Exercices : Représentation des fonctions numériques - 1ère Bac

lycée qualifiant Okba ibn Nafiâ 2018–2019
classe : 1.Bac.Ex-BIOF Dr: Y.Errazka M.Afkir
série d’éxercices : Représentation des fonctions
numériques
Exercice 1 Soit fla fonction définie par : f(x) = x3+2x2+6x+4
(x+1)2
1. a)Déterminer Dle domaine de définition de f.
b)Calculer les limites aux bornes de D
c)Déduire l’équation de l’asymptote verticale
2. a)Déterminer les réels a,bet ctels que :
f(x) = x+a+bx +c
(x+ 1)2
b)Déduire l’équation de l’asymptote oblique (∆)
c)Étudier la position de (C)par rapport à la droite (∆).
3. On pose P(x) = x3+ 3x2−2x−2
a)Montrer que (∀x∈D)f0(x) = P(x)
(x+1)3
b)Calculer P(1) puis factoriser P(x)
c)Dresser le tableau de variations de f
4. a)Donner l’équation de la tangente à (C)au point d’abscisse 0.
b)Tracer la courbe (C).
Exercice 2 Soit fla fonction définie par : f(x) = 1+ x2−1
√1+x2et (C)sa courbe représentative
dans un R.O.N (O,~ i,~ j).
1. Étudier la dérivabilité de fen x0= 0
2. Étudier les branches infinies de la courbe (C).
3. a)Montrer que ∀x∈R∗:f0(x) = x(3+x2)
√(x2+1)3
b)Dresser le tableau de variation de f
c)Montrer que ∀x∈R∗:f00 (x) = 3(1−x2)
√(x2+1)5puis déterminer la concavité et les
points d’inflexions de (C).
4. a)Étudier la position de (C)par rapport à la droite (D) : y=x.
b)Tracer la courbe (C).
Exercice 3 Considérons la fonction fdéfinie par :
f(x) = x(√x−2)2
et soit (Cf)sa courbe représentative dans un R.O.N (O,~ i,~ j).
1. Calculer lim
x→+∞f(x).
1

2. Étudier la dérivabilité de fà droite au point d’abscisse 0, puis interpréter le résultat
géométriquement.
3. a)Montrer que pour tout x > 0:
f0(x) = 2(√x−1)(√x−2)
b)Étudier le signe de f0(x)et donner le tableau de variation de f.
4. Étudier les branches infinies de la courbe (Cf)au voisinage de +∞.
5. Construire la courbe (Cf)
Exercice 4 Soit fla fonction définie par :
f(x) = √x2−1−2x−2
√x2−1;x6= 0
f(1) = 0
1. Déterminer Dle domaine de définition de f.
2. Étudier la dérivabilité de fà droite au point 1, puis interpréter le résultat géomé-
triquement.
3. a)Déterminer les limites aux bornes de D.
b)Déterminer les branches infinies de la courbe (Cf)
4. a)Montrer que pour tout x∈D:
f0(x) = 1
√x2−1"x2+x−2
x+ 1 #
b)Dresser le tableau de variation de f.
5. Tracer le courbe (Cf).
Exercice 5 Considérons la fonction gdéfinie sur Rpar :
∀x∈R:g(x) = 4 sin(x) + cos(2x)
1. Montrer que la fonction fest périodique et déterminer son période.
2. Calculer f0(x)pour tout x∈R.
3. Résoudre dans [0,2π]l’équation f0(x)=0puis dresser le tableau de variation de
fsur [0,2π].
4. Déterminer l’équation de la tangente à (Cf)au point d’abscisse 0.
5. Déterminer les points d’inflexions de (Cf)sur [0,2π].
6. Construire la courbe (Cf)sur [−2π, 2π].
Exercice 6 On considère la fonction f, définie par son tableau de variations suivant :
2

Et vérifiant les conditions suivantes :
•f(−6) = 2 et f(−5) = −1et f(−2) = −4
•f(0) = 0 et f(4) = −1et f(5) = −4
•(Cf)admet une tangente horizontale au point −4
•(Cf)admet une demi-tangente horizontale à gauche au point 3et admet une demi-
tangente verticale à droite au point 3.
•(Cf)admet une branche parabolique de direction (Ox)au voisinage de −∞ et
admet une branche parabolique de direction (Oy)au voisinage de +∞.
•La droite (∆) d’équation y= 2xest une tangente à (Cf)au point d’abscisse 0.
1. Déterminer Df.
2. Construire (Cf)dans un repère orthonormé (O,~ i,~ j).
3. Déterminer f(] − ∞,−4]) et f([0,−4]) et f([3,+∞[).
4. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une unique solution αdans l’intervalle
]−6,−5[.
5. Montrer que l’équation f(x)=0admet une unique solution βdans l’intervalle
]3,4[.
6. Déterminer graphiquement l’ensemble de solutions de l’inéquation f(x)>0.
7. Donner le nombre de solution de l’équation f(x) = m, où mest un paramètre réel.
8. Déterminer lim
x→−∞ f(x)et lim
x→+∞f(x)et lim
x→−1−f(x)et lim
x→−1+f(x)
9. Déterminer en justifiant les limites suivantes : lim
x→+∞
f(x)
xet lim
x→−∞
f(x)
x
10. Déterminer en justifiant les limites suivantes : lim
x→−4
f(x)+2
x+ 4 et lim
x→3−
f(x)−2
x−3et
lim
x→3+
f(x)−2
x−3et lim
x→0
f(x)
x
Exercice 7 On considère la fonction fdéfinie par sa courbe représentative suivante :
3

1. Déterminer Df.
2. Calculer : f(−4),f(0),f(3),f(4) et f(5).
3. Déterminer f(] − ∞,−2]) et f([−4,0]) et f([3,+∞[)
4. Montrer que l’équation f(x)=0admet une unique solution αdans l’intervalle ]4,5[.
5. Déterminer lim
x→−∞ f(x)et lim
x→+∞f(x)et lim
x→(3
2)−
f(x)et lim
x→(3
2)+f(x)
6. Calculer f0(3) et f0(0) et f0(5) et f0
d(−2).fest-elle dérivable à gauche de −2?
justifier les réponses.
7. Déterminer l’équation de la tangente (T1)à(Cf)au point d’abscisse 5et l’équation
de la tangente (T2)à(Cf)au point d’abscisse 0.
8. On suppose que fest dérivable sur Df− {−2}, dresser le tableau de variations de
f, en déduire les signes de f0(x).
9. déterminer en justifiant les limites suivantes : lim
x→−∞
f(x)
xet lim
x→+∞
f(x)
xet lim
x→3
f(x)+3
x−3
et lim
x→5
f(x)−2
x−5et lim
x→0
f(x)+7/2
xet lim
x→−2−
f(x)+1
x+ 2 et lim
x→−2+
f(x)+1
x+ 2
4