13-InjSurBij poly

Math´ ematiques - ECS1
13
Applications injectives
surjectives et bijectives.
Lyc´ ee LaBruy ` ere
30 avenue de Paris
78000 Versailles
c
2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.

2
13.1 Objectifs.
Définition d’une application.
Composée de deux applications.
Applications injectives, surjec-
tives, bijectives.
On pourra donner des exemples issus du cours d’analyse.
13.2 Applications
Définition 13.2.1. Une application (ou une fonction) est la donnée de trois objets :
•un ensemble de départ E(ou ensemble de définition),
•un ensemble d’arrivée F
•un mode de correspondance qui à tout élément de Eassocie un unique élément de
F.
Si fest une application de Evers Fet si xest un élément de E, l’élément associé à xpar f
est noté f(x) et est appelé l’image de xpar f.
On note f:
E−→ F
x7−→ f(x)cette application.
Définition 13.2.2. Soit f:E−→ Fune application, x∈Eet y=f(x).
•L’élément yest l0image de xpar f
•L’élément xest un antécédent de ypar f.
•Le graphe de fest le sous-ensemble Γde E×Fdéfini par
Γ = {(x,y)∈E×F|y=f(x)}={(x,f(x)) |x∈E}
La figure suivante représente l’application fd’un ensemble E={a,b,c,d}vers l’ensemble
F={1,2,3,4,5,6}définie par
f(a)=2,f(b)=6,f(c)=1,f(d)=4,f(e)=2.

13.2 Applications 3
E F
f
a
b
c
d
e
1
2
3
4
5
6
En particulier, les éléments 3 et 5 n’ont pas d’antécédents par ftandis que l’élément 2
admet deux antécédents par f:aet e.
Remarque 1. Dans le cas d’une fonction définie sur un sous-ensemble de Rvers R, on peut
représenter son graphe dans le plan rapporté à un repère (O,~ i,~ j).
~
i
~
j
OE=R
F=R
x
f(x)=b
x0
La courbe ci-dessus représente une fonction fdéfinie de Rdans R.
Le réel xa une unique image qui est b=f(x)
En revanche, le réel badmet deux antécédents par fqui sont xet x0.
Exercice 1. Les schémas suivants représentent-t-il des applications ? Justifier votre ré-
ponse.

4
E
a
b
c
d
e
F
1
2
3
4
5
6
fE
a
b
c
d
e
f
F
1
2
3
4
5
6
f
Exercice 2. La courbe représentée ci-dessous est-elle le graphe d’une fonction ?
E=R
F=R
~
i
~
j
Exemple 1. L’application (ou fonction) partie entière est l’application définie sur Rà va-
leurs dans Rqui à tout réel xassocie la partie entière de x:
R−→ R
x7−→ bxc

13.2 Applications 5
x
y
~
i
~
j
O
Exemple 2. Un exemple important d’application : l’application identité (ou application
identique) d’un ensemble E:
idE:
E−→ E
x7−→ x
E E
idE
a
b
c
d
e
a
b
c
d
e
x
y
~
i
~
j
f:
R−→ R
x7−→ x
x
y
~
i
~
j
f:
Z−→ Z
x7−→ x
Remarque 2. Il faut bien distinguer l’application f, le graphe de fet l’écriture f(x).