Travaux Actuels - CMAP, Polytechnique

Travaux Actuels
July 30, 2009
Kamel Hamdache
Centre de Mathématiques Appliquées. UMR CNRS 7641
Ecole Polytechnique Palaiseau
Email : [email protected]
1
Fluides magnétiques
Les fluides magnétiques ou ferrofluides ont de nombreuses applications industrielles et médicales.
Il s’agit d’un écoulement diphasique composé d’une suspension de particules ferromagnétiques, de
tailles nanométriques, dans un fluide Newtonien appelé transporteur. Ces solutions commencent
à être conu̧s pour le traitement médical mais cela reste largement expérimental . De nombreuses
expérimentations sont faites in vivo. Le biofluide est injecté dans l’artère du patient et sous l’action
d’un champ magnétique appliqué, les particules sont transportées vers la cible malade pour s’y
aglomerer.
Les modèles macroscopiques (sang, suspension à particules ferromagnétiques) sont composées de
l’équation de Navier-Stokes pour la vitesse U avec un terme de force faisant intervenir le gradient
du champ magnétique (M · ∇)H, de l’équation de l’aimantation M qui est de type équation de
Bloch et de l’équation pour le moment augulaire Ω. A ces équations s’ajoutent les équations de la
magnétostatique pour le champ magnétique H. Il s’agit d’un système couplé avec des non linéarités
quadratiques qui s’écrit dans le cas compressible
∂t ρ + div(ρU ) = 0,
(1.1)
∂t (ρU ) + div(ρU ⊗ U ) − µ∆U − (λ + µ)∇(divU ) + ∇(p(ρ, M )) = T
(1.2)
∂t (ρΩ) + div(ρU ⊗ Ω) − µ0 ∆Ω − (λ0 + µ0 )∇(divΩ) = S
(1.3)
couplé à l’équation de l’aimantation
1
∂t M + div(U ⊗ M ) + (M − χ0 H) = Ω × M
τ
(1.4)
où les forces volumiques et la pression sont définies par
T = µ0 (M · ∇)H − ζ∇ × W,
S = µ0 M × H + 2ζW, with W = ∇ × U − 2Ω,
p(ρ, M ) = aργ +
µ0
2
2 |M |
1
(1.5)
où µ0 (M · ∇)H représente la force magnétique de Kelvin ou le gradient de la force magnétique
dans la direction de l’aimantation et µ0 et ζ sont des constantes positives. Le champ magnétique
H satisfait les équations de la magnétostatique dans R3
div(H + χ(Ω)M ) = F, ∇ × H = 0
(1.6)
A ces équations s’ajoutent les conditions initiales et les conditions aux limites qui vont jouer un rôle
crucial dans notre étude. Ce caractère crucial apparaı̂t dans le calcul suivant qui intervient dans
l’établissement de l’estimation de l’énergie (multiplication par U de la force de Kelvin et utilisation
de l’équation de l’aimantation))
−
Z
∆M · Hdx =
Ω
Z
|∇ · M |2 dx −
Ω
Z
Z
F ∇ · M dx +
(1.7)
Ω
(∇ × M ) × n · H + ∇ · M H · n)dσ
Γ
où on a utilisé les équations de la magnetostatique ∇ × H = 0 et ∇ · H = −∇ · M + F . En imposant
les conditions aux limites (compatibles avec le Laplacien vectoriel) que nous avons utiliséss dans
nos travaux
(∇ × M ) × n = 0, M · n = 0 et H · n = 0
(1.8)
on obtient une bonne estimation qui permet d’établir une borne de l’énergie. Ce choix impose de
ne considérer les equations de la magnetostatique que dans le domaine borné Ω. On peut on utiliser
la condition aux limites
(∇ × M ) × n = 0, ∇ · M = 0
(1.9)
pour laquelle on obtient exactement la même estimation d’énergie et en plus cela permet de considérer les équations de la magnétostatique dans tout R3 . La difficulté liée à ce choix réside en
l’absence de compacité d’une suite (M n ) bornée dans L2 (Ω) telle que ∇ × M n et ∇ · M n le sont
dans L2 (Ω) et vérifiant les dernières conditions aux limites. La compacité par compendsation n’est
d’aucun secours dans ce cas. La compacité d’une telle suite est capitale dans la stabilité par convergence faile de la force de Kelvin et des termes de retournement du champ magnétique apparaissant
dans les expressions de S et T.
Actuellement avec Y. Amirat nous étudions un modèle de transfert de chaleur dans un fluide
magnétique. La loi pour l’intensité de l’aimantation M (θ, H) = |M| est une fonction (non linéaire)
de la température θ et de l’intensité du champ magnétique H = |H|. La force de Kelvin M ∇H =
(M · ∇)H agit sur le fluide incompressible et la force magnetocalorique agit sur l’équation de
transfert de la chaleur. Elle est donnée par
−µ0 θ
∂M (θ, H)
(U · ∇)H
∂θ
(1.10)
Cette force est trés singulière. On peut voir que l’on peut l’écrire sous la forme R(θ)(M · ∇H) · U
(ce qui donne le lien avec l’equation de Navier-Stokes) où R(θ) est une fonction bornée. Le travail
que nous réalisons actuellement concerne une loi d’aimantation du type
2
M (θ, H) = r(θ) √
H
, r(θ) = r0 (θc − θ)β 10≤θ≤θc
1 + εH 2
(1.11)
où θc est la temperature de Curie. Le modèle étudié dans DT = (0, T ) × D avec D un ouvert borné
de R3 est le suivant
∇·U=0
(1.12)
ρ ∂t U + U · ∇U − η∆U + ∇p = µ0 M (θ, H)∇H
ρCp ∂t θ + U · ∇θ − κ∆θ = −µ0 θ
div H + r(θ) p
∂M (θ, H)
U · ∇H + ηΦ(∇U)
∂θ
H
= F, H = ∇ϕ
1 + ε|H|2
(1.13)
(1.14)
(1.15)
où H = |H| et Φ(∇U) = (∇U + ∇U⊥ ) · ∇U. Le système est complété par des conditions initiales
et des conditions aux limites homogènes de Dirichlet pour U et de Neumann pour θ et ϕ. La
régularité des solutions de l’équation de la magnétostatique , et particulièrement celle de H et de
∇H dans des espaces Lp joue un rôle essentiel dans l’étude de ce modèle de transfert de chaleur.
Les recherches sur ce thème sont en cours en cours de finalisation .
Une autre thématique que nous allons aborder est le comportement d’une goutte de ferrofluide
dans un fluide incompressible. Cette question a été discutés numériquement par Renardy et ces
collaborateurs.
Récemment j’ai proposé deux sujets de thèses sur les fluides magnétiques à deux doctorantes
de l’université USTHB, Alger (Leila Nouar et Nawal Zaidi). Le premier sujet concerne l’élongation
de fluides magnétiques et le second concerne l’étude des instabilités dans un fluide magnétique.
2
Modèles mathématiques en biologie
Les recherches sur les modèles mathématiques en biologie et médecine se sont accrues depuis
quelques années. Cela correspond à une demande croissante pour impliquer les mathématiciens dans
ces thématiques. Les modélisations mathématiques sont souvent inspirées des méthodes utilisées
dans les écoulement en milieux poreux pour l’étude de tumeurs cancereuses, de la mécanique des
fluides Newtonien ou non Newtonien pour les biofluides. Concernant d’autres problèmes plus
spécifiques à la cellule c’est parfois la loi d’action de masse qui est au centre de la modélisation et
cela conduit à des sytèmes de réaction-diffusion.
2.1
Modèle de croissance d’une tumeur
Avec Lila Hadjadj (doctorante sous ma direction à Alger) et Djamila Hamroun (MdC à l’université
d’Alger) nous avons considéré le modèle de croissance de tumeurs proposé par C.J.W Breward
(Oxford), H. Byrne (Nottingham) et C. Lewis (Sheffied) dans le cadre des travaux du Centre of
Mathematical Medicine de Nottingham. Il concerne l’activation des macrophages dans le traitement
3
des tumeurs. Le modèle est décrit par un système semilinéaire dégénéré dans DT = (0, l) × (0, T )
du type
∂t U − ∂x (A(U )∂x U ) = Q(U )
(2.16)
U (0) = U0
(2.17)
où U = (α, β). Les fonctions α et β sont des fonctions positives représentant les fractions volumiques
des tumeurs et des macrophages respectivement. Elles vérifient la contrainte 0 ≤ α, β, α + β ≤ 1
et la matrice de diffusion est donnée par
3
1
 α( 2 − α) α( 2 − β) 

