Université de Tlemcen Département de mathématique LMD MI Année universitaire : 2019-2020 Corrigé de la série de TD No 2 Théorème de Gauss Exercice 1 : On prend comme surface de Gauss, une sphère de centre O et de rayon r. Par raison de symétrie le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss. ∑ 𝑄𝑖𝑛𝑡 ⃗⃗⃗⃗ = ∅ = ∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 𝜀0 ∑𝑸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 ∕∕ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 Donc :∯ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠=∬ 𝐸. 𝑑𝑠 = 𝐸 ∬ 𝑑𝑠 = 𝐸. 𝑆 = 𝐸4𝜋𝑟 2 ⇒ 𝑬𝟒𝝅𝒓𝟐 = 𝒊𝒏𝒕 𝜺𝟎 1- Le champ électrostatique E(r) en tout point de l’espace. Nous avons 2 cas er 1 cas r<R R r2 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 0 ⇒ 𝑬𝟏 = 𝟎 r1 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑠 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜎4𝜋𝑅2 2eme cas r≥ 𝐑 Donc 𝐸2 4𝜋𝑟 2 = 𝜎4𝜋𝑅 2 𝜀0 𝝈𝑹𝟐 ⇒ 𝑬𝟐 = 𝜺 𝟎𝒓 𝟐 2- Le potentiel électrostatique V(r) en tout point de l’espace. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 ⇒ 𝐸 = − 𝑑𝑣 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑟 1er cas r<R 2 eme cas r≥ 𝐑 donc 𝑣 = − ∫ 𝐸𝑑𝑟 𝐸1 = 0 ⇒ 𝑣1 = 𝐶1 𝜎𝑅 2 𝐸2 = 𝜀 Le potentiel à l’infini (r 0 𝑟2 ⇒ 𝑣2 = −𝜎 𝜎𝑅 2 𝜀0 𝑑𝑟 ∫ 𝑟2 = 𝜎𝑅 2 𝜀0 𝑟 + 𝐶2 ∞) v=0 donc lim 𝑣 = 0 donc C2=0 Alors 𝒗𝟐 = 𝑟→∞ 𝝈𝑹𝟐 𝜺𝟎 𝒓 Le potentiel est une fonction continue en R donc 𝑣1 (𝑅) = 𝑣2 (𝑅) alors 𝑣1 = 𝐶1 = 𝜎𝑅 2 𝜀0 𝑅 donc 𝒗𝟏 = 3- L’allure du champ électrique et du potentiel électrique en fonction de r : E(r) v(r) 𝜎 𝜀0 𝜎𝑅 𝜀0 R r R 1 r 𝝈𝑹 𝜺𝟎 Exercice 2 : On prend comme surface de Gauss, une sphère de centre O et de rayon r. Par raison de symétrie le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss. ∑ 𝑄𝑖𝑛𝑡 ∅ = ∯ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝜀0 ∑𝑸 𝑸 ⃗⃗⃗ (∗) 𝐸 ∥ ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 Donc :∯ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠=∬ 𝐸. 𝑑𝑠 = 𝐸 ∬ 𝑑𝑠 = 𝐸. 