13-InjSurBij poly

Mathématiques - ECS1
13
Applications injectives
surjectives et bijectives.
Lycée La Bruyère
30 avenue de Paris
78000 Versailles
c 2017, Polycopié du cours de mathématiques de première année.
2
13.1
Objectifs.
Définition d’une application.
Composée de deux applications.
Applications injectives, surjectives, bijectives.
13.2
On pourra donner des exemples issus du cours d’analyse.
Applications
Définition 13.2.1. Une application (ou une fonction) est la donnée de trois objets :
• un ensemble de départ E (ou ensemble de définition),
• un ensemble d’arrivée F
• un mode de correspondance qui à tout élément de E associe un unique élément de
F.
Si f est une application de E vers F et si x est un élément de E, l’élément associé à x par f
est noté f (x) et est appelé l’image de x par f .
On note f :
E −→ F
cette application.
x 7−→ f (x)
Définition 13.2.2. Soit f : E −→ F une application, x ∈ E et y = f (x).
• L’élément y est l0 image de x par f
• L’élément x est un antécédent de y par f .
• Le graphe de f est le sous-ensemble Γ de E × F défini par
Γ = {(x, y) ∈ E × F | y = f (x)} = {(x, f (x)) | x ∈ E}
La figure suivante représente l’application f d’un ensemble E = {a, b, c, d} vers l’ensemble
F = {1, 2, 3, 4, 5, 6} définie par
f (a) = 2,
f (b) = 6,
f (c) = 1,
f (d) = 4,
f (e) = 2.
13.2
Applications
3
f
E
F
a
1
b
2
c
3
d
4
e
5
6
En particulier, les éléments 3 et 5 n’ont pas d’antécédents par f tandis que l’élément 2
admet deux antécédents par f : a et e.
Remarque 1. Dans le cas d’une fonction définie sur un sous-ensemble de R vers R, on peut
représenter son graphe dans le plan rapporté à un repère (O,~i, ~j).
F=R
f (x) = b
~j
O
~i x
x0
E=R
La courbe ci-dessus représente une fonction f définie de R dans R.
Le réel x a une unique image qui est b = f (x)
En revanche, le réel b admet deux antécédents par f qui sont x et x0 .
Exercice 1. Les schémas suivants représentent-t-il des applications ? Justifier votre réponse.
4
E
f
F
a
E
a
1
2
3
4
5
6
b
c
d
e
f
F
1
2
3
4
5
6
b
c
d
e
f
Exercice 2. La courbe représentée ci-dessous est-elle le graphe d’une fonction ?
F=R
~j
~i
E=R
Exemple 1. L’application (ou fonction) partie entière est l’application définie sur R à valeurs dans R qui à tout réel x associe la partie entière de x :
R −→ R
x 7−→ bxc
13.2
Applications
5
y
~j
O
x
~i
Exemple 2. Un exemple important d’application : l’application identité (ou application
identique) d’un ensemble E :
idE :
E −→ E
x 7−→ x
idE
E
E
a
a
b
b
c
c
d
d
e
e
y
y
~j
~j
~i
f :
R −→ R
x 7−→ x
x
~i
f :
x
Z −→ Z
x 7−→ x
Remarque 2. Il faut bien distinguer l’application f , le graphe de f et l’écriture f (x).
6
On ne dit pas « la fonction f (x) est dérivable » mais « la fonction f est dérivable ». De
même, on ne dit pas « on considère la fonction f (x) = e x − x + 1 . . . » mais « on considère
la fonction définie sur R par f (x) = e x − x + 1 . . . »
Définition 13.2.3 (Egalité de deux fonctions). Soit E, F, G, H des ensembles.
E −→ F
G −→ H
Deux applications f :
et g :
sont égales si et seulement
x 7−→ f (x)
x 7−→ g(x)
(
E = G, F = H et
∀x ∈ E, f (x) = g(x)
Exemple 3. Les quatre applications suivantes
R −→ [−1, 1]
x 7−→ sin(x)
h
i
− π2 , π2 −→ [−1, 1]
k:
x
7−→ sin(x)
R −→ R
x 7−→ sin(x)
h
i
− π2 , π2 −→ R
h:
x
7−→ sin(x)
g:
f :
sont des applications distinctes.
