Cours de Géométrie

Cours de Géométrie
Pour BCPST 1
Année scolaire : 2004/2005
16 juin 2005
Mohamed TARQI
Table des matières
1 Géométrie
1.1 Repère. Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Bases et repères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Formule du changement de repère . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Équations et représentations paramétriques d'une droite, d'un plan
1.2.1 La droite dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 La droite et le plan dans l'espace . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Produit scalaire, norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Produit scalaire dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.3 Produit scalaire et la norme dans l'espace . . . . . . . . . .
1.3.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Orientation de l'espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Denitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Dénitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
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. 4
. 5
. 5
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. 6
. 7
. 8
. 9
. 9
. 9
. 11
. 11
. 12
Chapitre 1
Géométrie
Contents
1.1
Repère. Changement de repère . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Équations et représentations paramétriques d'une droite, d'un
plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Produit scalaire, norme euclidienne
5
1.4
Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace . . . . . . . . . .
1.5
Barycentre
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
9
11
• • • • ••
Dans ce chapitre, nous allons étudier la géomètrie des espaces af f ines R2 et R3 ( la
géomètrie dans le plan et dans l'espace )
Un élément (x, y) de R2 ( resp. (x, y, z) de R3 ) est représenté graphiquement par un
point, noté par exemple M , dont les coordonnées sont x et y ( resp. x, y et z ). Ainsi un
élément (x, y) de R2 sera considéré, selon le contexte, comme un point ou un vecteur.
Si les éléments de R2 (resp. R3 ) sont considérés comme des points, on dit que R2 ( resp.
R3 ) est un plan ( resp. espace) af f ine, on le note E2 (resp. E3 ) et s'ils sont considérés
comme des vecteurs on dit que R2 (resp. R3 ) est un espace vectoriel.
1.1
Repère. Changement de repère
1.1.1 Bases et repères
Dénition 1.1.1. On appelle base du plan tout couple (~i, ~j) de vecteurs du plan linéairement indépendants.
On appelle base de l'espace tout triplet (~i, ~j, ~k) de vecteurs de l'espace linéairement
indépendants.
Dénition 1.1.2. On appelle repère du plan ane E2 tout triplet (O,~i, ~j) où (~i, ~j) est une
base du plan et O un point du plan.
On appelle repère de l'espace ane E3 tout quadruplet (O,~i, ~j, ~k) où (~i, ~j, ~k) est une
base de l'espace et O un point de l'espace.
2
1.1.2 Formule du changement de repère
Proposition 1.1.1. Soient R = (O,~i, ~j), R0 = (O0 ,~i0 , ~j 0 ) deux repères, (x0 , y0 ) les coordonnées de O0 dans le repère R. P la matrice de passage de la base (~i, ~j) à la base (~i0 , ~j 0 ).
Pour tout point M de E2 , on a, en notant (x, y) les coordonnées de M dans R et (x0 , y 0 )
les coordonnées de M dans R0
x
y
x0
y0
=
x0
y0
+P
Cas particulier
x = a + x0
y = b + y0
avec (x, y) les coordonnées de M dans (O,~
i, ~j) et (x0 , y 0 ) les coordonnées de M dans
0
(O ,~i, ~j). ( Ici P = I2 )
Soit
(~i, ~j) une base de R2 et O0 (a, b) un point quelconque du plan. Alors
Démonstration :
Pour tout point M de E2 , on a :
−−→ −−→0 −−0−→
OM = OO + O M
d'où :
avec
x
y
=
x0
y0
+
α
β
−−0−→
O M = α~i + β~j(1)
Soit
P =
p11
p12
p21
p22
la matrice de passage de la base (~i, ~j) à la base (~i0 , ~j 0 ).
