coursMPSI-fondements

Lycée Louis-Le-Grand, Paris Année 2020/2021
Cours de mathématiques
Partie I – Les fondements
MPSI 4
Alain TROESCH
Version du:
27 août 2020

Table des matières
1 Logique et raisonnements 7
I Rudiments de logique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.1 Formule propositionnelles, prédicats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
I.2 Quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
I.3 Négations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
II Raisonnements, et principes de rédaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.1 Composition d’un texte mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.2 Comment construire une démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
II.3 Le Modus ponens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II.4 Démonstration par la contraposée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
II.5 Disjonction des cas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.6 Analyse-Synthèse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
II.7 Raisonnement par récurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
II.8 Principe de la descente infinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Ensembles 21
I Théorie intuitive des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.1 Définition intuitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
I.2 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
I.3 Opérations sur les parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
I.4 Union et intersection d’une famille de sous-ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
I.5 Partitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
I.6 Produit cartésien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
I.7 Fonction caractéristique (ou indicatrice) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
II Paradoxes ensemblistes et axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.1 La crise des fondements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
II.2 Tentatives d’axiomatisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Applications 37
I Qu’est-ce qu’une application ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
II Image directe, image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
III Injectivité, surjectivité, bijectivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
IV Cardinal d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
IV.1 Ensembles finis et cardinal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
IV.2 Règles de calcul sur les cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 Table des matières
IV.3 Comparaison des cardinaux en cas d’injectivité et surjectivité . . . . . . . . . . . . 51
IV.4 Introduction à la dénombrabilité (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4 Sommes 55
I Manipulation des signes Pet Q................................ 55
I.1 Définition des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
I.2 Changements d’indice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
I.3 Additivité par rapport aux bornes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
I.4 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
I.5 Sommes télescopiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
I.6 Cas des produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
I.7 Sommes multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
I.8 Produits de sommes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
II Sommes classiques à connaître . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II.1 Somme des puissances d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
II.2 Sommes géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
II.3 Formule du binôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
II.4 Retour sur les sommes de puissances d’entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5 Relations 71
I Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
I.1 Relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
I.2 Définition de quelques propriétés sur les relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
II Relations d’équivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
II.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
II.2 Classes d’équivalence, ensembles quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
II.3 Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III Relations d’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
III.1 Définitions générales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
III.2 Minimalité, maximalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
III.3 Le lemme de Zorn (HP) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6 Les nombres réels 83
I Un mot sur Net Z........................................ 83
I.1 Les entiers naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
I.2 Les entiers relatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
II De QàR............................................. 86
II.1 Construction de Q.................................... 86
II.2 Relation d’ordre dans Q................................. 87
II.3 De l’existence de nombres non rationnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
II.4 L’ensemble R....................................... 89
III Nombres réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
III.1 Rappels sur les opérations et les inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
III.2 Division euclidienne dans R............................... 94
III.3 Densité de Qet R\Qdans R.............................. 95
III.4 Nombres transcendants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
III.5 Partie entière, partie décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
III.6 Représentation décimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
IV Intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
IV.1 Description des intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
IV.2 Intervalles et topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
V Droite achevée R......................................... 105

Table des matières 3
7 Le corps Cdes complexes 107
I Les nombres complexes : définition et manipulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
I.1 Définition, forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
I.2 Module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
II Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
II.1 Cercle trigonométrique, formules de trigonométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
II.2 L’exponentielle complexe et applications à la trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 116
III Racines d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
III.1 Racines n-ièmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
III.2 Cas des racines carrées : expression sous forme algébrique . . . . . . . . . . . . . . 122
IV Nombres complexes et géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
IV.1 Affixes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
IV.2 Alignement, orthogonalité, angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
IV.3 Transformations du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
IV.4 Isométries et similitudes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
IV.5 Caractérisation de certains objets géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128