Définition 13.2.4. Une application est dite constante si tous les éléments de l’ensemble
de départ ont la même image.
y
~j
~i
f :
x
R −→ R
x 7−→ 2
Exercice 3. Soit f la fonction qui à un nombre complexe z associe, lorsque c’est possible,
z2 − 1
.
iz
(a) Déterminer l’ensemble de définition E de f .
f (z) =
(b) Déterminer les racines carrées complexes de 4 − 3i.
3 1
(c) En déduire tous les antécédents de − − i par f .
2 2
13.3
Composition
(d) Pour quelle(s) valeur(s) b ∈ C, l’équation f (z) = b admet-elle au moins une solution ? Quel est le nombre de solutions de l’équation f (z) = b en fonction de
b?
Soit g la fonction qui à un nombre complexe z associe, lorsque c’est possible,
z
.
g(z) =
z−i
(e) Déterminer l’ensemble de définition E de g.
(f) Pour quelle(s) valeur(s) b ∈ C, l’équation g(z) = b admet-elle au moins une solution ? Quel est le nombre de solutions de l’équation g(z) = b en fonction de b ?
Soit h la fonction qui à un nombre complexe z associe, lorsque c’est possible,
h(z) = z − 2z.
(g) Déterminer l’ensemble de définition E de h.
(h) Pour quelle(s) valeur(s) b ∈ C, l’équation h(z) = b admet-elle au moins une solution ? Quel est le nombre de solutions de l’équation h(z) = b en fonction de
b?
13.3
Composition
Définition 13.3.1. Soit f : E −→ F et g : F −→ G deux applications.
La composée de f suivie de g est l’application notée g ◦ f de E vers G définie par :
∀x ∈ E,
g ◦ f (x) = g( f (x)).
On considère les fonctions f et g représentées ci-dessous.
g
f
E
F
F
G
a
1
1
e1
b
2
2
e2
c
3
3
e3
d
4
4
e4
5
5
La fonction composée g ◦ f est alors la fonction représentée par le diagramme :
7
8
g◦ f
G
E
a
e1
b
e2
c
e3
d
e4
Exemple 4. Soit les deux fonctions : f :
R −→ R+∗
R −→ [−1, 1]
et g :
.
x 7−→ e x
x −
7 → sin(x)
L’application g ◦ f est définie sur R à valeurs dans [−1, 1] par g ◦ f (x) = sin(e x ).
Par contre, f ◦ g est définie sur R à valeurs dans R+ par f ◦ g(x) = esin(x)
R −→ R
R −→ R
et g :
x −
7 → 1−x
x 7−→ x2
Exemple 5. Soit les deux fonctions f :
L’application g ◦ f est définie sur R à valeurs dans R par g ◦ f (x) = 1 − x2 .
L’application f ◦ g est définie sur R à valeurs dans R+∗ par f ◦ g(x) = (1 − x)2 = 1 + 2x + x2 .
En particulier, g ◦ f , f ◦ g : le produit de composition n’est pas commutatif.
Exercice 4. Définir les applications f ◦ g, f ◦ f dans les cas suivants
[−1, 1] −→ R
R −→ R
√
(1) f :
;
g:
x 7−→ cos(x)
x
7−→ 1 − x2
(2) f :
R\ {−1} −→ R
1−x ;
x
7−→
1+x
R −→ R
x 7−→ x2 − x + 1
g:
Proposition 13.3.1. Le produit de composition est associatif : quel que soit les applications f : E −→ F, g : F −→ G et h : G −→ H, on a :
(h ◦ g) ◦ f = h ◦ (g ◦ f )
L’application définie par (h ◦ g) ◦ f ou h ◦ (g ◦ f ) est simplement noté h ◦ g ◦ f .
f
E
(h ◦ g) ◦ f :
x
h ◦ (g ◦ f ) :
x
g
F
f
f (x)
g◦ f
h
G
h◦g
g( f (x))
h
H
h ◦ g( f (x))) =
h(g( f (x)))
h(g ◦ f (x)) =
h(g( f (x)))
13.4
13.4
Applications injectives, surjectives, bijectives.
