divisions, quotients et fractions.

Cours de Mr Jules v1.2
Classe de Sixième
Contrat 3 page 1
DIVISIONS, QUOTIENTS ET FRACTIONS.
Diviser1, c’est partager en un « certain nombre de parties égales ».
I.
Division entière ou division euclidienne :_________________________________________________ 2
A.
Définition : _______________________________________________________________________ 2
B.
6 Exercices : ______________________________________________________________________ 3
C.
1.
2.
D.
Utilité de la division euclidienne : ____________________________________________________ 4
Quotient d’un nombre décimal par un nombre décimal non nul (≠ 0) : _______________________ 5
II.
A.
Définition ; lien avec la multiplication : _______________________________________________ 5
B.
Technique de la division décimale :___________________________________________________ 6
C.
Ecriture fractionnaire : ____________________________________________________________ 6
D.
1.
2.
III.
1
Un peu d’histoire et de vocabulaire : _________________________________________________ 3
D’où vient l’expression « division euclidienne » ?_______________________________________ 3
Le sens des mots : ________________________________________________________________ 3
Fractions : _______________________________________________________________________ 7
Définition : _____________________________________________________________________ 7
Exercice : ______________________________________________________________________ 8
Quotients égaux ; simplification des fractions.___________________________________________ 8
A.
Quotients égaux :__________________________________________________________________ 8
B.
Utilité : simplification des fractions et écritures fractionnaires. ___________________________ 9
C.
Fractions irréductibles : ____________________________________________________________ 9
D.
2 conseils importants : _____________________________________________________________ 9
E.
Exercices ________________________________________________________________________ 9
F.
Critères de divisibilité ; application à la simplification :_________________________________ 10
G.
Division par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 … _______________________________________________ 12
Le diviseur doit être différent de 0 car partager en 0 parties n’a aucun sens !
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I.
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Contrat 3 page 2
DIVISION ENTIERE OU DIVISION EUCLIDIENNE :
Questions : (on ne vous demande pas d’y répondre tout de suite)
Combien de tables de 4 places sont remplies par 87 élèves à la cantine ? Y aura-t-il des places restantes
pour les profs ?
Avec 150 roses, on veut faire des bouquets de 7 roses. Combien de bouquets a-t-on ? Reste-t-il des
roses ?
Pour trouver les réponses à ces deux questions, on a besoin de la technique de la division euclidienne.
A. Définition :
Définition :
Effectuer la division euclidienne (ou division
entière) d’un nombre entier (appelé dividende)
par un nombre entier différent de 0 (appelé
diviseur), c’est trouver deux nombres entiers
appelés le quotient et le reste, qui vérifient les
deux conditions :
Dividende
Reste
Dividende = Diviseur × Quotient + Reste
et
Diviseur
Quotient
Reste < Diviseur
En fait, la division euclidienne est une division entière où on ne poursuit pas les calculs après la virgule.
Eh ! Ne vous enfuyez pas ! Restez ! La définition a l’air compliquée mais vous allez voir sur les exemples
qu’elle est simple à appliquer, et c’est ce qui nous importe !
Exemple
………
……………
: effectuons la division euclidienne de 45 par 7 (qu’on notera 45 ÷R 7).
4 5
- 4 2
3
Exemple
7
6
…………….
……………..
Et on écrit toujours « l’égalité euclidienne » :
45 = 7 × 6 + 3 et le reste 3 < diviseur 7
: effectuons la division euclidienne de 5 par 12 ( qu’on note …… ÷R ……).
5
12
Et on écrit toujours « l’égalité euclidienne » :
5
0
5 = 12 × ……. + …….
et ……..< 12
Lorsque le dividende est inférieur au diviseur, le quotient est égal à …… et le reste est égal au ……………..
Exemple
1 8
- . .
.
: effectuez la division euclidienne de 18 par 6 ( qu’on note ……….……).
6
Et on écrit toujours « l’égalité euclidienne » :
.
….. = ……. × …… + ……
et …… < ……..
Puisque le reste est nul, on dit que « 6 est un diviseur de 18 » ou, ce qui est équivalent, que « 18 est un
multiple de 6 ».
•
•
Exemple :
La condition
reste < diviseur est essentielle ! Ex : l’égalité 33 = 7 × 3 + 12 n’est pas une égalité
euclidienne car le reste 12 > diviseur 7 (en fait, on n’a pas assez trouvé de 7 dans 33 !).
