PARTIE I - NOTIONS DE SURVIE
ûPolynômes du 1erdegré
ax +b=0x=b
a
x
ax +b
−∞ b
a+∞
signe de (a)0signe de a
ûPolynômes du 2nddegré
ax2+bx +c=0
=b24ac
Pas de racines dans R
z1,2 =b±ip
2a
x0=b
2a
x1,2 =b±p
2a
<0
=0
>0
x
P(x)
−∞ +∞
signe de a
x
P(x)
−∞ x0+∞
signe de a0signe de a
x
P(x)
−∞ x1x2+∞
sig. a0sig. (a)0sig. a
ûIdentités remarquables
• (a+b)2=a2+2ab +b2
• (ab)2=a22ab +b2
• (ab)(a+b)=a2b2
ûProportionnalité (produit en croix)
a
b=c
da×d=c×b
ûPour résoudre une équation (sauf 1er degré)
je passe tout dans le membre de gauche
je factorise
j’utilise le théorème du produit nul :
A×B=0A=0 ou B=0
ûPour résoudre une inéquation
mêmes étapes qu’une équation
je dresse en plus un tableau de signes
ûLecture graphique
µ0
f(0)
Solutions de l’équation f(x)=0
• •
A
B
a
f(a)
Tangente en
ade coeff.
direct. f0(a)
f0(a)=yByA
xBxA
ûPour établir une inégalité du type A<B(ou A>B. ..)
1. on calcule la différence ABet on la met sous la forme d’un produit ou d’un quotient
2. on en fait un tableau de signes
3. on déduit que sur un certain intervalle, AB<0=A<B
ûMes méthodes et formules (à compléter toi-même)
Mathieu Pons mathete.net FORMULAIRE TS
PARTIE II - SUITES
Nature ARITHMÉTIQUE GÉOMÉTRIQUE
un+1=f(un)(up
un+1=un+r(vp
vn+1=qvn
un=f(n)
un=u0+nr
=u1+(n1)r
=u2+(n2)r
=···
vn=v0×qn
=v1×qn1
=v2×qn2
=···
Somme de upàun(np+1)
| {z }
nombre de termes
×premier+dernier
2premier×1qnp+1
1q
Pour démontrer un+1un=···=r
vn+1
vn=··· = q
vn+1=··· = qvn
ûLimites de suites
lim
n→+∞qn=
0 si 1<q<0 ou 0 <q<1
+∞ si q>1
1 si q=1
diverge si q61
ûThéorèmes de comparaison
(lim
n→+∞un=+∞
vn>un=lim
n→+∞vn=+∞ (lim
n→+∞un=−∞
vn6un=lim
n→+∞vn=−∞
ûThéorème des gendarmes
(vn6un6wn
lim
n→+∞vn=lim
n→+∞wn=`=lim
n→+∞un=`
ûThéorème du point fixe
fest continue
un+1=f(un)
(un) converge =(un) converge vers la solution de
f(x)=x
ûThéorèmes de convergence des suites monotones
Toute suite croissante majorée converge;
Toute suite décroissante minorée converge.
ûVariations de suites
un+1un
>0=(un) est strictement croissante
<0=(un) est strictement décroissante
=0=(un) est stationnaire ou constante
BSi uest définie explicitement c’est-à-dire que un=f(n) alors ua les mêmes variations que la fonction fqui
la définit sur N.
ûConstruction graphique des termes de (un)dans le cas d’une définition récurrente : un+1=f(un)
O~
ı
~
y=f(x)
y=x
u0
u1u2u3
Croissante convergente
O
~
ı
~
y=f(x)
y=x
u0
u1
u2u3
u4
"Escargot" convergent
1. On part de u0
2. On prend son image par f:u1=f(u0)
3. On rabat u1sur l’axe des abscisses grâce à y=x
4. On répète cette procédure avec u1, puis u2...
ûRédaction-type du raisonnement par récurrence
1. Initialisation : On vérifie que la propriété est vraie au rang n0
2. Héredité : Supposons la propriété vraie au rang n, montrons qu’elle est vraie au rang n+1
[Écrire la propriété au rang n]=[Écrire la propriété au rang n +1]
.
.
.)DÉMO
3. Conclusion : La propriété étant vraie au rang n0et étant héréditaire, on en déduit que :
[Écrire la propriété au rang n]
ûAlgorithmes à connaître
Exemple à adapter en fonction de la suite étudiée, ici u0=1 et un+1=2un+5.
Affecter à Ula valeur 1
Affecter à Nla valeur 0
Demander la valeur de K
TANT QUE (N<K)FAIRE
Affecter à Ula valeur 2 ×U+5
Affecter à Nla valeur N+1
FIN TANT QUE
Afficher U
¬Calcul du terme de rang K
Affecter à Ula valeur 1
Affecter à Nla valeur 0
Demander la valeur de M
TANT QUE (U<M)FAIRE
Affecter à Ula valeur 2 ×U+5
Affecter à Nla valeur N+1
FIN TANT QUE
Afficher N
Algorithme de seuil
BPour l’algorithme ¬, si on veut faire afficher tous les termes, il faut placer l’affichage dans la boucle.