A(α, β) = 


3
1
β( − α) β( − β)
2
2
le terme de souce Q = (q1 , q2 ) est donné par


q1 = k1 α(1 − α − β) − k2 α − k3 α (α + β) − k4 αβ
q2 = k6 β 2 − k7 β (1 − α) − k8 αβ,
avec ki ≥ 0 i = 1, ..., 8. Les conditions aux limites sont
α(., 0) = α1 , β(., 0) = β 1 and αx (., l) = βx (., l) = 0
(2.18)
α(0, .) = α0 , β(0, .) = β0 .
(2.19)
et la condition initiale
avec 0 ≤ α0 , β0 , α0 + β0 ≤ 1 et 0 ≤ α1 , β1 , α1 + β1 ≤ 0.
Le point éssentiel dans la demonstartion de l’existence globale de solution est d’établir l’invariance
au cours du temps du domaine
C = {U = (α, β) ∈ L∞ (DT )2 , 0 ≤ α(x, t), β(x, t), α(x, t) + β(x, t) ≤ 1}
que l’on obtient en introduisant les nouvelles variables détat (u, v) avec α = exp(u), β = exp(v).
Le reste de la démonstration proocède des techniques de régularisation de la matrice de diffusion.
2.2
Transport d’une solution ionique dans le canal d’une protéine
Nous avons ensuite abordé le problème du transport d’une solution ionique à travers le canal d’une
protéine située dans la membrane cellulaire. Ce problème est modélisé par les équations de PoissonNernst-Planck dans R×(0, T ) vérifiés par les concentrations N et P des deux espèces d’ions vérifiant
0 ≤ N, P, N + P ≤ 1 et

