probabilites-cours-1-2

Pr H.Bouramdane
2 Bac GCC
Lycée technique El-Maghrib El-Arabi
2019/2020
CALCUL DE PROBABILITES
I-Expérience aléatoire - Evénement- Univers:
1-Activité :
expérience 1 : On lance un dé (cube à six faces numérotés de 1 à 6 ) et on note le résultat
de la face supérieure.Quel sont les résultats possibles ?
expérience 2 : On lance une pièce de monnaie 3 fois successives et on note à chaque fois
le résultat de la face supérieure.Quels sont les résultats possibles ?
2-Expérience aléatoire-Eventualité-Univers-Evénement :
Définitions et exemples
Expérience aléatoire : On appelle expérience aléatoire toute expérience dont les résultats possibles sont
connus mais on ne peut pas donner le résultat exact avant de la réaliser.
exemple : expérience 1 et expérience 2
Les résultats possibles de ces deux expériences aléatoires :
exemple: expérience 1:
expérience 2 :
 1,2,3,4,5,6 
 FFF, FFP,FPF,FPP, PPP,PPF,PFP, PFF 
Eventualité-Evénement élémentaire : Chaque cas possible s’appelle éventualité ou événement élémentaire.
expérience 1:
exemple:
expérience 2:
 1 est une éventualité
 FPF  est une éventualité
Univers : les éventualités ( ou les événements élémentaires ) constituent un ensemble qu
on appelle univers.
On le note 
 1,2,3,4,5,6 
   FFF, FFP ,FPF, FPP, PPP ,PPF, PFP, PFF 
expérience 1:  
expérience 2:
Evènement : toute partie A de
 s’appelle événement .
expérience 1: A=  1,4  est un événement.
expérience 2: B=  FFP,PPF,PFF  est un événement.
3- Vocabulaire et notation :
• L’événement A   s’appelle événement impossible .
• L’événement A =
 s’appelle événement certain .
U
• L’événement A B est l’ensemble constitué par des éventualités réaliséés à la fois par les deux
événements A et B .
B   2,3,4,6 
alors
A
U
expérience1: A  1,3,4  et
B =  3,4 
• L’événement A U B est l’ensemble constitués par des éventualités réalisées soit par l’événement
A ou par l’événement B .
1
expérience1: A  1,3,4  et
B   on dit que A et B sont deux événements incompatibles .
expérience1: A  1,3,4 
et B   2,6 alors
A
B=
_
B   et A U B   alors B s’appelle l’événement contraire de A on le note B
et on a A  B
_
A  B .On dit que A et B constituent une partition de 
A  1,4  l’événement contraire de A est A   2,3,5,6
_
expérience1:
et
_
U
• Si A
A U B =  1,2,3,4,6 
alors
U
U
• Si A
B   2,3,4,6 
expérience2: B  FFP, PPF,PFF  l’événement contraire de A est B   FPP;FPF;PFP;FFF;PPP 
_
II- Notion de probabilité :
1- Activité :
On lance dans l’air une pièce de monnaie et on marque à chaque fois la face supérieur.
On répéte cet expérience 100 fois. Ce tableau donne le nombre de réalisations de chaque face:
face
Nombres des
fois
F
P
53
47
1.Déterminer l
événement élémentaire qui a la plus grande chance d être réaliser.
2.Déterminer l
événement élémentaire qui a la plus petite chance d être réaliser.
1.C
est l
événement élémentaire
F qui a la plus grande chance d être réaliser.
On dit que la probabilité de l événement élémentaire
2.Cest l événement élémentaire
53
F est 53 on écrit p  F   
100
100
P qui a la plus petite chance d être réaliser.
On dit que la probabilité de l événement élémentaire
P est 53 on écrit p  P    47
100
100
2- Définition:
Soit  
 x1 , x 2 ,.... , x n  univers des éventualités d’une expérience aléatoire .
Lorsque on répète une expérience aléatoire N fois dans les mêmes conditions si n i est le nombre
de fois qu' on a obtenue x i . Le nombre n i s’appelle la probabilité de l’ événement élémentaire
N
n
on note pi  p  x i    i
on a:
p1  p2  p3  pn  1 .
N
La probabilité d’un événement A est la somme des probabilités des événements
élémentaires qui le constituent:
Si A 
 x1 , x 3 , x 7  alors p  A   p  x   p  x   p  x 
1
2
3
7
 xi
Exemple
Dans l' activité précédente:   
F , P  donc
p 
F   + p  P    1
Propriété
A et B sont deux événements d’un univers  d’une expérience aléatoire
A   : 0  p  A   1 ;
p   1
;
p   0
p  A  B  p  A  p  B  p  A  B
 
