Mécanique des milieux continus - Cours

Mécanique des milieux continus
Nicolas MOËS
EI1
ÉCOLE CENTRALE DE NANTES

TABLE DES MATIÈRES
Table des matières
1 Pourquoi la mécanique des milieux continus 5
1.1 De la mécanique du point matériel à la mécanique des milieux continus . . . . 5
1.2 La mécanique des milieux continus au centre des disciplines de l’ingénieur . . 7
1.3 Notion de milieu continu et d’échelle d’observation . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Remarquesimportantes.............................. 9
1.5 Systèmed’unités ................................. 9
2 Éléments de calcul tensoriel 10
2.1 Convention de sommation d’Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2 SymboledeKronecker .............................. 10
2.3 Symbole de permutation dit de Lévi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.4 Changementdebase ............................... 11
2.5 Scalaire ...................................... 12
2.6 Vecteur ...................................... 12
2.7 Tenseurd’ordre2................................. 13
2.8 Étude des tenseurs d’ordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8.1 Tenseuridentité.............................. 13
2.8.2 Tenseur symétrique et antisymétrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.8.3 Traced’untenseur ............................ 14
2.8.4 Produitcontracté............................. 14
2.8.5 Produittensoriel ............................. 14
2.8.6 Représentation spectrale d’un tenseur . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.9 Formule d’intégration par partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.9.1 Formule de Green-Ostrogradski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.10FormuledeStokes ................................ 16
2.11 Systèmes de coordonnées curvilignes orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.11.1 Coordonnées cartésiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11.2 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.11.3 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.11.4 Formulesutiles.............................. 20
3 Description de la cinématique d’un milieu continu 22
3.1 Trajectoire et dérivées temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.2 Gradient de la transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
3.3 Définition des tenseurs de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.4 Interprétation des composantes des tenseurs de déformations . . . . . . . . . . 30
3.5 Décompositionpolaire .............................. 32
3.6 Changementdevolume.............................. 34
3.7 Changementdesurface.............................. 35
3.8 Tauxdedéformation ............................... 35
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TABLE DES MATIÈRES
3.9 Déformations en petites perturbations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.9.1 Formulation de l’hypothèse des petites perturbations (HPP) . . . . . . 36
3.9.2 Simplification des résultats dans l’hypothèse HPP . . . . . . . . . . . . 37
3.9.3 Conditions de compatibilité des déformations . . . . . . . . . . . . . . 40
3.9.4 Directions principales des déformations et cercle de Mohr . . . . . . . 41
3.9.5 Dépouillement d’une rosette en extensométrie . . . . . . . . . . . . . . 42
4 Lois de bilan 44
4.1 Forme globale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Forme locale des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.3 Conséquences des lois de bilan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Conséquences de la conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.2 Conséquences de la bilan de quantité de mouvement . . . . . . . . . . 54
4.3.3 Conséquences de la bilan du moment cinétique . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.4 Conséquences du bilan de l’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Le tenseur des contraintes 56
5.1 Introduction du tenseur des contraintes par extension de la mécanique des so-
lidesindéformables................................ 56
5.1.1 Volume élémentaire au sein du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.1.2 Volume élémentaire en surface du milieu . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.2 Introduction du tenseur des contraintes par le principe des puissances virtuelles 62
5.2.1 Définition des puissances virtuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5.2.2 Théorème de l’énergie cinétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2.3 La dualité en mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
5.3 Propriétés locales du tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.1 Contrainte normale et contrainte de cisaillement . . . . . . . . . . . . . 65
5.3.2 Contraintes normales principales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.3.3 Représentation des contraintes: le tricercle de Mohr . . . . . . . . . . 66
5.3.4 État plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.5 Tenseur des contraintes sphérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.3.6 Tenseur des contraintes uniaxial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
5.3.7 Tenseur des contraintes de cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . 70
6 Théorie de l’élasticité linéaire isotrope 71
6.1 Leséquations................................... 71
6.1.1 Lacinématique.............................. 71
6.1.2 Equilibre ................................. 72
6.1.3 Comportement élastique isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.1.4 Récapitulatif ............................... 76
6.2 Théorèmes de l’énergie potentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
6.3 Techniques de résolution analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.1 Approche en déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
6.3.2 Approche en contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
6.3.3 Solide en état plan de déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6.3.4 Solide en état plan de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
6.3.5 Fonction de contrainte d’Airy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6.4 Techniques de résolution numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
6.5 Thermoélasticité ................................. 85
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TABLE DES MATIÈRES
7 Problèmes classiques d’élasticité 87
7.1 Cylindresouspression .............................. 87
7.2 Traction d’un barreau prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
7.3 Torsion d’un barreau prismatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
8 Thermodynamique et lois de comportement 97
8.1 Lepremierprincipe................................ 97
8.2 Lesecondprincipe ................................ 98
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TABLE DES MATIÈRES
Avant-Propos
Dans ce cours des milieux continus, une cohérence de contenu a été recherchée avec les
autres cours de mécanique du Tronc Commun à savoir:
– dynamique des solides (1ère année);
– résistance des matériaux (1ère année);
– matériaux (1ère année);
– technologie de conception mécanique (1ère année);
– mécanique des fluides (2ème année);
– méthode des éléments finis (2ème année);
– mécanique des vibrations (2ème année).
Cette cohérence a été recherchée également autant que possible pour les notations (le cas
échéant, un choix différent de notation par rapport à un autre cours de tronc commun est indiqué
par une note en bas de page).
Rédiger un polycopié sur la mécanique des milieux continus pour un cours de tronc commun
d’école d’ingénieurs n’est pas une tâche aisée. J’ai été grandement aidé dans cette entreprise par
différents collègues qui ont pris la peine de me donner leur avis sur ce document. Les conseils
pédagogiques de J.-F. Sini ont également été très bénéfiques. Enfin, mes remerciements vont à
G. Legrain qui a réalisé le site web de ce cours et toutes les figures d’une main de maître.
Nicolas MOËS, Nantes, Septembre 2003.
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