coords

Q Systèmes de coordonnées (35-500) Page 1 sur 3 JN Beury
COORDONNÉES CARTÉSIENNES,
CYLINDRIQUES, SPHÉRIQUES
On considère un point M et le référentiel
(
)
;,,
x
yz
Ou u uℜ=
G
GG. Toutes les vitesses et déplacements dans ce
chapitre sont calculés dans le référentiel ℜ.
I. COORDONNÉES CARTÉSIENNES
Le point M est repéré par les coordonnées cartésiennes
(
)
,,
x
yz .
,,
x
yz−∞ < < ∞
x
yz
OM xu yu zu=++
JJJJGGGG
dd ddd
dd d d d
x
yz x y z
OM l x y z
vxuyuzuuuu
tt t t t
= ==++=++
JJJJGG
GGGGGGG
Le déplacement élémentaire vaut : d'ddd
x
yz
lMM xu yu zu==++
J
JJJJG
G
G
GG
.
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On en déduit : dddd
x
yz
τ
=.
x = cte : ddd
x
Syz=
y = cte : ddd
y
Sxz=
z = cte : ddd
z
Sxy=
II. COORDONNÉES CYLINDRIQUES
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques
(
)
,,rz θ .
On utilisera les coordonnées cylindriques dès que la distance à l’axe Oz joue un rôle important dans
l’exercice.

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0,02,rz
θ
π ≤<∞ ≤≤ −∞<<+∞
rz
OM ru zu=+
JJJJGGG
cos
sin
xr
yr
zz
θ
θ
=
=
=
dd d dd
dd d d d
rzr z
OM l r z
vruruzuuruu
tt t t t
θθ
θ
θ
===++=+ +
JJJJGG
GGGGGGG
Le déplacement élémentaire vaut : d'ddd
rz
lMM ruru zu
θ
θ ==+ +
J
JJJJG
G
G
GG
.
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On en déduit :
()( )()
ddddrr z τθ =.
r = cte : ddd
r
Sr z
θ
=
θ
= cte : dddSrz
θ
=
z = cte : ddd
z
Srr
θ
=
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr.
()
2
222 22 2
d2d
d1 12d
rr
rrHrH r HrH r HrH rrH
rr
πππ ππ ππ
+−=+ −=+ −=
Le volume élémentaire compris entre les cylindres de rayon r et de rayon r + dr est la surface du cylindre
de rayon r et de hauteur H multipliée par dr : d2drrH
τ
π
=
III. COORDONNÉES SPHÉRIQUES
Le point M est repéré par les coordonnées cylindriques
(
)
,,r
θ
ϕ .
On utilisera les coordonnées sphériques dès que la distance au centre joue un rôle important dans
l’exercice.
Géographie terrestre :
r
u
G est dirigé selon la verticale ascendante du lieu.
u
θ
G est dirigé vers le sud.
u
ϕ
G est dirigé vers l’est.
θ
est appelé la colatitude.
ϕ
est la longitude.
0,0,02r
θ
πϕπ ≤<∞ ≤≤ ≤ ≤
r
OM ru=
JJJJGG
sin cos
sin sin
cos
xr
yr
zr
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
=
=
=

Q Systèmes de coordonnées (35-500) Page 3 sur 3 JN Beury
dd d d d
sin sin
dd d d d
rr
OM l r
vrururuururu
tt t t t
θ
ϕθϕ
θ
ϕ
θθϕ θ
===++ =+ +
JJJJGG
GGGGGGG
Le déplacement élémentaire vaut : d'ddsind
r
lMM rurur u
θ
ϕ
θ
θϕ ==+ +
J
JJJJG
G
G
GG
.
Il sert pour calculer les surfaces et volumes élémentaires.
On en déduit :
()( )( )
dddsindrr r
τ
θθϕ =.
r = cte :
(
)
(
)
ddsind
r
Sr r
θ
θϕ =
θ
= cte :
()( )
ddsindSrr
θ
θ
ϕ =
ϕ
= cte : dddSrr
ϕ
θ
=
On a souvent besoin du volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr.
()
3
333 33 32
444d443d4
d1 14d
333 33 3
rr
rr r r r r r rr
rr
πππ ππ ππ
+− = + − = + − =
Le volume élémentaire compris entre les sphères de rayon r et de rayon r + dr est la surface de la sphère
de rayon r multipliée par dr : 2
d4drr τπ =
IV. PRODUIT VECTORIEL AVEC UNE BASE ORTHONORMÉE DIRECTE
On a souvent besoin dans les exercices de calculer ^
z
uu
θ
G
G dans les exercices.
Un moyen mnémotechnique est d’écrire les 6 vecteurs unitaires à la suite : ,,,,,
rzrz
uuuuuu
θθ
G
GGGGG
.
Si on a trois vecteurs unitaires en suivant, alors 312 ^uuu
=
G
GG
: ^
rz
uuu
θ
=
G
GG
ou ^
z
r
uuu
θ
=
G
GG
Sinon, il faut mettre un signe négatif : ^
z
r
uu u
θ
=
−
GG G
C’est très pratique à utiliser sans être obligé d’utiliser en permanence les trois doigts de la main !!!