DM n°3

TS spécialité maths D  ˚2 Décembre 2007
Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers de la forme 4n−1, où nest un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice n
désigne un entier naturel non nul.
1. Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n+1, soit de la
forme 4n−1.
2. Soit El’ensemble des nombres premiers de la forme 4n−1.
Montrer que Eposséde au moins deux éléments.
3. On suppose que Eest un ensemble fini. Soit Ple produit de tous les éléments de E
et soit X=4P−1.
(a) Montrer que X>P. Quel est le reste de la division euclidienne de Xpar 4 ?
(b) Montrer que Xn’est pas divisible par 2, et en déduire que tout diviseur premier
de Xest soit de la forme 4n+1, soit de la forme 4n−1.
(c) On suppose que tous les diviseurs premiers de Xsont de la forme 4n+1.
Quel est alors le reste de la division de Xpar 4 ?
En déduire que Xpossède au moins un diviseur premier de la forme 4n−1.
(d) Soit pun diviseur premier de Xde la forme 4n−1.
En déduire une contradiction.
Conclure.
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Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers de la forme 4n−1, où nest un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice n
désigne un entier naturel non nul.
1. Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n+1, soit de la
forme 4n−1.
2. Soit El’ensemble des nombres premiers de la forme 4n−1.
Montrer que Eposséde au moins deux éléments.
3. On suppose que Eest un ensemble fini. Soit Ple produit de tous les éléments de E
et soit X=4P−1.
(a) Montrer que X>P. Quel est le reste de la division euclidienne de Xpar 4 ?
(b) Montrer que Xn’est pas divisible par 2, et en déduire que tout diviseur premier
de Xest soit de la forme 4n+1, soit de la forme 4n−1.
(c) On suppose que tous les diviseurs premiers de Xsont de la forme 4n+1.
Quel est alors le reste de la division de Xpar 4 ?
En déduire que Xpossède au moins un diviseur premier de la forme 4n−1.
(d) Soit pun diviseur premier de Xde la forme 4n−1.
En déduire une contradiction.
Conclure.
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Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers de la forme 4n−1, où nest un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice n
désigne un entier naturel non nul.
1. Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n+1, soit de la
forme 4n−1.
2. Soit El’ensemble des nombres premiers de la forme 4n−1.
Montrer que Eposséde au moins deux éléments.
3. On suppose que Eest un ensemble fini. Soit Ple produit de tous les éléments de E
et soit X=4P−1.
(a) Montrer que X>P. Quel est le reste de la division euclidienne de Xpar 4 ?
(b) Montrer que Xn’est pas divisible par 2, et en déduire que tout diviseur premier
de Xest soit de la forme 4n+1, soit de la forme 4n−1.
(c) On suppose que tous les diviseurs premiers de Xsont de la forme 4n+1.
Quel est alors le reste de la division de Xpar 4 ?
En déduire que Xpossède au moins un diviseur premier de la forme 4n−1.
(d) Soit pun diviseur premier de Xde la forme 4n−1.
En déduire une contradiction.
Conclure.
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Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer qu’il existe une infinité de nombres
premiers de la forme 4n−1, où nest un entier naturel non nul. Dans tout l’exercice n
désigne un entier naturel non nul.
1. Montrer que tout nombre premier autre que 2 est soit de la forme 4n+1, soit de la
forme 4n−1.
2. Soit El’ensemble des nombres premiers de la forme 4n−1.
Montrer que Eposséde au moins deux éléments.
3. On suppose que Eest un ensemble fini. Soit Ple produit de tous les éléments de E
et soit X=4P−1.
(a) Montrer que X>P. Quel est le reste de la division euclidienne de Xpar 4 ?
(b) Montrer que Xn’est pas divisible par 2, et en déduire que tout diviseur premier
de Xest soit de la forme 4n+1, soit de la forme 4n−1.
(c) On suppose que tous les diviseurs premiers de Xsont de la forme 4n+1.
Quel est alors le reste de la division de Xpar 4 ?
En déduire que Xpossède au moins un diviseur premier de la forme 4n−1.
(d) Soit pun diviseur premier de Xde la forme 4n−1.
En déduire une contradiction.
Conclure.
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