9
Applications injectives, surjectives, bijectives.
Etant donné une application f : E −→ F et un élément b de F, deux questions se posent :
— l’équation f (x) = b d’inconnue x admet-elle des solutions dans E ?
— si oui, cette équation f (x) = b admet-elle une ou plusieurs solutions ?
Remarque 3. « Résoudre une équation », c’est en déterminer toutes les solutions.
On peut obtenir des informations sur une équation (existence de solutions, nombre de solutions) sans qu’il y ait besoin de résoudre cette équation.
Définition 13.4.1. Soit f : E −→ F une application.
On dit que f est surjective si quel que soitl’élément b de F, l’équation f (x) = b d’inconnue x admet au moins une solution dans E.
Dire que f : E −→ F est surjective revient donc à dire que tout élément de l’ensemble
d’arrivée F admet au moins un antécédent par f .
f
f
E
F
E
F
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
d
4
d
4
e
5
e
une application surjective
Exemple 6. L’application f :
une application non surjective
R −→ R
est surjective.
x 7−→ x + 1
y
y=b
~j
~i x = b − 1
x
Exemple 7. L’application f :
[−π, π] −→ R
n’est pas surjective.
x
7−→ sin(x)
Exemple 8. L’application f :
[−π, π] −→ [−1, 1]
est surjective.
x
7−→ sin(x)
10
y
y
~j
~j
y=1
x
~i
b = −1.5
x
~i
y = −1
Exemple 9. Soit E un ensemble. L’application identité de E
idE :
E −→ E
x 7−→ x
est surjective.
Exemple 10. D’autres exemples : à vous de compléter. . .
(a) la fonction f1 :
R −→ R+
. . . est . . . . . . . . . . . .
x 7−→ x2
(b) la fonction f2 :
R −→ R
. . . est . . . . . . . . . . . .
x 7−→ e x
(c) la fonction f3 :
[0, π] −→ [−1, 1]
. . . est . . . . . . . . . . . .
x
7−→ cos(x)
(d) la fonction f4 :
R −→ C
. . . est . . . . . . . . . . . .
x 7−→ eix
Exercice 5. Etudier la surjectivité de l’application f :
C −→ C
z 7−→ z3
Définition 13.4.2. Soit f : E −→ F une application.
On dit que f est injective si quel que soitl’élément b de F, l’équation f (x) = b d’inconnue x admet au plus une solution dans E.
Dire que f : E −→ F est injective revient donc à dire que tout élément de l’ensemble
d’arrivée F admet au plus un antécédent par f .
f
E
f
F
E
F
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
d
4
d
4
5
e
5
une application injective
une application non injective
Exemple 11. Toute fonction strictement monotone sur un intervalle de R est injective.
13.4
Applications injectives, surjectives, bijectives.
11
y
y=b
~j
O
x
N −→ N
est injective, mais n’est pas surjective.
n 7−→ 2n
Exemple 12. L’application f :
Exemple 13. La fonction f :
a
~i
R −→ R+
n’est pas injective mais elle est surjective.
x 7−→ x2
Exemple 14. La fonction cos :
R −→ R
n’est ni injective ni surjective.
x 7−→ cos(x)
Exemple 15. Soit E un ensemble. L’application identité de E
idE :
E −→ E
x 7−→ x
est injective.
Exemple 16. D’autres exemples : à vous de compléter. . .
R −→ R
. . . est . . . . . . . . . . . .
(a) la fonction f1 :
x 7−→ x2
R+ −→ R
(b) la fonction f2 :
. . . est . . . . . . . . . . . .
x 7−→ x2
R −→ R
. . . est . . . . . . . . . . . .
(c) la fonction f3 :
x 7−→ e x
R −→ [−1, 1]
(d) la fonction f4 :
. . . est . . . . . . . . . . . .
x 7−→ cos(x)
Exercice 6. Etudier l’injectivité de l’application f :
]0, +∞[ −→ R
x 7−→ x −
1
x
Proposition 13.4.1. Soit f : E −→ F une application. Les énoncés suivants sont équivalents :
(1) l’application f est injective
(2) quel que soit x et y de E, l’égalité f (x) = f (y) implique x = y.