p A  1  p  A .
Exercice 1
Une urne contient 3 boules blanches numérotées de 1 à 3 et 5 boules vertes numérotées de 1 à 5
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
On tire au hasard une boule de l' urne.
1) Déterminer Ω l' univers des cas possibles.
2) Déterminer la probabilité de chaque événement élémentaire.
3) Considérons les événements suivants :
A : " La boule tirée est blanche "
B : " La boule tirée porte un numéro supérieur ou égal à 4 "
C : " La boule tirée est verte et porte un numéro pair "
a) Calculer p(A) , p(B) et p(C)
b) Déterminer AUB puis montrer que p(AUB) = p(A) + p(B)
c) A-t-on p(B UC) = p(B) + p(C)
4) Considérons les événements suivants :
D : " La boule tirée est verte "
E : " La boule tirée est blanche ou porte un numéro impair "
Calculer p(D) et p(E) en utilisant 3)a)
3- Hypothèse d' équiprobabilité :
Propriété
Soit une expérience aléatoire d' univers
 ou tout les événements élémentaires
ont même probabilité alors probabilité d’un évènement A de
p  A 
cardA
card
3
 est :
emarque
L' équiprobabilité est exprimé par les expressions suivantes:
-Les boules sont indiscernables au toucher.
-On lance un dé au hasard .
-On lance une pièce de monnaie équilibrée .
Exemple
On lance au hasard dans l’air un dé et on note le nombre de points de la face supérieur.
cardA
4
avec   1,2,3,4,5,6 
Soit l' événement : A= { 1,2,5,6 } on a p(A)=

card 
6
Exercice 2
On lance trois fois de suite une pièce de monnaie équilibrée.
1) Déterminer l' univers des cas possibles.
2) Calculer la probabilité de chacun des événements suivants:
A:"
Obtenir au moins deux piles "
B:" Obtenir face au premier lancer et pile au deuxième lancer "
C:"
Obtenir au plus une fois pile
"
3) Les deux événements A et C sont ils incompatibles ?
4- Exercices d' application:
Exercice 3
Un sac contient 4 boules rouges, 3 boules vertes et 2 boules blanches. On tire simultanément
et au hasard 3 boules du sac.
1) combien y' a-t-il de résultats possibles ?
2) Calculer la probabilité de chaque événement :
A:" Obtenir 3 boules de même couleur "
B :" Obtenir 3 boules de couleurs distinctes deux à deux "
C:" Obtenir 3 boules de couleurs distinctes"
D :" Obtenir au plus 2 boules rouges "
E :" Obtenir au moins une boule blanche "
Exercice 4
Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher : 3 rouges numérotées 1,0,2 et 5 noires
numérotés:0,0,0,1,1.
On tire successivement et sans remise 3 boules de l' urne.
1)Calculer les probabilités de chacun des événements suivants:
A:"
Obtenir 3 boules de même couleur "
B:" Obtenir 3 boules avec des numéros pairs "
C:"
Obtenir 3 boules avec 3 numéros disjoints deux à deux "
D:"
Obtenir 3 boules de même numéro "
2)Calculer les probabilités de chacun des événements suivants:
U
Ā , A
B
puis
AU B
4
III- Probabilité conditionnelle- indépendance de deux événements:
1- Probabilité conditionnelle -indépendance de deux événements:
Définitions
A et B sont deux événements d’un univers  d’une expérience aléatoire .
Probabilité de l’événement B sachant que l’événement A est réalisé est
on la note par p A  B  ou par
 