On a :
~i0 = p11~i + p12~j et ~i0 = p21~i + p22~j
D'autre part, on a :
−−0−→
O M = x0~i0 + y 0~j 0
= x0 (p11~i + p12~j) + y 0 (p21~i + p22~j)
= (p11 x0 + p21 y 0 )~i + (p12 x0 + p22 y 0 )~j (2)
(1) et (2) entraînent :
α
β
=
p11
p12
3
p21
p22
x0
y0
et
x
y
=
x0
y0
+
p11
p12
p21
p22
x0
y0
u
t
De même on a la proposition suivante :
Proposition 1.1.2. Soient R = (O,~i, ~j, ~k), R0 = (O0 ,~i0 , ~j 0 , ~k0 ) deux repères, (x0 , y0 , z0 ) les
cordonnées de O0 dans le repère R0 . P la matrice de passage de la base (~i, ~j, ~k) à la base
(~i0 , ~j 0 , ~k 0 ). Pour tout M de E3 , on a, en notant (x, y, z) les coordonnées de M dans R et
(x0 , y 0 , z 0 ) les coordonnées de M dans R0
 

 0 
x
x0
x
 y  =  y0  + P  y 0 
z
z0
z0

Exercice :
(~i, ~j, ~k)
R3 et O = O(0, 0, 0). Déterminer les coor0
0 i0 , ~
données des points A(1, 2, 0) et B(0, −1, 3) dans le repère R = (O ,~
j 0 , ~k 0 ) avec
O0 (1, 1, 1), ~i0 = ~i, ~j 0 = ~i + ~j et ~k 0 = ~i + ~j + ~k. De même déterminer les coordonnées
~ (1, −2, 3) et V
~ (4, −2, 3) dans la base (~i0 , ~j 0 , ~k 0 ).
des vecteurs U
Soit
1.2
la base canonique de
Équations et représentations paramétriques d'une droite,
d'un plan
1.2.1 La droite dans le plan
Soit ~u un vecteur non nul et A un point quelconque du plan. L'ensemble {M ∈ P /
−−→
AM = t~u / t ∈ R} est la droite passant par A, dirigée par le vecteur ~u.
Dénition 1.2.1. (Proposition) Soit (a, b) 6= (0, 0), c ∈ R. L'ensemble des points
2
M (x, y) de R
l'équation (E) : ax + by + c = 0 est la droite (D) dirigée par
vériant
−b
le vecteur ~u
passant par ( −c
a , 0) (si a 6= 0) (E) est dite équation cartésienne
a
(E.C) de la droite (D). Toute droite du plan admet une E.C
2
Dénition 1.2.2. (Proposition) Soit (a,
b) 6= (0, 0), (x0 , y0 ) ∈ R . L'ensemble des points
x = x0 + at
M (x, y) de R2 vériant le système (S) :
(t ∈ R) est la droite (D) qui passe
y = y + bt
0
x0
par A
y0
droite (D).
dirigée par le vecteur ~u
a
b
(S)
est une représentation paramétrique de la
Exercice :
R = (O,~i, ~j) et R = (O0 ,~i0 , ~j 0 ) avec (~i, ~j)
0
~
~
~
~
~
la base canonique, i = i + j , j = −j et O(0, 0). Déterminer une E.C de la droite
D(A, ~u), avec A(1, 2) ( donné dans R ) et ~u = ~i + 3~j dans les deux repères.
Considérons les deux repères du plan
4
1.2.2 La droite et le plan dans l'espace
Soit A et B deux points distincts de l'espace E3 . La droite (AB) est l'ensemble des
−−→
−−→
points M tels que AM = tAB (t ∈ R)
Soit A et B deux points distincts de l'espace de coordonnées respectives (x0 , y0 , z0 ) et
(x1 , y1 , z1 ) dans un repère donné la droite (AB) a pour représentation paramétrique

 x = x0 + t(x1 − x0 )
y = y0 + t(y1 − y0 )
(S) :

z = z0 + t(z1 − z0 )
(t ∈ R)
Le plan passant par A de vecteurs directeurs ~u et ~v ( ~u et ~v sont linéairement indépendants ) est l'ensemble des points M de l'espace tels que
−−→
AM = λ~u + µ~v λ ∈ R, µ ∈ R)
donc il a pour représentation paramétrique le système

 x = x0 + λα + µα0
y = y0 + λβ + µβ 0
(S) :

z = z0 + λγ + µγ 0
1.3
(λ ∈ R,µ ∈ R)
Produit scalaire, norme euclidienne
1.3.1 Produit scalaire dans le plan
Dénition 1.3.1. Soit ~u et ~v deux vecteurs non nuls ; O un point quelconque du plan, U
−−→
−−→
et V les points dénis par OU = ~u et OV = ~v et H la projection orthogonale de V sur la
droite (OU ) ; on pose
~u.~v = OU .OH
ou encore
~u.~v = OU.OV cos(~u, ~v )
Et si ~u = 0 ou ~v = 0, on pose ~u.~v = 0 ~u.~v est appelé le produit
scalaire
de ~u et ~v.