Mais l’égalité 33 = 7 × 4 + 5 provient bien d’une division euclidienne car le reste 5 < diviseur 7.
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Contrat 3 page 3
B. 6 Exercices :
A vous maintenant ! Effectuez (N’oubliez pas d’écrire l’égalité euclidienne et la condition) :
1) la division euclidienne de 13 par 5.
47 ÷R 11
2) L’égalité 26 = 25 × 1 + 1 provient elle d’une division entière ? ……….. car……… < ……….
L’égalité 26 = 5 × 4 + 6 provient elle d’une division euclidienne ? ………. car……………….
5 × 11 + 7 = ………..
3) Calculez mentalement
Dans la division euclidienne de 62 par 11, quel est le quotient ? …………, quel est le reste ? …………
Attention : dans la division euclidienne de 62 par 5, quel est le quotient ? ………, quel est le reste ? …………
4) Calculez mentalement
5 × 12 = ………..
Sans poser l’opération, donnez le quotient q et le reste r dans la division euclidienne de :
a) 60 par 5
q = …….. et r = …….
b) 66 par 5
q = …….. et r = …….
5) Plus difficile : dans chaque division euclidienne, trouvez le nombre manquant :
(Conseil : écrivez pour chaque cas l’égalité euclidienne en laissant un vide pour le nombre manquant, puis
essayez de trouver ce nombre manquant.)
…...
9
…… 8
57
……
57
3
6
1
2
5
1
7
……
4
6) Grâce à la calculatrice (touche ÷R sur les Casio et touche
pour les Texas), écrivez l’égalité
euclidienne et la condition pour les divisions euclidiennes suivantes :
38975 ÷R 89
554782 ÷R 457
C. Un peu d’histoire et de vocabulaire :
1. D’où vient l’expression « division euclidienne » ?
Ce terme a été introduit par les mathématiciens du groupe Bourbaki au milieu du XXème siècle, en l’honneur
d’Euclide, un grand mathématicien grec qui enseignait à Alexandrie au IIIème siècle av. J.C, et qui ne
connaissait pas encore les nombres décimaux.
Cherchez dans une encyclopédie ou sur Internet des informations et une image d’Euclide.
2. Le sens des mots :
Dividende vient du latin dividendus, qui signifie : qui doit être divisé.
Quotient vient du latin quoties, qui signifie : combien de fois.
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D. Utilité de la division euclidienne :
Elle peut servir :
aux problèmes d’achat d’objets entiers.
aux problèmes de partage entier (paquet de bonbons à distribuer entre plusieurs élèves par exemple).
aux problèmes de conversion temporelle ( conversion d’heures en jours et heures par exemple).
aux problèmes de répartition entière (temps par exercice dans un contrôle).
Exercices : (Méthode FRCP bien sûr !)
Reprenez le tout début de la page 2 et résolvez les deux exercices donnés.
Bilbo a 20 €. Il veut acheter des livres de maths à 3 €. Combien peut il en acheter ? Combien lui reste-t-il ?
Est il content ?
Dans une classe de 26 élèves, les élèves doivent se grouper par 2 ou 3 pour préparer un exposé.
Combien y a-t-il de groupes au maximum ? au minimum ?
Un prof de maths a corrigé 52 copies (2 classes) sans s’arrêter. Il met 10 minutes par copie.
Combien d’heures et de minutes a-t-il travaillé ? Mérite-t-il une pause ?
A un contrôle de maths, il y a 7 exercices d’importance équivalente. Le contrôle dure 1 heure.
Combien de minutes doit on réserver à chaque exercice ? Combien de minutes reste-t-il pour relire ?
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II. QUOTIENT D’UN NOMBRE
DECIMAL NON NUL (≠
≠ 0) :
Contrat 3 page 5
DECIMAL
PAR
UN
NOMBRE
A. Définition ; lien avec la multiplication :
Exemples :
Trouver le salaire mensuel de Pelène sachant qu’elle gagne 18 000 € par an, revient à trouver le nombre
qui, multiplié par 12, donne 18 000.
12 ×
= 18 000
nombre de ……….….
salaire ……………. en €
salaire …...….. en €
Pour trouver ce facteur manquant, il faut effectuer l’opération 18 000 ….. 12.
= 18 000 ÷ 12
J’ai acheté 1,2 kg de moules pour 2,4 € au total. Trouver le prix d’un kg de moules, revient à trouver le
nombre qui, …………….……. par 1,2 donne ………...