p B/ A donc on a p A  B  
pA
B
p  A
.
p  A B
p  A
A et B sont deux événements indépendants si p  A B   p  A   p  B  c' est à dire: pA  B   p  B  .
Proprietés
p  A   0 et p  B   0
A et B deux évenements non vides c à d :
p  A B   p  A  p A  B   p  B  pB  A 
On a :
Exercice 5 :
Un sac contient 10 boules indiscernables au toucher : 5 boules noires numérotées 0,0,0,1,1
3 boules blanches numérotées 1,1,2
2 boules rouges numérotées 2,2
On tire simultanément et au hasard 3 boules du sac
On considère les deux événements suivants :
A : " les boules tirées ont la même couleur "
B : " les boules tirées portent le même numéro "
1)Calculer p  A  , p  B  et p  A
B
2)Est-ce que les événements A et B sont indépendants ?
3) Calculer la probabilité de chaque événement :
C : " les boules tirées portent le même numéro sachant qu' il ont la même couleur "
D : " les boules tirées ont la même couleur sachant qu' il portent le même numéro "
2- Expérience composée :
Définitions
A1 et A 2 sont deux
partition de
événements d’un univers  d’une expérience aléatoire et qui forment une
 c à d A1 et A 2 sont disjoints et A1 U A2   .
La probabilité d’un événement
B de  est :
5
p  B   p  A1  p A1  B   p  A2  p A2  B 
Exemple
On considère deux urnes
U1 et U2
tel que :
U1 contient 5 jetons rouges et 3 jetons verts.
U 2 contient 4 jetons rouges, 2 jetons verts et 5 jetons bleu
On choisit au hasard une urne puis on tire un seul jeton .
Soit l’événement
le jeton tiré a la couleur verte
On construit l’arbre de probabilité :
On calcule la probabilité de l’événement V :
On considère les événements suivants :
U1
On a :
Donc :
« le choix de l’urne
V   U1
V
p  V   P   U1
 p  U1
U1
 U2
V
U2
»
« le choix de l’urne
U2
»
V
 U2
V   p  U2
V
V
 p  U1  p U1  V   p  U 2  p U2  V 
1 3 1 2
   
2 8 2 11
D' ou
p V 
49
176
IV- Variable aléatoire- loi de probabilité :
1- Variable aléatoire:
Activité
Un sac contient 6 cartes indiscernables au toucher numérotés de 1 à 6 .
On tire au hasard et simultanément 3 cartes du sac.
On associe chaque à tirage le nombre de cartes qui portent un numéro pair.
Cette relation est entre l’ensemble des cas possible  et l’ensemble
On la note X et on l' appelle variable aléatoire sur  et on a:
6
X:  
X  Ai   xi
Ai
xi
x
x
x
x
0
1
2
3
est le nombre de cartes de numéros pairs pour chaque tirage
. Ai
:" toutes les cartes tirées portent des numéros impairs "
:" une seule carte des cartes tirées porte un numéro pair "
:" deux cartes exactement des cartes tirées porte un numéro pair "
:" les trois cartes tirées portent des numéros pairs "
Les valeurs du variable aléatoire X sont : 0,1,2,3 et on écrit :
ocabulaire
X     x1 , x2 , x3 ,..., xn  l' ensemble des valeurs de la variable aléatoire X.
En général on note:

X    0,1, 2,3


L’écriture p X  xi c’est la probabilité de l’événement A  X  xi
i

Exemple
Calculer la probabilité de chaque valeur de la variable aléatoire X de l' activité précédente.
On tire simultanément 3 cartes parmi 6 donc card  
p  X  0 
p  X  1 
p  X  2 
p  X  3 
card  X  0 
card
card  X  1 
card
card  X  2 
card
card  X  3 
card
3
3
3
6