Définition 13.4.3. Soit f : E −→ F une application.
On dit que f est bijective si quel que soit l’élément b de F, l’équation f (x) = b d’inconnue x admet exactement une solution dans E.
12
Dire que f : E −→ F est bijective revient donc à dire que tout élément de l’ensemble
d’arrivée F admet un et un seul antécédent par f ou encore que f est à la fois injective et
surjective.
f
E
F
a
1
b
2
c
3
d
4
e
5
une application bijective
f
E
f
F
E
F
a
1
a
1
b
2
b
2
c
3
c
3
d
4
d
4
e
5
une application non bijective
une (autre) application non bijective
Exemple 17. D’autres exemples : à vous de compléter. . .
R −→ R
. . . . . . est . . . . . . . . . . . .
(a) la fonction c1 :
x 7−→ x2
(b) la fonction c2 :
R+ −→ R
. . . . . . est . . . . . . . . . . . .
x 7−→ x2
(c) la fonction c3 :
R+ −→ R+
. . . . . . est . . . . . . . . . . . .
x 7−→ x2
(d) la fonction c4 :
R −→ R+
. . . . . . est . . . . . . . . . . . .
x 7−→ x2
(e) la fonction f1 :
R −→ R
. . . . . . est . . . . . . . . . . . .
x 7−→ x3
(f) la fonction ln :
]0, +∞[ −→ R
. . . . . . est . . . . . . . . . . . .
x
7−→ ln(x)
[0, π] −→ R
. . . . . . est . . . . . . . . . . . .
x
7−→ cos(x)
h
i
− π2 , π2 −→ [−1, 1]
(h) la fonction f4 :
. . . . . . est . . . . . . . . . . . .
x
7−→ sin(x)
(g) la fonction f3 :
Exercice 7. Montrer que l’application f :
C\{−1} −→ C\{1}
est une bijection.
z
7−→ z−1
z+1
13.4
Applications injectives, surjectives, bijectives.
13
Définition 13.4.4. Soit f : E −→ F une application bijective.
On appelle application réciproque de f l’application qui à tout élément y de F associe
l’unique réel x ∈ E tel que y = f (x).
L’application réciproque de f se note f −1 .
On peut donc écrire, quel que soitx ∈ E et y ∈ F,
y = f (x) ⇐⇒ x = f −1 (y).
Attention — . La notation f −1 n’a de sens que si f est une application bijective. Avant
de l’écrire, il faut donc s’assurer d’abord du caractère bijectif de f .
R+∗ −→ R
est bijective et sa fonction réciproque est la
x 7−→ ln(x)
R −→ R+∗
fonction exponentielle exp :
y 7−→ ey
Exemple 18. La fonction ln :
y
y = ex
y = ln(x)
~j
~i
Exemple 19. La fonction f :
fonction f −1 :
R −→ R
√
y 7−→ 3 y
x
R −→ R
est bijective et sa fonction réciproque est la
x 7−→ x3
14
y
y = x3
y=
~j
√3
x
x
~i
Proposition 13.4.2. Soit I, J deux intervalles non vides de R et f : I 7−→ J une application bijective.
Les courbes représentatives de f et f −1 dans un repère orthonormé sont symétriques
par rapport à la première bissectrice du repère.
y=x
y = f −1 (x)
y
y = f (x)
y = f (x)
x = f −1 (y)
~j
O
~i
x
y
x
Exemple 20. Soit E un ensemble non vide et P(E) l’ensemble des parties de E.
P(E) −→ P(E)
L’application C :
est une bijection, et son application réciproque est
A
7−→ A
elle-même : C −1 = C .
Exemple 21. Soit n, p des entiers naturels non nuls.
Mn,p (C) −→ M p,n (C)
L’application T :
est une bijection et son application réciproque
A
7−→ t A
M p,n (C) −→ Mn,p (C)
est T −1 :
A
7−→ t A
13.4
Exemple 22. L’application ϕ :
Applications injectives, surjectives, bijectives.
