lycée qualifiant Okba ibn Nafiâ
classe : 1.Bac.Ex-BIOF
2018–2019
Dr: Y.Errazka M.Afkir
série d’éxercices : Représentation des fonctions
numériques
3
2
+6x+4
Exercice 1 Soit f la fonction définie par : f (x) = x +2x
(x+1)2
1. a) Déterminer D le domaine de définition de f .
b) Calculer les limites aux bornes de D
c) Déduire l’équation de l’asymptote verticale
2. a) Déterminer les réels a, b et c tels que :
f (x) = x + a +
bx + c
(x + 1)2
b) Déduire l’équation de l’asymptote oblique (∆)
c) Étudier la position de (C) par rapport à la droite (∆).
3. On pose P (x) = x3 + 3x2 − 2x − 2
0
P (x)
a) Montrer que (∀x ∈ D) f (x) = (x+1)
3
b) Calculer P (1) puis factoriser P (x)
c) Dresser le tableau de variations de f
4. a) Donner l’équation de la tangente à (C) au point d’abscisse 0.
b) Tracer la courbe (C).
2
−1
Exercice 2 Soit f la fonction définie par : f (x) = 1+ √x1+x
2 et (C) sa courbe représentative
dans un R.O.N (O,~i, ~j).
1. Étudier la dérivabilité de f en x0 = 0
2. Étudier les branches infinies de la courbe (C).
2)
0
3. a) Montrer que ∀x ∈ R∗ : f (x) = √x(3+x
2
3
(x +1)
b) Dresser le tableau de variation de f
2)
00
c) Montrer que ∀x ∈ R∗ : f (x) = √3(1−x
puis déterminer la concavité et les
2
5
(x +1)
points d’inflexions de (C).
4. a) Étudier la position de (C) par rapport à la droite (D) : y = x.
b) Tracer la courbe (C).
Exercice 3 Considérons la fonction f définie par :
√
f (x) = x( x − 2)2
et soit (Cf ) sa courbe représentative dans un R.O.N (O,~i, ~j).
1. Calculer lim f (x).
x→+∞
1
2. Étudier la dérivabilité de f à droite au point d’abscisse 0, puis interpréter le résultat
géométriquement.
3. a) Montrer que pour tout x > 0 :
√
√
0
f (x) = 2( x − 1)( x − 2)
0
b) Étudier le signe de f (x) et donner le tableau de variation de f .
4. Étudier les branches infinies de la courbe (Cf ) au voisinage de +∞.
5. Construire la courbe (Cf )
Exercice 4 Soit f la fonction définie par :
√
f (x) = x2 − 1 −
f (1)
√2x−2 ; x
x2 −1
6= 0
=0
1. Déterminer D le domaine de définition de f .
2. Étudier la dérivabilité de f à droite au point 1, puis interpréter le résultat géométriquement.
3. a) Déterminer les limites aux bornes de D.
b) Déterminer les branches infinies de la courbe (Cf )
4. a) Montrer que pour tout x ∈ D :
"
x2 + x − 2
f (x) = √ 2
x+1
x −1
1
0
#
b) Dresser le tableau de variation de f .
5. Tracer le courbe (Cf ).
Exercice 5 Considérons la fonction g définie sur R par :
∀x ∈ R : g(x) = 4 sin(x) + cos(2x)
1. Montrer que la fonction f est périodique et déterminer son période.
2. Calculer f 0 (x) pour tout x ∈ R.
0
3. Résoudre dans [0, 2π] l’équation f (x) = 0 puis dresser le tableau de variation de
f sur [0, 2π] .
4. Déterminer l’équation de la tangente à (Cf ) au point d’abscisse 0.
5. Déterminer les points d’inflexions de (Cf ) sur [0, 2π] .
6. Construire la courbe (Cf ) sur [−2π, 2π] .
Exercice 6 On considère la fonction f , définie par son tableau de variations suivant :
2
Et vérifiant les conditions suivantes :
• f (−6) = 2 et f (−5) = −1 et f (−2) = −4
• f (0) = 0 et f (4) = −1 et f (5) = −4
• (Cf ) admet une tangente horizontale au point −4
• (Cf ) admet une demi-tangente horizontale à gauche au point 3 et admet une demitangente verticale à droite au point 3.
• (Cf ) admet une branche parabolique de direction (Ox) au voisinage de −∞ et
admet une branche parabolique de direction (Oy) au voisinage de +∞.
• La droite (∆) d’équation y = 2x est une tangente à (Cf ) au point d’abscisse 0.
1. Déterminer Df .
2. Construire (Cf ) dans un repère orthonormé (O,~i, ~j).
3. Déterminer f (] − ∞, −4]) et f ([0, −4]) et f ([3, +∞[).
4. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle
] − 6, −5[.
5. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution β dans l’intervalle
]3, 4[.
6. Déterminer graphiquement l’ensemble de solutions de l’inéquation f (x) > 0.
7. Donner le nombre de solution de l’équation f (x) = m, où m est un paramètre réel.
8. Déterminer lim f (x) et lim f (x) et lim − f (x) et lim + f (x)
x→−∞
x→+∞
x→−1
x→−1
f (x)
f (x)
et lim
9. Déterminer en justifiant les limites suivantes : lim
x→−∞ x
x→+∞ x
f (x) + 2
f (x) − 2
10. Déterminer en justifiant les limites suivantes : lim
et lim−
et
x→−4 x + 4
x→3
x−3
f (x)
f (x) − 2
et lim
lim+
x→0 x
x→3
x−3
Exercice 7 On considère la fonction f définie par sa courbe représentative suivante :
3
1. Déterminer Df .
2. Calculer : f (−4), f (0), f (3), f (4) et f (5).
3. Déterminer f (] − ∞, −2]) et f ([−4, 0]) et f ([3, +∞[)
4. Montrer que l’équation f (x) = 0 admet une unique solution α dans l’intervalle ]4, 5[.
5. Déterminer lim f (x) et lim f (x) et lim
f (x) et lim
f (x)
3
3
x→−∞
0
x→+∞
0
0
x→( 2 )−
x→( 2 )+
0
6. Calculer f (3) et f (0) et f (5) et fd (−2). f est-elle dérivable à gauche de −2 ?
justifier les réponses.
7. Déterminer l’équation de la tangente (T1 ) à (Cf ) au point d’abscisse 5 et l’équation
de la tangente (T2 ) à (Cf ) au point d’abscisse 0.
8. On suppose que f est dérivable sur Df − {−2}, dresser le tableau de variations de
0
f , en déduire les signes de f (x).
f (x)
f (x)
f (x) + 3
9. déterminer en justifiant les limites suivantes : lim
et lim
et lim
x→−∞ x
x→+∞ x
x→3 x − 3
f (x) − 2
f (x) + 7/2
f (x) + 1
f (x) + 1
et lim
et lim
et lim −
et lim +
x→5 x − 5
x→0
x→−2
x→−2
x
x+2
x+2
4