Propriété fondamentale
~u⊥~v ⇐⇒ ~u.~v = 0
Propriétés du produit scalaire
Quels que soient les vecteurs considérés et le nombres α considéré on a :
1) ~u.~v = ~v .~u
2) ~u.(α~v ) = α(~u.~v )
3) (~u + ~v ).w
~ = ~u.w
~ + ~v .w
~
5
Démonstration :
−−→
−→
−→
∃ O, A, S, C tels que : w
~ = OC, ~u = OA, ~v = AS. Soit K la projection orthogonale de
A sur (OC) et H la projection orthogonale de S sur (OC).
On a :
−→ −−→
(~u + ~v ).w
~ = OS.OC = OH.OC(1)
et
−→ −−→ −→ −−→
~u.w
~ + ~v .w
~ = OA.OC + AS.OC
= OK.OC + KH.OC
= OH.OC (2)
Donc (1) et (2) =⇒ (~u + ~v ).w
~ = ~u.w
~ + ~v .w)
~
u
t
Corollaire 1.3.1. (Expression analytique dans une base orthonormale)
Si ~u et ~v ont pour coordonnées dans une base orthonormale (x, y) et (x0 , y 0 ), on a :
~u.~v = xx0 + yy 0
Démonstration :
En eet, soit (~i, ~j) une base orthonormele.
~u.~v = (x~i + y~j).(x0~i + y 0~j)
= xx0~i.~i + (xy 0 − yx0 )~i.~j + yy 0~j.~j
= xx0 + yy 0
u
t
1.3.2 Norme euclidienne
Soit ~u un vecteur non nul ; O un point quelconque du plan, U le point déni par la
−−→
relation OU = ~u On a :
~u.~u = OU 2
donc
~u.~u ≥ 0 et ~u.~u = 0 ⇐⇒ ~u = 0
Dénition
p
x2 + y 2
1.3.2. La norme euclidienne du vecteur ~u c'est le réel positif
k~uk =
√
~u.~u =
Géomètriquement, dans un plan muni d'un repère orthonormé, k~uk représente la distance OU.
Propriété ( Relation de Pythagore )
~u.~v = 0 ⇐⇒ k~u + ~v k2 = k~uk2 + k~v k2
6
Exercice :
~u et ~v et le réel λ, on a :
k~u + ~v k ≤ k~uk + k~v k (Inégalité
Montrer que quels que soit
kλ~uk = |λ| k~uk
et
triangulaire)
1.3.3 Produit scalaire et la norme dans l'espace
Expression analytique dans une base orthonormale
Dénition 1.3.3. Si ~u et ~v ont pour coordonnées dans une base orthonormale (x, y, z) et
(x0 , y 0 , z 0 ), on dénit le produit scalaire des vecteurs ~u et ~v , noté ~u.~v par :
~u.~v = xx0 + yy 0 + zz 0
et la norme euclidienne par
k~uk =
p
√
~u2 = x2 + y 2 + z 2
Dénition 1.3.4. Un vecteur non nul ~n est dit normal au plan (P ) si sa direction est
orhtogonale à (P ).
−−→
Proposition 1.3.1. L'ensemble des points M de l'espace qui vérient ~k.AM = 0 où ~k est
un vecteur non nul et A un point donné est le plan passant par A admettant ~k pour vecteur
normal.
Équation cartésienne d'un plan
Soit (P ) le plan passant par le point A(x0 , y0 , z0 ) et admettant ~n(a, b, c) comme vecteur
normal ; on a :
−−→
M (x, y, z) ∈ (P ) ⇐⇒ ~n.AM = 0
⇐⇒ a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
par suite, une équation cartésienne de (P ) est
ax + by + cz − ax0 − by0 − cz0 = 0
Réciproquement : L'ensemble (Q) des points de l'espace dont les coordonnées vérient
ax + by + cz + d = 0
avec
(a, b, c) 6= (0, 0, 0)
est un plan admettant le vecteur ~n(a, b, c) comme vecteur normal.