15
R2 −→ R2
est une bijection. En effet, étu(x, y) 7−→ (x − y, x + y)
dions l’équation ϕ(x, y) = (u, v) :
(
(
x−y = u
x =
si et seulement si
x+y = v
y=
u+v
2
v−u
2
donc l’équation ϕ(x, y) = (u, v) admet une et une seule solution. La résolution précédente
R2 −→ R2
permet aussi d’obtenir l’application réciproque de ϕ qui est ψ :
v−u
(u, v) 7−→ u+v
2 , 2
x
.
1 + |x|
Montrer que f est une bijection de R sur un intervalle que l’on précisera et donner
l’application réciproque de f .
Exercice 8. Soit f la fonction définie sur R par f (x) =
13.4.1
Propriétés vis à vis de la composition
Proposition 13.4.3. La composée de deux applications injectives est une application
injective.
La composée de deux applications surjectives est une application surjective.
Proposition 13.4.4. Soit f : E −→ F et g : F −→ G deux applications bijectives.
L’application g ◦ f est bijective et son application réciproque est (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1 .
Proposition 13.4.5. Soit f : E −→ F et g : F −→ G deux applications.
(a) Si g ◦ f est injective alors f est injective.
(b) Si g ◦ f est surjective alors g est surjective.
Exercice 9. Soit f : R2 −→ R la fonction définie par f (x, y) = x + y. Montrer qu’il
n’existe pas de fonction g : R −→ R2 telle que g ◦ f = IR2 .
Théorème . Soit f : E −→ F une application.
L’application f est bijective si et seulement si il existe une application h : F −→ E telle
que f ◦ h = idF et h ◦ f = idE .
L’application h est alors unique et f −1 = h.
R[X] −→ R[X]
. Montrons à l’aide de la caractérisation précéP(X) 7−→ P(X + 1)
dente que f est une bijection.
R[X] −→ R[X]
Introduisons l’application g :
P(X) 7−→ P(X − 1).
Exemple 23. Soit f :
16
Le calcul de g ◦ f (P(X)) donne : g( f (P(X))) = g(P(X + 1)) = P(X − 1 + 1) = P(X) et celui de
f ◦g(P(X)) donne f (g(P(X))) = f (P(X −1)) = P(X +1−1) = P(X) donc f ◦g = g◦ f = IR[X] .
L’application f est donc une bijection puisqu’elle admet une application inverse à gauche
et à droite.
13.4.2
Partie stable par une application et application induite.
Définition 13.4.5 (d’une partie stable). Soit f : E −→ E une application et A une partie
de E.
On dit que A est stable par f si l’image par f d’un élément quelconque de A est un
élément de A.
Dans ce cas, on peut définir l’application
A −→ A
f˜ :
x 7−→ f (x)
appelée application induite par f sur A.
Exemple 24. La fonction f :
R −→ R
stabilise l’intervalle [0, 1] puisque pour tout
x 7−→ 1 − x2
x ∈ [0, 1], on a 1 − x2 ∈ [0, 1].
[0, 1] −→ [0, 1]
La fonction f induit donc une fonction f˜ :
x
7−→ 1 − x2
13.5
13.5
Compléments sur les quantificateurs
17
Compléments sur les quantificateurs
Une assertion en mathématique est une phrase
mathématique où interviennent des en√
sembles (N, R, C, . . .), des constantes (0, π, e, 2, . . .), des variables (x, y, z, t, . . .), des opérations (+, ×, ∩, ∪, . . .), des relations (=, ≤, <, . . .), des symboles (∀, ∃, =⇒, ⇐⇒, . . .) et qui
respecte la syntaxe et pour laquelle on peut dire si elle est vraie ou fausse.
Des phrases telles que « x2 = −1 » ou « f (x) < f (y) » ne sont pas des assertions car
elles sont incomplètes : on ne peut dire si elles sont vraies ou fausses. Que leur manque-t-il ?
Elles comportent des variables qui doivent être quantifiées.
Dans la suite E désigne un ensemble et A une partie de E définie par une propriété P.
13.5.1
Quantificateur existentiel
Dire que l’ensemble A est non vide signifie qu’il contient au moins un élément vérifiant
la propriété P.
On dit alors : « il existe x ∈ E vérifiant P(x) » et on note
∃x ∈ E, P(x).