1
3


1
20
2
3

3
6
2


3
1
3

3
6
3
3
3
6

3
6

6 5 4
 20
321
" X = 0 " : 3 cartes impairs

9
20
" X = 1"
: 1pair et 2 impairs

9
20
" X = 2"
: 2pairs et 1 impair
1
20
" X = 3"
: 3 cartes pairs
2- Loi de probabilité d'une variable aléatoire:
Définition:
Soit
X une variable aléatoire définie sur un univers  d’une expérience aléatoire .
L’ensemble des valeurs de
X est X     x1 , x2 , x3 ,..., xn 
Loi de probabilité de X : c’est de calculer toutes les probabilités p  X  xi  avec xi  X 
 
On peut donner la loi de probabilité de la variable aléatoire X sous forme d’un tableau :
xi
p  X  xi 
x1
p  X  x1 
x2
.....
xn
p  X  x2 
.....
p X  xn
7


Remarque:
p  X  x1   p  X  x2   p  X  x3  
 p  X  xn   1
Exemple
La loi de probabilité du variable aléatoire X de l' exemple précédent est:
X  xi
X0
p  X  xi 
X 1
X 2
9
20
9
20
1
20
1
et on a :
X 3
1
20
9 1
 9 
 1

20
20
20 20
V- Espérance mathématique- variance- écart type :
1- Définition
:
Soit
X une variable aléatoire définie sur un univers  d’une expérience aléatoire .
L’ensemble des valeurs de
X est X     x1 , x2 , x3 ,..., xn 
i n

Le nombre : E(X) 
x . pX  x   x
i 1
i
i
1
. p  X  x1   x2 . p  X  x2  
 xn . p  X  xn 
s’appelle l’espérance mathématique du variable aléatoire X

Le nombre
V  X   E  X2   E  X  
2
2
2
  x1  . p  X  x1    x2  .
pX
 x2  
2
  xn  .
p  X  xn   E  X  
2
s’appelle
la variance du variable aléatoire X .

Le nombre :   X   V  X  s’appelle l' ecart-type du variable aléatoire X .
2- Remarque:
V  X  0
3- Exemple :
Calcule de l’espérance mathématique,variance et écart type du variable aléatoire de l’exemple précédent.
xi
p  X  xi 
xi  p  X  xi 
xi  p  X  xi 
2
x1  0
1
20
0
0
x2  1
x3  2
x4  3
9
20
9
20
9
20
18
20
18
2
2 
20
1
9
1 
20
2
D’après le tableau on a
8
20
3
20
3 
2
3
20
l' espérance mathémathique de
X
E  X   x 1  p  X  x 1   x 2  p  X  x2   x 3  p  X  x 3   x 4  p  X  x 4 
9
3
18



20 20 20
 0 
30  3
2
20
X
la variance de
V  X   x1   p  X  x1    x2   p  X  x2  
2

2

01
2
  xn   p  X  xn    E  X 
2
9
18  32  3   3 2 
2
2 
2
20
20
20
2
63
20
l’écart-type de X
  X 
V  X
63
20


3
2
7
5
V- Loi binomiale :
1- Définition :
Soit p la probabilité d’un événement S d’une expérience aléatoire.
On répète cette expérience n fois .On considère X la variable aléatoire associé au nombre de fois
ou l' événement S est réalisé. On a :
X     0,1, 2,...,n
X est appelé loi binomiale ou distribution binomiale de paramètres n et p.
2- Proprietés :
Soit X une loi binomiale de paramètres n et p. On a:
E(X) = n.p
et
V(X) = n.p.(1- p)
3- Exemple :
On considère l' expérience aléatoire de l' exemple précédent.Soit l' événement S:" les trois cartes
tirées portent des numéros impairs" On a S : (X=0) et p(S) = p(X=0) =
1
20
On répète cette expérience( tirage de 3 cartes simultanément) 4 fois avec les même conditions de départ.
On considère la variable aléatoire X associée au nombre de fois où l' événement S est réalisé .
X est une loi binomiale de paramètres 4 et
1
20
Calculons l' espérance mathématique et la variance de la loi binomiale X
E(X) = n.p
=4x
=
V(X) = n.p.(1- p)
1
=4x
20
1
20
19
=
100
1
5
9
x (1-
1
20
)