Poster des Lois

KS 08/09
FORMULAIRE DES 13 LOIS USUELLES
Les 13 lois du programme
Page 1
X ( ) = [[0; n]]
8k 2 [[0; n]]; P ([X = k]) =
1
Le document comporte 5 pages.
E (X) = np
Les lois sont présentées par ordre alphabétique.
V (X) = np (1
n
P
n
Epreuve type : épreuve amenant deux issues seulement : succès ou échec.
k=1
X ( ) = f0; 1g
B (nk ; p) ,! B
nk ; p
n
P
k=1
Xk ,! B (n; p)
(stabilité de la loi binomiale pour la somme de
k=1
variables indépendantes)
P ([X = 0]) = 1 p ; P ([X = 1]) = p
8
si x < 0
< 0
1 p si x 2 [0; 1[
FX (x) =
:
1
si x 1
3
X ,! B (1
Epreuve type : numéro associée à une boule tirée d’une urne ne contenant que
des boules ayant le même numéro c:
p)
X ( ) = fcg
X ,! B (1; p) () X ,! B (p)
X1 ; X2 ; : : : ; Xn (iid) j 8k 2 [[1; n]]; Xk ,! B (p) =)
c
Paramètre : c 2 IR
p)
X ,! B (p) () 1
Loi de Dirac s
Notation : X ,!
E (X) = p
n
P
k=1
P ([X = c]) = 1
Xk ,! B (n; p)
FX (x) =
Loi binomiale : loi des tirages avec remise s
E (X) = c
Notation : X ,! B (n; p) :
V (X) = 0
Paramètres : n 2 IN ; p 2 ]0; 1[ :
Epreuve type : succession de n épreuves de Bernoulli indépendantes et de même
paramètre p:
31/03/2009
p)
X1 ; X2 ; : : : ; Xn (iid) j 8k 2 [[1; n]]; Xk ,! B (p) =)
Paramètre : p 2 ]0; 1[ :
2
X ,! B (n; 1
X ,! B (1; p) () X ,! B (p)
Notation : X ,! B (p) :
V (X) = p (1
n k
p)
p)
X ,! B (n; p) () n
Loi de Bernoulli : "loi du oui ou non" s
n k
p (1
k
0 si x < c
1 si x c
V (X) = 0 () X ,!
E X 2 = 0 =) X ,!
PROBABILITÉS
0
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FORMULAIRE DES 13 LOIS USUELLES
8
< 0
fX (x) =
e
:
Loi exponentielle (loi sans mémoire) c
Notation : X ,! " ( )
2 IR+
Paramètre :
Page 2
E (X) = bt
V (X) = b2 t
X ( ) = IR+
8 (t1 ; t2 ) 2 IR+
0
x
e
si x < 0
si x 0
(1; t) =
1
0
1
FX (x) =
e
x
;
V (X) =
1
k=1
2
P[X>x] ([X > x + y]) = P ([X > y]) (abscence de
X ,! " ( ) () 8 (x; y) 2
mémoire) ce qui s’est passé sur l’intervalle ] 1; x] n’a¤ecte en rien ce qui se passera
sur l’intervalle ]x; x + y]
n
k=1
"( ) =
1
v)
du =
(t1 ) (t2 )
(t1 + t2 )
b;
n
P
tk
k=1
(b; n) et n
n
P
k=1
Xk2 ,!
2;
n
2
(hors
30 =) X ,! N bn; b2 n (hors programme mais ...)
'
Loi petit gamma c
(t)
Paramètre : t 2 IR+
;n
Notation : X ,!
(b; t)
Paramètres : b 2 IR+ ; t 2 IR+
31/03/2009
t2 1
(1
0
Notation : X ,!
Loi grand gamma c
X ( ) = IR+
1
= "( )
(b; tk ) =
X ,!
6
;1
Soit Y ,! P ( x) et X ,! " ( ) alors P ([X > x]) = P ([Y = 0])
5
v t1
programme mais ...)
IR2+ ;
1
1
X1 ; X2 ; : : : ; Xn (iid) j 8k 2 [[1; n]]; Xk ,! N (0; 1) =)
1
"( ) =
Z
(t)
;1
si x < 0
si x 0
2
n
E (X) =
0
si x > 0
(t) bt
Epreuve type : temps d’attente entre deux phénomènes indépendants tels que des
arrivées à un guichet, ou des appels téléphoniques.
fX (x) =
si x
x
b xt 1
X ( ) = IR+
8
< 0
e
fX (x) =
:
si x
0
x t 1
x
(t)
si x > 0
E (X) = t
V (X) = t
(t) =
PROBABILITÉS
(1; t)
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FORMULAIRE DES 13 LOIS USUELLES
Loi géométrique : loi du temps d’attente du premier
succès (loi sans mémoire) s
Notation : X ,! G (p)
Epreuve type : c’est le rang d’apparition du premier succès lors d’une succession
illimitée d’épreuves de Bernoulli.
