Cours de Géométrie

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affines R2R3
(x, y)R2(x, y, z)R3
M x y x, y z
(x, y)R2
R2R3)R2
R3)affine E2E3)
R2R3)vectoriel
(
~
i,~ j)
(
~
i,~ j, ~ k)
E2(O,~ i,~ j) (
~
i,~ j)
O
E3(O,~ i,~ j, ~ k) (
~
i,~ j, ~ k)
O

R= (O,~ i,~ j), R0= (O0,~ i0,~ j0) (x0, y0)
O0R P (
~
i,~ j) (
~
i0,~ j0).
M E2(x, y)M R (x0, y0)
M R0
x
y=x0 y0+Px0 y0
(
~
i,~ j)R2O0(a, b)x=a+x0
y=b+y0
(x, y)M(O,~ i,~ j) (x0, y0)M
(O0,~ i,~ j). P =I2)
M E2
−−→
OM =−−→ OO0+−−−→ O0M
x
y=x0 y0+α β
−−−→
O0M=α
~
i+β~ j(1)
P=p11 p21
p12 p22 
(
~
i,~ j) (
~
i0,~ j0).
~
i0=p11
~
i+p12~ j~ i0=p21
~
i+p22~ j
−−−→
O0M=x0~ i0+y0~ j0
=x0(p11
~
i+p12~ j) + y0(p21
~
i+p22~ j)
= (p11x0+p21y0)
~
i+ (p12x0+p22y0)~ j(2)
(1) (2)
α
β=p11 p21 p12 p22  x0 y0

x
y=x0 y0+p11 p21 p12 p22  x0 y0u
t
R= (O,~ i,~ j, ~ k), R0= (O0,~ i0,~ j0,~ k0) (x0, y0, z0)
O0R0P(
~
i,~ j, ~ k)
(
~
i0,~ j0,~ k0)M E3(x, y, z)M R
(x0, y0, z0)M R0
x
y
z
=
x0
y0
z0
+P
x0
y0
z0
(
~
i,~ j, ~ k)R3O=O(0,0,0)
A(1,2,0) B(0,−1,3) R0= (O0,~ i0,~ j0,~ k0)
O0(1,1,1) ~ i0=~ i~ j0=~ i+~ j~ k0=~ i+~ j+~ k.
~
U(1,−2,3) ~ V(4,−2,3) (
~
i0,~ j0,~ k0).
~u A {M∈P /
−−→
AM =t~u / t ∈R}A ~u.
(a, b)6= (0,0), c ∈R.
M(x, y)R2(E) : ax +by +c= 0 (D)
~u −b
a(−c
a,0) a6= 0) (E)
(E.C) (D)E.C
(a, b)6= (0,0),(x0, y0)∈R2.
M(x, y)R2(S) : x=x0+at
y=y0+bt (t∈R) (D)
Ax0
y0~u a b(S)
(D)
R= (O,~ i,~ j)R= (O0,~ i0,~ j0) (
~
i,~ j)
~
i0=~ i+~ j~ j=−~ j O(0,0)
D(A, ~u), A(1,2) R ~u =~ i+ 3~ j