Partie 1 3EA

1 Alg`ebre lin´eaire
1.1 Notions d’espaces vectoriels
La droite vectrielle c’est l’ensemble des nombres
r´eels, not´e R.
Le plan vectoriel R2. Ses ´el´ements sont des
couples (x1, x2), x1, x2d´ecrivent ind´ependamment
Rl’ensemble des nombres r´eels.
•L’addition :
(x1, x2)+(x0
1, x0 2) = (x1+x0 1, x2+x0 2).
•La multiplication par des scalaires :
λ.(x1, x2)=(λx1, λx2).
En particulier
(x1, x2)=(x1,0) + (0, x2) = x1.(1,0) + x2.(0,1).
l’´ecriture est unique, on dit que ((1,0),(0,1))
forme une base de R2(dite aussi la base
canonique).
Attention l’ordre des composantes du couple est
important si x16=x2, (x1, x2)6= (x2, x1).
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Plus g´en´eralement, Rnl’ensemble des n-uplets
(x1, . . . , xn) :
•L’addition : (x1, . . . , xn)+(x0
1, . . . , x0
n) =
(x1+x0
1, . . . , xn+x0
n).
•La multiplication par des scalaires :
λ.(x1, . . . , xn)=(λx1, . . . , λxn).
Comme dans le cas du plan vectoriel, on a
(x1, . . . , xn)=(x1,...,0) + . . . + (0, . . . , xn) =
x1(1,...,0) + . . . +xn.(0,...,1).
on dit que (1,0,...,0),...,(0,0,...,1) forment la
base canonique de Rn.
Le vecteur nul est (0,...,0) ∈Rn, on le note par
0 et `a ne pas confondre avec le scalaire 0.
Comme dans le cas du plan, deux vecteurs
(x1, . . . , xn) et (x0
1, . . . , x0
n) sont ´egaux, si,
x1=x0
1, . . . , xn=x0
n.
Pour les vecteurs de Rn, dans certains cas, nous
utiliserons une repr´esentaion colonne
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L’esp. vect. des polynˆomes de degr´e ≤m:
Un polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur
ou ´egal `a m:P(x) = a0+a1x+. . . +amxm, les
aisont les coefficients de P.
Pm[X] d´esigne l’ensemble des polynˆomes de degr´e
inf´erieur ou ´egal `a m. Cet ensemble peut ˆetre
consid´er´e comme un espace vectoriel sur R:
•L’addition : P(x) = a0+a1x+. . . +amxm
et Q(x) = b0+b1x+. . . +bmxm, alors on
d´efinit le polynˆome P+Qpar :
(P+Q)(x) =
(a0+b0)+(a1+b1)x+. . . + (am+bm)xm
•La multiplication par des scalaires :
(λ.P )(x) = λ.a0+λ.a1x+. . . +λ.amxm.
Le monˆome Xkd´esigne le polynˆome qui `a xon
lui associe xk.
Avec la convention X0(x) = x0= 1, un polynˆome
de degr´e ms’´ecrit :
P=a0X0+a1X+. . . +amXm.
On dira que (X0, X, . . . , Xm) est la base
canonique de l’espace vectoriel Pm[X] .
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Definition 1 Soit Eun ensemble muni d’une
addition +et d’une multiplication par les
scalaires not´ee .:
•Emuni de l’addition est un groupe
commutatif :
i) x, y ∈E, alors x+y∈E,x+y=y+x,
ii) 0´el´ement neutre : x+ 0 = x, iii)
l’´el´ement sym´etrique : ∀x;∃x0∈Etel que
x+x0= 0 (x0est dit le sym´etrique ou
l’oppos´e de x, souvent not´e par −x).
•La multiplication par des scalaires :
∀a∈R;∀x∈E,a.x ∈Eet v´erifiant :
-∀a, b ∈R;∀x∈E,a.(b.x)=(ab).x,ab
et la multiplication dans R.
-∀a, b ∈R;∀x∈E,
(a+b).x =a.x +b.x,a+bet l’addition
dans R.
-∀a∈R;∀x, y ∈E,
a.(x+y) = a.x +b.y.
-∀x∈E,1.x =x.
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ind´ependance, syst`emes g´en´erateurs et bases :
Definition 2 kvecteurs v1, . . . , vkd’un espace
vectoriel sont dits ind´ependants, si aucun vecteur
vine d´ependent des autres vecteurs qui lui sont
diff´erents : vi6=Pk
j=1,j6=iλjvj.
De cette d´efinition, nous d´eduisons :
Remarque 3 v1, . . . , vksont ind´ependants, si
a1, . . . , aksont des scalaires tels que
a1v1+. . . +akvk= 0, alors a1=. . . =ak= 0.
A ne pas confondre le 0 vecteur le 0 scalaire.
Exemple 4 (1,1,0) et (0,1,0) sont deux vecteurs
ind´ependants de R3.
Exemple 5 (1,1,0),(0,1,1) et (1,2,1) sont trois
vecteurs d´ependants de R3.
En effet, (1,2,1) = (1,1,0) + (0,1,1).
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