Méthode : savoir résoudre un système p×n
de p équations à n inconnues
→ Privilégier la méthode par combinaison
• On ne « change pas » une équation en multipliant les deux côtés par un même nombre.
• On ne « change pas » un système en remplaçant une des deux équations par la somme
ou la différence des deux équations
Remarques : la méthode par substitution, qui consiste à « isoler » une inconnue dans une des
équation puis à puis à remplacer cette « lettre » en fonctions des autres dans les
autres équations, fait souvent apparaitre des fractions. Méthode déconseillée !
Pour un système 3×3, indiquer systématiquement les combinaisons choisies.
Les calculs peuvent être longs et chacun choisira des combinaisons différentes.
Être astucieux ! (gain de temps !) Se méfier des petites erreurs de calculs/signe …
→ Exemple avec un système de 2 équations à 2 inconnues
résoudre le système {
3𝑥 + 4𝑦 = 2
2𝑥 − 5𝑦 = 9
puis (L’1) + (L’2)
et (L1)
(𝐿1 )
(𝐿2 )
2 × (𝐿1 )
− 3 × (𝐿2 )
d’où
{
8y + 15y = 4 – 27
donc 23y = – 23
3x + 4×(–1) = 2
donc
(𝐿′1 )
6𝑥 + 8𝑦 = 4
−6𝑥 + 15𝑦 = −27 (𝐿′2 )
3x = 2 + 4
d’où
y=
−23
23
6
= –1
x =3 =2
et
Le couple solution du système est (x ; y) = (2 ; -1)
2
4
Remarque : par substitution (L1) 3x = 2 – 4y donc x = 3 − 3 𝑦
2
4
puis (L2) 2(3 − 3 𝑦) – 5y = 9
Il y a des calculs de fractions pour résoudre cette équation d’inconnue y.
→ Méthode pour un système de 3 équations à 3 inconnues (pivot de Gauss)
L’idée est d’éliminer progressivement les inconnues par combinaison. (Indiquer lesquelles !)
Les inconnues (nombres cherchés) sont x, y et z.
Pour plus de lisibilité, « garder » les alignements des coefficients/inconnues en colonne
…𝑥 + ⋯𝑦 + ⋯𝑧 = ⋯
{… 𝑥 + ⋯ 𝑦 + ⋯ 𝑧 = ⋯
…𝑥 + ⋯𝑦 + ⋯𝑧 = ⋯
…𝑥 + ⋯𝑦 + ⋯𝑧 = ⋯
=⋯ ⇔
⇔ {… 𝑥 + ⋯ 𝑦
…𝑥 + ⋯𝑦
=⋯
Eliminer z dans L2 et L3
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −7
2𝑥
+ 𝑦 − 𝑧= 7
{
3𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −4
⇔
⇔
𝐿1 + 𝐿2
−2𝐿1 + 𝐿3
10
10
=1
Eliminer y dans L3
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −7
3𝑥
− 𝑦
= 0
{
𝑥+3𝑦
= 10
𝑧 = −7 − 𝑥 + 2𝑦 = −7 − 1 + 2 × 3 = −2
{ 𝑦 = 3𝑥 = 3 × 1 = 3
𝑥=
…𝑥 + ⋯𝑦 + ⋯𝑧 = ⋯
{… 𝑥 + ⋯ 𝑦
=⋯
…𝑥
=⋯
⇔
3𝐿1 + 𝐿3
⇔
𝑧=⋯
{𝑦 = ⋯
𝑥=⋯
« Remonter »
Calculer x puis y puis z
𝑥 − 2𝑦 + 𝑧 = −7
{ 3𝑥 − 𝑦
= 0
10𝑥
= 10
ce système a pour solution
(𝑥; 𝑦; 𝑧) = (1; 3; −2)
Vérifier si le triplet solution est cohérent, en remplaçant x, y et z par les valeurs trouvées dans le système initial
→ Contrôler ses résultats en résolvant ce système avec la calculatrice
Casio menu équation,
F1 simultané,
nombre d’inconnues 3
puis
solve
→ A quoi ça sert ?
• Fonction « inconnue »
système 3×3
Déterminer une équation de la parabole (P) passant par les points
du plan de coordonnées A( – 1 ; 8) , B(1 ; 2) et C(3 ; 4)
La parabole est la courbe d’une fonction du second degré f définie par f(x) = ax2 + bx + c
Il faut déterminer les coefficients a, b et c.
