Résolution de Systèmes d'Équations Linéaires : Méthodes et Exemples

Méthode : savoir résoudre un système p×n
de p équations à n inconnues
→ Privilégier la méthode par combinaison
• On ne « change pas » une équation en multipliant les deux côtés par un même nombre.
• On ne « change pas » un système en remplaçant une des deux équations par la somme
ou la différence des deux équations
Remarques : la méthode par substitution, qui consiste à « isoler » une inconnue dans une des
équation puis à puis à remplacer cette « lettre » en fonctions des autres dans les
autres équations, fait souvent apparaitre des fractions. Méthode déconseillée !
Pour un système 3×3, indiquer systématiquement les combinaisons choisies.
Les calculs peuvent être longs et chacun choisira des combinaisons différentes.
Être astucieux ! (gain de temps !) Se méfier des petites erreurs de calculs/signe …
→ Exemple avec un système de 2 équations à 2 inconnues
résoudre le système 
 d’où 
puis (L’1) + (L’2) 8y + 15y = 4 – 27 donc 23y = – 23 d’où y = 
  –1
et (L1) 3x + 4×(–1) = 2 donc 3x = 2 + 4 et x = 
2
Le couple solution du système est (x ; y) = (2 ; -1)
Remarque : par substitution (L1) 3x = 2 – 4y donc x = 
 puis (L2) 2  – 5y = 9
Il y a des calculs de fractions pour résoudre cette équation d’inconnue y.
→ Méthode pour un système de 3 équations à 3 inconnues (pivot de Gauss)
L’idée est d’éliminer progressivement les inconnues par combinaison. (Indiquer lesquelles !)
Les inconnues (nombres cherchés) sont x, y et z.
Pour plus de lisibilité, « garder » les alignements des coefficients/inconnues en colonne
 ⇔   ⇔ 
 ⇔ 
Eliminer z dans L2 et L3 Eliminer y dans L3 « Remonter »
Calculer x puis y puis z
 ⇔   ⇔  
⇔ 
Vérifier si le triplet solution est cohérent, en remplaçant x, y et z par les valeurs trouvées dans le système initial

→ Contrôler ses résultats en résolvant ce système avec la calculatrice
Casio menu équation,
F1 simultané, puis
nombre d’inconnues 3 solve
→ A quoi ça sert ?
• Fonction « inconnue » Déterminer une équation de la parabole (P) passant par les points
système 3×3 du plan de coordonnées A( – 1 ; 8) , B(1 ; 2) et C(3 ; 4)
La parabole est la courbe d’une fonction du second degré f définie par f(x) = ax2 + bx + c
Il faut déterminer les coefficients a, b et c.
 donc 
 donc … et 
d’où f(x) = x2 – 3x + 4 La parabole a pour équation y = x2 – 3x + 4 .
• Vecteurs coplanaires système 3×2 les vecteurs 
,   et 
 sont-ils coplanaires ?
Méthode à utiliser quand on ne « voit pas » de combinaison linéaire « évidente ».
Les coordonnées de 
et  ne sont pas proportionnelles donc 
et  sont non colinéaires et il s’agit
de deux vecteurs directeurs d’un plan. On cherche à exprimer le vecteur 
comme combinaison
linéaire des vecteurs 
et . Existe-t-il des coefficients a et b tels que a
+ b  =
?
Garder l’équation « en trop » en attente : soit l’égalité est vérifiée et on a trouvé le couple (a ; b) cherché, soit
c’est impossible et on ne peut pas exprimer le vecteur 
comme combinaison linéaire des vecteurs 
et 
a
+ b  =
⇔ 
 ⇔ 3L1 – L2   ⇔ 
⇔ 
Par conséquent 
= 3
– 4 , ce qui signifie que les vecteurs 
,  et 
sont coplanaires
• Vecteurs non coplanaires système 3×2 
,   et 
 sont-ils coplanaires ?
(même résolution au début ce pour l’exemple précédent)
a
+ b  =
⇔ 
 ⇔ … ⇔ 
La dernière égalité est impossible, donc 
ne peut pas s’écrire comme combinaison linéaire des
vecteurs
et  (qui génèrent un plan) donc les vecteurs 
,  et 
ne sont pas coplanaires.

• Equation d’un plan Déterminer une équation cartésienne du plan (P) de l’espace passant
système 3×4 par les points de coordonnées A( 1 ; – 1 ; 2) , B(2 ; 0 ; 1) et C(4 ; 1 ; –2)
Tout plan de l’espace a une équation cartésienne de la forme ax + by + cz + d = 0
 donc 
 donc 
Etre astucieux ici, on peut éliminer b et c avec un seul calcul
Comme il y a trois équations et 4 inconnues, donc une inconnue en plus, a, b et c vont s’exprimer en fonction de d. On
va choisir une valeur (astucieuse) pour l’ inconnue d, pour que tous les coefficients soient des entiers. Ici d = 5 convient.
donc
• Intersection de deux droites système 3×2
Méthode : avec deux des équations, calculer les deux paramètres t et k. Garder la 3e équation, « en trop »,
en attente. On conclura pour les deux droites, d’après cette égalité (vérifiée ou impossible) :
→ une unique solution, coordonnées (x ; y ; z) du point d’intersection des deux droites
→ ensemble vide (il y a une égalité impossible), les deux droites sont soit parallèles, soit non coplanaires
→ une équation est « en trop » (car combinaison linéaire des deux autres) : les deux droites sont confondues
Voici les représentations paramétriques de deux droites (d) 
 et (d’) 
Intersection ? 
 ⇔   ⇔ 
or 
 la troisième équation est vérifiée donc (t ; k) = (– 12 ; – 5)
Les droites (d) et (d’) sont sécantes au point E de coordonnées 
• Intersection de deux plans (P) et (P’) d’équations cartésiennes 2x – y + z = 3 et x + 4y – z = 5
système 2×3 Les réponses possibles sont :
Plans sécants, l’intersection est une droite dont on va déterminer une représentation paramétrique.
chercher à exprimer deux des variables en fonction de la 3ième (ci-dessous x et y en fonction de z)
Plans strictement parallèles : intersection vide (on obtient une égalité « impossible »)
Plans confondus (on obtient une égalité « toujours vraie ») Poser t = 
Intersection ? 
 ⇔ 
 ⇔ 
 ⇔ 
L’intersection des plans (P) et (P’) est la droite passant par le point A
 et de vecteur directeur 