc décrits par le système simplifié d’équations :
∇p = J × B,
∇ × B = µ0 J
qui correspond à l’équilibre des fores et à l’équation de Maxwell-Ampère.
On déduit immédiatement de l’équilibre entre la force de pression et la force de
Laplace que J et B sont tous 2 orthogonaux à ∇p. Les surfaces orthogonales
à ∇p sont des surfaces à pression constante : on parle de surfaces isobares.
Les surfaces contenant les lignes de champs magnétiques sont appelées surfaces
magnétiques. On déduit donc de l’équilibre des forces MHD, que les surfaces
isobares sont les surfaces magnétiques pour les équilibres MHD.
Illustration : Equilibre cylindrique droit : θ-pinch
Considérons une colonne cylindrique de plasma placée dans un champ extérieur
uniforme axial B0 ez . Le mouvement cyclotronique des charges autour des lignes
de champ magnétique s’accompagne de la création d’une densité de courant orthoradiale J = Jθ (r) eθ. Cette densité de courant crée à son tour un champ
magnétique B = Bz (r) ez qui tend à s’opposer au champ extérieur. Vous montrerez en TD qu’un équilibre magnétohydrodynamique peut se réaliser dans une
telle colonne de plasma si un gradient radial de pression, dirigée vers l’axe de
la colonne, apparaı̂t au sein du plasma :
p(r) +
~
J~ × B
−∇p
b
~
J~ × B
Bz2 (r)
B0
=
2µ0
2µ0
~
B
J~
−∇p
p≡
J≡
P
α pα
P
α n α qα V α
∇p = J × B
6.2. EQUILIBRES MAGNÉTOHYDRODYNAMIQUES
51
D’autres équilibres pression/champ magnétique sont possibles. On peut par
exemple induire un champ magnétique orthoradial en faisant circuler un courant purement axial dans une colonne cylindrique de plasma (Z-pinch), ou en
combinant les 2 effets précédents : champ magnétique uniforme axial et courant
axial (Screw-pinch). Cf. TD.
52CHAPITRE 6. APPLICATIONS DE LA MODÉLISATION FLUIDE DES PLASMAS
Chapitre 7
Ondes dans les plasmas
Ondes acoustiques ioniques
Oscillations du plasma
Ondes d’Alfvén
De même que dans les milieux neutres (gaz ou liquides), des ondes peuvent se
propager dans les plasmas. Du fait qu’il existe un couplage entre les variables
hydrodynamiques et électrodynamiques dans les plasmas, la variété des ondes
pouvant y exister est considérable. La caractérisation des ondes et leurs conditions de propagation constitue un champ d’études à lui seul de la physique des
plasmas. Sans souci d’exhaustivité, nous présenterons dans ce chapitre quelques
exemples caractéristiques d’ondes linéaires. D’autres exemples seront donnés en
TD. Faute de temps, nous ne mentionnons pas le cas pourtant très important
des ondes non-linéaires dans les plasmas.
Pour mettre en évidence les ondes linéaires dans les plasmas, on peut partir
de la modélisation fluide générale et linéariser les contributions non-linéaires
par rapport à un état de référence. Comme on le verra plus bas, cela revient
essentiellement à négliger la contribution inertielle d’accélération (i.e. le terme
v ∂x v). Cette approche n’est acceptable que pour des amplitudes faibles des
grandeurs physiques perturbées. La mise en évidence des ondes linéaires nous
informent donc sur la réponse des plasmas à de faibles perturbations extérieures.
7.1
Ondes acoustiques ioniques
Les collisions de contact entre molécules sont à l’origine des ondes de pression
dans un gaz neutre. Ces ondes sont caractérisées par leur vitesse de propagation :
la vitesse du son. Comme nous l’avons déjà noté, certains plasmas peuvent
être considérés sans collisions. Nous montrons dans cette section que des ondes
acoustiques peuvent cependant exister dans un plasma sans collisions du seul
fait des interactions coulombiennes entre électrons et ions.
Considérons un plasma non collisionnel, unidimensionnel, décrit dans l’approximation quasi-neutre : ni = ne = n, où les ions positifs sont considérés comme
froids (Ti = 0), et les électrons boltzmanniens. Les équations caractérisant ce
53
54
CHAPITRE 7. ONDES DANS LES PLASMAS
plasma sont les suivantes :
∂t n + ∂x (nvi ) = 0,
M n (∂t vi + vi ∂x vi ) = +en E,
kB Te ∂x n = −enE
Si on se limite à rechercher des ondes de faibles amplitudes, on peut considérer
le système linéarisé autour d’un état de référence de densité uniforme et stationnaire tel que : n = n0 et ∂x n0 = ∂t n0 = 0, v = 0, E = 0. Par rapport à cet
état de référence, les densités, vitesses et champ peuvent s’écrire
n = n0 + n1 ,
v i = v1 ,
E = E1
où les grandeurs indexées par 1 représentent des perturbations par rapport à
l’état de référence. La linéarisation consiste à utiliser ces expressions dans les
équations du système différentiel en ne gardant que les termes d’ordre 1 (les
contributions non-linéaires, comme v1 ∂x v1 par exemple, sont négligées en tant
que produit de 2 grandeurs perturbatives) :
∂t n1 + n0 ∂x v1 = 0,
M n0 ∂t v1 = +en0 E1 ,
kB Te ∂x n1 = −en0 E1
En combinant les équations entre elles, on peut obtenir l’équation pour les
perturbations de densités sous la forme 1 :
2
∂tt
n1 −
kB Te 2
∂ n1 = 0
M xx
Il s’agit manifestement de l’équation de propagation d’une onde de densité avec
la vitesse (kB Te /M )1/2 .
Rappelons que dans un gaz neutre (à une seule composante), la vitesse de
propagation du son cs est définie par la relation thermodynamique :
c2s ≡
∂p
∂ρ
,
ρ=ρ0
où ρ ≡ nm est ici la densité de masse. Dans le cas du gaz parfait, p =
(nm) kB T /m, et donc
kB T
p
c2s =
=
m
nm
Dans le plasma, la pression n’est due qu’aux électrons p = pe ≈ kB Te n (puisque
nous avons supposé les ions froids), tandis que l’inertie ne dépend que des
ions nM (puisque nous avons négligé la masse des électrons en les supposant
1. La vitesse et le potentiel obéissent à la même équation.
55
7.1. ONDES ACOUSTIQUES IONIQUES
boltzmanniens), ce qui conduit bien à une vitesse du son dite vitesse acoustique
ionique :
r
kB Te
csi ≡
M
En cherchant des solutions de l’équation d’onde sous la forme d’ondes progressives, n1 ∼ ej(kx−ωt) , on obtient
−ω 2 + c2si k 2 n1 = 0
ce qui consuit à la relation de dispersion :
ω
= csi
k
ω
csi ≡
csi
q
kB Te
M
k
Les ondes acoustiques ioniques sont donc sans dispersion et les vitesses de
phase et de groupe sont identiques 2 , ce sont des ondes propagatives de vitesses
constantes. L’étude du système linéarisé montre également que la vitesse acoustique ionique est la vitesse “ naturelle” de propagation de faibles perturbations
extérieures. Cette vitesse joue encore un rôle important lorsque les effets nonlinéaires sont pris en compte et marque, à l’instar de la vitesse du son, une
frontière entre les comportements subsonique et supersonique.