De plus si a, par exemple, n'est pas nul, on peut écrire
ax + by + cz + d = 0 ⇐⇒

 x=

−b
a y
− ac z −
y=y
z=z
d
a
et l'on voit alors que (Q) admet comme vecteurs directeurs les vecteurs de coordonnées
−c
( −b
a , 1, 0) et ( a , 0, 1).
7
1.3.4 Applications
1. Condition analytique d'orthogonalité de deux droites.
Si les deux droites (D) et (D0 ) de vecteurs directeurs respectifs ~u(a, b, c) et ~u0 (a0 , b0 , c0 ).
On a :
(D)⊥(D0 ) ⇐⇒ ~u.~u0 = 0
⇐⇒ aa0 + bb0 + cc0 = 0
2. Condition analytique d'orthogonalité d'une droite et d'un plan.
Soit (D) une droite de vecteur directeur ~u(α, β, γ) et (P ) le plan d'équation ax +
by + cz + d = 0, (a, b, c) 6= (0, 0, 0). La droite (D) est orthogonale au plan (P ) si, et
seulement si, les vecteur ~u(α, β, γ) et ~n(a, b, c) sont liés.
3. Condition analytique de parallélisme et de perpondicularité de deux plans
Soit (P ) et (P ) les plans d'équations respectives
(P ) : ax + by + cz + d = 0, (a, b, c) 6= (0, 0, 0)
(P 0 ) : a0 x + b0 y + c0 z + d0 = 0, (a0 , b0 , c0 ) 6= (0, 0, 0)
On a donc
(P ) k (P ) ⇐⇒ ~n(a, b, c) et~n0 (a0 , b0 , c0 ) sont liés
(P )⊥(P ) ⇐⇒ aa0 + bb0 + cc0 = 0
4. Distance d'un point à un plan
Soit A(x0 , y0 , z0 ) un point de l'espace et (P ) un plan d'équation : ax+by +cz +d = 0.
La distance du point A au plan (P ) c'est la distance du point A à sa projection
orthogonal H sur (P ). Or, soit ~n(a, b, c) un vecteur normal à (P ) et (x1 , y1 , z1 ) les
coordonnées de H ; on a :
−−→
~n.HA = a(x0 − x1 ) + b(y0 − y1 ) + c(z0 − z1 )
= ax0 + by0 + cz0 − ax1 − by1 − cz1
soit enn
−−→
~n.HA = ax0 + by0 + cz0 + d
puisque
H ∈ (P ) ⇐⇒ ax1 + by1 + cz1 + d = 0
par ailleurs, si l'on oriente la droite (AH) dans le sens du vecteur ~n, on a
8
−−→
~n.HA = k~nk .HA
p
=
a2 + b2 + c2 .HA
et
d(A, (P )) = HA =
Remarque :
A(x0 , y0 )
Dans un plan rapporté à un repère orthonormal
à la droite
(D)
d'équation
ax + by + c = 0
d(A, (D)) =
1.4
|ax0 +by0 +cz0 +d|
√
a2 +b2 +c2
(O,~i, ~j),
la distance du point
est :
|ax0 + by0 + c|
√
a2 + b2
Produit vectoriel de deux vecteurs de l'espace
1.4.1 Orientation de l'espace
−→
−→
Soit (O,~i, ~j, ~k) un repère de l'espace et les points I, J et K dénis par OI = ~i, OJ =
−
−
→
~j, OK = ~k.
L'observateur d'Ampère est un personnage dont la tête est en K , les pieds en O et qui
regarde le point I . Deux cas sont possibles :
1) Le point J est à gauche de l'observateur.
2) Le point J est à droite de l'observateur.
• Orienter l'espace, c'est choisir l'un de ces deux repères. Les repères du type choisi
sont dites directs, traditionnellement, ce sont du cas n◦ 1.
• Lorsque le repère (O,~i, ~j, ~k) est direct ( resp. indirect ), on dit que la base (~i, ~j, ~k) est
directe ( resp. indirecte )
• Permuter deux vecteurs d'un repère change l'orientation : si (O,~i, ~j, ~k) est direct alors
~
(O, j,~i, ~k) est indirect.