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PARTIE III - FONCTIONS
ûTableaux des dérivées et des primitives
Fonction fDérivée f0
xnnxn1
1
xnn
xn+1
px1
2px
lnx1
x
exex
ku ku0
unnu0un1
uv u0v+uv0
1
uu0
u2
u
v
u0vuv0
v2
puu0
2pu
lnuu0
u
euu0eu
cosuu0sinu
sinu u0cosu
Fonction fPrimitive F
xn1
n+1xn+1
1
xn,n6=11
n1×1
xn1
1
px2px
1
xlnx
eax+b1
aeax+b
1
ax +b
1
aln(ax +b)
cos(ax +b)1
asin(ax +b)
sin(ax +b)1
acos(ax +b)
u0un1
n+1un+1
u0
un,n6=11
n1×1
un1
u0
ulnu
u0
pu2pu
u0eueu
u0cosusinu
u0sinucosu
ûRédaction-type : CTVI ou th. de la bijection
fest continue et strictement crois-
sante (ou décroissante) sur I.
fréalise une bijection de Isur J(ou
f(x) prend ses valeurs dans J).
kJdonc l’équation f(x)=kadmet
une seule et unique solution α.
x
f
α
k
I
J
0ln1 =0
lne =1
e0=1
e1=e
y=lnx
y=exy=x
ûLimites du type : BFaire la règle des signes
k6=0
±∞ =0±k6=0
0±=±∞ ±×±∞=±∞
ûForme indéterminée (FI) :
0
00×(+∞)+(−∞)···
En présence d’une FI, on peut développer, factoriser,
utiliser les "croissances comparées".
ûCroissances comparées :
lim
x0+xnlnx=0 lim
x→+∞
lnx
xn=0
lim
x→−∞xnex=0 lim
x→+∞
ex
xn=+∞
ûPropriétés du logarithme Népérien et de l’exponentielle :
lnab =ln a+lnb
ea+b=ea×eb
ln a
b=lnalnb
eab=ea
eb
lnan=nlna
(ea)n=ena
lnpa=1
2lna
ea=1
ea
ln 1
b= −lnb
lnex=x
elnx=x
ûInterprétation graphique des limites :
lim
x→±∞ f(x)=`=Cfadmet en ±∞ une asymptote horizontale d’équation y=`.
lim
xaf(x)=±∞ = Cfadmet une asymptote verticale d’équation x=a.
ûÉtude de position :
Pour étudier la position de Cfpar rapport à Cg, on
étudie le signe de f(x)g(x).
ûÉquation de la tangente en a:
y=f0(a)(xa)+f(a)
ûCalcul d’une aire à partir d’une intégrale :
ab
A
Cf
A=Zb
af(x)dx
Vm=1
baZb
af(x)dx
ab
A
Cf
Cg
A=Zb
a(f(x)g(x))dx
ûPropriétés de l’intégrale :
Zb
af(x)dx=Za
bf(x)dxZb
af(x)dx+Zc
bf(x)dx=Zc
af(x)dx (Chasles)
f(x)>0 sur [a;b]=Zb
af(x)dx>0(Positivité) Zb
a(αf+βg)=αZb
af+βZb
ag (Linéarité)
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PARTIE IV - COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE
O
M(z)
N(z)
~
u
~
v
|z|
¯¯z¯¯=|z|
x
y
y
arg(z)
arg(z)=arg(z)
ûMest le point d’affixe z=x+iyavec i2=1.
ûNest le point d’affixe zconjugué de ztel que :
z=xiy.
û
AB est le vecteur d’affixe z
AB =zBzA.