𝑆 = 𝐸4𝜋𝑟 2 ⇒ 𝑬𝟒𝝅𝒓𝟐 = 𝒊𝒏𝒕 ⇒ 𝑬 = 𝒊𝒏𝒕 𝟐 𝜺𝟎 𝟒𝝅𝒓 𝜺𝟎 1- Le champ électrostatique E(r) en tout point de l’espace. Nous avons 2 cas 1er cas r<R R r2 𝑟 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∭ 𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋 ∫0 𝑟 2 𝑑𝑟 4 𝜋𝑟 3 3 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 4 𝜌 𝜋𝑟3 r1 𝝆 donc (∗) ⇒ 𝐸1 = 4𝜋𝑟3 2 𝜀 donc 𝑬𝟏 = 𝟑𝜺 𝒓 0 2eme cas r≥ 𝐑 𝟎 𝑅 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∭ 𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋 ∫0 𝑟 2 𝑑𝑟 donc 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 4 𝜌 𝜋𝑅3 𝝆 𝑹𝟑 (∗) ⇒ 𝐸2 = 3 2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑬𝟐 = 4𝜋𝑟 𝜀0 𝟑𝜺𝟎 𝒓𝟐 2- Le potentiel électrique v(r) en tout point de l’espace. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 ⇒ 𝐸 = − 𝑑𝑣 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑟 1er cas : r<R 𝐸1 = 𝜌 3𝜀0 𝑟 ⇒ 𝑣1 = − 2eme cas r≥ 𝐑 𝜌 𝑅3 𝐸2 = 3𝜀 2 0𝑟 𝜌 3𝜀0 ⇒ 𝑣2 = − 3𝜀0 3 𝜋𝑅3 𝑣 = − ∫ 𝐸𝑑𝑟 ∫ 𝑟𝑑𝑟 donc 𝜌 𝑅3 Le potentiel à l’infini (r donc 4 𝒗𝟏 = − 1 ∫ 𝒓𝟐 𝑑𝑟 donc 𝒗𝟐 = ∞) v=0 donc 𝒗𝟐 = 𝝆 𝟔𝜺𝟎 𝒓 𝟐 + 𝑪𝟏 𝝆 𝑹𝟑 𝟏 𝟑𝜺𝟎 𝒓 𝝆 𝑹𝟑 𝟏 + 𝑪𝟐 𝟑𝜺𝟎 𝒓 Le potentiel est une fonction continue en R donc 𝒗𝟏 (𝑹) = 𝒗𝟐 (𝑹) 𝜌 𝑅3 1 3𝜀0 𝑅 𝝆 = − 𝟔𝜺 𝑅2 + 𝐶1 ⇒ 𝐶1 = 𝟎 𝜌 𝑅2 𝜀0 1 1 ( + )= 3 6 𝜌 𝑅2 2𝜀0 donc 𝒗𝟏 = − 𝝆 𝒓𝟐 𝟔𝜺𝟎 + 𝝆 𝑹𝟐 𝟐𝜺𝟎 3- L’allure du champ électrique et du potentiel électrique en fonction de r : v(r) E(r) 𝝆 𝑹𝟐 𝟐𝜺𝟎 𝝆 𝑹 𝟑𝜺𝟎 𝝆 𝑹𝟐 𝟑𝜺𝟎 R r R r Exercice 3 : On prend comme surface de Gauss, une sphère de centre O et de rayon r. Par raison de symétrie le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss. ∑ 𝑄𝑖𝑛𝑡 ∅ = ∯ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝜀0 2 ⃗⃗⃗⃗ Donc :∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗⃗ =∬ 𝐸. 𝑑𝑠 = 𝐸 ∬ 𝑑𝑠 = 𝐸. 