• Une permutation circulaire sur les vecteurs d'une base ne change pas l'orientation :
si (O,~i, ~j, ~k) est direct, (O, ~j, ~k,~i) et (O, ~k,~i, ~j) sont également des repères directs.
1.4.2 Denitions et propriétés
Dénition 1.4.1. Soient ~u et ~v deux vecteurs de l'éspace orienté ; A, B et C trois points
tels que :
−−→
AB = ~u
−→
et AC = ~v
Le produit vectoriel de ~u et ~v est le vecteur noté ~u ∧ ~v déni par :
• Si ~u et ~v sont colinéaires, alors ~u ∧ ~v = ~0
• Si ~u et ~v ne sont pas colinéaires :
·· ~u ∧ ~v est orthognal aux vecteurs ~u et ~v ;
·· (u, v, ~u ∧ ~v ) est une base directe ;
\
·· k~u ∧ ~v k = k~uk k~v k sin BAC
9
Propriétés
• ~u, ~v et w
~ trois vecteurs, α réel, A, B et C des points de l'espace.
−−→ −→
~u ∧ ~v = 0 ⇐⇒ ~u et ~v colinéaires ; AB ∧ AC = 0 ⇐⇒ A, B, C alignés ;
~u ∧ ~v = −~v ∧ ~u;
(α~u ∧ ~v ) = ~u ∧ (α~v ) = α(~u ∧ ~v );
~u ∧ (~v + w)
~ = ~u ∧ ~v + ~u ∧ w;
~ (~u + ~v ) ∧ w)
~ = ~u ∧ w
~ + ~v ∧ w.
~
~
~
~
~
~
~
~
• Si (i, j, k) est une base orthonormée directe : i ∧ j = k, j ∧ ~k = ~i, ~k ∧~i = ~j.
Interprétation géométrique du produit vectoriel
−−→
−→
Si ~u et ~v sont indépendants, avec ~u = AB et ~v = AC, on a :
\ = 2Air(ABC)
k~u ∧ ~v k = AB.AC sin BAC
donc k~u ∧ ~v k est l'aire du parallélogramme construit à partir de [OA] et [OB] et aussi
le double de l'aire du triangle ABC
−→ . −→
1 −
Aire du triangle ABC = 2 AB ∧ AC Expression analytique dans une base orthonormée directe (~i, ~j, ~k)
Si ~u(x, y, z) et ~v (x0 , y 0 , z 0 ) alors :
~u ∧ ~v = (yz 0 − zy 0 , zx0 − xz 0 , xy 0 − x0 y)
En eet :
~u ∧ ~v = (x~i + y~j + z~k) ∧ x0~i + y 0~j + z 0~k)
= (xx0~i ∧ ~i + xy 0~i ∧ ~j + xz 0~i ∧ ~k + yx0~j ∧ ~i + yy 0~j ∧ ~j + yz 0~j ∧ ~k + zx0~k ∧ ~i + zy 0~k ∧ ~j + zz 0~k ∧ ~k
= (yz 0 − zy 0 )~i + (zx0 − xz 0 )~j + (xy 0 − x0 y)~k
Alors le produit vectoriel ~u ∧ ~v se calcule en écrivant :

  0  
yz 0 − zy 0
x
x
 y  ∧  y 0  =  zx0 − xz 0 
z
z0
xy 0 − x0 y

Exercice :
Montrer quels que soient les vecteurs de l'espace orienté, on a :
k~u ∧ ~v k2 + (~u.~v )2 = k~uk2 k~v k2
En particulier
k~u ∧ ~v k ≤ k~uk . k~v k
( avec égalité si et seulement si (~u.~v ) = 0)
Proposition 1.4.1.
et w~ , on a :
Formule du double produit vectoriel :
~u ∧ (~v ∧ w)
~ = (~u.w).~
~ v − (~u.~v ).w
~
Applications du produit vectoriel
10
Pour tout vecteurs ~u, ~v,
1. Équation cartésienne d0 unplan
−−→ −→
• A, B et C ne sont pas alignés si, et seulement si : AB ∧ AC 6= ~0
−−→ −→
• AB ∧ AC est un vecteur normal au plan (ABC)
−−→ −−→ −→
• M est un point du plan (ABC) si et seulement si AM .AB ∧ AC = 0( La traduction
analytique de cette égalité donne une équation cartésienne du plan (ABC))
2. Distance d0 un point M à un plan(ABC)
La distance d'un point M à un plan (ABC) est donnée par :
−→ −→ −→
−
AM .AB∧AC −→ −→
AB∧AC .
