ε = εe ε = E

Université Pierre et Marie Curie / Ecole Normale Supérieure de Cachan / Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Master 2ème année Mention Sciences de l'Ingénieur
Spécialité Mécanique et Ingénierie des Systèmes Modèles de comportement et d'endommagement des matériaux
______________________________________________________________________________________________________________
Examen du 9 décembre 2006
Essais mécaniques multiaxiaux en élastoplasticité
Durée 2 heures
Tous documents manuscrits personnels autorisés.
Il est demandé d'utiliser les notations données dans l'énoncé.
Les parties A et B sont indépendantes.
Les parties C à G (requièrent les parties A et B mais) sont également indépendantes.
On se propose d'étudier le comportement d'une éprouvette tubulaire soumise à différents
chargements mécaniques: pression interne p avec effet de fond, traction (effort F d'axe z
→ ), torsion
(moment M d'axe z
→ ).
Le matériau est supposé élastoplastique tel que
ε = εe + εp
L'élasticité est supposée isotrope telle que
ε = E-1 : σ
Le domaine d'élasticité est supposé de la forme générale suivante
fp = g(σ) − Ry
où g(σ) représente la contrainte équivalente de von Mises
g(σ) = (3
2 s : s)1/2 avec σ = s + 1 3 tr(σ) 1
et où R(r) représente l'écrouissage isotrope et σy la limite élastique tels que
Ry = R(r) + σy
On suppose que les lois d'évolution de la déformation plastique εp et de la variable d'écrouissage r
dérivent de la fonction seuil fp par une loi de normalité généralisée.
Par ailleurs on définit la vitesse p
. de la déformation plastique cumulée par l'égalité énergétique
suivante
σ : εp
.! = g(σ) p
.

Université Pierre et Marie Curie / Ecole Normale Supérieure de Cachan / Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Master 2ème année Mention Sciences de l'Ingénieur
Spécialité Mécanique et Ingénierie des Systèmes Modèles de comportement et d'endommagement des matériaux
______________________________________________________________________________________________________________
Partie utile d'une éprouvette tubulaire mince
M
M
F
F
z
x = r
D
e
θ = y
x = r
p
p
p
σzz
σzz
p
σyy
σyy

Université Pierre et Marie Curie / Ecole Normale Supérieure de Cachan / Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Master 2ème année Mention Sciences de l'Ingénieur
Spécialité Mécanique et Ingénierie des Systèmes Modèles de comportement et d'endommagement des matériaux
______________________________________________________________________________________________________________
A. Questions préliminaires sur l'état de contraintes dans l'éprouvette
Dans tout le problème on suppose que e << D.
1 – On considère un chargement de traction pure tel que F ≠ 0 avec p = 0 et M = 0. Donner dans le
repère ( x
→, y →, z →) la forme du tenseur contraintes en un point courant de l'éprouvette. Donner
l'expression de la contrainte σt en fonction de F, D et e.
2 – On considère un chargement en pression seule tel que F = 0 avec p ≠ 0 et M = 0. Donner dans le
repère ( x
→, y →, z →) la forme du tenseur contraintes en un point courant. Donner l'expression des
contraintes σp et σp/2 en fonction de p, D et e.
3 – On considère un chargement en torsion pure tel que F = 0 avec p = 0 et M ≠ 0. Donner dans le
repère ( x
→, y →, z →) la forme du tenseur contraintes en un point courant. Donner l'expression de la
contrainte τ en fonction de M, D et e.
B. Questions préliminaires sur la loi de comportement
1 – A partir de la loi de normalité généralisée, donner les expressions de la vitesse εp
.!
de la
déformation plastique et de la vitesse r
. de la variable d'écrouissage, en fonction de la contrainte
équivalente g(σ), du déviateur des contraintes s et du multiplicateur plastique λ
..
2 – A partir de l'équivalence énergétique, établir la relation entre la vitesse p
. de la déformation
plastique cumulée, le multiplicateur plastique λ
. et finalement la vitesse r
. de la variable
d'écrouissage isotrope.
En déduire l'expression générale de εp
.!
en fonction de g(σ), s et p
..
3 – Donner l'expression particulière de εp
.!
en fonction de σy, s et p
., dans le cas de l'élastoplasticité
parfaite (R = 0).
4 – Déduire de la relation de cohérence (fp
.!
= 0), l'expression particulière de p
. en fonction de g(σ),
s, σ
. et h, dans le cas d'un écrouissage isotrope linéaire tel que R = h p où h représente le module
d'écrouissage supposé constant.