Remarques
1. Il est facile de montrer (faites-le) que la prise en compte de la température
ionique (qui interviendrait dans le terme de pression dans l’équation de bilan
de quantité
p de mouvement des ions) conduirait à une vitesse acoustique ionique
égale à (kB Te + kB Ti )/M .
A la différence de ce qui se passe dans les fluides neutres, il est remarquable que
la vitesse des ions ne s’annule pas, même si Ti → 0, car il reste la contribution de
pression (souvent dominante du reste) due aux électrons. Remarquons enfin que
la vitesse acoustique ionique prend, dans les plasmas hors-équilibre où Ti ≪ Te ,
une valeur intermédiaire entre les vitesses thermiques des électrons et des ions :
r
kB Ti
<
M
r
kB Te
≪
M
r
kB Te
m
Les ordres de grandeurs correspondants sont de l’ordre de quelques centaines
de m/s pour les vitesses thermiques ioniques, quelques milliers de m/s pour
les vitesses acoustiques ioniques, et quelques millions de m/s pour les vitesses
thermiques électroniques.
2. On rappelle que la vitesse de phase est définie par le rapport ω/k, la vitesse de groupe
par la dérivée dω/dk.
56
CHAPITRE 7. ONDES DANS LES PLASMAS
2. Les termes sources et/ou les termes de collisions que nous avons négligés sont
responsables de l’amortissement de ces ondes. Les équations de bilan des ions
sont modifiées de la façon suivante :
∂t n + ∂x (nv) = νI n,
M n (∂t v + v ∂x v) = −kB Te ∂x n − (νin n + νI n) M v
Dans ce cas le système d’équations linéarisées devient :
∂t n1 + n0 ∂x v1
M n0 ∂t v1
= νI n1 ,
= −kB Te ∂x n1 − (νin + νI ) M n0 v1 ,
En combinant ces équations entre elles, on trouve que l’équation d’onde correspondante s’écrit :
2
2
∂tt
n1 − c2si ∂xx
n1 = (νin + νI ) νI n1 − νin ∂t n1
Le terme de dérivée temporelle du premier ordre est clairement responsable de
l’amortissement des ondes tandis que le terme linéaire (qui dépend essentiellement de la fréquence d’ionisation) ne joue significativement que pour les longueurs d’ondes λ ≫ λI ≡ uB /νI .
7.2
Oscillations du plasma
Les forces électriques sont très fortes au sein d’un plasma si bien que son comportement étudié à une échelle suffisamment grande (plus grande que la longueur
de Debye) apparaı̂t comme quasi-neutre : les électrons et les ions positifs sont
fortement liés. Du fait de leur différence de masses, les comportements dynamiques des ions et des électrons sont cependant très différents. De fait, si le
plasma vient à être perturbé, les électrons réagissent beaucoup plus vite que les
ions, mais la force de Coulomb agit comme une force de rappel qui tend à ramener les électrons vers les ions, voire lorsqu’il n’y a pas trop d’amortissement
à provoquer un mouvement d’oscillation des électrons autour des ions.
Considérons un plasma constitué d’ions positifs que nous supposerons immobiles, ce qui peut être justifié par la très grande différence de masses entre ions et
électrons 3 M ≫ m. Les électrons sont donc les seules particules réagissant aux
perturbations. Cette classe de plasma où une seule composante (les électrons)
est prise en compte, l’autre composante assurant seulement une neutralité
électrique globale, s’appelle un plasma à une composante (OCP : one componant
plasma, en anglais). En considérant, une fois encore ce plasma unidimensionnel
et sans collision, on peut écrire :
∂t ne + ∂x (ne ve ) = 0,
mne (∂t ve + ve ∂x ve ) = −kB Te ∂x ne − en E,
ǫ0 ∂x E = e(n0 − ne )
où on a posé, une fois pour toute, ni = n0 .
3. Dans le cas le plus défavorable du plasma d’hydrogène, le rapport est déjà de l’ordre de
2000.
57
7.2. OSCILLATIONS DU PLASMA
En suivant la même démarche que dans la section précédente, après avoir posé,
ne = n0 + n1 , ve = v1 et E = E1 , on procède à la linéarisation qui conduit au
système :
∂t n1 + n0 ∂x v1 = 0,
m n0 ∂t v1 = −kB Te ∂x n1 − en0 E1 ,
ǫ0 ∂x E1 = −en1
En éliminant E1 et v1 entre ces équations, on trouve facilement :
2
∂tt
n1 −
n0 e2
kB Te 2
∂xx n1 +
n1 = 0
m
mǫ0
Les coefficients intervenant dans les second et troisième termes sont respectivement homogènes aux carrés d’une vitesse et d’une fréquence :
vTe
≡
r
kB Te
m
et ωP e ≡
s
n0 e2
mǫ0
Il s’agit respectivement de la vitesse thermique électronique et de la fréquence
plasma électronique. Ces deux grandeurs sont reliées à la longueur de Debye par
la relation :
vTe = λD ωP e
L’équation différentielle peut donc s’écrire sous la forme :
2
2
∂tt
n1 − vT2e ∂xx
n1 + ωP2 e n1 = 0
(7.1)
Déterminons la relation de dispersion associée en cherchant les solutions de
cette équation sous la forme d’une onde progressive. On trouve aussitôt :
−ω 2 + (kvTe )2 + ωP2 e = 0
soit encore
ω
p
1 + (kλD )2
ωpe
ω = kvT e
ω = ωP e
ω = ωP e
ωpe ≡
q
n0 e2
mǫ0
k
Le système passe donc d’un système purement oscillant à la fréquence plasma
pour les grandes longueurs d’ondes (kλD ≪ 1) à un système propagatif à la vitesse thermique dans la limite opposée (kλD ≫ 1). Le même type de conclusion
peut être obtenue à partir de l’équation différentielle (7.1).