Exemple 25. Considérons l’assertion P(x) : « x est un entier naurel pair et premier » et
l’ensemble A = {x ∈ N|P(x)}.
Comme A est non vide, (en effet 2 ∈ A ), on peut écrire :
∃x ∈ N, x est pair et premier.
13.5.2
Quantificateur universel
Dire que l’ensemble A est l’ensemble E tout entier signifie que tous les éléments de E
vérifient la propriété P.
On dit alors : « pour tout x ∈ E, P(x) » ou « quel que soit x ∈ E, P(x) » et on note :
∀x ∈ E, P(x).
Exemple 26. Considérons l’assertion P(x) : « x2 ≥ 0 » et l’ensemble A = {x ∈ R|P(x)}.
Comme A est l’ensemble R tout entier, on peut écrire :
∀x ∈ R, x2 ≥ 0.
Remarque 4. Dans les phrases (∀x ∈ E)(P(x)) et (∃x ∈ E)(P(x)), la variable x est muette.
En substituant à x une autre lettre y, z, t, . . ., on ne change pas le sens de la phrase.
13.5.3
Manipulation des quantificateurs
Règle 1. Permuter deux quantificateurs de même nature ne change pas le sens de la
phrase.
Ainsi, écrire « (∃x ∈ E)(∃y ∈ E)(P(x, y)) » revient au même que « (∃y ∈ E)(∃x ∈
E)(P(x, y)). »
De même, écrire « (∀x ∈ E)(∀y ∈ E)(P(x, y)) » revient au même que « (∀y ∈ E)(∀x ∈
E)(P(x, y)). »
18
Attention — . Permuter deux quantificateurs différents change en général le sens de la
phrase.
Exemple 27. L’assertion : « (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(y < x) » est vraie puisque un réel étant fixé,
on peut toujours trouver un plus petit que ce réel. Par contre l’assertion : « (∃y ∈ R)(∀x ∈
R)(y < x) » est fausse puisque elle signifie qu’il existe un réel qui est strictement plus petit
que n’importe quel nombre réel.
Exemple 28. L’assertion : « (∀x ∈ R)(∃y ∈ R)(x = y3 ) » est vraie puisque tout nombre réel
admet une racine cubique.
Par contre l’assertion : « (∃y ∈ R)(∀x ∈ R)(x = y3 ) » signifie qu’il existe un réel dont le
cube est égal à n’importe quel nombre réel, et impliquerait que R ne contient qu’un seul
élément, ce qui est faux.
Règle 2. « (∀x ∈ E)(P(x) et Q(x)) » revient à « ((∀x ∈ E)(P(x))) et ((∀x ∈
E)(Q(x))) »
Règle 3. « (∃x ∈ E)(P(x) ou Q(x)) » revient à « ((∃x ∈ E)(P(x))) ou ((∃x ∈
E)(Q(x))) »
Attention — . L’assertion « (∃x ∈ E)(P(x) et Q(x)) » implique « ((∃x ∈
E)(P(x))) et ((∃x ∈ E)(Q(x))) » mais la réciproque est fausse comme le montre
l’exemple suivant.
Exemple 29. On considère les propriétés suivantes
— P(x) :« x est un entier naturel pair » ;
— Q(x) : « x est un entier naturel impair. »
L’assertion « ((∃x ∈ N)(P(x))) et ((∃x ∈ N)(Q(x))) » est vraie mais l’assertion « (∃x ∈
N)(P(x) et Q(x)) » est fausse puisque un entier ne peut être à la fois pair et impair.
Attention — . L’assertion « ((∀x ∈ E)(P(x))) ou ((∀x ∈ E)(Q(x))) » implique « (∀x ∈
E)(P(x) ou Q(x)) » mais la réciproque est fausse comme le montre l’exemple suivant.
Exemple 30. On considère les propriétés suivantes
— P(x) : « x est un entier naturel pair » ;
— Q(x) : « x est un entier naturel impair ».
L’assertion « (∀x ∈ N)(P(x) ou Q(x)) » est vraie mais l’assertion « ((∀x ∈ N)(P(x))) ou ((∀x ∈
N)(Q(x))) » est fausse puisque les entiers n’ont pas tous la même parité.
