Fiche technique sur les limites 1 Fonctions élémentaires Les résultats suivants font référence dans de très nombreuses situations. Limite en +∞ et −∞ 1.1 xn lim f (x) +∞ lim f (x) n pair +∞ n impair −∞ x→+∞ x→−∞ 1.2 0 non défini non défini 0 ex +∞ +∞ non défini 0 1 xn 1 √ x lim f (x) +∞ +∞ −∞ lim f (x) n pair +∞ n impair −∞ non défini non défini ln(x) Asymptotes parallèles aux axes Résultat sur f Interprétation géométrique sur la courbe C f lim f (x) = l La droite y = l est asymptote horizontale à C f lim f (x) = ∞ La droite x = a est asymptote verticale à C f x→∞ x→a 3.1 +∞ ln(x) f (x) x→0 x<0 3 1 √ x x Limite en 0 x→0 x>0 2 √ 1 xn 0 f (x) Opération sur les limites et formes indéterminées Somme de fonctions Si f a pour limite Si g a pour limite alors f + g a pour limite Paul Milan l l0 l + l0 l +∞ +∞ 1 sur 3 l −∞ −∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞ −∞ +∞ −∞ F. Ind. Terminale ES 3.2 P 3.2 Produit de fonctions Si f a pour limite Si g a pour limite alors f × g a pour limite l,0 ∞ ∞* l l0 l × l0 0 ∞ F. ind. ∞ ∞ ∞* *Appliquer la règle des signes 3.3 Quotient de fonctions Si f a pour limite Si g a pour limite f alors a pour limite g l l ,0 l l0 0 l,0 0 0 0 l ∞ ∞ l ∞ ∞ ∞* F. ind. 0 ∞* F. ind. *Appliquer la règle des signes Polynômes et les fonctions rationnelles 4 4.1 Fonction polynôme Théorème 1 Un polynôme a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus haut degré. Si P(x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 x0 alors lim P(x) = lim an xn x→+∞ 4.2 x→+∞ et lim P(x) = lim an xn x→−∞ x→−∞ Fonction rationnelle Théorème 2 Une fonction rationnelle a même limite en +∞ et −∞ que son monôme du plus degré de son numérateur sur celui de son dénominateur. Si f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 x0 bm xm + bm−1 xm−1 + · · · + b1 x + b0 x0 an xn x→+∞ bm xm lim f (x) = lim x→+∞ Paul Milan et alors an x n x→−∞ bm xm lim f (x) = lim x→−∞ 2 sur 3 Terminale ES 4.3 A 4.3 Asymptote oblique Théorème 3 Dans une fonction rationnelle lorsque le degré du polynôme du numérateur est égale à celui de son dénominateur plus un, alors la représentation de cette fonction C f admet une asymptote oblique (D) en +∞ et −∞. P(x) et d◦ P = d◦ Q + 1 Q(x) Soit la droite (D) d’équation y = ax + b Soit 5 5.1 f (x) = alors lim [( f (x) − (ax + b)] = 0 x→∞ Fonctions logarithme et exponentielle Fonction logarithme Comparaison de la fonction logarithme avec la fonction puissance en +∞ et en 0. En + ∞ ln(x) =0 x→+∞ x ; ln(x) =0 x→+∞ xn En 0 lim x ln(x) = 0 ; lim xn ln(x) = 0 lim x→0 x>0 lim x→0 x>0 5.2 Fonction exponentielle Comparaison de la fonction exponentielle avec la fonction puissance en +∞ et en −∞. En + ∞ En − ∞ Paul Milan ex = +∞ x→+∞ x ; lim lim xe x = 0 x→−∞ 3 sur 3 ; ex = +∞ x→+∞ xn lim lim xn e x = 0 x→∞ Terminale ES