∂E


g 2 ∂t N = ∂x (g 2 κ1 (∂x N − N ∂x ϕ + N ∂x (µ+ (x) +
(N, P )))



∂N



∂E
g 2 ∂t P = ∂x (g 2 κ2 (∂x P + P ∂x ϕ + P ∂x (µ− (x) +



λ2 ∂x (g 2 ∂x ϕ) = g 2 (f + N − P )





N (0) = N0 , P (0) = P0
4
∂P
(N, P )))
(2.20)
et ϕ est le potentiel électrique, avec les conditions aux limites
N → n± , P → p± , ϕ → ϕ± as x → ±∞
(2.21)
où µ± (x) es le potetiel electrochimique de l’espèce d’ion of the n pour l’indice + et p pour l’indice
−. D’autre part r E = E ex (N, P ) et κi (x) est le coefficient de diffussion ide chaque esp ece vérifiant
0 < di ≤ κi (x) ≤ Di pour i = N, P . Les états ±∞ sont constants et tels que 0 ≤ n± , p± , n± +p± ≤ 1
et ϕ± ≥ 0. La fonction g(x) décrit le profil du canal et verifie 0 < g(0) ≤ g(x) → +∞ quand
x → ±∞.
Ces deux thématiques représentent le contenu de la thèse de Lila Hadjadj qui est en cours de
rédaction.
2.3
Dynamique du Calcium dans une épine dendritique
Avec Mauricio Labadie nous avons étudie la dynamique du calcium Ca2+ dans une épine dendritique. Cette épine a la forme d’un champignon qui absorbe le Ca2+ par certains canaux situés
au sommet du champignon et le rejette par le pieds du champignon. Le modèle proposé par D.
Holcman et Shuss que nous avons modifié (en introduisant les variables d’état U , W et la condtion
aux limites pour la vitesse V du fluide ) s’écrit
∂t M = ∇ · [δ∇M − V M ] − k1 M U + k−1 (A − U )
∂t U = −k1 M U + k−1 (A − U )
V = ∇φ, 4φ = 0,
(2.22)
Z
φdΩ = 0
Ω
avec les conditions initiales et aux limites
M (x, 0) = m0 (x) , U (x, 0) = A(x) in Ω
M (x, t) = 0 on ΓTa , J · n(x, t) = 0 on ΓTr
∂φ
(σ, t) = a(σ)
∂n
Z
(2.23)
(A − U )dΩon ΓT
Ω
et sous les hypothèses
∞
∞
m0 , A ∈ L (Ω), a ∈ L (Γ) ∩ H
1/2
Z
(Γ),
a(σ)dΓ = 0
(2.24)
Γ
m0 (x) ≥ 0, A(x) ≥ 0 a.e x ∈ Ω
où M est le nombre d’ions de calcium Ca2+ libres dans Ω , U est le nombre total des sites libres
et W est le nombre total de sites liés (c’est à dire où un ion de calcium c’est lié à la protéine).
Le champ V represente la vitesse du fluide supposé incompressible et irrotationnel et δ > 0 est le
coefficient de diffusion.
On démontre que la zone Λ(t) = {(M, U ), 0 ≤ U (x, ) ≤ A(x), 0 ≤ M (x, t) ≤ ψ(t)} est ”invariante”
au cours du temps avec ψ(t) = km0 k∞ + tkAk∞ c’est a dire si (U (0), M (0)) ∈ Λ(0) alors toutes
5
solution (U, M ) du système veŕifie (U (x, t), M (x, t)) ∈ Λ(t) pour tout t ≥ 0. On démontre par
une théorème du point fixe et le principe du maximum faible l’existence globale et l’uncité d’une
solution faible de (2.22). On étudie ensuite le comportement limite du sytème lorsque le coefficient
de diffusion δ → 0. La difficulté réside dans l’étude de la stabilié par convergence faible-? du
produit M δ U δ . Le produit V δ M δ converge faiblement dans L2 (ΩT ) car on peut établr sans trop
de complicaton la convezrgence forte de V δ . Finalement la question de la limite du modèle quand
δ → 0 se résume à la question de l’homogénéisation de l’équation differentielle
∂t U δ = −k1 M δ U δ + k−1 (A − U δ )
(2.25)
que nous avions abordée déjà dans note programme sur l’homogénéisation non locale. (cf. L. Tartar
et Y. Amirat, A. Ziani et K. Hamdache).
2.4
Homogénéisation d’un milieu élastique
Le but de l’étude de l’homogénéistaion de tissus élastiques représentant une tumeur cancéreuse est
d’obtenir une loi en puissance (en fonction de la fréquence ω) pour les paramètre de Lamé. Il est
clair que le paramètre important est le rapport ε/ω où ε est le paramètre de taille du milieu. Le
travail est en cours.
6