58
7.3
CHAPITRE 7. ONDES DANS LES PLASMAS
Ondes d’Alfvén
Dans certaines circonstances que l’on précisera dans un chapitre ultérieur, il
est possible de décrire le plasma comme un fluide unique incompressible et
parfaitement conducteur (c’est le cas du mercure liquide par exemple). Dans ces
conditions, les équations de la magnétohydronamique s’appliquent et s’écrivent :
DV
Dt
∇×B
∂B
∂t
∇.V
ρ
= −∇p + J × B,
= µ0 J,
= ∇ × (V × B) ,
= ∇.B = 0
Comme,
1
1
(∇ × B) × B =
(B.∇) B − ∇
J×B=
µ0
µ0
B2
2µ0
l’équation de bilan de quantité de mouvement s’écrit donc également sous la
forme :
1
∂V
+ (V.∇) V = −∇ (p + pm ) +
(B.∇) B
ρ
∂t
µ0
où pm ≡ B 2 /(2µ0 ) est la pression (ou densité d’énergie) magnétique. Une solution stationnaire simple de ces équations est donnée par les 2 conditions :
p + pm = Cte
et
B
V = ±√
µ0 ρ
On peut considérer que cette solution est une solution d’équipartition puisque
l’expression de la vitesse en fonction de B est équivalente à l’égalité :
B2
1
ρV2 =
2
2µ0
Ainsi, au cœur même du problème non-linéaire apparaı̂t naturellement une vitesse associée à la présence du champ magnétique, la vitesse dite d’Alfvén définie
par la relation :
B
VA ≡ ± √
µ0 ρ
Considérons maintenant le problème linéarisé par rapport à un état de référence
où le champ magnétique est stationnaire et uniforme, la pression et la densité
uniformes et la vitesse fluide nulle. La démarche usuelle de linéarisation conduit
donc aux équations :
1
∂V1
= −∇p1 +
(∇ × B1 ) × B0 ,
∂t
µ0
∂B1
= ∇ × (V1 × B0 ) ,
∂t
∇.V1 = ∇.B1 = 0
ρ0
59
7.3. ONDES D’ALFVÉN
Cherchons des solutions sous la forme d’ondes progressives ei(ωt+k.r) . Le système
d’équation aux dérivées partielles devient algébrique et s’écrit sous la forme
1
(k × B1 ) × B0 ,
µ0
= k × (V1 × B0 ) ,
ρ0 ωV1 = −p1 k +
ωB1
k.V1 = k.B1 = 0
Or,
k × (V1 × B0 ) = (k.B0 ) V1 − (k.V1 ) B0 = (k.B0 ) V1 ,
de sorte que ωB1 = (k.B0 ) V1 , donc,
ω (k × B1 ) × B0 = B0 × (ωB1 × k) = (k.B0 )2 V1 − (k.B0 ) (V1 .B0 ) k
et pour finir,
ρ0 ω 2 V 1 × k =
1
(k.B0 )2 V1 × k
µ0
La relation de dispersion est donc :
ω
= VA cos θ
k
où VA est le module de la vitesse d’Alfvén déjà définie et θ l’angle entre le
vecteur d’onde k et le champ magnétique B0 . La vitesse d’Alfvén est donc la
vitesse maximale de propagation des ondes. On notera que leur propagation est
anisotrope : non propagative dans la direction orthogonale au champ magnétique
et de vitesse maximale dans la direction du champ.
Notons pour terminer que la prise en compte d’une conductivité finie conduit
à un amortissement des ondes d’Alfvén. L’hypothèse d’incompressibilité est
acceptable pour un liquide chargé comme le mercure qui constitue l’archétype
des liquides conducteurs, mais discutable 4 pour les gaz ionisés intrinsèquement
compressibles. Lorsque le milieu est compressible, les ondes d’Alfvén se couplent
avec les ondes acoustiques pour former des ondes magnétonosonores.
4. Les effets de compressibilité peuvent être négligés p
dans les plasmas lorsque la vitesse
d’Alfvén est très faible devant la vitesse acoustique cs = p/ρ0 , c’est-à-dire :
B02
≪p
µ0
60
CHAPITRE 7. ONDES DANS LES PLASMAS
Chapitre 8
Dérives électromagnétiques
Mouvement cyclotronique
Quelques exemples de la théorie des dérives
Remarques
Dans ce chapitre, on abandonne la démarche auto-cohérente qui couple l’hydrodynamique et l’électrodynamique pour se concentrer sur quelques aspects du
mouvement des particules dans des champs électromagnétiques donnés. L’étude
du mouvement d’une particule chargée placée dans un champ magnétique stationnaire et uniforme conduit au mouvement cyclotronique qui est brièvement
rappelé dans la première section. En présence de champs dépendant du temps
mais homogènes, le problème reste linéaire et admet une solution exacte. Il est
cependant fréquent que les variations temporelles des champs soient lentes à
l’échelle du mouvement cyclotronique. Dans ces conditions, il est très utile d’introduire la théorie dite des dérives - due à l’astrophysicien suédois Alfvén - qui
fournit une analyse très physique de la dynamique des particules chargées. En
présence de champs inhomogènes, le problème devient non-linéaire, mais peut
également être appréhendé par la théorie des dérives.
8.1
Mouvement cyclotronique
Considérons donc le cas le plus simple, celui d’une particule, de charge q, de
masse m placée dans un champ magnétique, B uniforme et stationnaire, tel que
B = B ~ez .
L’équation du mouvement s’écrit :
m
dV
= qV×B
dt
Cette équation, projetée sur chacune des directions (Ox, Oy, Oz) s’écrit :
V̇x = +ωc Vy ,
V̇y = −ωc Vx ,
V̇z = 0
où nous avons utilisé le point pour désigner la dérivée par rapport à t, et où
nous avons introduit la fréquence cyclotron ou de Larmor ou plus correctement
61
62
CHAPITRE 8. DÉRIVES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
la pulsation cyclotronique définie par :
ωc ≡
qB
m
Pour un champ de 1000 Gauss la fréquence cyclotronique des électrons est de
l’ordre du Ghz, celle des ions dans le même champ étant inférieur d’un facteur
me /mi , donc très inférieure au MHz pour beaucoup d’atomes.
La forme des équations du mouvement dans le plan (Ox, Oy) où V̇x est couplée
à Vy et réciproquement est caractéristique d’un mouvement de rotation. Pour
le mettre en évidence, il est commode d’introduire une grandeur complexe, V⊥ ,
qui caractérisera la vitesse dans le plan perpendiculaire au champ magnétique :
V⊥ ≡ Vx + i Vy
Le système d’équations se réduit donc à :
V̇⊥ (t) = −iωc V⊥ (t),
V̇z (t) = 0
dont les solutions sont clairement :
V⊥ (t) = |V⊥0 | e−iωc t ,
Vz = Cte
où nous avons posé V⊥0 ≡ V⊥ (0), et fixé la phase de V⊥ (0) à 0 par un choix
convenable de l’origine des temps. Il s’agit d’un mouvement uniforme dans la
direction du champ magnétique et de rotation à la fréquence ωc dans le plan
perpendiculaire à B. Le mouvement est donc hélicoı̈dal : les particules avancent
en s’enroulant autour des lignes de champs.
En revenant aux grandeurs réelles, on obtient donc dans le plan transverse :
Vx (t) = +|V⊥0 | cos ωc t
Vy (t) = −|V⊥0 | sin ωc t
et
x(t) = x(0) + ρL sin ωc t
y(t) = y(0) + ρL (cos ωc t − 1)
où nous avons introduit le rayon de l’orbite cyclotronique, ρL appelé rayon de
Larmor :
|V⊥0 |
ρL ≡
ωc
Le vecteur de coordonnées (x(0), y(0), z(0) + Vz t) est appelé le centre-guide.
Si
la vitesse thermique des particules,
p l’on prend pour vitesse caractéristique
√
kB T /m, on voit que ρL ∼ m. Les rayons de Larmor des électrons sont donc
significativement plus petits que ceux des ions. Dans les plasmas, lorsque les
champs magnétiques restent modérés (quelques centaines de Gauss), il existe des
situations où les électrons sont magnétisés tandis que les trajectoires ioniques
sont peu affectées par la présence du champ magnétique.
