Exo7
Année 2020
QCM DE MATHÉMATIQUES -LILLE -PARTIE 2
Répondre en cochant la ou les cases correspondant à des assertions vraies
(et seulement celles-ci).
Ces questions ont été écrites par Abdellah Hanani et Mohamed Mzari de
l’université de Lille.
Ce travail a été effectué en 2019 dans le cadre d’un projet Liscinum
porté par l’université de Lille et Unisciel.
Ce document est diffusé sous la licence Creative Commons – BY-NC-SA – 4.0 FR.
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1
Table des matières
I Algèbre 4
1 Systèmes d’équations linéaires 4
1.1 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2 Espaces vectoriels 18
2.1 Espaces vectoriels | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Espaces vectoriels | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Espaces vectoriels | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4 Espaces vectoriels | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Base et dimension | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.6 Base et dimension | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.7 Base et dimension | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.8 Base et dimension | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.9 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.10 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.11 Espaces vectoriels supplémentaires | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Applications linéaires 36
3.1 Applications linéaires | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Applications linéaires | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.3 Applications linéaires | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4 Applications linéaires | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 Noyau et image | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.6 Noyau et image | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.7 Noyau et image | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.8 Noyau et image | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4 Calcul matriciel 49
4.1 Calcul matriciel | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Calcul matriciel | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.3 Calcul matriciel | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.4 Calcul matriciel | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.5 Inverse d’une matrice | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.6 Inverse d’une matrice | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.7 Inverse d’une matrice | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
4.8 Inverse d’une matrice | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
5 Applications linéaires et matrices 63
5.1 Matrice d’une application linéaire | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.2 Matrice d’une application linéaire | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5.3 Matrice d’une application linéaire | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5.4 Matrice d’une application linéaire | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2
II Analyse 82
6 Primitives des fonctions réelles 83
6.1 Primitives | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
6.2 Primitives | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
6.3 Primitives | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
6.4 Primitives | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
7 Calculs d’intégrales 105
7.1 Calculs d’intégrales | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
7.2 Calculs d’intégrales | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
7.3 Calculs d’intégrales | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
7.4 Calculs d’intégrales | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
8 Développements limités 124
8.1 Opérations sur les DL | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
8.2 Opérations sur les DL | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
8.3 Opérations sur les DL | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
8.4 Opérations sur les DL | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
8.5 Applications des DL | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
8.6 Applications des DL | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
8.7 Applications des DL | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
8.8 Applications des DL | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
9 Equations différentielles 148
9.1 Equations du premier ordre | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
9.2 Equations du premier ordre | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
9.3 Equations du premier ordre | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
9.4 Equations du premier ordre | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
9.5 Equations du second ordre | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
9.6 Equations du second ordre | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
9.7 Equations du second ordre | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
9.8 Equations du second ordre | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
10 Courbes paramétrées 162
10.1 Courbes paramétrées | Niveau 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
10.2 Courbes paramétrées | Niveau 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
10.3 Courbes paramétrées | Niveau 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
10.4 Courbes paramétrées | Niveau 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3
Première partie
Algèbre
Systèmes d’équations linéaires
Abdellah Hanani, Mohamed Mzari
1 Systèmes d’équations linéaires
1.1 Systèmes d’équations linéaires | Niveau 1
Question 1
On considère le système d’équations, d’inconnue (x,y,z)∈R3:
( )
x−y+z=0
x−y−z=0
3x+2y+z=0.
Quelles sont les assertions vraies ?
[Vrai]( ) ⇔
x−y+z=0
5y−2z=0
z=0.
[Faux]( ) admet une infinité de solutions.
[Faux]( ) n’admet pas de solution.
[Vrai]( ) admet une unique solution.
Explications: L’algorithme de Gauss donne :
( ) ⇔
x−y+z=0
5y−2z=0
z=0.
Donc ( ) admet une unique solution : (0, 0, 0).
Question 2
On considère le système d’équations, d’inconnue (x,y,z)∈R3:
( )
x+2y+z=0
−x+z=0
x+y=0.
Quelles sont les assertions vraies ?
4
[Vrai]( ) ⇔§y=−x
z=x.
[Vrai]L’ensemble des solutions de ( ) est une droite.
[Faux]( ) n’admet pas de solution.
[Faux]( ) admet une unique solution.
Explications:
( ) ⇔§y=−x
z=x.
L’ensemble des solutions de ( ) est la droite : {(x,−x,x);x∈R}.
Question 3
On considère le système d’équations, d’inconnue (x,y,z)∈R3:
( )
x−y+2z=1
−2x+2y−4z=−2
3x−3y+6z=3.
Quelles sont les assertions vraies ?
[Vrai]( ) ⇔x−y+2z=1.
[Vrai]L’ensemble des solutions de ( ) est un plan.
[Faux]( ) n’admet pas de solution.
[Faux]( ) admet une unique solution.
Explications: ( ) ⇔x−y+2z=0. L’ensemble des solutions de ( ) est un plan.
Question 4
On considère le système d’équations, d’inconnue (x,y,z)∈R3:
( )
x+y−z=2
−x+y+z=0
2x+z=−1.
Quelles sont les assertions vraies ?
[Vrai]( ) ⇔
x+y−z=2
y=1
z=−1.
[Faux]( ) admet une infinité de solutions.
[Faux]( ) n’admet pas de solution.
[Vrai]( ) admet une unique solution.
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