ûModule de z:|z|=qx2+y2(th. de Pythagore)
ûArgument de z:
arg(z)=θ+2kπ(kZ) avec
cosθ=x
|z|=Adj
Hyp
sinθ=y
|z|=Opp
Hyp
ûÉcritures possibles de z:
z=x+iy(forme algébrique)
=|z|(cosθ+isinθ) (forme trigonométrique)
=|z|eiθ(forme exponentielle)
ûPropriétés des modules, des arguments et des conjugués
¯¯zz0¯¯=|z|¯¯z0¯¯
¯¯¯¯
z
z0¯¯¯¯=|z|
¯¯z0¯¯
¯¯zn¯¯=|z|n
arg(zz0)=arg(z)+arg(z0)
argµz
z0=arg(z)arg(z0)
arg¡zn¢=n×arg(z)
zz0=z×z0
µz
z0=z
z0
z+z0=z+z0
¯¯z¯¯=|z|
arg(z)= −arg(z)
¯¯z+z0¯¯6= |z|+¯¯z0¯¯B
ûInterprétation géométrique des nombres complexes
|z|=OM arg(z)=³
u;
OM ´
|zBzA| = AB arg(zBzA)=³
u;
AB ´
¯¯¯¯
zCzA
zBzA¯¯¯¯=AC
AB argµzCzA
zBzA=³
AB ;
AC ´
ûRecherche d’ensembles de points
|zzA|=|zzB|AM =B M |zzA|=rAM =r
Mà la médiatrice de [AB]Mau cercle de centre Aet de rayon r
ûConfigurations géométriques et raisonnement à mettre en oeuvre
A, B, C alignés
AB =k
AC (AB)(AC)
AB ·
AC =0
zBzA=k(zCzA)(xBxA)(xCxA)+(yByA)(yCyA)=0
A, B, C alignés ³
AB ;
AC ´=kπ(AB)(AC)³
AB ;
AC ´=π
2+kπ
zCzA
zBzA=un réel pur zCzA
zBzA=un imaginaire pur
ûCercle trigonométrique et valeurs remarquables
O0
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
π
π
6
π
4
π
3
π
2
2π
3
3π
4
5π
6
p3
2
1
2
p3
2
1
2
p2
2
p2
2
p2
2
p2
2
1
2
p3
2
1
2
p3
2
ûFormules de trigonométrie
cos2a+sin2a=1
cos2asin2a=cos2a
sin2a=2sin acosa
cos2a=2cos2a1
cos2a=12sin2a
cos(a+b)=cos acosbsin asinb
cos(ab)=cos acosb+sin asinb
sin(a+b)=sin acosb+cos asinb
sin(ab)=sin acosbcos asinb
tana=sina
cosa
ûRappels de collège : SOHCAHTOA ou CAHSOHTOA
A
C
B
cos
ABC =Adjacent
Hypothénuse =AB
BC
sin
ABC =Opposé
Hypothénuse =AC
BC
tan
ABC =Opposé
Adjacent =AC
AB
Mathieu Pons mathete.net FORMULAIRE TS
PARTIE V - GÉOMÉTRIE DANS LESPACE
Équation cartésienne de plan Représentation paramétrique de
plan
Représentation paramétrique de
droite
A
~n
a
b
c
A
~u
α
β
γ
~v
α
β
γ
P:ax +by +cz +d=0
d=axAbyAczA
x=αt+α0t0+xA
y=βt+β0t0+yA
z=γt+γ0t0+zA
x=αt+xA
y=βt+yA
z=γt+zA
ûOn vérifie qu’un point ap-
partient au plan en rempla-
çant x,yet zpar les coordon-
nées du point
ûOn trouve un point du plan
en affectant à deux variables
des valeurs quelconques et en
déterminant la troisième
ûOn vérifie qu’un point appar-
tient au plan en remplaçant x,y
et zpar les coordonnées du point
puis en résolvant le système d’in-
connues tet t0
ûOn trouve un point du plan en
affectant à tet à t0des valeurs
quelconques
ûOn vérifie qu’un point appar-
tient à la droite en remplaçant x,y
et zpar les coordonnées du point
puis en résolvant le système d’in-
connue t
ûOn trouve un point de la droite
en affectant à tune valeur quel-
conque
~
uet ~
vcolinéaires il existe un réel ktel que ~
u=k~
v
~
uet ~
vorthogonaux ~
u.~
v=0
x
y
z
.
x0
y0
z0
=0xx0+y y0+zz0=0
~
u,~
vet ~
wcoplanaires il existe deux réels αet βtel que ~
w=α~
u+β~
v
ûRecherche d’intersections : on résout des systèmes d’équations
Plan Plan :
Équation de (P1)
Équation de (P2)
z=t(ou x=tou y=tou autre chose pourvu qu’il y ait du t)
Droite Droite :
x=...
y=...
z=...
Équations de (D1)
x=...
y=...
z=...
Équations de (D2)
BPensez à distinguer les paramètres de
chaque représentation
Droite Plan :
x=...
y=...
z=...
Équations de (D)
Équation de (P)
ou
x=...
y=...
z=...
Équations de (D)
x=...
y=...
z=...
Équations de (P)
B
Pensez à distinguer
les paramètres de
chaque représenta-
tion
Configuration Raisonnement à mettre en oeuvre
n1
n2
(P1)
(P2)
(P1)(P2)
n1et
n2colinéaires
~n1
~u2
~v2
(P1)
(P2)
(P1)(P2)(
n1
u2
n1
v2
~u1
~v1
~u2
~v2
(P1)
(P2)
(P1)(P2)(
u1,
u2,
v2coplanaires
v1,
u2,
v2coplanaires
~n1
~n2
(P1)
(P2)
(P1)(P2)
n1
n2
~u1
~v1
~n2
(P1)
(P2)
(P1)(P2)
n2,
u1,
v1coplanaires
~n (D)
~v
(P)
(P)(D)
n
v
~n
(D)~v
(P)
(P)(D)
net
vcolinéaires
(D1)
(D2)
~v1
~v2
(D1)(D2)
v1et
v2colinéaires
(D1)(D2)
v1
v2
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