Le sens de rotation sur les trajectoires cyclotroniques dépend du signe de la
charge considérée. On vérifiera que le sens de rotation est tel que le champ
8.2. QUELQUES EXEMPLES DE LA THÉORIE DES DÉRIVES
63
magnétique créé par le mouvement de rotation de la charge est de sens contraire
au champ magnétique appliqué. Il s’agit donc d’un effet diamagnétique (l’effet
s’oppose à la cause).
Ji
Vi
Ion
8.2
Je
Ve
ωc ≡
qB
m
ρL ≡
|V⊥0 |
ωc
ey
b
B
ex
Electron
Quelques exemples de la théorie des dérives
Le mouvement dans un champ magnétique homogène et stationnaire, c’està-dire le mouvement cyclotronique, constitue le mouvement de référence de
notre étude. Le cas général consiste dans l’étude du mouvement des champs
électriques et magnétiques, éventuellement inhomogène et instationnaire. La
méthode, dite des dérives, initiée par le plasmicien suéduois Alfvén, concerne
l’étude du mouvement dans la limite dite adiabatique où les champs appliqués
varient lentement à l’échelle de temps ou d’espace du mouvement cyclotronique,
c’est à dire très peu par rapport à ωc−1 ou ρL . Cette approximation, justifiée dans
un certain nombre de situations pratiques, permet d’interpréter le mouvement
des particules dans un plasma, comme une somme de contributions comprenant
le mouvement cyclotronique et divers mouvements de dérives dont on peut
donner une interprétation assez intuitive que nous présentons dans les sections
qui suivent.
8.2.1
Dérive électrique temporelle : dérive de champs croisés
Nous considérons le cas d’une particule (q, m) placée dans un champ magnétique
uniforme et stationnaire et dans un champ instationnaire E(t).
L’équation du mouvement est donc :
dV
m
= q V × B + q E(t)
dt
En introduisant une vitesse complexe dans le plan transverse comme dans la
section précédente et en posant
q
(Ex (t) + iEy (t)) ,
E⊥ (t) =
m
l’équation différentielle s’écrit :
V̇⊥ (t) + iωc V⊥ (t) = E⊥ (t)
(8.1)
64
CHAPITRE 8. DÉRIVES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire (dans la variable V⊥ (t)), du 1er
ordre, avec second membre. Une solution générale de l’équation sans second
membre s’écrit V⊥ (t) = Cte e−iωc t , de sorte qu’en appliquant la méthode de la
variation de la constante, on trouve pour solution générale de l’équation (8.1) :
Z t
−iωc t
e−iωc (t−τ ) E⊥ (τ ) dτ
V⊥ (t) = V⊥0 e
+
0
Ainsi, pour un champ électrique dont la variation temporelle est quelconque,
trouvons-nous que le mouvement est la somme du mouvement cyclotronique
précédemment identifié et d’un mouvement qui résulte de la convolution temporelle du mouvement cyclotronique avec le champ électrique.
Plaçons-nous maintenant dans la situation où la variation temporelle du champ
électrique est lente à l’échelle de ωc−1 . Il est bien connu 1 que la transformée de
Fourier d’une fonction large est une fonction étroite (et vice versa). Pour le cas
qui nous intéresse, la situation est illustrée sur la figure suivante :
E⊥ (t)
Ê⊥ (ω)
ωc
t
ωc−1
Fonction t 7→ E⊥ (t)
ω
Transf. Fourier : ω 7→ Ê⊥ (ω)
On retiendra que la transformée de Fourier de E⊥ (t), à savoir la fonction Ê⊥ (ω)
n’est non nulle que pour ω/ωc ≪ 1.
Prenons la transformée de Fourier de l’équation (8.1). On trouve aussitôt 2
qu’une solution particulière de (8.1) vérifie l’équation algébrique :
iω V̂⊥ (ω) + iωc V̂⊥ (ω) = Ê⊥ (ω)
⇔
V̂⊥ (ω) =
Ê⊥ (ω)
1
iωc 1 + ω/ωc
Comme Ê⊥ (ω) s’annule très vite lorsque ω/ωc croı̂t, on peut sans danger développer
la fraction (1 + ω/ωc )−1 = 1 − ω/ωc + · · · , ce qui conduit au développement :
V̂⊥ (ω) =
Ê⊥ (ω)
(1 − ω/ωc + · · · )
iωc
En revenant dans l’espace temporel, on trouve :
V⊥ (t) =
E⊥ (t)
1 dE⊥ (t)
+ 2
+ ···
iωc
ωc dt
1. Le cas limite est donné par la distribution de Dirac δ, infiniment étroite, dont la transformée de Fourier est la fonction constante 1, infiniment large.
R
2. Si fˆ(ω) = R f (t) e−iωt dt désigne la TF de la fonction t 7→ f (t), on montre (par
intégration par parties) que la transformée de la fonction t 7→ f˙(t) est la fonction ω 7→
+iω fˆ(ω).
65
8.2. QUELQUES EXEMPLES DE LA THÉORIE DES DÉRIVES
On en déduit les composantes de la vitesse dans le plan transverse :
Ey (t)
m dEx (t)
+
+ ···
B
qB 2 dt
m dEy (t)
Ex (t)
+
+ ···
Vy (t) = −
B
qB 2 dt
Vx (t) = +
Rappelons qu’il s’agit là d’une solution particulière. Pour obtenir la solution
générale de l’équation (8.1), il convient d’ajouter la solution de l’équation
sans second membre (c’est-à-dire la solution cyclotronique obtenue à la section précédente), que nous noterons Vc (t) :
V⊥ (t) = Vc (t) +
E⊥ (t) × B
m dE⊥ (t)
+
+ ···
B2
qB 2
dt
pour t ≫ ωc−1
Le deuxième terme de ce développement est la dérive électrique de champs
croisés. On notera que ce terme est indépendant de la charge. Sous son influence,
les électrons et les ions dérivent dans une même direction orthogonale à la fois
à E⊥ et B :
Ion
Electron
E⊥
B
E⊥ × B
Le dernier terme du développement, proportionnel à la dérivée du champ, provoque un mouvement de dérive, dans le sens du champ E⊥ , opposé pour les
ions et pour les électrons. On l’appelle dérive de polarisation.
8.2.2
Dérive magnétique spatiale : dérive de gradient
A la différence du cas où le champ magnétique est uniforme, le mouvement
d’une particule dans un champ magnétique inhomogène est non-linéaire et ne
peut être traité exactement dans les cas les plus généraux. Si l’on se restreint
aux champs à variations spatiales lentes (c’est-à-dire tels que le champ varie
peu à l’échelle des rayons de Larmor), on peut mettre en œuvre une méthode
perturbative qui ramène le problème en champ magnétique inhomogène à celui
en champ électrique dépendant du temps.
