COORDONNÉES CARTÉSIENNES, CYLINDRIQUES, SPHÉRIQUES G G G On considère un point M et le référentiel ℜ = ( O ; u x , u y , u z ) . Toutes les vitesses et déplacements dans ce chapitre sont calculés dans le référentiel ℜ . I. COORDONNÉES CARTÉSIENNES Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes ( x, y, z ) . −∞ < x, y, z < ∞ JJJJG G G G OM = xu x + yu y + zu z JJJJG G G dOM dl G G G dx G dy G dz G x + yu y + zu z = ux + u y + uz v= = = xu dt dt dt dt dt G JJJJJG G G G Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = dxu x + dyu y + dzu z . Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires. On en déduit : dτ = dx dy dz . x = cte : dS x = dy dz y = cte : dS y = dx dz z = cte : dS z = dx dy II. COORDONNÉES CYLINDRIQUES Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ( r , θ , z ) . On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l’axe Oz joue un rôle important dans l’exercice. Q Systèmes de coordonnées (35-500) Page 1 sur 3 JN Beury 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ 2π , −∞ < z < +∞ JJJJG G G OM = rur + zu z x = r cos θ y = r sin θ z = z JJJJG G dθ G dz G G dOM dl G G G dr G r + rθuθ + zu z = ur + r = = ru v= uθ + u z dt dt dt dt dt G JJJJJG G G G Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = drur + rdθ uθ + dzu z . Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires. On en déduit : dτ = ( dr )( rdθ )( dz ) . r = cte : dS r = rdθ dz θ = cte : dSθ = dr dz z = cte : dS z = dr rdθ On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr. 2 2 dr 2dr 2 π ( r + dr ) H − π r 2 H = π r 2 1 + H − π r 2 H = π r 2 1 + H − π r H = 2π rdrH r r Le volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la surface du cylindre de rayon r et de hauteur H multipliée par dr : dτ = 2π rdrH III. COORDONNÉES SPHÉRIQUES Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques ( r , θ , ϕ ) . On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle important dans l’exercice. Géographie terrestre : G ur est dirigé selon la verticale ascendante du lieu. G uθ est dirigé vers le sud. G uϕ est dirigé vers l’est. θ est appelé la colatitude. ϕ est la longitude. 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ θ ≤ π , 0 ≤ ϕ ≤ 2π JJJJG G OM = rur x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ z = r cos θ Q Systèmes de coordonnées (35-500) Page 2 sur 3 JN Beury JJJJG G dr G dθ G dϕ G G dOM dl G G G r + rθuθ + r sin θϕ uϕ = ur + r = = ru v= uθ + r sin θ uϕ dt dt dt dt dt G JJJJJG G G G Le déplacement élémentaire vaut : dl = MM ' = drur + rdθ uθ + r sin θ dϕ uϕ . Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires. On en déduit : dτ = ( dr )( rdθ )( r sin θ dϕ ) . r = cte : dS r = ( rdθ )( r sin θ dϕ ) θ = cte : dSθ = ( dr )( r sin θ dϕ ) ϕ = cte : dSϕ = dr rdθ On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr. 3 4 4 4 4 3 dr 4 3dr 4 3 2 π ( r + dr ) − π r 3 = π r 3 1 + − π r 3 = π r 3 1 + − π r = 4π r dr 3 3 3 r 3 3 r 3 Le volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr est la surface de la sphère de rayon r multipliée par dr : dτ = 4π r 2 dr IV. PRODUIT VECTORIEL AVEC UNE BASE ORTHONORMÉE DIRECTE G G On a souvent besoin dans les exercices de calculer u z ^ uθ dans les exercices. G G G G G G Un moyen mnémotechnique est d’écrire les 6 vecteurs unitaires à la suite : ur , uθ , u z , ur , uθ , u z . G G G G G G G G G Si on a trois vecteurs unitaires en suivant, alors u3 = u1 ^ u2 : ur = uθ ^ u z ou uθ = u z ^ ur G G G Sinon, il faut mettre un signe négatif : u z ^ uθ = −ur C’est très pratique à utiliser sans être obligé d’utiliser en permanence les trois doigts de la main !!! Q Systèmes de coordonnées (35-500) Page 3 sur 3 JN Beury