1,2 ×
……………………
= 2,4
prix d’………..…. en €
prix ………… en €
Pour trouver ce terme manquant, il faut effectuer l’opération …….. ÷ ……….
= …….. ÷ ……….
Définition2 :
Le facteur manquant dans la multiplication d ×
= n
Quotient de n par d
avec d ≠ 0 s’appelle le quotient de n par d
(d ≠ ….).
= n ÷ d
Ce quotient s’obtient en effectuant la division:
2 Remarques :
Le quotient est donc le résultat d’une division par un nombre différent de …..
Rechercher un facteur (terme) inconnu dans une multiplication revient à trouver un quotient grâce à une
division.
Exemples :
un quotient peut être un nombre entier :
33 ÷ 3 = …….
36 ÷ 12 = ….....
…..… ÷ .….… = 8
…… ÷ 9 = 11
……… ÷ 4 = 8
2,5 ÷ …… = 1
64 ÷ …….. = 8
un quotient peut être un nombre décimal :
10 ÷ 4 = ………
2,7 ÷ 10 = ………..
…….. ÷ ………. = 2,5
2
………. ÷ 4 = 2,5
25,8 ÷ ……… = 0,258
100 ÷ ……… = 2,5
C’est ici qu’on va voir le lien entre le quotient, la multiplication et la division
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B. Technique de la division décimale :
Poser la division de n par d (d ≠ 0) permet de trouver :
soit la valeur exacte du quotient quand la division se termine et tombe juste.
Exercice : calculer en posant la division le quotient de 169 par 13 puis le quotient de 63 par 5
1 6 9
-
.
-
1 3
6 3, 0
- .
. .
- . .
. .
- . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
5
.
.
.
J’ai laissé les soustractions dans les opérations. Mais on essaiera à l’avenir de s’en passer.
soit des valeurs approchées du quotient : troncature, arrondi, valeur approchée par défaut (inférieure)
ou par excès (supérieure) quand la division ne se termine pas et ne tombe pas juste.
1
Exercice : calculez en posant la division le quotient de 25 par 3 (arrêtez au
ème), puis remplissez le
100
tableau.
8,33
Troncature à l’unité
Arrondi à la dizaine
Valeur approchée par
défaut au centième
Valeur approchée par
excès au dixième
Vérifiez à la calculatrice.
C. Ecriture fractionnaire :
Certains quotients ne sont pas des nombres décimaux !
Je pense par exemple à 2 ÷ 7 ou à π ÷1,1 : quand on pose ces divisions, elles ne se « terminent »
jamais.
Autre « problème » : ces écritures en ligne avec le signe ÷ ne sont pas pratiques du tout à manipuler et
sont source de nombreuses erreurs de priorité !
Par exemple : dans l’écriture 5 − 4 ÷ 1, on peut faire l’erreur de faire le calcul 5 − 4 ; alors que dans l’écriture
4
5 − , on n’est jamais tenté de faire le 5 − 4 !
1
D’où l’introduction de l’écriture fractionnaire :
dividende
n÷d=
n
d
diviseur ≠ 0
Dorénavant, on utilisera toujours l’écriture fractionnaire !
nu……………..
dé………………….. ≠ …..
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Exercice 1 : écrivez sous forme fractionnaire, sans rien calculer :
neuf quarts
2÷3=
deux demis
un tiers
Contrat 3 page 7
la moitié de k
une demi pomme
........
(notez que le trait de fraction doit être mis exactement au milieu du signe =)
.......
π ÷ 2,3 =
(2,5 − 1) ÷ (4 − 1) =
vitesse moyenne = distance ÷ temps =
Ecrivez sous forme fractionnaire un quotient dont le dénominateur est le triple du numérateur :
Exercice 2 : écrire sous forme fractionnaires les écritures suivantes sans rien calculer :
3−5÷7=
4+9÷8=
a−b÷c=
Quatre cas particuliers à retenir : Quelles que soient les valeurs de n et de d (sauf 0), on a :
0
= …….
d
n
= ……..
1
d
= ……
d
0
= …..
2,257
8,8
Tout nombre divisé par 1 donne ………………….…..
ex :
= …….
1
π
Tt nb non nul divisé par ……………………… donne ……
ex :
= ……..
π
k
Un pourcentage est une écriture fractionnaire dont le dé…………………. est ………. c-à-d k % =
100
0,10
= ………%
100
0 divisé par n’importe quel nombre (sauf 0) donne tjs ……..