Concrètement, dans un système de coordonnées cartésiennes, considérons un
champ magnétique inhomogène axial possédant un gradient selon Oy : B =
B(y) ez et ∇B = dB
dy ey . Les équations du mouvement dans la direction orthogonale au champ s’écrivent :
V̇⊥ (t) + iω(y) V⊥ (t) = 0
66
CHAPITRE 8. DÉRIVES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
où ω(y) ≡ qB(y)/m. Comme B est supposé quasi-uniforme le long d’une orbite,
on peut le développer autour du centre guide :
ω(y) = ωc + (y − y0 ) ω0′ + · · ·
où on a posé par commodité ω0′ ≡ dω(0)/dy. Soit L la longueur caractéristique
du gradient du champ magnétique ω0′ ≈ ωc /L. Le rapport des 2 premiers termes
vaut donc :
(y(t) − y0 )
ρL
ω0′ (y(t) − y0 )
=
≈
≪1
ωc
L
L
Il s’ensuit que l’équation du mouvement s’écrit :
V̇⊥ (t) + iωc V⊥ (t) = −i ω0′ (y(t) − y0 ) V⊥ (t) + · · ·
Le terme du second membre étant petit, on peut le remplacer en première
approximation par la solution obtenue dans le cas du mouvement cyclotronique
parfait, i.e. y(t) − y(0) = ρL (cos ωc t − 1) et V⊥ (t) = |V⊥0 | e−iωc t ce qui donne :
V̇⊥ (t) + iωc V⊥ (t) ≈ −i ω0′ ρL |V⊥0 | (cos ωc t − 1) e−iωc t
Cette équation est analogue à celle étudiée dans la section précédente où le
champ électrique dépendant du temps serait tel que :
E⊥ (t) = −i ω0′ ρL |V⊥0 | (cos ωc t − 1) e−iωc t
Sous ces approximations, le problème en champ magnétique inhomogène se
ramène donc à celui en champ électrique dépendant du temps. On en déduit
aussitôt les vitesses de dérives selon Ox ou Oy :
VxD (t) =
VyD (t) =
Ey (t)
ω ′ ρL |V⊥0 |
=− 0
(cos ωc t − 1) cos(ωc t),
B
ωc
Ex (t)
ω ′ ρL |V⊥0 |
=− 0
(cos ωc t − 1) sin(ωc t)
B
ωc
Cette forme met donc en évidence des contributions non seulement à la fréquence
ωc mais également à la fréquence 2ωc . Cependant, on notera que la vitesse de
dérive moyennée sur une orbite cyclotronique est telle que :
hVxD (t)i = = −
ω0′ |V⊥0 |2
,
2ωc2
hVyD (t)i = 0
où on a utilisé ρL = |V⊥0 |/ωc , et où hV D (t)i = (ωc /2π)
R 2π/ωc
0
V D (t) dt.
Ainsi, un champ magnétique dans la direction Oz, avec un gradient dans la
direction Oy produit une dérive dans la direction Ox. Cette dérive se produit
en sens opposé pour les ions positifs et pour les électrons.
8.2. QUELQUES EXEMPLES DE LA THÉORIE DES DÉRIVES
8.2.3
67
Remarques
Nous venons de traiter le cas où le gradient de champ magnétique est orthogonal
à B. la théorie des orbites peut également être appliquée aux cas où le gradient
est parallèle à B, ce qui conduit aux effets de miroirs magnétiques. Cet effet
d’oscillations des charges est observé dans la magnétosphère entre les 2 pôles
du champ magnétique terrestre (ceintures de van Allen). D’autres applications
intéressantes de la théorie des orbites concernent l’étude des effets de courbure
du champ magnétique ou du mouvement d’une particule chargée dans le champ
électrique d’une onde électromagnétique d’amplitude inhomogène. Dans ce cas
la fréquence de référence n’est pas la fréquence cyclotronique, mais la fréquence
de l’onde. Du fait de l’inhomogénéité du champ, l’accélération est altérée, et on
montre que la particule subit une force dite pondéromotrice (cf TD).
68
CHAPITRE 8. DÉRIVES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Chapitre 9
Examens
9.1
Examen 2009 : Colonne cylindrique en régime
ambipolaire
On considère une colonne cylindrique de plasma quasi-neutre, faiblement ionisé,
comprenant des ions positifs, de masses mi , de charges +e, des électrons de
masses me et de charges −e, et des neutres. Dans tout le problème on ne retiendra que les collisions élastiques électron-neutre ou ion-neutre, et on négligera la
vitesse fluide des neutres par rapport à la vitesse fluide des ions ou des électrons :
vn /ve ≪ 1, vn /vi ≪ 1.
On étudie cette colonne de plasma successivement sans champ magnétique (partie 1) et en présence d’un champ magnétique extérieur (partie 2).
9.1.1
Colonne non magnétisée
1. Qu’entend-on par “plasma quasi-neutre” et par “plasma faiblement ionisé” ?
2. La forme de l’équation de bilan de quantité de mouvement retenue pour
la modélisation de chaque composante du plasma est la suivante :
~Γα = −Dα ∇n
~ − µα n∇φ
~
(9.1)
où n désigne les espèces neutres, α = e (électrons) ou α = i (ions), et où
les notations utilisées sont celles du cours.
(a) Quelle est la grandeur physique représentée par Γα ?
Quelle est sa dimension ?
(b) Rappelez la définition des coefficients Dα et µα et leurs unités.
(c) Expliquer succinctement quelle est l’origine physique de chacun des
termes de l’équation (9.1).
(d) Y-a-t’il des termes négligés dans l’équation de bilan telle qu’elle est
écrite en (9.1) ?
Commentez.
69
70
CHAPITRE 9. EXAMENS
3. En géométrie cylindrique, on peut poser :
~Γα = Γαr ~er + Γαθ ~eθ + Γαz ~ez
où Γαr , Γαθ et Γαz sont respectivement les composantes radiales, orthoradiale (ou azimuthale) et axiale de ~Γα .
Le cylindre est supposé infiniment long, et on choisit l’axe Oz selon l’axe
du cylindre.
(a) Pour quelle(s) raison(s) les composantes axiale, Γαz , et orthoradiale,
Γαθ sont-elles nulles ?
(b) On suppose que les flux radiaux électronique, Γer et ionique Γir sont
égaux en tout point : Γer = Γir ≡ Γr , ∀r.
Utilisez cette égalité et l’équation (9.1) projetée dans la direction
radiale, et montrez, en éliminant le champ électrique, que le flux
radial peut s’exprimer sous la forme :
dn
dr
De µi − Di µe
µi − µe
Γr = −Da
avec
Da =
(9.2)
(c) On suppose que les température ionique, Ti et électronique, Te sont
égales : Ti = Te ≡ T .
Établir l’expression :
2De Di
Da =
Di + De
(d) Les libre parcours moyens de collisions ion-neutre et électron-neutre
sont comparables.
Montrer par une estimation des ordres de grandeurs que De /Di ≫ 1.
En déduire, dans ces conditions, que Da ≈ 2Di .
4. En régime stationnaire, l’équation de bilan de particules s’écrit pour ce
système :
div ~Γα = νI n
(9.3)
où νI est la fréquence d’ionisation.
