Travaux Actuels - CMAP, Polytechnique

Travaux Actuels
July 30, 2009
Kamel Hamdache
Centre de Math´ematiques Appliqu´ees. UMR CNRS 7641
Ecole Polytechnique Palaiseau
Email : [e-mail]
1 Fluides magn´etiques
Les fluides magn´etiques ou ferrofluides ont de nombreuses applications industrielles et m´edicales.
Il s’agit d’un ´ecoulement diphasique compos´e d’une suspension de particules ferromagn´etiques, de
tailles nanom´etriques, dans un fluide Newtonien appel´e transporteur. Ces solutions commencent
`a ˆetre con¸us pour le traitement m´edical mais cela reste largement exp´erimental . De nombreuses
exp´erimentations sont faites in vivo. Le biofluide est inject´e dans l’art`ere du patient et sous l’action
d’un champ magn´etique appliqu´e, les particules sont transport´ees vers la cible malade pour s’y
aglomerer.
Les mod`eles macroscopiques (sang, suspension `a particules ferromagn´etiques) sont compos´ees de
l’´equation de Navier-Stokes pour la vitesse Uavec un terme de force faisant intervenir le gradient
du champ magn´etique (M· ∇)H, de l’´equation de l’aimantation Mqui est de type ´equation de
Bloch et de l’´equation pour le moment augulaire Ω. A ces ´equations s’ajoutent les ´equations de la
magn´etostatique pour le champ magn´etique H. Il s’agit d’un syst`eme coupl´e avec des non lin´earit´es
quadratiques qui s’´ecrit dans le cas compressible
∂tρ+ div(ρU) = 0,(1.1)
∂t(ρU) + div(ρU ⊗U)−µ∆U−(λ+µ)∇(divU) + ∇(p(ρ, M)) = T(1.2)
∂t(ρΩ) + div(ρU ⊗Ω) −µ0∆Ω −(λ0+µ0)∇(divΩ) = S(1.3)
coupl´e `a l’´equation de l’aimantation
∂tM+ div(U⊗M) + 1
τ(M−χ0H) = Ω ×M(1.4)
o`u les forces volumiques et la pression sont d´efinies par
T=µ0(M· ∇)H−ζ∇ × W,
S=µ0M×H+ 2ζW, with W=∇ × U−2Ω,
p(ρ, M) = aργ+µ0
2|M|2
(1.5)
1

o`u µ0(M· ∇)Hrepr´esente la force magn´etique de Kelvin ou le gradient de la force magn´etique
dans la direction de l’aimantation et µ0et ζsont des constantes positives. Le champ magn´etique
Hsatisfait les ´equations de la magn´etostatique dans R3
div(H+χ(Ω)M) = F, ∇ × H= 0 (1.6)
A ces ´equations s’ajoutent les conditions initiales et les conditions aux limites qui vont jouer un rˆole
crucial dans notre ´etude. Ce caract`ere crucial apparaˆıt dans le calcul suivant qui intervient dans
l’´etablissement de l’estimation de l’´energie (multiplication par Ude la force de Kelvin et utilisation
de l’´equation de l’aimantation))
−ZΩ ∆M·Hdx =ZΩ|∇ · M|2dx −ZΩ F∇ · Mdx + (1.7)
ZΓ
(∇ × M)×n·H+∇ · MH ·n)dσ
o`u on a utilis´e les ´equations de la magnetostatique ∇×H= 0 et ∇·H=−∇·M+F. En imposant
les conditions aux limites (compatibles avec le Laplacien vectoriel) que nous avons utilis´ess dans
nos travaux
(∇ × M)×n= 0, M ·n= 0 et H·n= 0 (1.8)
on obtient une bonne estimation qui permet d’´etablir une borne de l’´energie. Ce choix impose de
ne consid´erer les equations de la magnetostatique que dans le domaine born´e Ω. On peut on utiliser
la condition aux limites
(∇ × M)×n= 0,∇ · M= 0 (1.9)
pour laquelle on obtient exactement la mˆeme estimation d’´energie et en plus cela permet de con-
sid´erer les ´equations de la magn´etostatique dans tout R3. La difficult´e li´ee `a ce choix r´eside en
l’absence de compacit´e d’une suite (Mn) born´ee dans L2(Ω) telle que ∇ × Mnet ∇ · Mnle sont
dans L2(Ω) et v´erifiant les derni`eres conditions aux limites. La compacit´e par compendsation n’est
d’aucun secours dans ce cas. La compacit´e d’une telle suite est capitale dans la stabilit´e par conver-
gence faile de la force de Kelvin et des termes de retournement du champ magn´etique apparaissant
dans les expressions de Set T.