X ( ) = IN
0
1
q
k
1
p avec q = 1
si x < 1
si x 2 [k; k + 1[ ;
E (X) =
1
p
V (X) =
q
avec q = 1
p2
p
k 2 IN
avec q = 1
Loi normale centrée et réduite ou de Laplace-Gauss
c
Notation : X ,! N (0; 1)
1
1 2
8x 2 IR; fX (x) = p e 2 x
2
Z +1
1
x2
p e 2 dx = 1 (intégrale de Gauss)
2
1
Z +1
p
2
e x dx =
(autre version de l’intégrale de Gauss)
p
p
1
X ,! G (p) () 8 (m; n) 2 IN ; P[X>n] ([X > m + n]) = P ([X > m]) (abscence
de mémoire) ce qui s’est passé sur l’intervalle ] 1; n] n’a¤ecte en rien ce qui se
passera sur l’intervalle ]n; n + m]
Loi hypergéométrique : loi des tirages sans remise
s
1
p e
1 2
(x) =
8x 2 IR;
( x) = 1
t2
2
dt (intégrale tabulée)
(x)
Mode : 0
Médiane : 0
Epreuve type : c’est le nombre de boules blanches obtenues à partir d’une succession de n tirages e¤éctués sans remise à partir d’une urne bicolore.
X ( ) = [[max (0; n
X
N q) ; min (N p; n)]]
8k 2 [[0; n]]; P ([X = k]) =
x
8x 2 IR;
V (X) = 1
(
Paramètres : N 2 IN ; n 2 [[0; N ]]; p 2 ]0; 1[ j (N p; N (1
Np
k
Z
E (X) = 0
Notation : X ,! H (N; n; p)
Nq
n k
N
n
( )( )
( )
p)) 2 IN2
E (X n ) =
m
0
(2m)!
2m m!
si n 2 2IN + 1
si
n = 2m 2 2IN
,! N (0; 1) () X ,! N m;
(à retrouver !)
2
n
k=1
31/03/2009
'
X ( ) = IR
2
E (X) = np
10n =) X ,! B (n; p)
Paramètres : 0 et 1
8k 2 IN ; P ([X = k]) = q k
8
N n
N 1
p)
Approximation : X ,! H (N; n; p) et N
9
Paramètre : p 2 ]0; 1[
FX (x) =
V (X) = np (1
Page 3
N (0; 1) = N (0; n) (stabilité de la loi normale pour la somme de variables
indépendantes)
PROBABILITÉS
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FORMULAIRE DES 13 LOIS USUELLES
X1 ; X2 ; : : : ; Xn (iid) j 8k 2 [[1; n]]; Xk ,! N (0; 1) =)
programme mais ...)
n
P
k=1
Xk2 ,!
2;
n
2
(hors
– (Xn )n
1
Approximations :
–
X ,! B (n; p)
n 30 np
–
X ,! P ( )
=) X ,! N ( ; )
15
'
5 n (1
p)
5
=) X ,! N (np; np (1
'
11
p))
Paramètres : m 2 IR et
2
2
Xk E
n
P
k=1
n
P
Xk
k=1
!
Xk
1
C
A
L
! N où N ,! N (0; 1) (TCL)
n 1
Loi de Poisson : loi des phénomènes rares s
Notation : X ,! P ( )
Loi normale quelconque ou de Laplace-Gauss c
Notation : X ,! N m;
0P
n
B
iid =) @ k=1
Paramètre :
10
Page 4
2 IR+
2 IR+
Epreuve type : nombre d’apparitions d’un phénomène rare durant un intervalle
de temps donné.
X ( ) = IN
X ( ) = IR
8x 2 IR; fX (x) =
1
p e
2
1
2
x m
8k 2 IN; P ([X = k]) =
2
Mode : m
E (X) =
Médiane : m
V (X) =
E (X) = m
V (X) =
n
2
k=1
2
X ,! N m;
n
k=1
N mk ;
2
k
()
=N
X
n
P
m
k)
=P
n
P
k
k!
(stabilité de la loi de Poisson pour la somme de variables
k=1
indépendantes)
,! N (0; 1) (théorème fondamental de la loi noramle)
mk ;
k=1
de variables indépendantes)
n
P
k=1
2
k
(stabilité de la loi normale pour la somme
P ([X = 0]) = 1
FY (1) où Y ,! " ( )
Soit X ,! P ( x) et Y ,! " ( ) alors P ([X > x]) = P ([Y = 0])
Approximations :
Approximations :
–
X ,! B (n; p)
n 30 np
–
X ,! P ( )
=) X ,! N ( ; )
15
'
31/03/2009
P(
k
e
5 n (1
p)
5
=) X ,! N (np; np (1
'
p))
–
X ,! P ( )
=) X ,! N ( ; )
15
'
– X ,! B (n; p) et n
PROBABILITÉS
30; p < 0:1 =) X ,! P (np)
'
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FORMULAIRE DES 13 LOIS USUELLES
Loi uniforme continue c
13
Page 5
Loi uniforme discrète s
Notation : X ,! U ([a; b])
Notation : X ,! U ([[1; n]])
Paramètres : a 2 IR; b 2 IR; a < b
Paramètre : [[1; n]]
X ( ) = [a; b]
8
0
si x < a
>
>
< 1
fX (x) =
si x 2 [a; b]
>
b a
>
:
0
si x > b
8
0
si x < a
>
>
< x a
si x 2 [a; b]
FX (x) =
>
b a
>
:
1
si x > b
a+b
E (X) =
2
V (X) =
(b
X ( ) = [[1; n]]
8k 2 [[1; n]]; P ([X = k]) =
E (X) =
n+1
2
V (X) =
n2 1
12
1
n
2
a)
12
X ,! U (]0; 1]) =)
31/03/2009
Epreuve type : numéro d’une boule tirée d’une urne constituée de boules
numérotées de 1 à n:
1
zzzzz
ln X ,! " ( )
PROBABILITÉS
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