𝐴(−1 ; 8)
𝑎 × (−1)2 + 𝑏 × (−1) + 𝑐 = 8
𝐵(1 ; 2) donc { 𝑎 × 12 + 𝑏 × 1
+𝑐 =2
𝐶(3 ; 4)
𝑎 × 32 + 𝑏 × 3
+𝑐 =4
d’où f(x) = x2 – 3x + 4
𝑎− 𝑏+𝑐 =8
{ 𝑎+ 𝑏+𝑐 =2
9𝑎 + 3𝑏 + 𝑐 = 4
donc
…
𝑎= 1
et {𝑏 = −3
𝑐= 4
La parabole a pour équation y = x2 – 3x + 4 .
2
1
2
• Vecteurs coplanaires système 3×2
les vecteurs 𝑢
⃗ (5), 𝑣 (3) et 𝑤
⃗⃗ (3) sont-ils coplanaires ?
3
2
1
Méthode à utiliser quand on ne « voit pas » de combinaison linéaire « évidente ».
Les coordonnées de 𝑢
⃗ et 𝑣 ne sont pas proportionnelles donc 𝑢
⃗ et 𝑣 sont non colinéaires et il s’agit
de deux vecteurs directeurs d’un plan. On cherche à exprimer le vecteur 𝑤
⃗⃗ comme combinaison
linéaire des vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣. Existe-t-il des coefficients a et b tels que a 𝑢
⃗ +b 𝑣 =𝑤
⃗⃗ ?
Garder l’équation « en trop » en attente : soit l’égalité est vérifiée et on a trouvé le couple (a ; b) cherché, soit
c’est impossible et on ne peut pas exprimer le vecteur w
⃗⃗ comme combinaison linéaire des vecteurs u
⃗ et v
⃗
a𝑢
⃗ +b 𝑣 =𝑤
⃗⃗ ⇔
calcul de b
⇔
cohérence ?
2𝑎 + 1𝑏 = 2
{5𝑎 + 3𝑏 = 3
3𝑎 + 2𝑏 = 1
2𝑎 + 1𝑏 = 2
⇔ 3L1 – L2 { 𝑎
=3
3𝑎 + 2𝑏 = 1
𝑏 =−4
{ 𝑎=3
3𝑎 + 2𝑏 = 3 × 3 + 2 × (−4) = 1
𝑏 = 2 − 2𝑎
{ 𝑎
=3
en attente
3𝑎 + 2𝑏 = 1
calcul de b
⇔
égalité vérifiée donc (a; b) = (3; −4)
Par conséquent 𝑤
⃗⃗ = 3 𝑢
⃗ – 4 𝑣 , ce qui signifie que les vecteurs 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ sont coplanaires
• Vecteurs non coplanaires système 3×2
2
1
2
𝑢
⃗ (5), 𝑣 (3) et ⃗⃗⃗⃗
𝑤′ ( 3 ) sont-ils coplanaires ?
3
2
−1
(même résolution au début ce pour l’exemple précédent)
𝑏 =−4
2𝑎 + 1𝑏 = 2
⃗⃗⃗⃗
𝑎=3
a𝑢
⃗ + b 𝑣 = 𝑤′ ⇔ { 5𝑎 + 3𝑏 = 3 ⇔ … ⇔
{
cohérence ? 3𝑎 + 2𝑏 = 3 × 3 + 2 × (−4) = 1 ≠ −1
3𝑎 + 2𝑏 = −1
La dernière égalité est impossible, donc 𝑤
⃗⃗ ne peut pas s’écrire comme combinaison linéaire des
vecteurs 𝑢
⃗ et 𝑣 (qui génèrent un plan) donc les vecteurs 𝑢
⃗ , 𝑣 et 𝑤
⃗⃗ ne sont pas coplanaires.
