Produit scalaire 1

PREMIERE
1
LE PRODUIT SCALAIRE 1
1ère partie : Savoir la correction du rappel sur les vecteurs mise dans l’ENT
2ème partie : Mobiliser les acquis : Chercher les exercices 1 à 6 p219 puis les corriger p331.
3ème partie : Lire l’exemple 1 p220 et chercher l’exercice 1p220 pour consolider.
4ème partie : Copier dans votre cahier de cours sur une nouvelle page le COURS ci-dessous :
Le produit scalaire
I-Norme d’un vecteur :
Vocabulaire : Si (O ; I, J) ou
;,O i j
est un repère orthonormé alors OI=OJ= 1 et
OI OJ
.
Le triangle OIJ est un triangle rectangle et isocèle en O.
Le couple de vecteurs non colinéaires
,ij
est appelé une base.
Si le repère
;,O i j
est orthonormé alors la base
,ij
est orthonormée.
Démonstration : Chercher l’exercice 20p232
1)
X
uY
alors pour tout réel k, on a
kX
ku kY
2) Dans une base orthonormée, pour tout réel k :
22
² ² ² ² ² ² ² ² ² ²ku kX kY k X k Y k X Y k X Y k u          

PREMIERE
2
II- Vecteurs directeurs d’une droite :
Définition : Un vecteur directeur d’une droite (d) est un vecteur NON NUL qui a la même
direction que la droite (d).
CONSEQUENCE : Si A et B sont deux points quelconques et distincts de la droite (d) alors le
vecteur
AB
est UN vecteur directeur de la droite (d).
Tout vecteur NON NUL et COLINEAIRE à
AB
est aussi un vecteur directeur de la droite
(d).
III- - Vecteurs orthogonaux
Définition : Soit
u
et
v
deux vecteurs du plan tels que
u AB
et
v CD
.
Les vecteurs
u
et
v
sont orthogonaux si et seulement si, soit l’un des deux vecteurs est le
vecteur nul, soit les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires. On note alors
uv
.
NB : Le vecteur nul est orthogonal à tout vecteur.
La définition ne dépend pas des représentants des vecteurs.
En effet si :
' ' , ' '
' ' ' '
AB A B CD C D et AB CD
alors A B C D
Propriété :
2 2 2
u et v sont orthogonaux u v u v   
On retrouve le théorème de Pythagore utilisé avec la relation de Chasles.

PREMIERE
3
Ensuite, à l’aide d’un repère et des coordonnées de vecteurs, on établit un critère d’orthogonalité
très utile dans les exercices:
Propriété : Dans un repère ORTHONORME :
x
uy
et
'
'
x
vy
sont orthogonaux si et seulement si
' ' 0xx yy
Démonstration : Dans une base orthonormée :
Si
x
uy
alors
2²²u x y
et si
'
'
x
vy
alors
2'² '²v x y
Et
'
'
xx
uv
yy
alors
222
''u v x x y y    
2 2 2
22
' ' ² ² '² '²
² 2 ' '² ² 2 ' '² ² ² '² '²
2 ' 2 ' 0
2 ' ' 0
' ' 0
u v u v u v
x x y y x y x y
x xx x y yy y x y x y
xx yy
xx yy
xx yy
Fin du cours à recopier pour aujourd’hui
5ème partie : Lire le savoir-faire 1 p226

PREMIERE
4
6ème partie : Chercher les exercices 23 et 27 p 232 puis les corriger.
Correction de l’exercice 23 p232 : Dans une base orthonormée :
1.
22
1 2 25 5
2 3 36 6
u   
Le vecteur
v
de norme 1 s’appelle un vecteur unitaire.
22
11 22 121 11
10 15 36 6
uv    
2. A l’aide du critère de colinéarité :
1 4 2 3 2 2
det( , ) 0
2 5 3 5 5 5
uv       
ou
5
6
uv
Les vecteurs
u et v
sont colinéaires.
3. A l’aide du critère d’orthogonalité :
1 3 2 4 0
2 5 3 5
Les vecteurs
u et v
ne sont pas
orthogonaux.
Il faut bien apprendre les formules du cours pour ne pas confondre les deux critères
précédents.
4.
11
6
uv
et
5 11
1
66
uv   
Donc
u v u v  
5.
2121
36
uv
et
2
22
5 61
1
6 36
uv
Donc
22
uv
2
uv