Exercice 10. Déterminer les fonctions continues f : R −→ R telles que :
∀x ∈ R, f (x)2 = 1
13.5
Compléments sur les quantificateurs
19
Exercice 11. Traduire sous forme quantifiée, les phrases suivantes
(1) « on peut trouver un entier supérieur à n’importe quel rationnel strictement positif. »
(2) « tout nombre complexe admet au moins une racine carrée dans C »
(3) « le module de la différence de deux nombres complexe est toujours supérieur ou
égal à la différence des modules de ces deux nombres »
(4) « La fonction f s’annule sur tout intervalle de longueur 2π. »
Exercice 12. Traduire en langage courant la phrase suivante :
(∃x ∈ E)(∃y ∈ E)(∀z ∈ E)((x , y) et (z = x ou z = y))
Règle 4. La négation d’une propriété contenant un certain nombre de quantificateurs ∀
et ∃ s’obtient en remplaçant chaque quantificateur ∀ par le quantificateur ∃ et vice-versa,
et la propriété P par la propriété (non P).
Exercice 13. Soit f : R −→ R une fonction. Dire que la fonction f est croissante se
traduit par
(∀x ∈ R)(∀y ∈ R)(x ≤ y =⇒ f (x) ≤ f (y))
Nier cette assertion.
Exercice 14. Donner sous forme quantifiée, la négation de la phrase suivante « il existe
des réels distincts ayant le même cube. »
Exercice 15. Soit (un )n∈N une suite de réels. Dire que la suite (un )n∈N converge vers un
nombre réel ` se traduit par
(∀ε > 0)(∃N ∈ N)(∀n ∈ N)(n ≥ N =⇒ |un − `| ≤ ε)
Nier cette assertion.
20
13.6
Exercices.
Exercice 16. Soit f la fonction définie de C \ {1} dans C par f (z) =
z2 − i
.
z−1
(a) Calculer les images par f de i et −i.
(b) Les nombres 0, 1 et i admettent-ils des antécédents par f ?
−1 + i
admet-il un antécédent par f ?
(c) Le nombre complexe
2
(d) Soit b ∈ C. L’équation f (z) = b admet-elle toujours une solution dans C ?
(e) Pour quelles valeurs de b ∈ C, léquation f (z) = b admet-elle une seule solution ?
Exercice 17. Soit (n, p) ∈ (N∗ )2 .
(a) Combien d’injections f : ~1, p −→ ~1, n existe-t-il ?
(b) Combien de bijections f : ~1, n −→ ~1, n existe-t-il ?
Exercice 18. Soit U l’ensemble des nombres complexes de module 1 et α < U.
U −→ U
Montrer que ϕ :
z−α définit une bijection et donner son application réciz 7−→ 1−
ᾱz
proque.
Exercice 19. Déterminer si les applications suivantes sont injectives, surjectives, bijectives :
R −→ R
R −→ R
(a) f :
(h) f :
x 7−→ 1
x 7−→ xe1+x
(b) f :
R −→ R
x 7−→ −3x + 5
(i) f :
R −→ R
x 7−→ x3 + 2x
(c) f :
Z −→ Z √
k 7−→ bk 2c
(j) f :
R −→ R
2
x 7−→ xe x
(d) f :
C −→ C
z 7−→ z5 + z
(k) f :
R[X] −→ R[X]
P(X) 7−→ XP(X)
(e) f :
R −→ R
x 7−→ x3 − x
(l) f :
R[X] −→ R[X]
P(X) 7−→ P(X) + P0 (X)
(f) f :
R −→ R
x
x 7−→ 1+x
2
(m) f :
N −→ [0,√1[
√
n 7−→ n 2 − bn 2c
(g) f :
R −→ R
x 7−→ x + ln(1 + x2 )
(n) f :
Z −→ Z
j k
k 7−→ 3k
(o) f :
R −→ R
(
2x
si x ∈ Q
x 7−→
1 − x si x < Q
13.7
Exercices avancés
21
Exercice 20. On note P = {z ∈ C | Im(z) > 0} et D = {z ∈ C ||z| < 1}.