• Equation d’un plan Déterminer une équation cartésienne du plan (P) de l’espace passant
système 3×4
par les points de coordonnées A( 1 ; – 1 ; 2) , B(2 ; 0 ; 1) et C(4 ; 1 ; –2)
Tout plan de l’espace a une équation cartésienne de la forme
𝐴(1; −1 ; 2)
𝐵(2; 0; 1)
donc
𝐶(4; 1 ; −2)
𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 + 𝑑 = 0
{ 2𝑎
+ 𝑐+𝑑 =0
4𝑎 + 𝑏 − 2𝑐 + 𝑑 = 0
donc
𝐿1 + 𝐿3
ax + by + cz + d = 0
𝑎 − 𝑏 + 2𝑐 + 𝑑 = 0
{ 2𝑎 + + 𝑐 + 𝑑 = 0
5𝑎 +
+2𝑑 = 0
Etre astucieux ici, on peut éliminer b et c avec un seul calcul
Comme il y a trois équations et 4 inconnues, donc une inconnue en plus, a, b et c vont s’exprimer en fonction de d. On
va choisir une valeur (astucieuse) pour l’ inconnue d, pour que tous les coefficients soient des entiers. Ici d = 5 convient.
donc
𝑏 = 𝑎 + 2𝑐 + 𝑑 = −2 + 2 × (−1) + 5 = 1
𝑐 = −2𝑎 − 𝑑 = −2 × (−2) − 5 = −1
𝑎=
−2𝑑
5
=
−2×5
5
= −2
une équation cartésienne du
plan (P) est − 2x + y − z + 5 = 0
{ 𝑑=5
• Intersection de deux droites
système 3×2
Méthode : avec deux des équations, calculer les deux paramètres t et k. Garder la 3e équation, « en trop »,
en attente. On conclura pour les deux droites, d’après cette égalité (vérifiée ou impossible) :
→ une unique solution, coordonnées (x ; y ; z) du point d’intersection des deux droites
→ ensemble vide (il y a une égalité impossible), les deux droites sont soit parallèles, soit non coplanaires
→ une équation est « en trop » (car combinaison linéaire des deux autres) : les deux droites sont confondues
𝑥 = 1+𝑡
Voici les représentations paramétriques de deux droites (d) { 𝑦 = 3 − 𝑡
𝑧 = 1 − 2𝑡
Intersection ?
or
𝑥 = −6 + 𝑘
et (d’) { 𝑦 = −3𝑘
𝑧 = 5 − 4𝑘
10
1 + 𝑡 = −6 + 𝑘
4 = −6 − 2𝑘
𝑘 = −2
= −5
𝐿1 + 𝐿2
𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑘
{ 3−𝑡 =
{ 3−𝑡 =
−3𝑘 ⇔
−3𝑘 ⇔ 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙 𝑡 { 𝑡 = 3 + 3𝑘 = −12
𝑎𝑡𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒 1 − 2𝑡 = 5 − 4𝑘
𝑎𝑡𝑡𝑒𝑛𝑡𝑒
1 − 2𝑡 = 5 − 4𝑘
1 − 2𝑡 = 5 − 4𝑘
1 − 2𝑡 = 1 − 2(−12) = 25
5 − 4𝑘 = 5 − 4 × (−5) = 25
la troisième équation est vérifiée donc (t ; k) = (– 12 ; – 5)
𝑥𝐸 = 1 + 𝑡 = 1 − 12 = −11
Les droites (d) et (d’) sont sécantes au point E de coordonnées {𝑦𝐸 = 3 − 𝑡 = 3 − 12 = −9
𝑧𝐸 = 1 − 2𝑡 = 1 − 2 × (−12) = 25
• Intersection de deux plans (P) et (P’) d’équations cartésiennes 2x – y + z = 3 et x + 4y – z = 5
système 2×3 Les réponses possibles sont :
Plans sécants, l’intersection est une droite dont on va déterminer une représentation paramétrique.
chercher à exprimer deux des variables en fonction de la 3ième (ci-dessous x et y en fonction de z)
Plans strictement parallèles : intersection vide (on obtient une égalité « impossible »)
1
Plans confondus (on obtient une égalité « toujours vraie »)
Poser t = 𝑧
3
1
𝑥=
17
−𝑡
𝑥 = 9 − 3𝑧
9
2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 3
9𝑥
+ 3𝑧 = 17
4𝐿1 + 𝐿2
Intersection ? {
⇔
{
⇔ {
⇔ {𝑦 = 7+𝑡
7
1
9𝑦 − 3𝑧 = 7
𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = 5
−𝐿1 + 2𝐿2
9
𝑦 = 9 + 3𝑧
𝑧=
3𝑡
17
−1
17 7
L’intersection des plans (P) et (P’) est la droite passant par le point A( 9 ; 9 ; 0) et de vecteur directeur 𝑢
⃗ ( 1)
3