100
= 100 %
0,05 % =
100
ex :
= 2500 %
D. Fractions :
1. Définition :
Définition : Lorsque le numérateur a et le dénominateur b (b ≠ ……) d’une écriture fractionnaire
entiers,
a
sont des
b
a
s’appelle une ………………
b
Contre exemples : donner deux écritures fractionnaires qui ne soient pas des fractions : ………… et ……….
A retenir :
18695 =
Tout nombre entier peut s’écrire sous forme de fraction :
5=
11 =
4=
=
……
40
=
5
Cela servira dans les calculs avec des fractions.
Tout nombre décimal peut s’écrire sous forme de fraction :
1,5 =
0,7 =
10
0,51 =
5,78 =
0,041 =
Dorénavant, on aura toujours intérêt à remplacer dans les calculs les nombres décimaux par des fractions !
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2. Exercice :
Pour chaque figure, quelle proportion (fraction) de la surface totale représente l’aire coloriée ?
III.
QUOTIENTS EGAUX ; SIMPLIFICATION DES FRACTIONS.
On remarque facilement que 10 ÷ 5 et 20 ÷ 10 donnent le même quotient. Donc
10
20
10 × 2
=
=
5
10
5×2
Généralisons :
A. Quotients égaux :
Soient k ≠ 0 et b ≠ 0, alors
n n×k n÷k
,
et
sont 3 écritures fractionnaires du même quotient c-à-d :
d d×k d÷k
n×k
n÷k
n
=
=
(k ≠ 0 et b ≠ 0)
d
d×k
d÷k
Autrement dit : Quand on multiplie ou divise numérateur et dénominateur par le même nombre (≠ 0), le quotient ne change pas !
Exercice : Mettre les fractions sur 20 puis colorier la partie correspondant à la fraction :
1 1 × 10 10
1
=
=
donc 10 carreaux.
=
2 2 × 10 20
4
1
=
5
1
=
10
2
=
5
7
=
20
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B. Utilité : simplification des fractions et écritures fractionnaires.
L’égalité
n×k
n
=
va permettre de simplifier les fractions en « réduisant » le numérateur et le
d
d×k
dénominateur de départ, jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de facteurs communs entre eux (autres que 1).
Exemple :
Dans
78
39 × …..
39
3 × ……
13
=
=
=
=
48
24
8
24 × …..
3 × …..
13
, il n’y a plus de facteurs ……………….. (autre que 1) entre le numérateur et le dénominateur.
8
On essayera toujours de simplifier en seulement une fois (rarement deux).
78
13 × …..
=
=
48
8 × …..
C. Fractions irréductibles :
Un quotient a donc plusieurs écritures fractionnaires. Une est meilleure que toutes les autres :
Définition :
La meilleure écriture fractionnaire d’un quotient, c-à-d la plus simple, s’appelle fraction irréductible3.
Cette écriture vérifie les 2 conditions : le numérateur et le dénominateurs sont :
entiers.
sans facteurs communs entre eux4(autres que 1).
Méthode : A partir d’une écriture fractionnaire, on obtient une fraction irréductible en faisant :
« disparaître les virgules » si il y en a
puis en simplifiant « au maximum ».
Exercice : Dire si les écritures fractionnaires sont des fractions irréductibles ou non. Si non, les simplifier.
12
15
4
9
0,4
0,9
20
30
13
17
D. 2 conseils importants :
Je ne me fais pas beaucoup d’illusions mais je vous les donne quand même :
Avant de commencer les calculs, toujours simplifier si possible les écritures fractionnaires.
Pour cela, bien connaître ses tables de …………………...
E. Exercices
Simplifier sous forme de fraction irréductible :
45
9×5
5
42
Ex :
=
=
=
27
3
48
9×3
56
=
16
3
4
8
=
64
26
=
39
21
=
49
Irréductible : qu’on ne peut plus réduire. « Dans un coin reculé de la Gaule se dressait un village d’irréductibles gaulois. »
Le numérateur et le dénominateur ne sont pas dans une table de multiplication commune. Ex : 13 et 2 ou bien 5 et 23.