Actuellement avec Y. Amirat nous ´etudions un mod`ele de transfert de chaleur dans un fluide
magn´etique. La loi pour l’intensit´e de l’aimantation M(θ, H) = |M|est une fonction (non lin´eaire)
de la temp´erature θet de l’intensit´e du champ magn´etique H=|H|. La force de Kelvin M∇H=
(M· ∇)Hagit sur le fluide incompressible et la force magnetocalorique agit sur l’´equation de
transfert de la chaleur. Elle est donn´ee par
−µ0θ∂M(θ, H)
∂θ (U· ∇)H(1.10)
Cette force est tr´es singuli`ere. On peut voir que l’on peut l’´ecrire sous la forme R(θ)(M· ∇H)·U
(ce qui donne le lien avec l’equation de Navier-Stokes) o`u R(θ) est une fonction born´ee. Le travail
que nous r´ealisons actuellement concerne une loi d’aimantation du type
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M(θ, H) = r(θ)H
√1 + εH2, r(θ) = r0(θc−θ)β10≤θ≤θc(1.11)
o`u θcest la temperature de Curie. Le mod`ele ´etudi´e dans DT= (0, T )×Davec Dun ouvert born´e
de R3est le suivant
∇ · U= 0 (1.12)
ρ∂tU+U· ∇U−η∆U+∇p=µ0M(θ, H)∇H(1.13)
ρCp∂tθ+U· ∇θ−κ∆θ=−µ0θ∂M(θ, H)
∂θ U· ∇H+ηΦ(∇U) (1.14)
divH+r(θ)H
p1 + ε|H|2=F, H=∇ϕ(1.15)
o`u H=|H|et Φ(∇U) = (∇U+∇U⊥)·∇U. Le syst`eme est compl´et´e par des conditions initiales
et des conditions aux limites homog`enes de Dirichlet pour Uet de Neumann pour θet ϕ. La
r´egularit´e des solutions de l’´equation de la magn´etostatique , et particuli`erement celle de Het de
∇Hdans des espaces Lpjoue un rˆole essentiel dans l’´etude de ce mod`ele de transfert de chaleur.
Les recherches sur ce th`eme sont en cours en cours de finalisation .
Une autre th´ematique que nous allons aborder est le comportement d’une goutte de ferrofluide
dans un fluide incompressible. Cette question a ´et´e discut´es num´eriquement par Renardy et ces
collaborateurs.
R´ecemment j’ai propos´e deux sujets de th`eses sur les fluides magn´etiques `a deux doctorantes
de l’universit´e USTHB, Alger (Leila Nouar et Nawal Zaidi). Le premier sujet concerne l’´elongation
de fluides magn´etiques et le second concerne l’´etude des instabilit´es dans un fluide magn´etique.
2 Mod`eles math´ematiques en biologie
Les recherches sur les mod`eles math´ematiques en biologie et m´edecine se sont accrues depuis
quelques ann´ees. Cela correspond `a une demande croissante pour impliquer les math´ematiciens dans
ces th´ematiques. Les mod´elisations math´ematiques sont souvent inspir´ees des m´ethodes utilis´ees
dans les ´ecoulement en milieux poreux pour l’´etude de tumeurs cancereuses, de la m´ecanique des
fluides Newtonien ou non Newtonien pour les biofluides. Concernant d’autres probl`emes plus
sp´ecifiques `a la cellule c’est parfois la loi d’action de masse qui est au centre de la mod´elisation et
cela conduit `a des syt`emes de r´eaction-diffusion.
2.1 Mod`ele de croissance d’une tumeur
Avec Lila Hadjadj (doctorante sous ma direction `a Alger) et Djamila Hamroun (MdC `a l’universit´e
d’Alger) nous avons consid´er´e le mod`ele de croissance de tumeurs propos´e par C.J.W Breward
(Oxford), H. Byrne (Nottingham) et C. Lewis (Sheffied) dans le cadre des travaux du Centre of
Mathematical Medicine de Nottingham. Il concerne l’activation des macrophages dans le traitement
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des tumeurs. Le mod`ele est d´ecrit par un syst`eme semilin´eaire d´eg´en´er´e dans DT= (0, l)×(0, T )
du type
∂tU−∂x(A(U)∂xU) = Q(U) (2.16)
U(0) = U0(2.17)
o`u U= (α, β). Les fonctions αet βsont des fonctions positives repr´esentant les fractions volumiques
des tumeurs et des macrophages respectivement. Elles v´erifient la contrainte 0 ≤α, β, α +β≤1
et la matrice de diffusion est donn´ee par
A(α, β) = 
α(3
2−α)α(1 2−β)
β(1
2−α)β(3 2−β)
le terme de souce Q= (q1, q2) est donn´e par
q1=k1α(1 −α−β)−k2α−k3α(α+β)−k4αβ
q2=k6β2−k7β(1 −α)−k8αβ,
avec ki≥0i= 1, ..., 8. Les conditions aux limites sont
α(., 0) = α1,β(., 0) = β1and αx(., l) = βx(., l) = 0 (2.18)
et la condition initiale
α(0, .) = α0,β(0, .) = β0.(2.19)
avec 0 ≤α0, β0, α0+β0≤1 et 0 ≤α1, β1, α1+β1≤0.