𝑆 = 𝐸4𝜋𝑟 2 ⇒ 𝑬𝟒𝝅𝒓𝟐 = ∑ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ⇒ 𝑬 = ⃗⃗⃗ ∥ 𝑑𝑠 𝐸 𝜺𝟎 𝑸𝒊𝒏𝒕 (∗) 𝟒𝝅𝒓𝟐𝜺𝟎 1- Le champ électrostatique E(r) en tout point de l’espace. Nous avons 3 cas 1er cas r<R1 R1 r2 𝑟 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∭ 𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋 ∫0 𝑟 2 𝑑𝑟 2 eme 4 𝜌 𝜋𝑟3 4 𝜋𝑟 3 3 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 r1 𝝆 donc (∗) ⇒ 𝐸1 = 4𝜋𝑟3 2 𝜀 donc 𝑬𝟏 = 𝟑𝜺 𝒓 0 r3 𝟎 R2 cas R1 ≤ r<R2 𝑅 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∭ 𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋 ∫0 1 𝑟 2 𝑑𝑟 donc 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 4 𝜌 𝜋𝑅13 𝝆 𝑹𝟑𝟏 (∗) ⇒ 𝐸2 = 3 2 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑬𝟐 = 4𝜋𝑟 𝜀0 𝟑𝜺𝟎 𝒓𝟐 eme 3 cas r≥R2 4 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝑄1 + 𝑄2 avec 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 Donc 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 3 4 3 𝜋𝑅13 𝜋𝑅13 et 𝑑𝑞2 = 𝜎𝑑𝑠 ⇒ 𝑄2 = 𝜎4𝜋𝑅22 4 3 𝜌 𝜋𝑅13+ 𝜎4𝜋𝑅22 4 𝜋𝑅13 + 𝜎4𝜋𝑅22 donc (∗) ⇒ 𝐸3 = 3 donc 𝑬𝟑 4𝜋𝑟2 𝜀0 = 𝝆 𝑹𝟑𝟏 𝝈𝑹𝟐𝟐 𝟑𝜺𝟎 𝒓 𝜺𝟎 𝒓𝟐 + 𝟐 2- Le potentiel électrique v(r) en tout point de l’espace. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 ⇒ 𝐸 = − 𝑑𝑣 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑟 1er cas : r<R1 𝜌 𝑣 = − ∫ 𝐸𝑑𝑟 donc 𝜌 𝝆 𝒗𝟏 = − 𝟔𝜺 𝒓𝟐 + 𝑪𝟏 𝐸1 = 3𝜀 𝑟 ⇒ 𝑣1 = − 3𝜀 ∫ 𝑟𝑑𝑟 donc 0 0 2eme cas R1 ≤ r<R2 𝐸2 = 3 eme 𝜌 𝑅13 3𝜀0 𝑟2 ⇒ 𝑣2 = − 𝜌 𝑅13 3𝜀0 𝟎 1 ∫ 𝒓𝟐 𝑑𝑟 donc 𝒗𝟐 = 𝝆 𝑹𝟑𝟏 𝟏 𝟑𝜺𝟎 𝒓 + 𝑪𝟐 cas r≥R2 𝐸3 = 𝜌 𝑅13 3𝜀0 𝑟2 + 𝜎𝑅22 𝜀0 𝑟 2 ⇒ 𝑣3 = − ( Le potentiel à l’infini (r 𝜌 𝑅13 3𝜀0 + 𝜎𝑅22 𝜀0 )∫ 1 𝒓𝟐 𝑑𝑟 donc 𝒗𝟑 = ( ∞) v=0 donc C3=0 et 𝒗𝟑 = ( 𝝆 𝑹𝟑𝟏 Le potentiel est une fonction continue : - en R2 donc 𝒗𝟑 (𝑹𝟐 ) = 𝒗𝟐 (𝑹𝟐 ) 𝜌 𝑅13 1 3𝜀0 𝑅2 + 𝜎𝑅22 1 𝜀0 𝑅2 = 𝜌 𝑅13 1 3𝜀0 𝑅2 + 𝐶2 ⇒ 𝐶2 = en R1 donc 𝒗𝟐 (𝑹𝟏 ) = 𝒗𝟏 (𝑹𝟏 ) 𝜌 − 6𝜀 𝑅12 + 𝐶1 = 0 𝜌 𝑅13 1 3𝜀0 𝑅1 + 𝜎𝑅2 𝜀0 ⇒ 𝐶1 = 𝜎𝑅2 𝜀0 𝜌 𝑅12 2𝜀0 donc 𝒗𝟐 = + 𝜎𝑅2 𝜀0 𝟑𝜺𝟎 𝝆 𝑹𝟑𝟏 + 𝝆 𝑹𝟑𝟏 𝟏 𝟑𝜺𝟎 𝒓 + 𝟑𝜺𝟎 𝝈𝑹𝟐𝟐 𝟏 𝜺𝟎 ) + 𝑪𝟑 𝒓 𝝈𝑹𝟐𝟐 𝟏 𝜺𝟎 + )𝒓 𝝈𝑹𝟐 𝜺𝟎 𝝆 donc 𝒗𝟏 = − 𝟔𝜺 𝒓𝟐 + 𝟎 𝝆 𝑹𝟐𝟏 𝟐𝜺𝟎 + 𝝈𝑹𝟐 𝜺𝟎 3- L’allure du champ électrique et du potentiel électrique en fonction de r : E(r) v(r) 𝝆 𝑹𝟐𝟏 𝝈𝑹𝟐 + 𝟐𝜺𝟎 𝜺𝟎 𝝆 𝑹𝟏 𝟑𝜺𝟎 𝝆 𝑹𝟐𝟏 𝝈𝑹𝟐 + 𝟑𝜺𝟎 𝜺𝟎 𝝆 𝑹𝟑𝟏 𝟑𝜺𝟎 𝑹𝟐𝟐 𝝈 𝜺𝟎 R1 R2 𝝆 𝑹𝟑𝟏 𝝈𝑹𝟐 + 𝟑𝑹𝟐 𝜺𝟎 r 3 R1 R2 r Exercice 4 On prend comme surface de Gauss, une sphère de centre O et de rayon r. Par raison de symétrie le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss. ∑ 𝑄𝑖𝑛𝑡 ∅ = ∯ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝜀0 ⃗⃗⃗⃗ Donc :∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗⃗ =∬ 𝐸. 