UVSQ - Master Mécanique - M1ME213 Vibrations Modes de vibration des poutres Exercice 1 Vibrations longitudinales Barre+ressort On s’intéresse aux vibrations longitudinales d’une barre de longueur L et de section S homogène. Le matériau élastique dont elle est constituée est homogène de module d’Young E de masse volumique ρ. On note u(x, t) le déplacement longitudinal d’une section située à l’abscisse x. L’une des extrémités est encastrée et l’autre est appuyée sur un ressort de raideur k. Donner la valeur des pulsations propres obtenues et la forme des modes propres associés, dans le cas où k = ES/L. E,S,L k 1. Exprimer la condition d’appui sur le ressort 2. Donner la valeur des pulsations propres obtenues et la forme des modes propres associés, dans le cas où k = ES/L. Exercice 2 Vibrations de flexion des poutres On chercher à construire la forme de mouvements possibles de vibrations libres de flexion d’une poutre droite. La poutre a une longueur L, une section S et un moment quadratique I. Le matériau élastique dont elle est constituée est homogène de module d’Young E de masse volumique ρ. On note v(x, t) la flèche : déplacement transversal d’une section située à l’abscisse x. 1. Rappeler l’équation d’équilibre dynamique locale en flexion. 2. Donner les relations sur la flèche v qui définissent des conditions aux limites de type déplacement et rotation imposés nuls et de type effort et moment imposés nuls. En déduire les conditions pour l’encastrement, l’appui simple et l’extrémité libre. 3. On cherche les solutions à variables séparées v(x) = V (x)T (t). (a) Donner la forme des solutions T (t) en notant ω la pulsation. (b) Donner la forme des solutions V (x) en notant β4 = ρSω 2 EI Exercice 3 Vibration d’une poutre en appuis simples La poutre de l’exercice précédent est en appuis simples à ses deux extrémités. En déduire la valeur des pulsations propres obtenues et la forme des modes propres associés. Exercice 4 Vibration d’une poutre console (encastrée-libre) La poutre des exercices précédents est encastrée à gauche et libre à droite. En déduire la valeur des pulsations propres obtenues et la forme des modes propres associés.