Montrez que la densité vérifie l’équation différentielle suivante :
d2 n 1 dn
νI
+
+
n=0
2
dr
r dr
Da
(9.4)
On rappelle l’expression de la divergence en coordonnées cylindriques :
~ r , Aθ , Az ) :
pour tout vecteur A(A
~ = 1 ∂(rAr ) + 1 ∂Aθ + ∂Az
div A
r ∂r
r ∂θ
∂z
9.2. EXAMEN 2008 : DIFFUSION DANS UN PLASMA ÉLECTROPOSITIF71
9.1.2
Colonne magnétisée
La colonne cylindrique précédente (toujours considérée comme infiniment longue
selon Oz) est maintenant placée dans un champ magnétique extérieur uniforme
~ = B0 ~ez .
tel que B
1. Quelle est l’effet du champ magnétique sur les trajectoires des ions et des
électrons du plasma ?
2. L’équation de bilan de quantité de mouvement s’écrit maintenant sous la
forme :
~Γα = −Dα ∇n
~ − µα n∇φ
~ + µα ~Γα × B
~
(9.5)
Montrer que les flux vérifient les relations suivantes en présence du champ
magnétique :
Γαz = 0,
Γαθ = − (µα B0 ) Γαr ,
dn
dφ
Γαr = −Dα⊥
− µ⊥
,
α n
dr
dr
où Dα⊥ et µ⊥
α sont des coefficients que l’on exprimera en fonction de Dα , µα
et B0 .
3. Montrer que le produit µα B0 peut s’écrire comme le rapport de 2 fréquences
que l’on définira.
4. Dans la limite µα B0 ≫ 1, montrer que Dα⊥ = L2 f où L et f sont respectivement une longueur et une fréquence caractéristiques du système que
l’on précisera.
Commentez.
5. Sous l’hypothèse d’égalité des flux radiaux (Γer = Γir ≡ Γr , ∀r), à quelle
équation différentielle la densité obéit-elle en présence de champ magnétique
(on ne demande pas de résoudre cette équation différentielle) ?
9.2
Examen 2008 : Diffusion dans un plasma électropositif
On considère un plasma constitué d’électrons et d’ions positifs, tel que les grandeurs physiques ne dépendent que d’une seule coordonnée d’espace, et on se
place en géométrie cartésienne (cf. figure).
Γ+
Γ+
Γe
Γe
E
E
+2L x
0
On note nα (x, t) et vα (x, t), la densité et la vitesse de chacune des phases
(α ≡ e, i) constituant le plasma.
72
CHAPITRE 9. EXAMENS
1. Rappeler quelles sont l’expression et la dimension du flux de particules
du flux de la phase α que l’on notera Γα .
2. Dans un premier temps, le plasma est décrit par les équations fluides
suivantes,
Γ′+ = S,
Γ′e = S,
0 = −kT+ n′+ + n+ e E − m+ ν+ Γ+ ,
0 = −kTe n′e − ne e E − me νe Γe ,
n+ = ne
(a) Préciser le contenu physique et les approximations effectuées dans
chacune de ces équations.
Quel est le régime de pression de neutres dans lequel cette description
est pertinente ?
(b) On suppose que le plan médian x = 0 est un plan de symétrie dans
lequel les 2 flux sont nuls.
Montrer que Γ+ = Γe ≡ Γ en tout point.
(c) Rappeler les définitions et unités des coefficients de mobilité µα et
Dα .
(d) Montrer que Γ et E peuvent s’écrire sous la forme :
Γ = −Da n′ ,
n′
E = −Va
n
avec n+ = ne ≡ n et où Da et Va sont des grandeurs physiques dont
on donnera les expressions en fonctions des µα et Dα .
(e) Le plasma étudié est tel que T+ /Te ≈ 0.01, et m+ /me ≈ 2000.
Donner une expression simplifiée des coefficients Da et Va dans cette
situation.
3. Dans un deuxième temps, le plasma est modélisé par le système d’équations :
Γ′+ = S,
Γ′e =
′
Γ2+
m+
=
n+
2 ′
Γe
=
me
ne
n+ =
S,
−kT+ n′+ + n+ e E,
−kTe n′e − ne e E,
ne
(a) Préciser le contenu physique et les approximations effectuées dans
chacune de ces équations.
Quel est le régime de pression de neutres dans lequel cette description
est pertinente ?
9.3. EXAMEN 2007 : PLASMA QUASI-NEUTRE MAGNÉTISÉ
73
(b) Montrer qu’il existe un invariant de la forme :
(m+ + me )
Γ2
+ (kT+ + kTe ) n = Cte
n
(c) Quelle interprétation peut-on donner de cet invariant ?
(d) En déduire que le flux de particules s’écrit sous la forme :
2
Γ 2 = vB
n (n0 − n)
où n0 = n(0) et où vB est une grandeur physique que l’on définira.
Commentez.
(e) Utilisez l’expression précédente pour montrer que n diminue lorsqu’on va du centre vers le bord de la décharge.
(f) Rappelez quelle est la vitesse maximale atteinte par les ions dans un
plasma quasi-neutre sous les hypothèses précédentes.
En déduire la rapport de densité n/n0 au point où cette vitesse
maximale est atteinte.
(g) Représenter schématiquement les profils de densité, de vitesse et de
flux dans ce plasma.
9.3
Examen 2007 : Plasma quasi-neutre magnétisé
On étudie la diffusion d’un plasma quasi-neutre (ne ≈ ni ≡ n) en présence
~ et d’un champ magnétique B
~ tous deux uniformes, et
d’un champ électrique E
~
en présence d’un gradient de densité ∇n.
On utilise une description fluide en
régime collisionnel.
9.3.1
Généralités
On considère d’abord une des composantes du fluide (ions ou électrons), dont on
notera les charges et masses par q et m. ~u représente la vitesse d’entraı̂nement
et n la densité.
L’équation d’équilibre des forces s’écrit :
~ + ~u × B
~
~ + mnν ~u = nq E
(9.6)
kB T ∇n
Dans cette expression T désigne la température (supposée uniforme) du fluide
et ν représente une fréquence de collisions.
1. Préciser succinctement quelle est l’origine physique de chacun de ces
termes.
2. Montrer que cette relation d’équilibre peut être obtenue à partir de l’équation
du bilan de quantité de mouvement du fluide lorsqu’on fait une approximation que l’on précisera.
3. On utilise un système d’axe cartésien orthonormal Oxyz, et on choisit la
~
direction de l’axe Oz dans la direction du champ magnétique B.
Projeter l’équation (9.6) sur chacun des axes Ox, Oy et Oz.
74
CHAPITRE 9. EXAMENS
4. Montrer que les composantes de la vitesse (ux , uy , uz ) peuvent s’écrire
sous la forme :
1
n
1
= F Ey − G
n
1
= F Ez − G
n
ux = F Ex − G
uy
uz
∂n
+ H uy ,
∂x
∂n
− H ux ,
∂y
∂n
∂z
(9.7)
(9.8)
(9.9)
On donnera l’expression des constantes F , G et H en fonction des coefficients de mobilité µ et de diffusion D introduits dans le cours, ainsi qu’en
fonction du coefficient ωc τ , où τ ≡ ν −1 et ωc est la fréquence cyclotron
des particules.
