PolyCDiff

Calcul diff´erentiel 1
Licence de Math´ematiques

Table des mati`eres
Avertissement 5
Chapitre 1. Pr´eliminaires 7
1. Espaces vectoriels norm´es 7
2. Convergence, continuit´e 10
3. Vocabulaire topologique 13
4. Compacit´e, connexit´e, compl´etude 16
5. Applications lin´eaires et multilin´eaires 20
6. Scalarisation 26
Chapitre 2. Fonctions d’une variable 29
1. D´erivation des fonctions `a valeurs vectorielles 29
2. Int´egration des fonctions `a valeurs vectorielles 32
3. La formule de Taylor 39
4. Fonctions convexes 41
Chapitre 3. Applications diff´erentiables 45
1. D´efinitions 45
2. Fonctions `a valeurs dans Rm; fonctions d´efinies sur Rn49
3. Fonctions compos´ees 57
4. AF et TFA 61
5. Fonctions de classe C264
Chapitre 4. Extrema 71
1. Introduction 71
2. Compacit´e et existence d’extrema 71
3. Conditions sur les diff´erentielles premi`ere et seconde 72
4. Le cas des fonctions convexes 79
5. Extrema li´es 82
Chapitre 5. Inversion locale, fonctions implicites 91
1. Applications lin´eaires inversibles 91
2. Diff´eomorphismes 92
3. Le th´eor`eme d’inversion locale 94
4. Le th´eor`eme des fonctions implicites 100
3

Avertissement
Dans tout ce qui suit, on consid´erera uniquement des espaces vectoriels r´eels.
Autrement dit, l’expression “espace vectoriel” signifiera toujours “R-espace vec-
toriel”.
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