TD 2 + CORRIGE

1
Université de Tlemcen
Département de mathématique Année universitaire : 2019-2020
LMD MI
Corrigé de la série de TD No 2
Théorème de Gauss
Exercice 1 :
On prend comme surface de Gauss, une sphère de centre O et de rayon r. Par raison de symétrie le
champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss.
Donc :
=
1- Le champ électrostatique E(r) en tout point de l’espace.
Nous avons 2 cas
1er cas r<R  
2eme cas r  
Donc 
2- Le potentiel électrostatique V(r) en tout point de l’espace.
 donc 
1er cas r<R 
2eme cas r 
Le potentiel à l’infini (r ∞) v=0 donc 
 donc C2=0 Alors 
Le potentiel est une fonction continue en R donc  alors 
 donc 
3- L’allure du champ électrique et du potentiel électrique en fonction de r :
R
r1
r2
E(r)
R
r
v(r)
r
R

2
Exercice 2 :
On prend comme surface de Gauss, une sphère de centre O et de rayon r. Par raison de symétrie le
champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss.
Donc :
=
1- Le champ électrostatique E(r) en tout point de l’espace.
Nous avons 2 cas
1er cas r<R
 donc 
2eme cas r
 donc  
2- Le potentiel électrique v(r) en tout point de l’espace.
 donc 
1er cas : r<R
 donc  
2eme cas r
 donc 
Le potentiel à l’infini (r ∞) v=0 donc 
Le potentiel est une fonction continue en R donc 
 donc 
3- L’allure du champ électrique et du potentiel électrique en fonction de r :
Exercice 3 :
On prend comme surface de Gauss, une sphère de centre O et de rayon r. Par raison de symétrie le
champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss.
R
r1
r2
R
r
E(r)
r
R
v(r)

3
Donc :
=
1- Le champ électrostatique E(r) en tout point de l’espace.
Nous avons 3 cas
1er cas r<R1
 donc 
2eme cas R1  rR2
 donc  
3eme cas rR2
 avec  
 et 
Donc  
 donc 
 donc 
2- Le potentiel électrique v(r) en tout point de l’espace.
 donc 
1er cas : r<R1
 donc  
2eme cas R1  rR2
 donc 
3eme cas rR2
 donc 
Le potentiel à l’infini (r ∞) v=0 donc C3=0 et 
Le potentiel est une fonction continue :
- en R2 donc 
 donc 
- en R1 donc 
 donc  
3- L’allure du champ électrique et du potentiel électrique en fonction de r :
R1
r1
r2
R2
r3
r
R1
R2
E(r)
r
R1
v(r)
R2

4
Exercice 4
On prend comme surface de Gauss, une sphère de centre O et de rayon r. Par raison de symétrie le
champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss.
Donc :
=
1- Le champ électrostatique E(r) en tout point de l’espace.
Nous avons 3 cas
1er cas r<R1
  donc 
2eme cas R1  rR2
donc  
3eme cas rR2
 donc  
2- Le potentiel électrique v(r) en tout point de l’espace.
 donc 
1er cas : r<R1
2eme cas R1  rR2
 donc 
3eme cas rR2
 donc 
Le potentiel à l’infini (r ∞) v=0 donc C3=0 et 
Le potentiel est une fonction continue :
- en R2 donc 
 donc 
- en R1 donc 
Exercice 5 :
On considère comme surface de gauss un cylindre de rayon r et de hauteur h.
A cause e la symétrie, le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss
R1
r1
r2
R2
r3

5
D’après le Théorème de Gauss : 
┴
Donc : 
= 
 donc  
1- Le champ électrique
1er cas 
2eme cas r  
Donc 
2- Le potentiel :
Exercice 5
On considère comme surface de gauss un cylindre de rayon r et de hauteur h.
A cause e la symétrie, le champ est radial et constant en tout point de la surface de Gauss.
D’après le Théorème de Gauss : 
┴
Donc : 
= 
1- Le champ électrique
Pour : 
Pour : 
2- Le potentiel :
R
r1
r2
R
r2
r1