Le point ´essentiel dans la demonstartion de l’existence globale de solution est d’´etablir l’invariance
au cours du temps du domaine
C={U= (α, β)∈L∞(DT)2,0≤α(x, t), β(x, t), α(x, t) + β(x, t)≤1}
que l’on obtient en introduisant les nouvelles variables d´etat (u, v) avec α= exp(u), β= exp(v).
Le reste de la d´emonstration prooc`ede des techniques de r´egularisation de la matrice de diffusion.
2.2 Transport d’une solution ionique dans le canal d’une prot´eine
Nous avons ensuite abord´e le probl`eme du transport d’une solution ionique `a travers le canal d’une
prot´eine situ´ee dans la membrane cellulaire. Ce probl`eme est mod´elis´e par les ´equations de Poisson-
Nernst-Planck dans R×(0, T ) v´erifi´es par les concentrations Net Pdes deux esp`eces d’ions v´erifiant
0≤N, P, N +P≤1 et
g2∂tN=∂x(g2κ1(∂xN−N∂xϕ+N∂x(µ+(x) + ∂E
∂N (N, P )))
g2∂tP=∂x(g2κ2(∂xP+P ∂xϕ+P ∂x(µ−(x) + ∂E
∂P (N, P )))
λ2∂x(g2∂xϕ) = g2(f+N−P)
N(0) = N0, P (0) = P0
(2.20)
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et ϕest le potentiel ´electrique, avec les conditions aux limites
N→n±, P →p±, ϕ →ϕ±as x→ ±∞ (2.21)
o`u µ±(x) es le potetiel electrochimique de l’esp`ece d’ion of the npour l’indice + et ppour l’indice
−. D’autre part r E=Eex(N, P ) et κi(x) est le coefficient de diffussion ide chaque esp ece v´erifiant
0< di≤κi(x)≤Dipour i=N, P . Les ´etats ±∞ sont constants et tels que 0 ≤n±, p±, n±+p±≤1
et ϕ±≥0. La fonction g(x) d´ecrit le profil du canal et verifie 0 < g(0) ≤g(x)→+∞quand
x→ ±∞.
Ces deux th´ematiques repr´esentent le contenu de la th`ese de Lila Hadjadj qui est en cours de
r´edaction.
2.3 Dynamique du Calcium dans une ´epine dendritique
Avec Mauricio Labadie nous avons ´etudie la dynamique du calcium Ca2+ dans une ´epine dendri-
tique. Cette ´epine a la forme d’un champignon qui absorbe le Ca2+ par certains canaux situ´es
au sommet du champignon et le rejette par le pieds du champignon. Le mod`ele propos´e par D.
Holcman et Shuss que nous avons modifi´e (en introduisant les variables d’´etat U,Wet la condtion
aux limites pour la vitesse Vdu fluide ) s’´ecrit
∂tM=∇ · [δ∇M−V M]−k1MU +k−1(A−U)
∂tU=−k1MU +k−1(A−U) (2.22)
V=∇φ, 4φ= 0,ZΩ φdΩ=0
avec les conditions initiales et aux limites
M(x, 0) = m0(x), U(x, 0) = A(x) in Ω
M(x, t) = 0 on ΓT
a, J ·n(x, t) = 0 on ΓT r(2.23)
∂φ
∂n(σ, t) = a(σ)ZΩ
(A−U)dΩon ΓT
et sous les hypoth`eses
m0, A ∈L∞(Ω), a ∈L∞(Γ) ∩H1/2(Γ),ZΓ a(σ)dΓ = 0 (2.24)
m0(x)≥0, A(x)≥0 a.e x∈Ω
o`u Mest le nombre d’ions de calcium Ca2+ libres dans Ω , Uest le nombre total des sites libres
et West le nombre total de sites li´es (c’est `a dire o`u un ion de calcium c’est li´e `a la prot´eine).
Le champ Vrepresente la vitesse du fluide suppos´e incompressible et irrotationnel et δ > 0 est le
coefficient de diffusion.
On d´emontre que la zone Λ(t) = {(M, U),0≤U(x, )≤A(x),0≤M(x, t)≤ψ(t)}est ”invariante”
au cours du temps avec ψ(t) = km0k∞+tkAk∞c’est a dire si (U(0), M(0)) ∈Λ(0) alors toutes
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