Université Pierre et Marie Curie / Ecole Normale Supérieure de Cachan / Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Master 2ème année Mention Sciences de l'Ingénieur
Spécialité Mécanique et Ingénierie des Systèmes Modèles de comportement et d'endommagement des matériaux
______________________________________________________________________________________________________________
C. Traction pure
Dans toute cette partie, on considère d'une part un chargement de traction pure tel que F ≠ 0
avec p = 0 et M = 0 et d'autre part un matériau élastoplastique parfait (R = 0).
1 – Donner dans le repère ( x
→, y →, z →) la forme du tenseur déformations en un point courant de
l'éprouvette. Donner l'expression des déformations en fonction de la contrainte σt et des
caractéristiques élastiques E et ν du matériau.
2 – Donner la valeur de l'effort F correspondant à la première plastification du matériau en fonction
de D, e et σy.
3 – Donner l'expression du tenseur vitesse de déformation élastique εe
.!
avant la plastification en
fonction de E, ν et σt
.!
.
4 – Donner l'expression du tenseur vitesse de déformation plastique εp
.!
après la plastification en
fonction de σt, σy et p
..
5 – Tracer dans le plan principal des contraintes (σII, σIII) la fonction seuil de plasticité, le vecteur
contrainte σt, et sur la surface seuil les vecteurs vitesse de contrainte σt
.!
et vitesse de déformation
plastique εp
.!
. Commenter.
6 – Montrer que la relation de cohérence (fp = 0) permet dans le cas de l'élastoplasticité parfaite
d'établir une relation entre σt et σt
.!
.
On considère un essai à vitesse de déformation totale imposée εzz = ε0 t.
Déduire de l'expression des vitesses de déformation totale et de la relation entre σt et σt
.!
, les
expressions de p
. et des vitesses de déformation en fonction de ε0.
Tracer les courbes σzz vs εzz, et εyy vs εzz.
D. Pression seule
Dans toute cette partie, on considère d'une part un chargement en pression seule tel que
F = 0 avec p ≠ 0 et M = 0 et d'autre part un matériau élastoplastique parfait (R = 0).
1 – Donner dans le repère ( x
→, y →, z →) la forme du tenseur déformations en un point courant de
l'éprouvette. Donner l'expression des déformations en fonction de la contrainte σp et des
caractéristiques élastiques E et ν du matériau.
2 – Donner la valeur de la pression p correspondant à la première plastification du matériau en
fonction de D, e et σy.

Université Pierre et Marie Curie / Ecole Normale Supérieure de Cachan / Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers
Master 2ème année Mention Sciences de l'Ingénieur
Spécialité Mécanique et Ingénierie des Systèmes Modèles de comportement et d'endommagement des matériaux
______________________________________________________________________________________________________________
E. Traction - pression
Dans toute cette partie, on considère d'une part un chargement en traction et en pression tel
que F = F0 t avec p = p0 t et M = 0 et d'autre part un matériau élastoplastique parfait
(R = 0).
1 – Donner dans le repère ( x
→, y →, z →) la forme du tenseur déformations en un point courant de
l'éprouvette.
Donner la relation qu'il faut imposer entre les chargements imposés F0 et p0 pour retrouver un
chargement équivalent à une traction pure dans la direction y
→.
Donner la relation qu'il faut imposer entre les chargements imposés F0 et p0 pour retrouver un
chargement équivalent à une équi-bitraction pure dans les directions y
→et z →.
Tracer dans le plan principal des contraintes (σII, σIII), les domaines explorables
expérimentalement en faisant varier les chargements F0 et p0. Commenter.
2 – Donner l'expression du tenseur vitesse de déformation plastique εp
.!
après la plastification en
fonction de σt, σp, σy et p
..
6 – Tracer dans le plan principal des contraintes (σII, σIII) la fonction seuil de plasticité, le vecteur
contrainte, et sur la surface seuil les vecteurs vitesse de contrainte et vitesse de déformation
plastique εp
.!
, dans le cas particulier d'un chargement en pression seule ainsi que dans le cas
particulier d'une équi-bitraction. Commenter.
F. Cisaillement pur
Dans toute cette partie, on considère d'une part un chargement de torsion pure tel que F = 0
avec p = 0 et M ≠ 0 et d'autre part un matériau élastoplastique parfait (R = 0).
1 – Donner dans le repère ( x
→, y →, z →) la forme du tenseur déformations en un point courant de
l'éprouvette. Donner l'expression des déformations élastiques en fonction de la contrainte τ et de la
caractéristique élastique G = µ du matériau.
2 – Donner la valeur du moment M correspondant à la première plastification du matériau en
fonction de D, e et σy.
3 – Donner l'expression du tenseur vitesse de déformation élastique εe
.!
avant la plastification en
fonction de G et τ
..
4 – Donner l'expression du tenseur vitesse de déformation plastique εp
.!
après la plastification en
fonction de τ, σy et p
..