5. Quel est l’effet du champ magnétique dans la direction parallèle au champ
~?
B
6. Combiner les équations précédentes, et montrer qu’en définissant
~u⊥ ≡ ux ~ex + uy ~ey ,
~ ⊥ ≡ Ex ~ex + Ey ~ey
E
on trouve :
~u⊥ = ~u1 + ~u2 + ~u3 + ~u4 ,
(9.10)
où on a posé :
~ ⊥,
~u1 ≡ +µ⊥ E
~
∇n
~u2 ≡ −D⊥
,
n
~⊥ × B
~
(ωc τ )2 E
,
~u3 ≡ +
2
2
1 + (ωc τ )
B
~ ×B
~
(ωc τ )2 D ∇n
~u4 ≡ −
2
2
1 + (ωc τ ) µ nB
avec µ⊥ ≡ αµ, D⊥ ≡ αD où α ≡ 1 + (ωc τ )2
la relation ωc τ = µB).
−1
(on utilisera éventuellement
7. Parmi les 4 composantes de ~u⊥ , quelles sont celles qui dépendent du signe
de la charge q ?
8. On considère la limite ωc τ → 0.
(a) A quelle situation physique cette limite correspond-elle ?
(b) Discuter le comportement de µ⊥ , D⊥ et u⊥ dans cette limite.
9. On considère la limite ωc τ → ∞.
(a) A quelle situation physique cette limite correspond-elle ?
(b) Discuter le comportement de µ⊥ , D⊥ et u⊥ dans cette limite.
9.4. EXAMEN 2006 : EXPANSION D’UN PLASMA DANS LE VIDE
9.3.2
75
Diffusion du plasma
On utilise les résultats de la partie précédente pour discuter la diffusion d’un
plasma quasi-neutre composé d’ions et d’électrons. Dans toute cette partie, on
~ ⊥ , et on supposera
choisira la direction de l’axe Ox dans la direction du vecteur E
que le gradient de densité est également selon Ox. On pourra donc écrire :
~ ⊥ = Ex ~ex ,
E
∂n
~
∇n
=
~ex
∂x
1. On suppose que Ex > 0 et ∂n/∂x < 0.
Représenter les 4 composantes du vecteur vitesse ~u⊥ dans le plan Oxy
(on fera un schéma pour les ions et un autre pour les électrons).
2. Montrer que les composantes ux et uy satisfont la relation :
uy = −(ωc τ ) ux
3. On utilise l’indice i pour désigner les coefficients de transport et la vitesse
des ions : µ⊥i , D⊥i , ~ui , et l’indice e pour désigner les mêmes grandeurs
pour les électrons µ⊥e , D⊥e , ~ue .
Montrer que les flux ionique et électronique selon Ox vérifient les équations
suivantes (on rappelle que le plasma est quasi-neutre : ne = ni = n) :
∂n
,
∂x
∂n
= +µ⊥e nEx − D⊥e
,
∂x
nuix = +µ⊥i nEx − D⊥i
nuex
4. Les conditions aux limites et les symétries du problème étudié sont telles
que les vitesses selon Ox sont égales : uix = uex .
Eliminer le champ électrique entre ces 2 équations et en déduire que le
flux commun selon Ox, Γx ≡ nux , peut s’écrire :
Γx = −Da⊥
∂n
,
∂x
où Da⊥ est un coefficient de diffusion dont on donnera l’expression et dont
on commentera la forme.
5. Utilisez les résultats précédents pour montrer que la densité du plasma
vérifie une équation de diffusion que l’on ne cherchera pas à résoudre.
9.4
Examen 2006 : Expansion d’un plasma dans le
vide
Dans ce problème, nous étudions l’expansion spatiale d’un plasma partiellement
ionisé sous l’effet des seules forces qui agissent en son sein. Cette situation
apparaı̂t assez naturellement après la formation des nuages interstellaires, mais
76
CHAPITRE 9. EXAMENS
également dans certains régimes de fonctionnement des réacteurs à plasmas
exploités industriellement à des fins de dépôt ou de gravure.
Le plasma étudié est constitué d’électrons, de charges −e et de masse m, de
neutres, et d’ions positifs monovalents, de masses M et de charges +e. Pour
simplifier, on considèrera une situation unidimensionnelle et stationnaire : les
variables dynamiques ne dépendent pas du temps et ne dépendent que d’une
seule variable d’espace, disons x. La pression du gaz neutre est très basse, le
taux d’ionisation est suffisamment faible pour que l’on puisse supposer la densité
des neutres uniforme : nn = Cte, et négliger la (lente) dynamique des atomes :
vn ≈ 0. On suppose en outre que le plasma n’est ni confiné, ni magnétisé :
B = 0.
Le système dépend donc des 5 variables suivantes : densités et vitesses électroniques,
ne (x), ve (x), densités et vitesses ioniques : ni (x), vi (x), et potentiel électrostatique
ϕ(x).
∂x (ne ve ) = +νI ne ,
∂x (ni vi ) = +νI ne ,
0 = −kB Te ∂x ne + ene ∂x ϕ,
M ni vi ∂x vi = −eni ∂x ϕ,
2
ǫ0 ∂xx
ϕ = −e(ni − ne )
2 désignent une dérivée première et seconde par
Dans ces expressions, ∂x et ∂xx
rapport à la variable x.
Le système différentiel précédent est complété par les conditions aux limites
suivantes :
ne (0) = ni (0) = n0 ,
ϕ(0) = 0,
ve (0) = vi (0) = 0.
1. Rappeler quelle est la dimension de la constante νI et sa signification.
2. Discuter succinctement mais précisément le contenu physique de chacune
des équations précédentes. On soulignera en particulier quels sont les
termes négligés dans cette modélisation.
3. L’étude du système d’équations est facilitée par un adimensionnement des
variables. On pose :
ni
ne
vi
ve
eϕ
x
Ni ≡
, Ne =
, V =
, Ve =
, φ≡
, X≡
,
n0
n0
uB
uB
kB Te
λI
où uB est la vitesse de Bohm, et λI ≡ uB /νI , la longueur d’ionisation.
Montrer que les équations s’écrivent sous la forme :
(Ne Ve )′ = +Ne ,
′
(Ni Vi )
Ne′
Vi Vi′
2 ′′
ǫ φ
(9.11)
= +Ne ,
(9.12)
′
= +Ne φ ,
′
= −φ ,
= Ne − Ni ,
(9.13)
(9.14)
(9.15)
avec ǫ ≡ λD /λI , et λD , la longueur de Debye. L’apostrophe désigne une
e
dérivée par rapport à la variable X ; par exemple : Ne′ ≡ dN
dX .