C\{−i} −→ C
(1) Montrer que l’application f :
est une bijection de P sur D.
z
7−→ z−i
z+i
(2) Soient a, b, c, d quatre réels tels que ad − bc = 1 avec c , 0.
C\{− dc } −→ C
Montrer que l’application h :
est une bijection de P sur P.
z
7−→ az+b
cz+d
Exercice 21. Soit f : N −→ R une application quelconque et g : R −→]0, 1[ définie par
x + |x| + 1
g(x) =
.
2(1 + |x|)
(1) Montrer que g est injective.
(2) Montrer que ϕ : n ∈ N 7→ n + g ◦ f (n) est injective de N dans R.
Exercice 22. Soient E, F, G trois ensembles et f : E −→ F et g : F −→ G deux
applications. Montrer que
(a) si g ◦ f injective et f surjective alors g est injective.
(b) si g ◦ f surjective et g injective alors f est surjective.
Exercice 23. Soient E, F, G trois ensembles et f : E −→ F, g : F −→ G, h : G −→ E
trois applications.
On suppose que h ◦ g ◦ f et g ◦ f ◦ h sont injectives et que f ◦ h ◦ g est surjective.
Montrer que f, g, h sont bijectives.
Exercice 24. On rappelle que si A, B sont deux ensembles, A\B désignent l’ensemble
des éléments qui appartiennent à A sans appartenir à B.
1
On considère l’application f : C∗ −→ C définie par f (z) = z + .
z
(a) Montrer que f est surjective.
(b) Soit D = z ∈ C 0 < |z| < 1 . On considère l’application g : D −→ C\[−2, 2] don1
née par g(z) = z + . Montrer que g est bijective.
z
13.7
Exercices avancés
Exercice 25. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = bxc +
Montrer que f est une bijection de R sur lui même.
√
x − bxc.
22
Exercice 26. Soit f : N −→ N une application injective. Montrer que f (n) → +∞ quand
n → +∞.
Exercice 27. On définit une fonction h sur R+ en posant
 ln x

x
si x ≥ 1


 − ln x
x
si 0 < x < 1
h(x) = 


0
si x = 0
(1) Montrer que h est une bijection de R+ sur lui même.
(2) On pose, pour tout x ∈ R, g(x) = h(|x|) et f (x) = (h−1 (|x|))2 . Calculer f ◦ g(x) et
g ◦ f (x).
Exercice 28. Déterminer une application bijective entre les ensembles suivants :
(a) Z et N
(b) ]0, 1[ et R
(c) [0, 2π[ et Γ = {z ∈ C | |z| = 1}
(d) N × N et N
(e) ]0, 1[ et ]0, +∞[.
Exercice 29. Etude de l’équation z21 = z.
(1) Déterminer l’ensemble E des solutions dans C de l’équation z21 = z.
x7 ∈ E.
(2) Montrer que pour tout x ∈ E,
(3) Soit f : E −→ E, x 7→ x7 . Montrer que f est bijective.
Exercice 30. Soit f : R −→ R une fonction continue telle que
∀(x, y) ∈ R2 ,
| f (x) − f (y)| ≥ |x − y|.
(1) Montrer que f est injective. En déduire, à l’aide du théorème des valeurs intermédiaires, que f est strictement monotone.
(2) Montrer que f réalise une bijection de R sur R.
Exercice 31. Dans cet exercice, si p ∈ N∗ la notation f p signifie f ◦ f ◦ · · · ◦ f .
|
{z
}
p fois
+
+
Soit f une fonction continue de R dans R telle que, pour tout réel positif x, il existe
un entier naturel n x non nul tel que : f nx (x) = x.
(1) Montrer que f est surjective.
(2) Montrer que f est injective.
(3) Montrer que f est strictement monotone.
13.7
Exercices avancés
(4) Déterminer la fonction f .
Exercice 32. Déterminer les fonctions bijectives f : [0, 1] −→ [0, 1] telles que
∀x ∈ [0, 1],
f (2x − f (x)) = x
Exercice 33. Soit f : N −→ N surjective et g : N −→ N injective.
On suppose que f (n) ≥ g(n) pour tout n ∈ N. Montrer que f = g.
Exercice 34. Montrer qu’il n’existe pas de bijection de N sur [0, 1].
23