𝑑𝑠 = 𝐸 ∬ 𝑑𝑠 = 𝐸. 𝑆 = 𝐸4𝜋𝑟 2 ⇒ 𝑬𝟒𝝅𝒓𝟐 = ∑ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ⇒ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 ⃗⃗⃗ ∥ 𝑑𝑠 (∗) 𝐸 𝟐 𝜺𝟎 𝟒𝝅𝒓 𝜺𝟎 1- Le champ électrostatique E(r) en tout point de l’espace. Nous avons 3 cas 1er cas r<R1 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 0 donc 𝑬𝟏 = 𝟎 2eme cas R1 ≤ r<R2 R1 r2 r1 𝑟 r3 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∭ 𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋 ∫ 𝑟 2 𝑑𝑟 4 𝜋(𝑟 3 − 𝑅13 ) 4 𝜌 3 𝜋(𝑟 3 − 𝑅13 ) (∗) ⇒ 𝐸2 = 4𝜋𝑟 2 𝜀0 eme 3 cas r≥R2 donc 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 R2 𝑅1 3 𝝆 (𝑟 3 − 𝑅13 ) 𝝆 R31 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑬𝟐 = = (𝑟 − 𝟐 ) 𝟑𝜺𝟎 𝒓𝟐 𝟑𝜺𝟎 𝒓 𝑅 4 1 3 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∭ 𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋 ∫𝑅 2 𝑟 2 𝑑𝑟 donc 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 𝜋(𝑅23 − 𝑅13 ) 4 𝜌 3 𝜋(𝑅23 − 𝑅13 ) 𝝆 (𝑹𝟑𝟐 − 𝑹𝟑𝟏 ) (∗) ⇒ 𝐸3 = 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑬 = 𝟑 4𝜋𝑟 2 𝜀0 𝟑𝜺𝟎 𝒓𝟐 2- Le potentiel électrique v(r) en tout point de l’espace. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 ⇒ 𝐸 = − 𝑑𝑣 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑟 1er cas : r<R1 donc 𝑣 = − ∫ 𝐸𝑑𝑟 𝐸1 = 0 ⇒ 𝒗 𝟏 = 𝑪𝟏 eme 2 cas R1 ≤ r<R2 R3 𝝆 𝜌 1 𝒓𝟐 𝝆 𝐸2 = 𝟑𝜺 (𝑟 − 𝒓𝟐1 ) ⇒ 𝑣2 = − 3𝜀 (∫ 𝑟𝑑𝑟 − R31 ∫ 𝒓𝟐 𝑑𝑟) donc 𝒗𝟐 = − 𝟑𝜺 ( 𝟐 + 3 eme 𝟎 0 R31 𝟎 𝒓 ) + 𝑪𝟐 cas r≥R2 𝐸3 = 𝜌 (𝑅23−𝑅13 ) 3𝜀0 𝑟2 ⇒ 𝑣3 = − 𝜌 (𝑅23 −𝑅13) Le potentiel à l’infini (r 3𝜀0 1 ∫ 𝑟2 𝑑𝑟 donc 𝒗𝟑 = ∞) v=0 donc C3=0 et 𝒗𝟑 = 𝝆 (𝑹𝟑𝟐 −𝑹𝟑𝟏 ) 𝟏 𝟑𝜺𝟎 𝒓 + 𝑪𝟑 𝝆 (𝑹𝟑𝟐 −𝑹𝟑𝟏 ) 𝟏 𝟑𝜺𝟎 𝒓 Le potentiel est une fonction continue : - en R2 donc 𝒗𝟑 (𝑹𝟐 ) = 𝒗𝟐 (𝑹𝟐 ) 𝝆 (𝑹𝟑𝟐 −𝑹𝟑𝟏 ) 1 𝟑𝜺𝟎 - 𝑅2 𝑹𝟐 𝝆 R3 