En eet :
M +czM +d|
, avec ~n(a, b, c) vecteur normal au plan (ABC),
On a d(M, (ABC)) = |axM√+by
a2 +b2 +c2
−−→ −→
−−→ −−→ −→
ici on prend ~n = AB ∧ AC et N ∈ (ABC) ⇐⇒ AN .AB ∧ AC = 0, donc
−−→ −−→ −→
AM .AB ∧ AC d(M, (ABC)) = −−→ −→
AB ∧ AC Exercice :
Dans
et
AD.
Solution :
E3
on se donne un parallélépipède dont les arêtes issues de
Montrer que son volume est
−−→
−−→ −→ −−→
(AB ∧ AC).AD.
−→ −−→
−−→
−→ −−→
A sont AB ,AC
−−→
−→
−−→
Ici la base (AB ∧ AC).AD. est directe, donc (AB ∧ AC).AD > 0 ( (AB ∧ AC) et AD.
−−→
ont le même sens ). Il existe une base orthonormale (~i, ~j, ~k) directe telle que AB = b~i,
−→
−
−
→
−
−
→
−
→
−
−
→
AC = c0~i + c~j et AD = d00~i + d0~j + d~k, alors (AB ∧ AC).AD = (bc~k.d~k) = bcd : c'est bien
le volume du parallélépipède.
1.5
Barycentre
1.5.1 Dénitions et propriétés
Dans la suite du chapitre, (E) désignera soit un plan soit l'espace.
Soit A1 , A2 , ..., An une famille de points de (E) (confondus ou non), et α1 , α2 , ..., αn
une famille de réels.
Soit O un point xé de (E). On a pour tout M de (E) :
i=n
X
i=n
i=n
X
−−−→
−−→ X −−→
αi M Ai = (
αi )M O +
αi OAi
i=1
Dénition 1.5.1.
Proposition
i=1
Si
i=n
P
i=1
αi 6= 0,
i=1
i=n
X
il existe un unique point G de (E) tel que :
−−→
αi GAi = ~0
i=1
11
−−→
ce point G est déni par : OG =
i=n
P
1
i=n
P
αi i=1
−−→
αi OAi .
On l'appelle
barycentre
de la famille
i=1
de points pondérés (Ai , αi ), i = 1, 2, ..., n.
Remarques
1.
2.
Si
i=n
P
αi = 0,
le vecteur
i=n
P
−−−→
αi M Ai
est constant.
i=1
i=1
(O,~i, ~j, ~k) un repère de (E), ( si (E) est l'espace), et si (xi , yi , zi ) les coordonnées
Ai . Le point G a alors pour coordonnées :
i=n
i=n
i=n
P
P
P
1
1
1
xG = i=n
α
x
,
y
=
α
y
,
z
=
αi zi
i
i
i
i
G
G
i=n
i=n
P
P
P
Soit
αi i=1
αi i=1
i=1
3.
Si
i=n
P
αi 6= 0,
i=1
on a pour tout
M
de
de
αi i=1
i=1
(E )
i=1
i=n
X
i=n
X
−−−→
−−→
αi M Ai = (
αi )M G
i=1
i=1
On a les propriétés suivantes :
le barycentre d'une famille de points pondérés est inchangé si l'on multiplie tous les
coecients par un même réel non nul.
le barycentre de (A, α), (B, β) appartient à la droite (AB) ( si A 6= B et α + β 6= 0)
le barycentre de (A, α), (B, β), (C, γ) appartient au plan (ABC),( si A, B, C ne sont
pas alignés et si α + β + γ 6= 0)
le barycentre d'une famille de points pondérés est inchangé si l'on remplace plusieurs
points par leur barycentre partiel (quand il existe) aecté d'un coecient égal à la
somme de leurs coecients.
Porpriétés :
1.
2.
3.
4.
