exerercice mode de vibration des poutre

UVSQ - Master Mécanique - M1ME213 Vibrations
Modes de vibration des poutres
Exercice 1 Vibrations longitudinales Barre+ressort
On s’intéresse aux vibrations longitudinales d’une barre de longueur Let de section Sho-
mogène. Le matériau élastique dont elle est constituée est homogène de module d’Young
Ede masse volumique ρ. On note u(x, t)le déplacement longitudinal d’une section située à
l’abscisse x.
L’une des extrémités est encastrée et l’autre est appuyée sur un ressort de raideur k.
Donner la valeur des pulsations propres obtenues et la forme des modes propres associés,
dans le cas où k=ES/L.
E,S,L k
1. Exprimer la condition d’appui sur le ressort
2. Donner la valeur des pulsations propres obtenues et la forme des modes propres as-
sociés, dans le cas où k=ES/L.
Exercice 2 Vibrations de flexion des poutres
On chercher à construire la forme de mouvements possibles de vibrations libres de flexion
d’une poutre droite. La poutre a une longueur L, une section Set un moment quadratique
I. Le matériau élastique dont elle est constituée est homogène de module d’Young Ede
masse volumique ρ. On note v(x, t)la flèche : déplacement transversal d’une section située
à l’abscisse x.
1. Rappeler l’équation d’équilibre dynamique locale en flexion.
2. Donner les relations sur la flèche vqui définissent des conditions aux limites de type
déplacement et rotation imposés nuls et de type effort et moment imposés nuls. En
déduire les conditions pour l’encastrement, l’appui simple et l’extrémité libre.
3. On cherche les solutions à variables séparées v(x) = V(x)T(t).
(a) Donner la forme des solutions T(t)en notant ωla pulsation.
(b) Donner la forme des solutions V(x)en notant
β4=ρSω2
EI
Exercice 3 Vibration d’une poutre en appuis simples
La poutre de l’exercice précédent est en appuis simples à ses deux extrémités. En déduire
la valeur des pulsations propres obtenues et la forme des modes propres associés.
Exercice 4 Vibration d’une poutre console (encastrée-libre)
La poutre des exercices précédents est encastrée à gauche et libre à droite. En déduire la
valeur des pulsations propres obtenues et la forme des modes propres associés.