Transformée de Laplace : Théorèmes et Stabilité des Systèmes

Transform´ee de Laplace - Annexe
Th´eor`eme Convergence domin´ee
Soit Iun intervalle de IR, et (fn)une suite de fonctions int´egrables sur Itelles que :
—(fn)converge simplement vers fsur I, i.e.
∀x∈I, lim
n→+∞
fn(x) = f(x)
— il existe une fonction gint´egrable telle que
∀n∈IN,∀x∈I, |fn(x)|6|g(x)|
alors, fest int´egrable sur Iet,
lim
n→+∞ZI
fn(x)dx=ZIlim
n→+∞
fn(x)dx =ZI f(x)dx
Th´eor`eme Th´eor`eme de la valeur finale
Soit Fla transform´ee de Laplace d’une fonction f, i.e. F(p) = Lf(t)U(t).
Si les fonctions consid´er´ees ont des limites dans les conditions indiqu´ees, on a :
lim
p→0+pF (p) = lim
t→+∞
f(t)(th´eor`eme de la valeur finale)
D´emonstration: D’apr`es la transform´ee de Laplace d’une d´eriv´ee, on a, pF (p) = L(f′(t)) + f(0+), soit,
pF (p) = Z+∞
0
f′(t)e−pt dt +f(0+)
et donc,
lim
p→0pF (p) = lim p→0Z+∞
0
f′(t)e−pt dt+f(0)
D’apr`es le th´eor`eme de convergence domin´ee, si . . ., on peut alors inverser la limite et l’int´egrale :
lim
p→0pF (p) = Z+∞
0
lim
p→0f′(t)e−ptdt +f(0+)
=Z+∞
0
f′(t)dt +f(0+)
=hf(t)i+∞
0+f(0+)
= lim
t→+∞
f(t)−f(0) + f(0)
= lim
t→+∞
f(t)
Y. Morel - xymaths.free.fr Transform´ee de Laplace - Annexe 1/2

Th´eor`eme Stabilit´e d’un syst`eme lin´eaire
Soit un syst`eme lin´eaire mod´elis´e par la fonction de transfert dans le domaine de Laplace
H(p).
Alors, le syst`eme est stable si et seulement si tous les pˆoles de H(p)sont `a partie r´eelle
n´egative.
D´emonstration: La fonction de transfert d’un syst`eme lin´eaire peut s’´ecrire sous la forme d’une fraction
rationnelle :
H(p) = N(p)
D(p)
o`u le num´erateur N(p) et le d´enominateur D(p) sont des polynˆomes en p.
La stabilit´e d’un syst`eme est d´efinie ainsi : lorsque l’une entr´ee e(t) est une impulsion de Dirac, alors
le syst`eme est stable si il retourne `a son ´etat au repos apr`es un temps suffisamment long.
Plus pr´ecis´ement, cela s’´ecrit,
si , e(t) = δ(t),alors, lim
t→+∞
s(t) = 0
Si e(t) = δ(t), alors E(p) = 1, et donc S(p) = H(p) : la fonction de transfert est la r´eponse
impulsionnelle du syst`eme.
Les pˆoles de H(p) sont les racines de son d´enominateur, c’est-`a-dire les racines de D(p).
D(p) est un polynˆome de degr´e n, et admet donc nracines, distinctes ou non, complexes :
p1,p2, . . ., pn.
— Si toutes les racines sont simples (ou 2 `a 2 distinctes), on peut d´ecomposer en ´el´ements simples
H(p) selon :
H(p) = a1
p−p1
+a2
p−p2
+... an
p−pn
Ainsi, en repassant dans le domaine temporel (transfom´ee de Laplace inverse),
H(t) = a1e−p1tU(t) + ane−pntU(t) + . . . ane−pntU(t)
Pour p=α+jβ un nombre complexe (avec j2=−1, α∈IR et β∈IR), on a
e−pt =e−(α+jβ)t=e−αt e−jβt
et donc, comme |e−jβt|= 1 pour tout t,
si α > 0,lim
t→+∞
e−αt = 0
si α < 0,lim
t→+∞
e−αt = +∞
et donc, en appliquant cette d´ecomposition `a toutes les racines de D(p), si un pˆole de H(p) `a sa
partie r´eelle n´egative alors, lim
t→+∞
s(t) = +∞: le syst`eme est instable.
— Si un ou plusieurs pˆoles p1,p2,. . .pjsont multiples, alors la d´ecomposition en ´el´ements simples
de H(p) contient des termes de la forme
a
(p−p1)m
qui donne un terme en temporel de la forme
e−p1ttm−1U(t).
En d´ecomposant ce pˆole p1en partie r´eelle et imaginaire, comme pr´ec´edement, on aboutit `a la
mˆeme conclusion.
Y. Morel - xymaths.free.fr Transform´ee de Laplace - Annexe 2/2