𝜌𝑅22 𝟐 3𝜀0 = − 𝟑𝜺 ( 𝟐𝟐 + 𝑹1 ) + 𝐶2 ⇒ 𝐶2 = 𝟎 𝜌𝑅 2 𝜌𝑅22 0 2𝜀0 + 6𝜀 2 = 𝒓𝟐 𝝆 donc 𝒗𝟐 = − 𝟑𝜺 ( 𝟐 + 𝟎 R31 𝒓 )+ 𝝆𝑹𝟐𝟐 𝟐𝜺𝟎 en R1 donc 𝒗𝟐 (𝑹𝟏 ) = 𝒗𝟏 (𝑹𝟏 ) 𝑹𝟐 𝝆 R3 𝝆𝑹𝟐 𝜌 𝑅12 𝟎 2𝜀0 𝐶1 = − 𝟑𝜺 ( 𝟐𝟏 + 𝑹1 ) + 𝟐𝜺 𝟐 ⇒ 𝑣1 = − 𝟎 𝟏 𝜌𝑅 2 + 2𝜀 2 0 Exercice 5 : On considère comme surface de gauss un cylindre de rayon r et de hauteur h. A cause e la symétrie, le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss 4 ∑𝑄 𝑑𝑠 = 𝜀 𝑖𝑛𝑡 ∬ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ D’après le Théorème de Gauss : ∅ = 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ∬ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∅ = ∬𝐸 𝐸 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 + ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 ┴ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⟹ ∬ ⃗⃗⃗ 𝐸. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = 0 ⃗𝐸 ∥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 Donc : ∅ = ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 =𝐸. ∫ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = 𝐸. 𝑆𝑙𝑎𝑡 ⇒ ∅ = 𝑬𝟐𝝅𝒓𝒉 = ∑ 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜀0 ∑𝑸 𝒊𝒏𝒕 donc 𝑬 = 𝟐𝝅𝒓𝒉𝜺 𝟎 1- Le champ électrique er 1 cas 𝑟 < 𝑅 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 0 ⟹ 𝑬𝟏 = 𝟎 2eme cas r≥ 𝐑 Donc 𝐸2 2𝜋𝑟ℎ = R r1 𝑑𝑞 = 𝜎𝑑𝑠 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜎𝑆 = 𝜎2𝜋𝑅ℎ 𝜎2𝜋𝑅ℎ 𝜀0 r2 𝝈𝑹 ⇒ 𝑬𝟐 = 𝜺 𝟎𝒓 2- Le potentiel : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸 = 𝐸 (𝑟) ⟹ 𝐸 = − ⃗⃗⃗ 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑉 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑉 = − ∫ 𝐸. 𝑑𝑟 𝑑𝑟 𝐸1 = 0 ⟹ 𝑉1 = 𝑪𝟏 𝝆𝑹 𝟏 𝝈𝑅 1 𝝈𝑹 𝑬𝟐 = 𝜺 𝒓 ⟹ 𝑉2 = − 𝜀 ∫ 𝑟 . 𝑑𝑟 = − 𝜺 𝒍𝒏𝒓 + 𝑪𝟐 (0.5pts) 𝟎 0 𝟎 Exercice 5 On considère comme surface de gauss un cylindre de rayon r et de hauteur h. A cause e la symétrie, le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss. ∑𝑄 D’après le Théorème de Gauss : ∅ = ∬ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝜀 𝑖𝑛𝑡 0 ⃗⃗⃗⃗⃗ = 2 ∬ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ . 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∅ = ∬𝐸 𝐸 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 + ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ┴ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸 𝑑𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⟹ ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = 0 𝐸⃗ ∥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 Donc : ∅ = ∬ ⃗⃗⃗ 𝐸. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 =𝐸. ∫ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = 𝐸. 𝑆𝑙𝑎𝑡 ⇒ ∅ = 𝑬𝟐𝝅𝒓𝒉 = ∑ 𝑸𝒊𝒏𝒕 r2 𝜺𝟎 1- Le champ électrique Pour : 𝑟 < 𝑅 𝑟 𝑄𝑖𝑛𝑡 = ∭ 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌 ∫ 2𝜋ℎ𝑟𝑑𝑟 = 𝜌𝜋ℎ𝑟 2 ⇒ 𝐸2𝜋𝑟ℎ = 𝝆 0 𝜌𝜋ℎ𝑟 2 𝜀0 ⟹ 𝑬𝟏 = 𝟐𝜺 𝒓 𝟎 Pour : 𝑟 ≥ 𝑅 𝑅 𝑄𝑖𝑛𝑡 𝜌𝜋ℎ𝑅2 = ∭ 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌 ∫ 2𝜋ℎ𝑟𝑑𝑟 = 𝜌𝜋ℎ𝑅 ⇒ 𝐸2𝜋𝑟ℎ = 𝜀0 0 ⟹ 𝑬𝟐 = R 2 𝝆𝑹𝟐 𝟏 𝟐𝜺𝟎 𝒓 2- Le potentiel : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑉 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝐸 = 𝐸 (𝑟) ⟹ 𝐸 = − ⃗⃗⃗ 𝐸 = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑉 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑉 = − ∫ 𝐸. 𝑑𝑟 𝑑𝑟 5 r1 𝜌 𝝆 𝑉1 = − ∫ 𝐸1 . 𝑑𝑟 ⟹ 𝑉1 = 2𝜀 ∫ 𝑟𝑑𝑟 = − 𝟒𝜺 𝒓𝟐 + 𝑪𝟏 𝜌𝑅2 0 𝝆𝑹𝟐 1 𝟎 𝑉2 = − ∫ 𝐸2 . 𝑑𝑟 = − 2𝜀 ∫ 𝑟 . 𝑑𝑟 = − 𝟐𝜺 𝒍𝒏𝒓 + 𝑪𝟐 0 𝟎 Exercice 6 : On considère comme surface de gauss un cylindre de rayon r et de hauteur h. A cause e la symétrie, le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss. ∑𝑄 D’après le Théorème de Gauss : ∅ = ∬ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝜀 𝑖𝑛𝑡 0 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∅ = ∬ ⃗⃗⃗ 𝐸 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 2 ∬ ⃗⃗⃗⃗ 𝐸 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 + ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝐸 ┴ 𝑑𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⟹ ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = 0 ⃗𝐸 ∥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 Donc : ∅ = ∬ ⃗⃗⃗ 𝐸. ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 =𝐸. ∫ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = 𝐸. 𝑆𝑙𝑎𝑡 ⇒ ∅ = 𝑬𝟐𝝅𝒓𝒉 = ∑ 𝑸𝒊𝒏𝒕 R2 rR11 𝜺𝟎 Le champ électrique 1er cas r<R1 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 0 donc 𝑬𝟏 = 𝟎 2eme cas R1 ≤ r<R2 𝑟 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∭ 𝑑𝑣 = 𝜌2𝜋ℎ ∫ 𝑟𝑑𝑟 donc 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 𝜋ℎ(𝑟 2 − 𝑅12 ) 𝜌 𝜋ℎ (𝑟 2 − 𝑅12 ) 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐸2 2𝜋𝑟ℎ = 𝜀0 eme 3 cas r≥R2 𝑅1 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑬𝟐 = 𝝆 (𝑟 2 − 𝑅12 ) 𝝆 R21 = (𝑟 − ) 𝟐𝜺𝟎 𝒓 𝟐𝜺𝟎 𝒓 𝑅 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 ∭ 𝑑𝑣 = 𝜌2𝜋ℎ ∫𝑅 2 𝑟 2 𝑑𝑟 donc 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜌 𝜋ℎ(𝑅22 − 𝑅12 ) 1 𝝆 (𝑹𝟐𝟐 − 𝑹𝟐𝟏 ) 𝜌 𝜋ℎ(𝑅22 − 𝑅12 ) 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑬𝟑 = 𝜀0 𝟐𝜺𝟎 𝒓 3- Le potentiel électrique v(r) en tout point de l’espace. 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝐸3 2𝜋𝑟ℎ = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑣 ⇒ 𝐸 = − 𝑑𝑣 𝐸⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑑𝑟 1er cas : r<R1 donc 𝑣 = − ∫ 𝐸𝑑𝑟 𝐸1 = 0 ⇒ 𝒗 𝟏 = 𝑪𝟏 2eme cas R1 ≤ r<R2 𝝆 𝐸2 = 𝟐𝜺 (𝑟 − R21 𝟎 𝝆 (𝑹𝟐𝟐 −𝑹𝟐𝟏 ) 𝟐𝜺𝟎 𝒓 1 𝒓𝟐 𝝆 0 3eme cas r≥R2 𝐸3 = 𝜌 ) ⇒ 𝑣2 = − (∫ 𝑟𝑑𝑟 − R21 ∫ 𝑑𝑟) donc 𝒗𝟐 = − ( − R21 lnr) + 𝑪𝟐 𝒓 2𝜀 𝒓 𝟐𝜺 𝟐 ⇒ 𝑣3 = − 𝝆 (𝑹𝟐𝟐 −𝑹𝟐𝟏 ) 𝟐𝜺𝟎 𝟎 1 ∫ 𝑟 𝑑𝑟 donc 𝒗𝟑 = − 𝝆 (𝑹𝟐𝟐 −𝑹𝟐𝟏 ) 𝟐𝜺𝟎 𝒍𝒏 𝒓 + 𝑪𝟑 Exercice 7 On considère comme surface de gauss un cylindre de rayon r et de hauteur h. A cause e la symétrie, le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss ∑𝑄 D’après le Théorème de Gauss : ∅ = ∬ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝑖𝑛𝑡 𝜀0 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∅ = ∬ ⃗⃗⃗ 𝐸 . ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 2 ∬ ⃗⃗⃗⃗ 𝐸 . ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 + ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ 𝐸 ┴ 𝑑𝑠 𝑏𝑎𝑠𝑒 ⟹ ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = 0 6 ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐸⃗ ∥ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 Donc : ∅ = ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = ∬ 𝐸. 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 =𝐸. ∫ 𝑑𝑠𝑙𝑎𝑡 = 𝐸. 𝑆𝑙𝑎𝑡 R ⇒ ∅ = 𝑬𝟐𝝅𝒓𝒉 = ∑ 𝑄𝑖𝑛𝑡 donc 𝑬 = 𝜀0 ∑ 𝑸𝒊𝒏𝒕 r1 𝟐𝝅𝒓𝒉𝜺𝟎 r2 1- Le champ électrique 1er cas 𝑟 < 𝑅 𝑑𝑞 = 𝜆𝑑𝑙 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜆𝑙 𝐸1 2𝜋𝑟ℎ = 𝜆ℎ 𝜀0 𝝀 ⇒ 𝑬𝟏 = 2𝜋𝑟 𝜀0 2eme cas r≥ 𝐑 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝑄1 + 𝑄2 𝑑𝑞2 = 𝜎𝑑𝑠 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜎𝑆 = 𝜎2𝜋𝑅ℎ Donc 𝐸2 2𝜋𝑟ℎ = 𝜆ℎ+𝜎2𝜋𝑅ℎ 𝜀0 donc 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝜆ℎ + 𝜎2𝜋𝑅ℎ 𝝀 𝝈𝑹 ⇒ 𝑬𝟐 = 2𝜋𝑟𝜺 + 𝜺 𝟎 2- Cherchons λ pour laquelle E2=0 𝟎𝒓 𝜆 𝜎𝑅 𝜆 𝜎𝑅 2𝜋𝜎𝑅 + ⇒ =− 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝜆 = − 2𝜋𝑟𝜺𝟎 𝜀0 𝑟 2𝜋𝑟𝜺𝟎 𝜀0 𝑟 ℎ Exercice 8: On prend comme surface de Gauss, une sphère de centre O et de rayon r. Par raison de symétrie le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss. ∑ 𝑄𝑖𝑛𝑡 ∅ = ∯ 𝐸⃗ . ⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝑠 = 𝜀0 ⃗⃗⃗⃗ Donc :∯ 𝐸⃗ . 𝑑𝑠 ⃗⃗⃗⃗ =∬ 𝐸. 𝑑𝑠 = 𝐸 ∬ 𝑑𝑠 = 𝐸. 𝑆 = 𝐸4𝜋𝑟 2 ⇒ 𝑬𝟒𝝅𝒓𝟐 = ∑ 𝑸𝒊𝒏𝒕 ⇒ 𝑬 = 𝑸𝒊𝒏𝒕 ⃗⃗⃗ ∥ 𝑑𝑠 (∗) 𝐸 𝟐 𝜺𝟎 𝟒𝝅𝒓 𝜺𝟎 1- Le champ électrostatique E(r) en tout point de l’espace. Nous avons 2 cas 1er cas r<R 𝑟 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 avec 𝜌 = 𝐴𝑟 2 donc 𝑑𝑞 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 = 𝐴4𝜋𝑟 4 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = ∭ 𝜌𝑑𝑣 = 𝐴4𝜋 ∫0 𝑟 4 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝐴 4 5 2eme cas r≥ 𝐑 4 𝜋𝑟5 𝐴 𝜋𝑟5 𝑨 5 𝟑 donc (∗) ⇒ 𝐸1 = 4𝜋𝑟 2 𝜀 donc 𝑬𝟏 = 𝟓𝜺 𝒓 0 𝟎 𝑅 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝑣 = 𝜌4𝜋𝑟 2 𝑑𝑟 ⇒ 𝑄𝑖𝑛𝑡 = ∭ 𝜌𝑑𝑣 = 𝐴4𝜋 ∫0 𝑟 4 𝑑𝑟 donc 𝑄𝑖𝑛𝑡 = 𝐴 4 𝐴 5 𝜋𝑅5 𝑨 𝑹𝟓 (∗) ⇒ 𝐸2 = 𝑑𝑜𝑛𝑐 𝑬 = 𝟐 4𝜋𝑟 2 𝜀0 𝟓𝜺𝟎 𝒓𝟐 7 R 4 𝜋𝑅5 5 r2 r1