Dénition 1.5.2. On appelle isobarycentre de
ces points aectés de leur coecients tous égaux.
n
points A1 , A2 , ..., An le barycentre de
Remarque
L'isobarycentre de deux points
trois points
A, B, C
A
et
B
est le milieu de segment
[A, B], celui de
ABC .( centre
est le point de concours des médianes du triangle
de gravité du triangle
ABC
)
1.5.2 Applications
Transformation de
tout M de E :
i=n
P
i=1
αi M A2i : Soit O un point arbitrairement xé de E , on a, pour
12
i=n
X
αi M A2i =
i=1
=
i=n
X
i=1
i=n
X
−−−→
αi M Ai 2
−−→ −−→
αi (M O + OAi )2
i=1
i=n
X
= (
i=n
i=n
X
−−→
−−→ X −−→
−−→
αi )M O2 + 2M O.(
αi OAi ) +
αi OAi 2
i=1
i=1
i=1
Par suite deux cas se présentent :
Premier cas :
on obtient
i=n
P
i=n
P
i=1
αi 6= 0. Notons G le barycentre du système de points pondérés (Ai , αi );
−−→
αi GAi = ~0,
i=1
i=n
X
i=n
i=n
X
X
αi M A2i = (
αi )M G2 +
αi GA2i
i=1
i=1
(1)
i=1
Remarque
n=2
[A1 , A2 ],
Dans le cas particulier où
notant
I
le milieu de
et où
α1 = α2 = 1,
la relation (1) s'écrit, en
M A21 + M A22 = 2M I 2 + IA21 + IA22
Soit
A1 A22
2
M A21 + M A22 = 2M I 2 +
( C'est la formule de la médiane )
Deuxième cas :
i=n
P
i=1
αi = 0 Dans ce cas, le vecteur
i=n
P
~ ; on obtient alors
V
i=n
X
i=1
i=n
αi M A2i
−−→ ~ X
= 2M O.V
+
αi OA2i
i=1
i=1
O est un point arbitrairement xé de (E).
L'étude de l'ensemble
Ca = {M ∈ E :
i=n
P
i=1
On pose ϕ(M ) =
i=n
P
i=1
−−−→
αi M Ai est constant ; notons-le
αi M A2i = a}
αi M A2i .
13
i=n
P
Premier cas :
αi 6= 0. ϕ(M ) = a ⇐⇒ GM 2 =
a−ϕ(G)
i=1
i=n
P
αi
i=1
par conséquent
s
a−ϕ(G)
• Si a−ϕ(G)
≥
0,
C
est
le
cercle(
ou
la
sphère
)
de
centre
G
et
de
rayon
.
a
i=n
i=n
P
P
αi
αi
i=1
• Si
i=1
a−ϕ(G)
i=n
P
< 0, Ca = ∅
αi
i=1
i=n
P
Deuxième cas :
−−→ ~
αi = 0 ϕ(M ) = a ⇐⇒ OM .V
=
i=1
ϕ(O)−a
2
par conséquent
~ =O
~
• Si V
Cϕ(o) = E
Ca = ∅, pour tout a distinct de ϕ(O)
~ =
~ Ca est alors la droite (ou le plan ) orthogonale à la droite (O, V
~ ) passant
• Si V
6 O,
ϕ(O)−a
par le point H0 de cette droite (O, V~ ) déni par OH0 = 2V
L'étude de l'ensemble Ca = {M
∈E:
MA
MB
= a} ( A 6= B)
On voit immédiatement que :
• si a < 0, Ca = ∅
• si a = 0, Ca = {A}
Soit maintenant a > 0, on alors, puisque A 6= B,
MA
= a ⇐⇒ M A = aM B
MB
⇐⇒ M A2 − a2 M B 2 = 0
−−→
−−→
⇐⇒ M A2 − a2 M B 2 = 0
−−→
−−→ −−→
−−→
⇐⇒ (M A − aM B).(M A + aM B) = 0
• si 1 − a2 6= 0
considérons I le barycentre de système {(A, 1), (B, a)} et J le barycentre de système
−−→ −−→
−−→ −−→
{(A, 1), (B, a)}, alors (1 − a2 )IM .JM = 0, donc IM .JM = 0, par suite Ca est le cercle (
ou la sphère ) de diamètre [IJ].
• si 1 − a2 = 0, c'est à dire a = 1, Ca est la droite ( ou le plan ) orthogonale à (AB)
en son milieu.
• • • • • • • • ••
14