9.4. EXAMEN 2006 : EXPANSION D’UN PLASMA DANS LE VIDE
77
4. Montrer que ǫ = νI /ωpi , où ωpi est la fréquence plasma ionique.
On rappelle que νI = Kng , où K est une constante et ng , la densité du
gaz neutre. Estimer ǫ pour un plasma d’hydrogène tel que K = 10−14
m3 /s, ng = 1019 m−3 , n0 = 1015 m−3 , M = 1.67 10−27 kg, e = − 1.6
10−19 C, et ǫ0 = 8.85 10−12 F/m.
5. La résolution numérique du système d’équations (9.11-9.15) avec les conditions aux limites :
Ne (0) = Ni (0) = 1,
φ(0) = 0,
Ve (0) = Vi (0) = 0.
(9.16)
et ǫ = 0.001 conduit aux résultats reportés sur les figures en fin de texte.
En observant le schéma des densités, dire pour quelle raison la région centrale est considérée comme un plasma, tandis que la région périphérique
est assimilée à une gaine ?
6. Les résultats numériques suggèrent l’approximation Ne = Ni ≡ N pour
étudier la région plasma.
Etablir les 2 lois de conservation :
Ve = Vi ,
1 2
V + ln N = 0
2 i
(9.17)
(9.18)
7. Quelle interprétation physique peut-on donner de l’équation (9.18) ?
On discutera en particulier les situations au centre et au bord du plasma.
8. Posons V ≡ Ve = Vi . Le plasma est donc assimilable à un fluide unique
de densité N et de vitesse V .
Montrer que le plasma satisfait les 2 équations :
(N V )′ = +N,
NV V
′
= −N
′
(9.19)
(9.20)
9. Combiner ces 2 équations pour les écrire sous la forme :
N ′ (V 2 − 1) = N V,
′
2
V (V − 1) = −1
(9.21)
(9.22)
10. Utilisez le système différentiel précédent pour répondre aux questions suivantes :
- A quelle vitesse physique la vitesse normalisée V = 1 correspond-elle ?
- Quel est le signe des gradients de densités et de vitesses au voisinage de
X = 0?
- Que peut-on dire des gradients de densités et de vitesses lorsque V → 1 ?
11. L’équation (9.22) s’écrit sous la forme différentielle : V 2 dV − dV = −dX.
Intégrer cette équation et en déduire que la position x̄ où la vitesse vaut
1 vérifie :
2
x̄ = λI
3
Comparer avec les résultats numériques.
78
CHAPITRE 9. EXAMENS
12. Utiliser les équations (9.14) et (9.18) pour déterminer les variations de
densités n̄/n0 et de potentiel eϕ̄ à la position x = x̄.
13. Lorsque les ions sont créés sans vitesses initiales, l’équation de bilan de
quantité de mouvement des ions doit être modifiée et écrite sous la forme :
M ni vi ∂x vi = −eni ∂x ϕ − M vi (νI ne )
Les équations de ce modèle s’écrivent donc :
∂x (ni vi ) = +νI ne ,
0 = −kB Te ∂x ne + ene ∂x ϕ,
M ni vi ∂x vi = −eni ∂x ϕ − M vi (νI ne ),
2
ǫ0 ∂xx
ϕ = −e(ni − ne )
Combiner ces équations et établir la relation :
M ni vi2 + kB Te ne −
ǫ0 E 2
= Cte,
2
où E = −∂x ϕ désigne le champ électrique.
(9.23)
14. La relation (9.23) est valable dans tout le système (plasma et gaine).
– Déterminer la dimension des grandeurs apparaissant dans (9.23), et en
déduire la nature de cette relation de conservation.
– Interpréter physiquement chaque terme.
– Quelles sont les contributions dominantes dans le plasma et dans la
gaine ?
– Représenter schématiquement chaque contribution de (9.23) en fonction
de la position x.
9.4. EXAMEN 2006 : EXPANSION D’UN PLASMA DANS LE VIDE
79
1
Densités normalisées
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
0.2
0.4
0.6
Distance normalisée
0.8
1
2
1.75
Vitesses normalisées
1.5
1.25
1
0.75
0.5
0.25
0.2
0.4
0.6
Distance normalisée
0.8
1
0.2
0.4
0.6
Distance normalisée
0.8
1
0
Potentiel normalisé
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
Figure 9.1 – Densité électronique, Ne (tirets), densité ionique, Ni (traits
pleins), vitesse électronique Ve (tirets), vitesse ionique, Vi (traits pleins), et
potentiel électrostatique, φ, lorsque ǫ = 0.001.
80
CHAPITRE 9. EXAMENS
Table des matières
1 Introduction
5
2 Collisions dans les gaz et les plasmas
13
2.1
Section efficace et taux de collision . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2
Fréquence de collisions et libre parcours moyen . . . . . . . . . . 15
2.3
Fonction de distribution des vitesses . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.4
Diffusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.1
Approche macroscopique
2.4.2
Approche microscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 Rappels d’Electrodynamique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
23
3.1
Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2
Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4 Rappels de Mécanique des Fluides
27
4.1
Rappel sur les équations de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2
Bilan de masse et de charge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.3
Bilan de quantité de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.4
Fermeture des équations de bilans . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Modélisation fluide des plasmas
35
5.1
Equations du modèle fluide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.2
Plasmas collisionnels : mobilité et diffusion . . . . . . . . . . . . 37
5.3
5.2.1
Plasmas collisionnels non-magnétisés . . . . . . . . . . . . 37
5.2.2
Plasmas collisionnels magnétisés . . . . . . . . . . . . . . 38
Plasmas non collisionnels : inertie et équilibre . . . . . . . . . . . 40
81
82
TABLE DES MATIÈRES
5.4
5.3.1
Equilibre thermodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
5.3.2
Mouvement inertiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6 Applications de la modélisation fluide des plasmas
6.1
6.2
Ecrantages
43
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.1
Ecrantage électrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
6.1.2
Ecrantage magnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Equilibres magnétohydrodynamiques . . . . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.1
Bilan global de masse et de charge . . . . . . . . . . . . . 47
6.2.2
Bilan global de quantité de mouvement . . . . . . . . . . 49
6.2.3
Equilibres MHD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
7 Ondes dans les plasmas
53
7.1
Ondes acoustiques ioniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
7.2
Oscillations du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
7.3
Ondes d’Alfvén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
8 Dérives électromagnétiques
61
8.1
Mouvement cyclotronique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
8.2
Quelques exemples de la théorie des dérives . . . . . . . . . . . . 63
8.2.1
Dérive électrique temporelle : dérive de champs croisés . . 63
8.2.2
Dérive magnétique spatiale : dérive de gradient . . . . . . 65
8.2.3
Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
9 Examens
69
9.1
Examen 2009 : Colonne cylindrique en régime ambipolaire . . . . 69
9.1.1
Colonne non magnétisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
9.1.2
Colonne magnétisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
9.2
Examen 2008 : Diffusion dans un plasma électropositif . . . . . . 71
9.3
Examen 2007 : Plasma quasi-neutre magnétisé . . . . . . . . . . 73
9.4
9.3.1
Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
9.3.2
Diffusion du plasma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Examen 2006 : Expansion d’un plasma dans le vide . . . . . . . . 75

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