TD1-cor (1)

TD1 : Mise en œuvre des équations d’Euler - Lagrange
« EEL »
A retenir absolument F (EEL)
Exercice 1 : Barres articulées
Le système étudié est constitué de deux barres AB et AC identiques de même masse m et de longueur l jointes
au point A par une charnière de masse négligeable (figure 1). La charnière est libre de se déplacer, sans
frottement, sur l’axe Oy. Les extrémités B et C des deux barres peuvent aussi glisser, sans frottement, sur l’axe
Ox grâce à deux autres charnières sans masses. Les centres d’inertie des deux barres sont joints par un ressort
élastique de longueur initial l0 et de raideur k. La configuration du système est complètement déterminée par
l’angle que fait la barre AB avec l’axe des abscisses.
Figure 1 : Barres articulées
1- Exprimer les coordonnées du centre de masse de la barre AC en fonction de .
2- Donner l’expression de l’énergie cinétique du système.
3- Établir l’expression de l’énergie potentielle du système.
4- En déduire son Lagrangien.
5- Établir l’équation d’Euler - Lagrange du mouvement.
0
q
L
q
L
dt
d
ii
=
¶
¶
-
¶
¶
!
q
)y,x( 11
q
y
x
O
C
B
A

Exercice 2 : Double pendule
Dans un plan fixe , un double pendule (S) est constitué par deux tiges rectilignes, homogènes,
identiques et de sections négligeables OA et AB. Ces tiges ont une masse m et pour longueur 2l. Les liaisons
en O et A sont supposées être parfaites. Le vecteur accélération de la pesanteur est défini par: .
On pose : , , et
Où et désignent les coordonnées généralisées de (S) et m, g, l sont des constantes strictement positives.
Soient un repère orthonormé supposé galiléen, G1 et G2 sont les centres d’inertie respectifs
des 2 barres OA et AB.
Figure 2 : Double pendule
1- Calculer l’énergie potentielle totale V du système par rapport à (R0) sachant que V = 0
pour = 0 et = 0.
2- Déterminer l’énergie cinétique du système par rapport à (R0).
3- En déduire le Lagrangien du système
4- Établir les équations d’Euler -Lagrange du mouvement de (S) relativement à (R0).
5- Dire si le système est conservatif. Existe-t-il, dans ce cas, une intégrale première du mouvement ? Donner
le nom et l’expression de cette intégrale.
6- Déterminer les positions d’équilibre du système.
7- En utilisant le théorème de Lejeune -Dirichlet, étudier la stabilité des positions et
.
Exercice 3 : Losange
On considère un système formé de quatre bras identiques (OA, OB, BC et AC) de longueur l, de masses
négligeables et constituant les côtés d’un losange (voir figure).
)y,x,O( 00
0
igg
!
!=
il2OA
!
=
ul2AB ! =
)j,j()i,i( 00
!!!!
==a
)v,j()u,i( 00
!
!
!
!
==b
a
b
)z,y,x,O(R 0000
!!!
a
b
)0,0(),( =ba
),0(),( p=ba
G1
B
A
y0
x0
O

L’ensemble est librement suspendu en O à un bâti. Ce système est articulé en ses sommets dont trois (A, B et
C) portent des masses identiques m. Tous les mouvements du système s’effectuent dans le plan vertical. Les
coudes OBC et OAC ont des mouvements indépendants l’un de l’autre et peuvent même inter -changer de
positions.
Figure3 : Losange
1- Montrer que ce système formé de trois masses ne possède que 2 degrés de liberté décrits par les
coordonnées généralisées et et exprimer OC en fonction de l, et .
2- Exprimer les coordonnées cartésiennes et de chaque masse en
fonction des coordonnées généralisées et .
3- Calculer l’énergie cinétique du système en fonction des coordonnées cartésiennes de la vitesse puis en
fonction des coordonnées généralisées et .
4- Calculer l’énergie potentielle du système en fonction des coordonnées cartésiennes de la vitesse puis
en fonction des coordonnées généralisées et .
5- En déduire le Lagrangien du système et écrire les équations d’Euler- Lagrange.
6- Trouver les positions d’équilibre du système. On notera et .
7- Linéariser les équations du mouvement au voisinage de et . Poser .
8- Déterminer les modes propres du système.
TD n° 1-corrigé
Exercice 1
1) D'après le schéma les triangles rectangles nous donnent que :
1
a
2
a
1
a
2
a
)y,x(),y,x( BBAA
)y,x( CC
1
a
2
a
1
a
2
a
1
a
2
a
0
10 =a
0
20 =a
10
a
20
a
l
g2
=g

!"#$% &'
()*
+,!$% -'
()*
C'est à dire :
.'%/(
*!"#$
0'%/(
*+,!$
2) Le système est formé de deux barres AC et AB. L'énergie cinétique du système est donc :
1
2
3)4
5
%1
2
67)4
5
81
2
69)4
5
L'énergie cinétique de la barre AC :
1
2
67)4
5
%'
:;
<
=
:
2
>')/4
5
8'
:?
<
<
=
2
@A)B
5
CD
(
>'
,AC)
/?
<
<
=
2
@A)B
5
D'après le schéma la vitesse instantanée de rotation de la barre AC par rapport à R est :
?
<
<
=
2
@A)B
5
%EF
G
H
=
La matrice d'inertie de la barre AC en son centre d'inertie G1 est :
D
2
I'J@A
5
%
K
L L L
L M'L
LLM'
N
2O
<
<
=
JP
<
<
=
JQ
<
=
5
où R
S
<
<
=
JT
<
<
=
JU
=V est la base liée à la barre AC. Calculons le moment d'inertie
M'
.
W
*
E$
y1
x1
$
G1
y
x
O
C
A

M'%
X
S:
YZ /[\%/
X
S:
]):
^]): /_/[S%_
`
Sa
b
c
d)*
Ed)*%\d:
e*
sachant que la masse de la barre est :
\%_/d
.
La vitesse du centre d'inertie :
;
<
=
2
>')B
5
%0
G
'0
<
=
8/.
G
'.
<
=
%/E]
:/F
G
/!"#F/0
<
=
8]
:/F
G
/+,!F/.
<
=
L'énergie cinétique est donc :
1
2
67)4
5
%e
*f
2
-
G
'
:8&
G
'
:
5
8e
*
2
L L EF
G5
C
K
L L L
L M'L
LLM'
NK
L
L
EF
GN
%\d:
g/F
G
:
Le même raisonnement peut être appliqué à la barre AB avec :
.:%.'%/(
*!"#$
0:%E0'%E(
*+,!$
/
?
<
<
=
2
@h)B
5
%F
G
H
=
D
2
I:J@h
5
%
K
L L L
L M:L
L L M:
N
2O
<
<
=
iJP
<
<
=
iJQ
<
=
5
où R
S
<
<
=
jJT
<
<
=
jJU
=V est la base liée à la barre AB et
M:%\]k
':
.
L'énergie cinétique de la barre AB : /
1
2
69)4
5
%'
:;
<
=
:
2
>)4
5
8'
:?
<
<
=
2
@h)B
5
CD
(
>:
,AB)
/?
<
<
=
2
@h)B
5
y2
x2
G2
y
x
O
B
A