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Ex :
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Contrat 3 page 10
0,24 × 100
24
3×8
3
0,24
=
=
=
=
80
10
0,8
0,8 × 100
10 × 8
1,5
=
4,5
9
=
0,01
0,8
=
2
A quelles fractions irréductibles sont égales les pourcentages suivants :
50
50 × 1
1
Ex : 50 % =
=
=
25 % =
100
2
50 × 2
20 % =
10 % =
F. Critères de divisibilité ; application à la simplification :
Essayez de simplifier :
126
=
342
Vous avez du mal ? C’est nooormal dirait Kavanagh. On ne sait pas a priori dans quelles tables de
multiplication sont 126 et 342 ! C’est là qu’interviennent les critères de divisibilité :
Un entier est divisible par 2 (dans la table de 2) lorsque son dernier chiffre est …………….
Donner un entier à 2 chiffres, qui est pair et dont la somme des chiffres est 5 : ………………
Comment s’appellent les entiers non divisibles par 2 ? ……………………
Un entier est divisible par 3 (dans la table de 3) lorsque la somme des chiffres est divisible par 3.
Donner un entier négatif à 2 chiffres, divisible par 3 : …………
Donner un entier à 2 chiffres, divisible par 2 et par 3 : …………. Est-il divisible par 6 (= 2 × 3) ? ………..
Un entier est divisible par 5 (dans la table de 5) lorsque son dernier chiffre est …… ou …….
Donner un entier à 2 chiffres divisible par 5 et dont la somme des chiffres est 13 : ………….
Donner un entier à 2 chiffres, divisible par 2 et par 5 : ……… Est il divisible par 10 (= 2 × 5) ? ………..
Donner un entier à 2 chiffres, divisible par 3 et par 5 : ……… Est il divisible par .…. ? ………..
Donner un entier à 2 chiffres, divisible par 2 et 3 et 5 : ……… Est il divisible par ……… ? ………..
Sachant que 10 = …… ×………., un nombre est divisible par 10 quand il est dans la table de 2 et la table
de 5. Donc son dernier chiffre doit être 0 ou 5 et pair en même temps. Ce dernier chiffre ne peut être que : …
Exercice : Compléter chaque case du tableau par vrai ou faux :
Nombres
36
75
120
90
132
div. par 2
div. par 3
div. par 5
div. par 6 div. par 10 div. par 15 div. par 30
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Ces 3 critères de divisibilité seront amplement suffisants pour trouver des facteurs communs quand on
voudra simplifier des fractions du style 450/155.
Méthode :
126
63 × 2
63
21 × 3
21
3×7
7
=
=
=
=
=
=
342
171
57
19
171 × 2
57 × 3
3 × 19
126 et 342 sont
pairs donc
divisibles par 2.
La somme des
chiffres de 63 et
celle de 171 sont
divisibles par 3
La somme des
chiffres de 21 et
celle de 57 sont
divisibles par 3
fraction irréductible.
Il n’y a plus
de
facteurs
communs
autres que 1.
Remarque : Puisque 126 et 342 sont divisibles par 2 puis 3 et encore par 3, j’aurai pu aller plus vite en
remarquant qu’ils étaient donc divisibles par 6 (= 2 × 3) ou par 9 (= 3 × 3).
Au moins, la façon de faire était systématique !
Exercice : Simplifier sous forme de fraction irréductible :
96
=
84
125
=
75
480
=
660
56
=
62
55
=
30
78
=
54
Vérifiez vos calculs avec votre calculatrice en utilisant la touche / (Texas) ou d/c (Casio) qui permet de
simplifier automatiquement les fractions.
Exercice :
A la loterie « Entub » vous avez 48 chances sur 180 de gagner. A la loterie « Arnaq », vous avez 15 chances
de gagner sur 75. A quelle loterie jouez vous ? Justifiez évidemment ! (Méthode FRCP)
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G. Division par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 …
Simplifier sous forme de fraction irréductible :
5
5 × 10
5 × 10
Exemple
=
=
= 50
0,1
1
0,1 × 10
7
=
0,1
9
=
0,01
4
=
0,001
En voyant ces 4 exemples, on peut écrire la règle suivante :
Règle : Diviser un nombre décimal par 0,1 ou 0,01 ou 0,001 etc, revient à multiplier ce nombre par 10 ou
100 ou 1000 etc c-à-d :
n
n
n
n
= n × …….
= n × …….
= ……………
= ……………. etc..
0,1
0,01
0,001
0,0001
Exercice : calculer :
86 ÷ 0,1 =
8
=
0,01
2,5
=
0,1
0,25
=
0,001
0,0001
=
0,0001
100,1 ÷ 0,01 =
3,3
= 33
……. ÷ 0,1 = 0,5
0,01
= 52,3
0,72 ÷ ..……. = 720